Sudaryatno Sudirham. Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan s

Transkripsi

1 Sudaryano Sudirham Analii angaian Liri Di Kawaan

2 Bahan Kuliah Trbua dalam forma pdf rdia di dalam forma pp branimai rdia di

3 Tori dan Soal ada di buu Analiiangaian angaianliri LiriJilid Jilid forma pdf rdia di dan

4 Pnganar Kia lah mliha bahwa analii di awaan faor lbih drhana dibandingan dngan analii di awaan wau arna ida mlibaan pramaan difrnial mlainan pramaan-pramaan alabar biaa. Aan api analii rbu rbaa hanya unu inyal inu dalam adaan manap. Briu ini ia aan mmplaari analii rangaian di awaan, yang dapa ia rapan pada rangaian dngan inyal inu maupun buan inu, adaan manap maupun adaan pralihan.

5 Ii uliah ini mncaup:. Tranformai Laplac. Analii Mnggunaan Tranformai Laplac 3. Fungi Jaringan 4. Tanggapan Fruni angaian Ord- 5. Tanggapan Fruni angaian Ord-

6 Tranformai Laplc

7 Pada langah awal ia aan bruaha mmahami ranformai Laplac bra ifa-ifanya. Mlalui ranformai Laplac ini, brbagai bnu glombang inyal di awaan wau yang dinyaaan bagai fungi, dapa diranformaian awaan mnadi fungi. Jia inyal diyaaan bagai fungi, maa prnyaaan lmn rangaian pun haru diuaian dan pnyuaian ini mmbawa ia pada onp impdani di awaan. Prhiungan rangaian aan mmbrian pada ia hail yang uga mrupaan fungi. Jia ia prlu mngahui hail prhiungan dalam fungi ia dapa mncari ranformai bali dari prnyaaan bnu glombang inyal dari awaan awaan.

8 Tranformai Laplac Dalam plaaran Analii angaian di awaan faor, ia mlauan ranformai fungi inu fungi dalam bnu faor mlalui rlai Eulr. Dalam plaaran Analii di Kawaan, ia aan mlauan ranformai prnyaaan fungi dari awaan awaan mlalui Tranformai Laplac, yang cara mamai didfiniian bagai uau ingral F f d Fungi wau adalah pubah ompl: σ Baa bawah ingrai adalah nol yang brari bahwa ia hanya mninau inyal-inyal aual

9 Sblum mmbaha Taranformai Laplac lbih lanu, ia aan mncoba mmahami pro apa yang radi dalam ranformai ini. Kia liha bnu yang ada di dalam anda ingral, yaiu f σ f f σ Fungi wau Eponnial ompl Mrdam f ia σ > bnu inuoidal co in Jadi pralian f dngan faor ponnial ompl mnadian f brbnu inuoidal rdam. Shingga ingral dari ampai mmpunyai nilai limi, dan buan brnilai a hingga. Kia liha arang Tranformai Laplac

10 F f d Bnu glombang inyal yang ia hadapi dalam rangaian liri ruun dari iga bnu glombang daar yaiu: ana angga, ponnial, dan 3 inuoidal f Au A A σ A σ A σ co in 3 a f u f Aco u A co a σ A σ a co A A σ σ a σ a co in σ σ inu rdam Slah mnadi inu rdam, diingrai dari ampai dan didapa F

11 Jadi mua bnu glombang yang ia mui dalam rangaian liri, lah dialian dngan dan mudian diingrai dari ampai aan ia prolh F yang mmilii nilai limi.

12 Conoh: Jia f adalah fungi apan f Au F A A d Dalam conoh fungi ana angga ini, walaupun ingrai mmilii nilai limi, namun ramai bahwa ada nilai yang mmbrian nilai huu pada F yaiu. Pada nilai ini F mnadi a mnnu dan nilai yang mmbua F a mnnu ini dibu pol. adalah baran ompl. Poii pol di bidang ompl dalam conoh ini dapa ia gambaran bagai briu. A A f Au F A X Im Poii pol dibri anda X

13 Conoh: Jia f adalah fungi xponnial f A α u F A -α d A α α A α A α f A -a u F A α Unu α, nilai F mnadi a nu. α ini adalah pol Im Pnggambaran pada bidang ompl: X α Poii Pol dibri anda X

14 Conoh: Jia f adalah fungi coinu f Aco u rlai Eulr: co / F A A A d d d A f Aco u F A Unu, nilai F mnadi nol. Nilai ini dibu zro Pnggambaran pada bidang ompl Zro dibri anda O Pol dibri anda X Im X O X Unu, aau ± nilai F mnadi a nu. Nilai ini mrupaan pol

15 Salah au ifa Tranformai Laplac yang anga pning adalah Sifa Uni Sifa ini dapa dinyaaan bagai briu: Jia f mmpunyai ranformai Laplac F maa ranformai bali dari F adalah f. Sifa ini mmudahan ia unu mncari F dari uau fungi f dan balinya mncari fungi f dari dari uau fungi F dngan mnggunaan abl ranformai Laplac. Mncari fungi f dari uau fungi F dibu mncari ranformai bali dari F. Tabl briu ini mmua paangan fungi f dan fungi F. Walaupun hanya mmua bbrapa paangan, namun unu prluan ia, abl ini udah dianggap cuup.

16 Tabl Tranformai Laplac Prnyaaan Sinyal di Kawaan f impul : δ ana angga : u ponnial : [ a ]u coinu : [co ] u inu : [in ] u coinu rdam : [ a co ] u inu rdam : [ a in ] u coinu rgr : [co θ] u inu rgr : [in θ] u ramp : [ ] u ramp rdam : [ a ] u Prnyaaan Sinyal di Kawaan L[f] F a a a a coθ in θ in θ co θ a

17 Sifa-Sifa Tranformai Laplac

18 Sifa Uni Sifa ini dapa dinyaaan bagai briu: Jia f mmpunyai ranformai Laplac F maa ranformai bali dari F adalah f. Dngan aa lain Jia prnyaaan di awaan uau bnu glombang v adalah V, maa prnyaaan di awaan uau bnu glombang V adalah v.

