TRANSFORMASI LAPLACE DARI MASALAH NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL

Transkripsi

1 TRANSFORMASI LAPLACE DARI MASALAH NILAI BATAS PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL SKRIPSI Diajan dalam Ranga Pnylaian Sdi Sraa I Un Mncapai Glar Sarjana Sain Olh: Nama : Myria Alia Harini NIM : Jran : Mamaia FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 005

2 ABSTRAK Tranormai Laplac mrpaan alah a mod yang dapa dignaan n mnylaian pramaan dirnial parial. Dngan mnranormaian pramaan dirnial parial mnjadi pramaan dirnial biaa mdian mnranormaian bali aan mmprolh pnylaian dari pramaan dirnial parial rb. Prmaalahan yang mncl adalah Bagaimana mnylaian bn ranormai Laplac dari maalah nilai baa pada pramaan dirnial parial?. Tjan pnlian ripi ini adalah n mngahi bn ranormai Laplac dari maalah nilai baa pada pramaan dirnial parial. Mod pnlian yang dignaan adalah pmilihan maalah mrman maalah di paa mmcahan maalah dan mnari implan. Pmodlan mamaia n maalah ondi pana mnghailan pramaan ondi pana. Pnylaian bn ranormai Laplac dari maalah nilai baa pada pramaan ondi pana dimni a n inrval a rbaa pada a paraboli adalah L d c d dangan pnylaian bn ranormai Laplac dari maalah nilai baa pada pramaan ondi pana dimni a n inrval rbaa pada a paraboli adalah L - d c coh d c inh. Saran yang dapa diampaian adalah prlnya pnliian lbih lanj dalam hal yang ama pada a-a lain dngan mnggnaan mod yang ama mapn dngan mod lainnya. ii

3 HALAMAN PENGESAHAN Tlah diprahanan di hadapan Sidang Paniia Ujian Sripi Jran Mamaia Fala Mamaia dan Ilm Pngahan Alam Univria Ngri Smarang pada: Hari : Snin Tanggal : 4 Oobr 005 Paniia Ujian Ka Srari Dr. Kamadi Imam S. M.S. Dr. Spriyono M.Si. NIP NIP Pmbimbing I Anggoa Pngji Dr. M. Choim M.S.. Dr. Kharn M.Si NIP NIP Pmbimbing II. Dr. M. Choim M.S. NIP Dr. S. Bdi Walya NIP Dr. S. Bdi Walya NIP iii

4 MOTTO DAN PERSEMBAHAN Moo : Sorang dngan jan yang jla aan mmba majan walapn mlwai jalan yang li. Sorang yang anpa jan ida aan mmba majan walapn ia brada di jalan yang lr. Thoma Carlyl Prmbahan :. Alloh Smbahan. Mama rcina dan Alm. Papa rayang 3. Ma Novi Ma Roni Mba Aci Dar 4. Sroja yang lal mmbri moivai mndng mndampingi mndoaan dan mnyayangi 5. Sahaba-ahaba yang lal mndng mndoaan dan mnyayangi iv

5 KATA PENGANTAR Alhamdlillah pnli panjaan pji dan yr hadira Allah SWT yang lah mmbrian brah rahma dan hidayah-nya hingga pnli dapa mnylaian ripi dngan jdl: Tranormai Laplac dari Maalah Nilai Baa pada Pramaan Dirnial Parial. Dalam pnlian ripi ini pnli mndapa banan dari brbagai piha hingga pnli ingin mnyampaian rima aih pada.. Dr. H.A.T. Sogio SH.MM. Ror Univria Ngri Smarang.. Dr. Kamadi Imam S. M.S. Dan FMIPA UNNES. 3. Dr. Spriyono M.Si. Ka Jran Mamaia FMIPA UNNES. 4. Dr. M. Choim M.S. Don Pmbimbing I. 5. Dr. S. Bdi Walya Don Pmbimbing II. 6. Alm. Ayah Ib aa-aa dan adi yang lal mndoaan mndng dan mnyayangi. 7. Rina Woro Dwi Lidia Pp Nanny Eli Tai Sigi Bowo Ardi dan man-man Mah 0 yang lal mndng dan mmban. 8. Sma piha yang lah mmban yang ida dapa diban a pra. Pnli mnyadari bahwa ripi ini maih jah dari mprna arna rbaaan mampan dan pngahan yang pnli milii. Olh arna i ma rii dan aran yang mmbangn anga pnli harapan dmi prbaian ripi ini. Pnli brharap ripi ini dapa brmanaa bagi pmbaca. Smarang Oobr 005 Pnli v

6 DAFTAR ISI Halaman Jdl Abra... Halaman Pngahan. i ii iii Moo dan Prmbahan. iv Kaa Pnganar v Daar Ii. vi Daar Lampiran.. viii BAB I Pndahlan A. Laar Blaang... B. Prmaalahan. 4 C. Baaan Maalah... 4 D. Tjan Pnliian... 4 E. Manaa Pnliian. 5 F. Simaia Pnlian Sripi 5 BAB II Landaan Tori A. Pramaan Dirnial Biaa. 7 B. Pramaan Dirnial Parial... 4 C. Tranormai Laplac... 7 D. Mapl. 0 BAB III Mod Pnliian... BAB IV Pmbahaan vi

7 A. Pmodlan Pramaan Kondi Pana Dimni Sa. 4 B. Pnylaian Pramaan Dirnial Parial dngan Tranormai Laplac... 8 C. Pnylaian Umm. 30 D. Pmrograman Kompr Pramaan Kondi Pana Dimni Sa.. 38 BAB V Pnp A. Simplan.. 53 B. Saran 54 Daar Paa. 56 Lampiran vii

8 DAFTAR LAMPIRAN Tabl. Sia-ia Umm Tranormai Laplac viii

9 BAB I PENDAHULUAN A. Laar Blaang Prmbangan a ilm pngahan banya mmgang pranan pning dalam prmbangan a nologi. Tanpa ilm pngahan nologi aan li bia brmbang dngan cpa. Mamaia bagai bahaa imbol yang bria nivral anga ra hbngannya dngan hidpan nyaa. Knyaaan mmbian bahwa n mnylaian maalah-maalah hidpan nyaa dibhan modmod mamaia. Mamaia mrpaan alah a cabang ilm pngahan yang mmpnyai ciri brbda dngan diiplin yang dimilii olh ilm pngahan lain. Hal-hal yang diplajari dalam mamaia rdiri aa bbrapa lompo ilm pri: aljabar gomri analii dan mamaia rapan. Pramaan dirnial mrpaan alah a cabang mamaia yang rma dalam lompo analii. Di dalam dnia nyaa adang rdapa maalah-maalah yang ar dilaian dalam imnya. Un mnylaian maalah rb prl din a pmodlan mamaia yang mirip dngan adaan imnya. Maalah nyaa har dinali rlbih dahl mlali bbrapa ahapan. Prama mngidniiai ma baran yang rliba. Kda mmbri lambang pada iap baran yang ridniiai. Kiga mnnan aan

10 iap lambang yang ada dngan mngan a im aan. Kmpa mmilah-milah dari iap lambang rb mana yang onana dan mana yang variabl. Dan lima mnnan hm yang mngndalian pada maalah nyaa rb. Dngan hm yang mngndalian maalah nyaa rb mnnan hbngan anara variabl dan onana yang dib dngan modl mamaia. Modl mamaia dapa brpa pramaan pridaamaan pramaan dirnial dan bagainya. Kmdian dngan mmanaaan ori-ori dalam mamaia diprolh oli modl. Dngan mnginrpraian oli modl dinan oli maalah. Pada pro ini aan mncl mbali. Un lbih jlanya dapa diliha pada bagan di gambar. HUKUM YANG MENGENDALIKAN Idniiai baran Lambang Saan Pilah variabl/onana MASALAH NYATA pnrjmahan MODEL MATEMATIKA? ori mamaia SOLUSI MASALAH NYATA inrprai SOLUSI MODEL Gambar. Langah-langah mncari oli maalah Pramaan Dirnial dibdaan mnjadi da yai Pramaan Dirnial Biaa ordinary dirnial qaion dan Pramaan Dirnial

11 3 Parial parial dirnial qaion. Pramaan Dirnial Biaa didiniian bagai a pramaan yang mngandng a aa lbih rnan biaa a ngi yang ida diahi dngan da aa lbih pbah bba. Sdangan Pramaan Dirnial Parial didiniian bagai a pramaan yang mngandng a aa lbih rnan parial a ngi yang ida diahi dngan da aa lbih pbah bba. Slah a modl mamaia dibah dalam bn pramaan dirnial langah lanjnya adalah mnylaian pramaan dirnial rb dngan mnnan olinya. Soli pramaan dirnial adalah a ngi yang mmnhi pramaan dirnial rb. Arinya jia ngi i dan rnan-rnannya dibiian dalam pramaan dirnial rb diprolh a prnyaaan yang bnar. Diaaan oli mm jia pramaan ngi maih mma onana dan dib oli h jia ida rdapa onana yang didapaan dngan mngganian nilai-nilai awal dan yara baa yang diahi. Mod Tranormai Laplac Laplac Tranormaion mrpaan alah a mod yang dapa dignaan n mnylaian pramaan dirnial parial. Mod ini prama ali diprnalan olh Pirr Simon Marqa D Laplac orang mamaiawan Pranci dan orang gr bar di Pari. Bn mm Tranormai Laplac dapa dilian dalam bn: 0 FL{} d