19 Sifa Linir Karna ranformai Laplac adalah buah ingral, maa ia brifa linir. Tranformai Laplac dari umlah bbrapa fungi adalah umlah dari ranformai maing-maing fungi. Bui: Jia f A f A f maa ranformai Laplac-nya adalah F A [ A f A f ] f d A F A F A f d dngan F dan F adalah ranformai Laplac dari f dan f. d

20 Fungi yang mrupaan ingrai uau fungi Jia f f x dx, maa ranformai Laplacnya adalah F F Bui: Mialan F f f x dx f x dx maa d f x dx f d brnilai nol unu arna pada, brnilai nol unu arna ingral yang di dalam anda urung aan brnilai nol inrvalnya nol. F F f d f d

21 Fungi yang mrupaan difrniai uau fungi Bui: Mialan L f df Jia f d maa ranformai Laplacnya adalah df maa d F F f [ f ] df F d f d d brnilai nol unu arna unu brnilai f unu. df f d f d F f Ini adalah nilai f pada

22 Tranlai di Kawaan Jia ranformai Laplac dari f adalah F, maa ranformai Laplac dari faua unu a > adalah a F. Tranlai di Kawaan Jia ranformai Laplac dari f adalah F, maa ranformai Laplac dari α f adalah F α.

23 Pn-alaan caling Jia ranformai Laplac dari f adalah F, maa unu a > ranformai dari fa adalah a F a Nilai Awal dan Nilai Ahir Nilai Nilai awal : ahir : lim f lim F lim f lim F

24 Tabl Sifa-Sifa Tranformai Laplac linir : A f A f ingrai : difrniai : Prnyaaan f f x dx df d d d d 3 f f d 3 Prnyaaan F L[f] A F A F F F f F f 3 F f f f f linir : A f A f ranlai di : ranlai di : pnalaan : nilai awal : nilai ahir : onvolui : [ f a ] u a A F A F a F a f F a f a a F a lim f lim F lim f f x f lim F x dx F F

25 Mncari Tranformai Laplac dan Diagram pol zro

26 CONTOH: Carilah ranformai Laplac dari bnu glombang briu: 3 c. ; 5in b. ; 5co a. 3 u v u v u v Mncari Tranformai Laplac u v V a Dari abl ranformai Laplac: f [co ] u F Pnylaian: 5 5 5co u v V b Dari abl ranformai Laplac: f [in ] u F 5 5 5in u v V c Dari abl ranformai Laplac: f [ a ]u a F

27 Mncari Diagram pol-zro CONTOH: Gambaran diagram pol-zro dari a. F A b. F c. F 3,4 5 a. Fungi ini mmpunyai pol di anpa zro rnu. Im b. Fungi ini mmpunyai zro di Sdangan pol dapa dicari dari 3,4 3,4 ±,8 pol di ±,8 Im,8,8 c. Fungi ini ida mmpunyai zro rnu dangan pol rla di ii aal,. Im

28 MncariTranformaiBali

29 Tranformai Bali Tranformai bali adalah mncari f dari uau F yang diahui. Jia F yang ingin dicari ranformai balinya ada dalam abl ranformai Laplac yang ia punyai, praan ia cuup mudah. Aan api pada umumnya F brupa raio polinomial yang bnunya ida drhana dan ida lalu ada paangannya pri dalam abl. Unu mngaai hal iu, F ia uraian mnadi uau pnumlahan dari bnu-bnu yang ada dalam abl, hingga ia aan mmprolh f bagai umlah dari ranformai bali iap uraian. Hal ini dimunginan olh ifa linir dari ranformai Laplac

30 Bnu Umum F Bnu umum fungi adalah F z K p z p L z m L p n Dalam bnu umum ini umlah pol lbih bar dari umlah zro, Jadi ind n > m Jia F mmilii pol yang muanya brbda, p i p unu i, diaaan bahwa F mmpunyai pol drhana. Jia ada pol yang brupa bilangan ompl ia aaan bahwa F mmpunyai pol ompl. Jia ada pol-pol yang brnilai ama ia aaan bahwa F mmpunyai pol ganda.

31 Fungi Dngan Pol Sdrhana p n p p n f L n n n m p p p p p p z z z K L L L F F mrupaan ombinai linir dari bbrapa fungi drhana.,,.. n di bu ridu. Jia mua ridu udah dapa dinuan, maa Bagaimana cara mnnuan ridu? Apabila F hanya mmpunyai pol drhana, maa ia dapa diuraian bagai briu

32 Jia ia alian dua rua dngan p, faor p hilang dari rua iri, dan rua anan mnadi diambah uu-uu lain yang muanya mngandung faor p. diprolh dngan mngaalian dua rua dngan p mudian ubiuian p, d. Jia mudian ia ubiuian p maa mua uu di rua anan brnilai nol cuali p p p p z p z p z p K n m L L Cara mnnuan ridu: n n n m p p p p p p z z z K L L L F n n n m p p p p p p p p z z z K L L L Dngan dmiian ia prolh

33 CONTOH: Carilah f dari fungi ranformai briu. 3 4 F 3 F mauan mauan f F

34 CONTOH: Carilah f dari fungi ranformai briu. F 4 3 F mauan mauan 3 3 F 3 f 3

35 CONTOH: Carilah f dari fungi ranformai briu. F 6 4 F F mauan mauan mauan f 3 4

36 Fungi Dngan Pol Kompl Dalam formulai gala fiia, fungi F mrupaan raio polinomial dngan ofiin riil. Jia F mmpunyai pol ompl yang brbnu p α β, maa ia uga haru mmpunyai pol lain yang brbnu p* α β; bab ia ida maa ofiin polinomial rbu ida aan riil. Jadi unu inyal yang cara fii ia mui, pol ompl dari F harulah radi cara brpaangan onuga. Olh arna iu uraian F haru mngandung dua uu yang brbnu * F L L α β α β idu dan * uga mrupaan ridu onuga bab F adalah fungi raional dngan ofiin raional. idu ini dapa ia cari dngan cara yang ama pri mncari ridu pada uraian fungi dngan pol drhana.

37 Tranformai bali dari dua uu dngan pol ompl L L β α β α * F L L β θ α co f co * β θ α βθ βθ α βθ α βθ α β α θ β α θ β α β α f adalah

38 CONTOH: Carilah ranformai bali dari F ± ± Mmbrian pol drhana di mmbri pol ompl F / 3 π 4 / 3 π [ ] 4 / 3 co 4 / 3 4 / 3 4 / 3 4 / 3 π π π π π u u u f

39 Pada ondii rnu, F dapa mmpunyai pol ganda. Pnguraian F yang dmiian ini dilauan dngan mmcah faor yang mngandung pol ganda dngan uuan unu mndapaan bnu fungi dngan pol drhana yang dapa diuraian pri conoh blumnya. p p z K F pol ganda p p z K p F pol drhana p p p p p p F p p p F p p p f Fungi Dngan Pol Ganda

40 CONTOH: Tnuan ranformai bali dari fungi: F F F F f

41 Analii Mnggunaan Tranformai Laplac

42 Hubungan Tgangan-Aru Elmn di Kawaan

43 Kia mngahui hubungan rgangan-aru di awaan wau pada lmn-lmn, L, dan C adalah v v i L C i dil L d dv C d C aau Dngan mliha abl ifa-ifa ranformai Laplac, ia aan mmprolh hubungan gangan-aru lmn-lmn di awaan bagai briu: v C C i c d

44 ior: V I Induor: V LI Li L L L Kapaior: V C C I C v C Kondii awal Kondii awal adalah ondii lmn aa blum pninauan.

45 Konp Impdani di Kawaan

46 Konp Impdani di Kawaan Impdani di awaan adalah raio gangan rhadap aru di awaan dngan ondii awal nol C C Z L L Z Z C C L L ; ; I V I V I V Dngan onp impdani ini maa hubungan gangan-aru unu rior, induor, dan apaior mnadi drhana. ; ; C L C C L L I V I V I V Admiani, adalah Y /Z C Y L Y Y C L ; ;

47 prnai Elmn di Kawaan Elmn, L, dan C di awaan, ia haru mmprhiungan adanya impanan nrgi awal pada lmn, dapa dinyaaan dngan mggunaan umbr gangan aau umbr aru. V prnai dngan Mnggunaan Sumbr Tgangan V I V LI Li I L L L V L L I L Li L V C C I C V C I C v v C C Kondii awal

48 Jia impanan nrgi awal adalah nol, maa umbr gangan ida prlu digambaran. Jia Kondii awal I I L I C V V L L V C V I V LI L L V C IC C

49 prnai dngan Mnggunaan Sumbr Aru V I L V L I L I C i L V C Cv C C V I i L L L IL V V I Cv Kondii awal Jia Kondii awal C C C C I I L I C V V L L V C V I V LI L L V C IC C

50 Tranformai angaian prnai lmn dapa ia gunaan unu mnranformai rangaian awaan. Dalam mlauan ranformai rangaian prlu ia prhaian uga apaah rangaian yang ia ranformaian mngandung impanan nrgi awal aau ida. Jia ida ada impanan nrgi awal, maa umbr gangan aaupun umbr aru pada rprnai lmn ida prlu ia gambaran.

51 CONTOH: Salar S pada rangaian briu lah lama ada di poii. Pada alar dipindahan poii hingga rangaian LC ri rhubung umbr gangan 3 V. Tranformaian rangaian awaan unu >. 8 V S 3 V 3 Ω H / F Salar S lah lama ada di poii dan umbr 8 V mmbua rangaian mmilii ondii awal, yaiu v C 8 V dan i L v C Tranformai aru awal induor gangan awal apaior 8/ V C gangan apaior Kondii awal aan nol ia rangaiannnya adalah pi briu

52 S 3 V 3 Ω H / F Salar S lah lama ada di poii dan a ada umbr gangan, maa ondii awal v C V dan i L v C Tranformai aru awal induor gangan awal apaior 3 3 V C gangan apaior

53 Huum Kirchhoff

54 Huum aru Kirchhoff HAK dan huum gangan Kirchhoff HTK brlau di awaan n i n n n d i d i I n v n n n d v d v V HAK di Kawaan : HAK di Kawaan HTK di Kawaan : HTK di Kawaan

55 Kaidah-Kaidah dan Tormaangaian

56 Pmbagi Tgangan dan Pmbagi Aru Z iv Z ; Yiv parall ri Y Y Z I Ioal ; V Voal Y Z iv parall iv ri CONTOH: Carilah V C pada rangaian impdani ri LC briu ini V in 3 V C V / 3 V in 3 V in V in

57 Mialan V in / V in 3 V C V C V 3 C v C 3 ; ; Inilah anggapan rangaian LC ri dngan 3Ω, L H, C,5 F dan inyal mauan ana angga dngan ampliudo V.

58 Prinip Proporionalia X K Y Y K X Hubungan linir anara mauan dan luaran CONTOH: V in L /C V L V / C in LC C C V in

59 Y Prinip Suprpoii o 3 3 K X K X K X Kluaran rangaian yang mmpunyai bbrapa mauan adalah umlah luaran dari iap mauan ndainya mauan-mauan iu bra ndiri-ndiri X X K Y o X K Y K X X K Y K X Y o K X K X

60 V T V Torma Thévnin dan Noron h I Tgangan Thévnin N Z Z T T ; Y N V I T N I N Impdani Thévnin VT Ih ZT Aru Noron CONTOH: Carilah rangaian ivaln Thvnin dari rangaian impdani briu ini. C B E B A N V T V h / C / C Z / C T / C / C C / C / C / C V T Z T B E B A N

61 Moda ModaAnalii

62 Moda Uni Oupu CONTOH: Dngan mnggunaan moda uni oupu, carilah V pada rangaian impdani di bawah ini L /C I V I C I I L / Mialan : LC C L C C C L C L C C V I I I V V V * * C LC K C LC I K C LC C LC LC LC L C L I I V I I I I V V V

63 Moda Suprpoii CONTOH: Dngan mnggunaan moda uprpoii, carilah gangan induor v o pada rangaian briu ini. Au L v o Binβ A L V o Bβ β A L V o L V o Bβ β Z V L // o L L L L L L A / / L A L L A / L Bβ Vo L I L L β L L Bβ Bβ L β / L β

64 θ θ β β β θ β β β β β β β β L L L L L L L L L B L A 3 / 3 o o o 4 / / an, 4 / / / / / / / / V V V β β β θ β θ β o 4 / / / L L L L L B A v co 4 / 4 o θ β β β β β L B L B A v L L A / / o V / o β β L B V

65 Moda dui angaian CONTOH: Dngan mnggunaan moda rdui rangaian carilah gangan induor v o pada rangaian briu ini A L V o Bβ β A L V o Bβ β / L V o Bβ β A L V o / Bβ β A V o o V L L / A / / L Bβ β / L A Bβ / β

66 Moda angaian Eivaln Thévnin CONTOH: Cari gangan induor dngan mnggunaan rangaian ivaln Thévnin. L V o A β β B A β β B / / β β β β B A B A h V T V Z T Z T L V o V T / / / / / / / o β β β β L B L A B A L L Z L L T T V V

67 Moda Tgangan Simpul L V o A β β B CONTOH: Cari gangan induor dngan mnggunaan moda gangan impul. o β β B A L V / / / / aau o o β β β β β β L B L A B A L L B A L L V V

68 Moda Aru Mh CONTOH: Pada rangaian briu ini ida rdapa impanan nrgi awal. Gunaan moda aru mh unu mnghiung i u mh Ω Ω i µf V I I B A. 4 I A I B I I A B I A I B I 6 4 4

69 ,, β α B B B I I I I,[ ] ma ; i I 5,4 8 ;, β α

70 Fungi Jaringan

71 Bahaan ia briu ini adalah mngnai Fungi Jaringan Fungi Jaringan mrupaan fungi yang mrupaan ararii rangaian dalam mnghadapi adanya uau mauan aaupun mmbrian rlai anara mauan dan luaran. Bahaan aan mncaup Pngrian Dan Macam Fungi Jaringan. Pran Fungi Alih. Hubungan Bringa Kaidah anai

72 Pngrian dan Macam Fungi Jaringan

73 Fungi Jaringan Prinip proporionalia brlau di awaan. Faor proporionalia yang mnghubungan luaran dan mauan brupa fungi raional dalam dan dibu fungi aringan nwor funcion. Fungi Jaringan Tanggapan Sau Nol Sinyal Mauan Dfinii ini mngandung dua pmbaaan, yaiu a ondii awal haru nol dan b im hanya mmpunyai au mauan

74 Fungi aringan yang ring ia hadapi ada dua bnu, yaiu fungi mauan driving-poin funcion dan fungi alih ranfr funcion Fungi mauan adalah prbandingan anara anggapan di uau grbang por dngan mauan di grbang yang ama. Fungi alih adalah prbandingan anara anggapan di uau grbang dngan mauan pada grbang yang brbda.

75 Fungi Mauan ; Y Z V I I V impdani mauan admiani mauan Fungi Alih : Alih Impdani ; : Alih Admiani : Alih Aru Fungi ; Alih Tgangan : Fungi o o o o T T T T in Z in Y in I in V I V V I I I V V

76 CONTOH: Carilah impdani mauan yang diliha olh umbr pada rangaian-rangaian briu ini a. V C b. I C a. b. Z Y in in C C C C C Zin C ;

77 CONTOH: Carilah fungi alih rangaian-rangaian briu V in V o I in I o a. b. a. T V V V o in / C / C ; C b. T I I I o in / / C C

78 CONTOH: Tnuan impdani mauan dan fungi alih rangaian di bawah ini v in L C v o Tranformai awaan V in /C L V o Z in / C L / C L / C L LC C L C T V V V o in L

79 CONTOH: Tnuan impdani mauan dan fungi alih rangaian di amping ini v in C C v o Tranformai rangaian awaan Z in / C / C / C C V in /C /C V o T V V V o in Z Z C C C C / C / C

80 CONTOH: µf 6 / v A MΩ MΩ µf v x µv x v o V 6 A 6 V x 6 / µv x V o Pramaan gangan unu impul A: VA / dangan : Vx V 6 6 A / VA VA Vx V V V µ V aau V V x in x µ V in 3 µ 6 x x V in x Fungi alih : T V V V o V in 6 6 µ V V x x µ Vx V 6 µ 3 µ

81 Pran Fungi Alih

82 Pran Fungi Alih Dngan pngrian fungi alih, luaran dari uau rangaian di awaan dapa diulian bagai. awaan nol di au luaran anggapan : awaan mauan di inyal prnyaaan : alih adalah fungi dngan ; T T Y X X Y a a a a b b b b a b T n n n n m m m m n m p p p z z z K T Fungi alih T aan mmbrian zro di z. z m pol di p. p n. T pada umumnya brbnu raio polinom aio polinom ini dapa diulian:

83 Pol dan zro dapa mmpunyai nilai riil aaupun ompl onuga arna ofiin dari b dan a adalah riil. Smnara iu inyal mauan X uga mungin mngandung zro dan pol ndiri. Olh arna iu inyal luaran Y aan mngandung pol dan zro yang dapa braal dari T aaupun X. Pol dan zro yang braal dari T dibu pol alami dan zro alami, arna mra dinuan maa-maa olh paramr rangaian dan buan olh inyal mauan; Pol dan zro yang braal dari X dibu pol paa dan zro paa arna mra dinuan olh fungi pmaa mauan.

84 CONTOH: 6 / V 6 A 6 V x 6 / µv x V o V in Jia v in co u, carilah pol dan zro inyal luaran V o unu µ,5 Fungi alih : 4 µ,5 T V 3 µ,5 V Pol dan zro adalah :.5 : : pol pol o T V alami alami V in,5,5 riil riil : : :,5,5 au pol pol zro paa paa 4 paa riil imaginr imainr

85 angaian Dngan Mauan Sinyal Impul Impul dinyaaan dngan x δ. Prnyaaan inyal ini di awaan adalah X V T X T o V o yang diprolh dngan X ini dibu H agar ida rancu dngan T. H Karna X ida mmbrian pol paa, maa H hanya aan mngandung pol alami. Kluaran di awaan, v o h, diprolh dngan ranformai bali H. Bnu glombang h rai dngan pol yang diandung olh H. Pol riil aan mmbrian omponn ponnial pada h; pol ompl onuga dngan bagian riil ngaif aan mmbrian omponn inu rdam pada h. Pol-pol yang lain aan mmbrian bnu-bnu h rnu yang aan ia liha mlalui conoh briu.

86 CONTOH: Jia inyal mauan pada rangaian dalam conoh-3.5 adalah v in δ, carilah pol dan zro inyal luaran unu nilai µ,5 ; ; ; 3 ; 4, 5. Dngan mauan v in δ brari V in, maa luaran rangaian adalah : H µ 3 µ V T V 6 6 / A 6 V x 6 / µ 3 µ, 5, 5 µ,5 H dua pol riil di dan,5, 5, 5 µv x V o,5 µ H dua pol riil di µ H dua pol ompl di,5 ±,5 3 /,5 3 / 3 3 µ 3 H dua pol imainr di ± 4 4 µ 4 H dua pol ompl di,5 ±,5 3 /,5 3 / 5 5 µ 5 H dua pol riil di 3 / 3 /

87 Conoh ini mmprlihaan bagaimana fungi alih mnnuan bnu glombang inyal luaran mlalui pol-pol yang diandungnya. Brbagai macam pol rbu aan mmbrian h dngan prilau bagai briu. µ,5 : dua pol riil ngaif ida ama bar; inyal luaran anga rdam. µ : dua pol riil ngaif ama bar ; inyal luaran rdam rii. µ : dua pol ompl onuga dngan bagian riil ngaif ; inyal luaran urang rdam, brbnu inu rdam. µ 3 : dua pol imaginr; inyal luaran brupa inu ida rdam. µ 4 : dua pol ompl onuga dngan bagian riil poiif ; inyal luaran ida rdam, brbnu inu dngan ampliudo main bar. µ 5 : dua pol riil poiif ama bar; inyal luaran ponnial dngan ponn poiif; inyal main bar dngan bralannya.

88 Poii pol dan bnu glombang luaran

89 angaian Dngan Mauan Sinyal Ana Tangga Tranformai inyal mauan yang brbnu glombang ana angga x u adalah X /. Jia fungi alih adalah T maa inyal luaran adalah Y T X T Tanggapan rhadap inyal ana angga ini dapa ia bu T G H Karna H hanya mngandung pol alami, maa dngan mliha bnu G ia gra mngahui bahwa anggapan rhadap inyal ana angga di awaan aan mngandung au pol paa diamping pol-pol alami. Pol paa ini rla di liha gambar

90 CONTOH: Jia µ dan inyal mauan brupa inyal ana angga, carilah pol dan zro inyal luaran dalam rangaian conoh-3.7, Dngan µ fungi alihnya adalah T V Dngan inyal mauan X /, anggapan rangaian adalah G,5 3 /,5 3 / Dari ini ia prolh :,5 ± 3 / : dua pol ompl onuga dngan bagian riil ngaif : au pol paa di

91 Hubungan Bringa dan Kaidah anai

92 Hubungan Bringa CONTOH: V in /C V o dan V in L Vo T V / C / C C T V L Dua angaian dihubungan V L in /C V o T V / C L L / C L / C L L / C L L LC L L / C / C C L L

93 Fungi alih dari rangaian yang diprolh dngan mnghubungan dua rangaian cara bringa ida ra mra mrupaan pralian fungi alih maing-maing. Hal ini dibaban radinya pmbbanan rangaian prama olh rangaian dua pada wau mra dihubungan. Unu mngaai hal ini ia dapa mnambahan rangaian pnyangga di anara dua rangaian hingga rangaian mnadi pri di bawah ini. V in L /C V o Diagram blo rangaian ini mnadi : V in T V V o V o T V V o

94 Kaidah anai Jia uau ahap ida mmbbani ahap blumnya brlau aidah ranai. X T Y T Y T V TV TV TV Olh arna iu agar aidah ranai dapa digunaan, impdani mauan haru diuahaan bar mungin, yang dalam conoh diaa dicapai dngan mnambahan rangaian pnyangga. Dngan cara dmiian maa hubungan mauan-luaran oal dari luruh rangaian dapa dngan mudah diprolh ia hubungan mauan-luaran maing-maing bagian diahui.

95 angaianord- Dan Ord-

96 Proalan anggapan rangaian rhadap prubahan nilai fruni aau anggapan rangaian rhadap inyal yang ruun dari banya fruni imbul arna impdani au macam rangaian mmpunyai nilai yang brbda unu fruni yang brbda Kia aan mmbaha anggapan fruni dari rangaian ord- dan ord-

97 angaian Ord-

98 Tanggapan angaian Trhadap Sinyal Sinu Kadaan Manap

99 Tanggapan angaian Trhadap Sinyal Sinu Kadaan Manap Dalam analii rangaian di awaan ia liha bahwa prnyaaan di awaan dari inyal di awaan wau X x Aco θ adalah coθ in θ A Jia T adalah fungi alih dari uau rangaian, maa anggapan rangaian rbu adalah Y co θ in θ T X A T co θ in θ A T

100 co θ in θ Y T X A T co θ in θ mmbrian pol alami A T mmbrian pol paa Tanggapan rangaian ini dapa ia ulian Y * p p n p n omponn manap yang ia manfaaan omponn ranin yang biaanya brlangung hanya bbrapa di Dngan mnghilangan omponn ranin ia prolh anggapan manap di awaan yaiu Y *

101 * Y Nilai pramaan ini dapa ia cari dari in co in co θ θ θ θ T A T A Y in co T A T θ θ X Y hingga θϕ ϕ θ T A T A Ini adalah uau prnyaaan ompl yang dapa diuli ϕ T T

102 θϕ θϕ θϕ θϕ AT AT T A T A * Y Tanggapan adaan manap rangaian di awaan mnadi Dari abl ranformai Laplac ia liha a F Jia f a maa Olh arna iu anggapan manap di awaan mnadi θ ϕ θϕ θϕ θϕ θϕ A T A T A T A T y m co

103 y m A T co θ ϕ Pramaan anggapan di awaan wau ini mnunuan bahwa rangaian yang mmpunyai fungi alih T dan mndapa mauan inyal inu, aan mmbrian anggapan yang: brbnu inu uga, anpa prubahan fruni ampliudo inyal brubah dngan faor T udu faa inyal brubah bar udu dari T, yaiu ϕ. Jadi, walaupun fruni inyal luaran ama dngan fruni inyal mauan api ampliudo maupun udu faanya brubah dan prubahan ini rganung dari fruni

104 CONTOH: Carilah inyal luaran adaan manap dari rangaian di amping ini ia mauannya adalah v co5 6 o V. Pnylaian: Tranformai rangaian awaan Fungi alih rangaian ini T V Karna 5, maa T V an 5 / o Jadi luaran adaan manap: o o vo co co5 5 o

105 Prnyaaan Tanggapan Fruni

106 Fungi Gain dan Fungi Faa Faor pngubah ampliudo, yaiu T dibufungigain Pngubah faa ϕ dibu fungi faa dan ia ulian bagai ϕ Bai fungi gain maupun fungi faa mrupaan fungi fruni Jadi dua fungi rbu mnunuan bagaimana ampliudo dan udu faa inyal inu dari anggapan rangaian brubah rhadap prubahan fruni aau dngan inga dibu bagai anggapan fruni

107 CONTOH: Slidiilah prubahan gain dan udu faa rhadap prubahan fruni dari rangaian ord prama di amping ini Pnylaian: fungi alih rangaian T V : T V fungi gain : T fungi faa 5 : 5 5 Briu ini ia gambaran prubahan gain dan prubahan udu faa V ϕ an

108 Gain.5 gain : T V 5-45 ϕ[ o ] -9 E5 faa : ϕ an E5 Pada fruni rndah rdapa gain inggi yang rlaif onan; pada fruni inggi, gain mnurun dngan cpa Prhaian bahwa umbu fruni dibua dalam ala logarimi Pada fruni rndah udu faa ida rlalu brubah api mudian cpa mnurun mulai uau fruni rnu

109 Gain Gain.5.5/ paband C opband Gain inggi di darah fruni rndah pada conoh ini mnunuan bahwa inyal yang brfruni rndah mngalami prubahan ampliudo dngan faor inggi E5 Nilai fruni yang mnadi baa anara paband dan opband dibu fruni cuoff, C. Nilai fruni cuoff biaanya diambil nilai fruni dimana gain mnurun dngan faor / dari gain maimum pada paband. Gain rndah di fruni inggi mnunuan bahwa inyal yang brfruni inggi mngalami prubahan ampliudo dngan faor rndah Darah fruni dimana radi gain inggi dibu paband dangan darah fruni dimana radi gain rndah dibu opband

110 Dalam conoh di aa, rangaian mmpunyai au paband yaiu dari fruni ampai fruni cuoff C, dan au opband yaiu mulai dari fruni cuoff aa Dngan aa lain rangaian ini mmpunyai paband di darah fruni rndah aa hingga dibulow-pa gain. Kbalian dari low-pa gain adalah high-pa gain, yaiu ia paband brada hanya di darah fruni inggi aa pri pada conoh briu ini

111 CONTOH: Slidiilah anggapan fruni rangaian di amping ini Pnylaian: Fungi alih rangaian adalah T V 5,5 5 /,5 TV T V ϕ 9 o,5 an 4 ; Gain.5.5/ 9 45 ϕ[ o ] opband paband C E5

112 Gain biaanya dinyaaan dalam dcibl diinga db yang didfiniian bagai Gain dalam db Dcibl logt Prnyaaan gain dalam db dapa brnilai nol, poiif, aau ngaif Gain dalam db aan nol ia T brnilai au, yang brari inyal ida diprua aaupun diprlmah; adi gain db brari ampliudo inyal luaran ama dngan inyal mauan. Gain dalam db aan poiif ia T >, yang brari inyal diprua. Gain aan brnilai ngaif ia T <, yang brari inyal diprlmah.

113 Fruni cuoff adalah fruni dimana gain lah urun /.77 ali nilai gain maimum dalam paband. Jadi pada fruni cuoff, nilai gain adalah log T ma logt T ma ma db log 3 db Dngan dmiian dapa ia aaan bahwa fruni cuoff adalah fruni di mana gain lah urun banya 3 db

114 CONTOH: Brapa db-ah nilai gain inyal yang diprua K ali, ia K ; ; ; ; 3; ;? Dan brapa nilai gain ia radi plmahan dimana K / ; / ; /; /3; /; /? Pnylaian: Unu inyal yang diprua K ali, gain K T log T log K log Pnguaan Plmahan K K K K K K K 3 gain : log db gain : log 3 db gain : log 6 db gain : log db gain : log3 3 db gain : log 4 db gain : log 6 db K K K K K K / / / / 3 / / gain : 3 db gain : 6 db gain : db gain : 3 db gain : 4 db gain : 6 db

115 Kurva Gain Dalam Dcibl Kurva gain dibua dngan abi fruni dalam ala logarimi; ia gain dinyaaan dalam db yang uga mrupaan bilangan logarimi bagaimana didfiniian, maa urva gain aan brbnu gari-gari luru Low-pa gain. Dngan mnggunaan auan db, urva low-pa gain pada conoh blumnya adalah pri rliha pada ganbar di amping ini. Gain hampir onan 6 db di darah fruni rndah, dangan di darah fruni inggi gain mnurun dngan miringan yang hampir onan pula. Gain 6 [db] C E5

116 High-pa gain. Dalam ala db, high-pa gain pada conoh blumnya adalah pri rliha pada ganbar di bawah ini. Gain hampir onan 6 db di darah fruni inggi dangan di darah fruni rndah gain mninga dngan miringan yang hampir onan pula Gain [db] C E5 Band-pagain.Apabila gain mninga di darah fruni rndah dngan miringan yang hampir onan, dan mnurun di darah fruni inggi dngan miringan yang hampir onan pula, dangan gain inggi brada di anara dua fruni cuoff ia mmilii ararii band-pa gain. Gain [db] C E5 Fruni cuoff pada band-pa gain ada dua; lang anara dua fruni cuoff dibu bandwidh lbar pia

117 Band-pa gain ia prolh pada rangaian ord- yang aan ia plaari lbih lanu. Walaupun dmiian ia aan mliha rangaian ord- briu ini bagai conoh CONTOH: Slidiilah prubahan gain dari rangaian ord- di amping ini. Gain blum dinyaaan dalam db. 5 / V in V o Pnylaian: T V 5 5 / T V T V

118 Gain.4 /.7 opband paband opband Apabila urva gain dibua dalam db, urva yang aan diprolh adalah Gain [db] C E5

119 CONTOH: Slidiilah prubahan gain dari rangaian ord dua di amping ini. Gain blum dinyaaan dalam db. Pnylaian: T V,, / / TV 4 T V Gain.4 /.7 paband opband paband Kurva ini mnunuan bahwa ada au opband pada anara dan dua paband maingmaing di darah fruni rndah dan inggi Kararii gain pri ini dibu band-op gain.

120 Bod Plo Kia liha Low-Pa Gain Bnu fungi alih rangaian ord prama dngan ararii low-pa gain adalah: T V K α Tnang apan K ia mmahaminya bagai briu: K yang brnilai poiif ia fahami bagai K dngan udu θ K o K yang brnilai ngaif ia fahami bagai K dngan udu θ K ±8 o Tnang pol dari uau fungi alih, ia inga diagram poii pol pri di amping ini: Jia rangaian yang ia inau adalah rangaian abil maa ia haru mmilii pol dngan bagian riil ngaif arna hanya pol yang dmiian ini yang dapa mmbua rangaian abil. Komponn raninnya mnuu nol unu. Hanya rangaian abil aa yang ia inau dalam analii anggapan fruni.

121 Pndaan Gari Luru dari Kurva Gain Jia fungi alih rangaian yang ia inau adalah: maa T Fungi gain dan fungi faa-nya adalah K α α K T V / α K α T V K / α / α dan ϕ θ K an / α Fungi gain dalam auan db, mnadi T V log K db / α log / α Komponn-prama fungi gain ini brnilai onan unu luruh fruni Komponn-dua fungi gain Ini rganung dari fruni Komponn-dua inilah yang mnybaban gain brurang dngan nainya fruni Komponn-dua ini pula yang mnnuan fruni cuoff, yaiu aa /α dimana omponn ini mncapai nilai log 3 db

122 Jadi fruni cuofff dinuan olh omponn yang braal dari pol fungi alih, yaiu α C Prubahan nilai omponn-dua dari gain bagai fungi fruni, yang dibua dngan α adalah bagai briu Unu fruni rndah, /α << aau << α, omponn dua dapa didai dngan db log /α C pndaan gari luru [rad/] Unu fruni inggi, /α>> aau >>α, omponn dua bu didai dngan log / α log log / α log / α Jadi pndaan gari luru unu omponn dua ini adalah gari nol unu <<α dan gari luru db pr dad unu >α. Tii blo rla pada prpoongan dua gari ini, yaiu pada /α, yang brari rla di fruni cuoff. E5 E6

123 Pndaan Gari Luru Kurva Fungi Faa Tanggapan faa ia prolh dari fungi faa ϕ θ K an / α Komponn-prama fungi ini brnilai onan. Komponn-dua mmbri pngurangan faa yang uga mnadi pnnu pola prubahan anggapan faa ϕ [ o ] an /α C pndaan gari luru E5 E6 [rad/] Pada /α fruni cuoff an /α45 o. Pada, C an /α o. Pada C an /α 9 o ; Unu > C an /α9 o. Jadi dalam lang. C << C prubahan faa dapa dianggap linir 45 o pr dad.

124 Dngan pndaan gari luru, bai unu fungi gain maupun unu fungi faa, maa anggapan gain dan anggapan faa dapa digambaran dngan nilai pri rcanum dalam dua abl di bawah ini. Gain Fruni C α <<α >α Komponn log K /α log K /α log K /α Komponn db/d Toal log K /α log K /α db/d ϕ Fruni C α,α<<α >α Komponn θ K θ K θ K Komponn 45 o /d Toal θ K θ K 45 o /d θ K Prhaianlah bahwa nilai omponn-prama onan unu luruh fruni dangan omponn-dua mmpunyai nilai hanya pada rnang fruni rnu.

125 Kurva pndaan gari luru anggapan gain dan anggapan faa ini, dngan mngambil α adalah bagai briu Gain [db] log K /α db/d - C α -4 ϕ [ o ] 45 θ K o /d. C C E5 E6 [rad/] E5 E6 [rad/] Prhaian bahwa pnurunan gain dimulai dari C dangan pnurunan udu faa radi anara, C dan C

126 Kia liha High-Pa Gain Fungi alih rangaian ord prama dngan ararii high-pa gain adalah T K α hingga T K α α K / α Fungi alih ini mmpunyai zro pada. Fungi gain dan fungi faa-nya adalah T K / α / α dan ϕ θ K 9 o an / α Gain dalam db: T db log K / α log log / α Dngan mnggunaan pndaan gari luru, nilai fungi gain dan fungi faa adalah pri dalam abl briu

127 Gain Fruni C α <<α >α Komponn log K /α log K /α log K /α Komponn db/d logα/db/d Komponn 3 db/d Toal log K /α log K /αdb/d log K /αlogα/ Gain Fruni C α <<α >α Komponn log K /α log K /α log K /α Komponn db/d logα/db/d Komponn 3 db/d Toal log K /α log K /αdb/d log K /αlogα/ 4 Gain [db] - -4 db/d log K /α C α [rad/] E5 E6 9 ϕ [ o ] 45 θ K -45 θ K 9 o 45 o /d C. C [rad/] E5 E6

128 CONTOH: Gambaran pndaan gari luru anggapan gain dari rangaian yang mmpunyai fungi alih: Pnylaian: T T db log T. / T log. log / T. / Gain Fruni C rad/ << > Komponn 4 db 4 db 4 db Komponn db/d Toal 4 db 4 db 4 db db/d Gain [db] Gain C Komp- Komp- [rad/]

129 CONTOH: Gambaran pndaan gari luru anggapan gain dari rangaian yang mmpunyai fungi alih: Pnylaian: T T, / T. / T db log. log log / Gain Fruni C rad/ << > Komponn 4 db 4 db 4 db Komponn db/d 4 db/d Komponn 3 db/d Toal 4 db 4 db db/d 6 db Gain [db] 4 Komp- Gain - -4 Komp- Komp-3-6 [rad/]

130 Kia liha Band-Pa Gain angaian dngan ararii band-pa gain dapa diprolh dngan mnghubungan cara bringa dua rangaian ord prama dngan mnaga agar rangaian yang di blaang rangaian dua ida mmbbani rangaian di dpannya rangaian prama. angaian prama mmpunyai ararii high-pa gain dangan rangaian dua mmpunyai ararii low-pa gain. Hubungan aad dmiian ini aan mmpunyai fungi alih uai aidah ranai dan aan brbnu β α K K T T T { } / / / / / β α αβ β β α α β α K K T K K K K T / log / log log / log db β α αβ K K T Dngan mmbua β >> α maa aan diprolh ararii band-pa gain dngan fruni cuoff C α dan C β.

131 angaian Ord-

132 angaian Ord- Dngan Pol iil Pol dari fungi alih rangaian ord- bia riil aaupun ompl onuga Kia aan mulai pmbahaan nang fungi alih dngan pol riil

133 Band-Pa Gain Fungi alih rangaian ord- dngan au zro dan dua pol riil dapa diuli bagai T K α β hingga T K α β K / αβ / α / β Fungi gain T / α K / αβ / β Dalam db db / αβ log log / α log / T log K β

134 db / αβ log log / α log / T log K β Fungi gain ini rdiri dari omponn-omponn yang bnunya lah ia nal pada pmbahaan rangaian ord- Komponn-prama brnilai onan Komponn-dua brbanding luru dngan log dngan prubahan gain db pr dad Komponn-iga mmbri pngurangan gain db pr dad mulai dari α C fruni cu-off Komponn-mpa uga mmbri pngurangan gain db / dad mulai dari β C fruni cu-off

135 db / αβ log log / α log / T log K β Nilai fungi gain dngan pndaan gari luru unu β > α adalah pri dalam abl di bawah ini Gain Fruni C α rad/ C β rad/ <<α α<<β >β Komp. log K /αβ log K /αβ log K /αβ log K /αβ Komp. db/d logα/ db/d logβ/ db/d Komp.3 db/d logβ/α db/d Komp.4 db/d Toal log K /αβ log K /αβ db/d log K /αβ logα/ log K /αβ logα db/d

136 CONTOH Gambaran Bod plo pndaan gari luru anggapan gain dan anggapan faa rangaian yang diahui fungi alihnya adalah : T 5 Pnylaian: T 5,5 / /,5 T / / T log,5 log log / log / db ϕ 9 o an / an /

137 Gain T log,5 log log / log / db Gain Fruni C rad/ C rad/ << << 4 > 4 Komponn 6 db 6 db 6 db 6 db Komponn db/d db/d 8 db/d Komponn 3 db/d 6 db/d Komponn 4 db/d Toal 6 db 6 db db/d 4 db 4 db db/d Gain 4 [db] C C [rad/]

138 Faa ϕ 9 o an / an / ϕ Fruni C rad/ C 4 rad/ << 3 << 5 > 5 Komponn o o o o Komponn 9 o 9 o 9 o 9 o Komponn 3 o 45 o /d 9 o 9 o Komponn 4 o o o 45 o /d 9 o Toal 9 o 9 o 45 o /d o 45 o /d 9 o ϕ [ o ] C C E5 [rad/],,

139 High-Pa Gain Kararii high-pa gain dapa diprolh dari rangaian ord dua yang fungi alihnya mngandung dua zro di CONTOH: Gambaran anggapan gain dan anggapan faa ia diahui fungi alihnya adalah Pnylaian: T T / 4 / T T db 8 / 4 log / 8 log log log / / / 4

140 Gain T db log log / 4 log / log / 8, onan log/8 58 db Knaian gain brbanding luru dngan log;naian db pr dad Pngurangan gain db pr dad mulai pada C 4 rad/ Pngurangan gain db pr dad mulai pada C rad/ Gain [db] db/d 4dB/d [rad/]

141 Faa ϕ 9 o an / 4 an / Mulai, ϕ o 9 o 8 o Pngurangan faa 45 o pr dad mulai dari, C ampai c harunya Pngurangan faa 45 o pr dad mulai dari. C ampai C 5 ϕ [ o ] , C, C C C [rad/] Karna, C < C maa urva mnurun 9 o pr dad pada, C dan mbali mnurun 45 o pr dad pada C

142 Low-pa Gain Kararii low-pa gain dapa diprolh dari rangaian ord dua yang fungi alihnya ida mngandung zro CONTOH: Gambaran Bod plo pndaan gari luru rangaian yang fungi alihnya adalah : Pnylaian: T T T /,5 /,5 / / T log,5 log / log / db ϕ an / an /

143 Gain: T log,5 log / log / db gain log,5 6 db pngurangan gain db pr dad mulai C pngurangan gain db pr dad mulai C, hingga mulai C prubahan gain adalah 4 db pr dad Gain [db] C C [rad/]

144 Faa: ϕ an / an / Pada, ϕ pngurangan faa 45 o pr dad mulai ampai pngurangan faa 45 o pr dad mulai ampai. Jadi pada lang << prubahan faa adalah 9 o pr dad 45 ϕ [ o ] [rad/]

145 Fungi Alih Dngan Zro iil Ngaif Dalam conoh-conoh blumnya, fungi alih mmpunyai zro di. Fungi alih dalam conoh briu ini mmpunyai zro di

146 CONTOH: Gambaran anggapan gain dan anggapan faa ia diahui fungi alihnya adalah 4 4 T 4 / / / 8 / / / 8 4 T T Pnylaian: db / log / log / log log8 T / an / an / an ϕ

147 Gain: db T log8 log / log / log / log8 8 db prubahan gain db pr dad, mulai pada prubahan db pr dad mulai pada, mnybaban urva mnadi mndaar 4 Gain [db] 3 8 db/d prubahan db pr dad mulai pada db/d [rad/]

148 Faa: ϕ an / an / an / Pada, ϕ prubahan faa 45 o pr dad mulai dari ampai prubahan faa 45 o pr dad mulai dari ampai, mmbua urva adi mndaar ϕ [ o ] prubahan faa 45 o pr dad mulai dari ampai Pran omponn- hilang; urva mnurun 9 o pr dad Pran omponn-3 hilang; urva mnurun 45 o pr dad Pran omponn-4 hilang; urva mbali mndaar -35 [rad/]

149 angaian Ord- dngan Pol Kompl Konuga

150 T angaian ord -dua yang mmilii pol ompl onuga dinyaaan olh fungi alih yang brbnu K K p p α β α β p α β T K p p K α β α β β α K β α p p * α β A α β β σ A A Unu * p A σ

151 T β α K β α A A A Jadi ia brambah: Unu > Unu > β α A σ A lalu brambah. A pada awalnya mnurun namun mudian brambah. A A mncapai nilai minimum pada aa β. A σ Maa:gain T mninga pada awal pningaan ampai mncapai nilai maimum dan mudian mnurun lagi. Punca anggapan gain dibu ronani. Unu 3 > A 3 A σ

152 Kadaan di iar fruni ronani Unu mmplaari anggapan fruni di iar fruni ronani, ia ulian fungi alih rangaian ord- dalam bnu yang dapa ia ulian T K T ζ K T dapa ia ulian K b c dngan / ζ / b ζ c dibu raio rdaman c dan fruni alami anpa rdaman ζ T K / ζ/

153 T K / ζ/ Gain: T T db K / ζ / K log log / ζ/ db ζ, ζ,5 ζ,5 aio rdaman mnnuan prubahan nilai gain T ζ - pndaan linir -4 [rad/]

154 Faa: ϕ θ K 9 o an ζ/ / aio rdaman mnnuan prubahan nilai udu faa ϕ [ o ] ζ, ζ,5 ζ ζ, pndaan linir [rad/]

155 Bahan Kuliah Trbua Analii angaian Liri di Kawaan Tranformai Laplac Analii Mnggunaan Tranformai Laplac Fungi Jaringan Tanggapan Fruni angaian Ord- dan Ord- Sudaryano Sudirham