12 4 dimana adalah a ngi yang rdinii n 0 <. Dalam pnlian ini aan dibaha oli pramaan dirnial parial dngan mnggnaan mod ranormai Laplac. Tranormai Laplac adalah oprai mamaia yang dapa mnranormaian pramaan dirnial parial mnjadi pramaan dirnial biaa. Kmdian mnranormaian bali n mmprolh pnylaian dari pramaan dirnial parial rb. B. Prmaalahan Brdaaran raian di aa maa prmaalahan yang imbl adalah Bagaimana mnnan bn ranormai Laplac dari maalah nilai baa pada pramaan dirnial parial? C. Baaan Maalah Un mmbaai rang lingp pnlian ripi ini dibrian baaan-baaan yai mnylaian maalah nilai baa pada pramaan dirnial parial linar ord da dngan a paraboli pada pramaan ondi pana dimni a. D. Tjan Pnlian ripi ini brjan n mngahi bn ranormai Laplac dari maalah nilai baa pada pramaan dirnial parial.

13 5 E. Manaa Manaa yang diharapan dalam pnlian ripi ini adalah: lah mngahi mod ranormai Laplac diharapan pmbaca dapa mnylaian pramaan dirnial parial dngan mnggnaan ranormai Laplac; pmbaca diharapan dapa mnnan bn ranormai Laplac dari iap maalah nilai baa pada pramaan dirnial parial yang dibrian. F. Simaia Pnlian Sripi Pnlian imaia dimadan n mmbrian arah yang lbih jla dan lbih mmdahan dalam mmplajari dan mmahami ii ripi. Adapn imaia pnlian ripi yang pnli n ini rdiri dari 3 iga bagian bar yang mrpaan rangaian dari bab-bab. Dan iap bab rdiri dari b bab-b bab bagai bri. I. Bagian Awal Sripi. Halaman Sampl. Halaman Jdl 3. Abrai 4. Lmbar Pngahan 5. Moo dan Prmbahan 6. Kaa Pnganar

14 6 7. Daar Ii 8. Daar Lambang 9. Daar Gambar II. Bagian Ii Sripi BAB I : Pndahlan. Laar Blaang. Prmaalahan 3. Tjan 4. Baaan Maalah 5. Simaia Sripi BAB II BAB III BAB IV BAB V : Landaan Tori : Mod Pnliian : Pmbahaan : Simplan dan Saran III. Bagian Ahir Sripi. Daar Paa. Lampiran-lampiran

15 BAB II LANDASAN TEORI A. Pramaan Dirnial Biaa Pramaan dirnial adalah pramaan yang mngandng rnan-rnan dari a ngi yang ida diahi yang dinamaan y dan yang aan dinan pramaan rb Hahan 993. Sbagai conoh jia laj prmbhan a poplai mania hwan bari dan bagainya dy y ' wa ama dngan poplai d y maa modl poplai rb adalah dirnial. y ' y yai pramaan Pramaan dirnial biaa diarian bagai a pramaan yang mlibaan rnan prama aa lbih dari ngi mbarang y rhadap pbah ; pramaan ini dapa pla mlibaan y i ndiri ngi yang dibrian dan onana. Conoh:. y' co. y' ' 4y 0 3. y" ' y' y'' y. Pramaan dirnial biaa dibagi mnjadi da bagian yani pramaan dirnial linar ord a dan pramaan dirnial linar ord 7

16 8 da. Pramaan dirnial banya ali dimbangan dalam mamaia ni.. Pramaan Dirnial Linar Ord Sa Dinii. Pramaan Dirnial Ord Sa cara mm dinyaaan bagai F y y' 0. Jia dy y ' maa F y y' 0 dapa dili d dy F y 0. d Pramaan mrpaan pramaan dari pramaan dirnial yang dinyaaan cara implii. Pramaan dapa dinyaaan cara plii bagai dy y. d Conoh: Pramaan dirnial implii: y y' 0. Pramaan dirnial plii: dy y. d. Soli Pramaan Dirnial Linar Ord Sa Sa ngi y y dinyaaan oli pramaan dirnial F y y' 0 apabila y y aa rnannya yani y' mmnhi pramaan dirnial rb. Conoh:

17 9 y adalah oli pramaan dirnial y'. Dmiian pla y c n c adalah onana mrpaan oli pramaan dirnial y'. Soli y dib oli h dan y c dib oli mm. 3. Pramaan Dirnial Linar Ord Da Dinii. Pramaan dirnial brbn y y' y" 0 dib pramaan dirnial ord da dimana dy d y y ' dan y " d d Hahan 993. Conoh:. y" y' an y in 0 mrpaan pramaan dirnial ord da. y "' y" y' y in 0 ban mrpaan pramaan dirnial ord da. Dinii 3. Bila y y' y" 0 linar dalam y y dan y maa pramaan dirnial y y' y" 0 dib pramaan dirnial linar ord da. Scara mm pramaan dirnial ord da brbn: a y" b y' c y g ; 3

18 0 dimana oiin-oiin a b c dan ngi g mrpaan ngi-ngi yang onin di dalam lang a b dngan a 0 di dalam lang ini Hahan 993. Dinii 4. Pramaan dirnial linar ord da 3 dib homogn apabila g 0 dan dib ida homogn apabila g 0 Hahan 993. Conoh:. Pramaan dirnial y " y'in 3y 0 adalah pramaan dirnial linar ord da homogn arna g 0.. Pramaan dirnial y" y' 4y in adalah pramaan dirnial linar ord da a homogn arna g Soli Pramaan Dirnial Linar Ord Da Fngi ϕ diaaan oli pramaan dirnial 3 pada lang I apabila ϕ mmpnyai rnan da dan mmnhi hbngan 3 pada lang I yani a ϕ " b ϕ' c ϕ g n iap I. homogn Sarang prhaian pramaan dirnial linar ord da a y" b y' c y 0. 4

19 Torma. Mialan ϕ oli pramaan dirnial 4 pada lang I maa αϕ jga mrpaan oli pramaan dirnial 4 n iap α R. Bi: Tli y αϕ dimana α a onana. Jla y' αϕ' dan y" αϕ". Jla a αϕ " b αϕ' c αϕ. Jla α[ a ϕ" b ϕ' c ϕ ] α0 0. Jadi αϕ jga oli pramaan dirnial Pramaan Dirnial Linar Ord Da Homogn dngan Koiin Konana Prhaian pramaan dirnial yang brbn y " py' qy 0 5 dimana p dan q onana-onana. Inii m y mrpaan oli pramaan dirnial 5 dngan m mmnhi pramaan rb. Un i aan dicari m agar m y mrpaan oli pramaan m m dirnial 5. Dari y diprolh y ' m dan y" m m hingga jia y y ' dan y" dibiian pramaan 5 didapa m m m m pramaan m mp q 0 m pm q 0.

20 Dngan dmiian m y diaaan a oli dari pramaan dirnial 5 jia m mrpaan pnylaian dari pramaan adra m m pm q 0. Dan arna 0 n iap m dan maa m pm q 0. 6 Pramaan m pm q 0 dib pramaan ararii dari pramaan dirnial 5 dan aar-aarnya dib aar-aar ararii. Aar-aarnya adalah m b a a 4 dan m b a a 4. Dari prhingan di aa jla bahwa m y m dan y mrpaan oli dari pramaan dirnial y " py' qy 0. Dari aljabar mamaia dapa diahi bahwa arna a dan b mrpaan bilangan ral maa aar-aar dari pramaan ararii m pm q 0 rbagi dalam iga a yai: da aar brbda da aar ama dan da aar ompl.. Aar ral brlainan brbda m m Bila m dan m da aar ral brbda maa dan adalah oli yang bba linar hingga m m y A B mrpaan oli mm pramaan dirnial 5. Conoh: Prhaian pramaan dirnial y " 3y' y 0. Pramaan arariinya adalah m 3m 0 dan aar-aarnya

21 3 m m 0. Jadi m dan m mrpaan aar ral brbda maa oli mmnya adalah y A B.. Kda aar ama Mialan da aar pramaan m pm q 0 ama yani m m a maa φ adalah alah a oli pramaan a dirnial 5. Bila φ W φ oli lainnya maa W a pd d a p d. Karna m m a adalah aar pramaan m pm q 0 maa m m a p. W d d. a a Jadi Hal rb mmbrian a φ φ dimana φ φ dan φ bba linar. Jadi oli mm pramaan dirnial y" py' qy 0 a a a adalah y A B A B. Conoh: Mialan pramaan dirnial y " 4y' 4y 0. Tnan oli pramaan dirnial di aa. Pnylaian: Jla m 4m 4 0 mrpaan pramaan ararii.

22 4 Jla m 0. Jla m m. Jadi y A B a oli mm pramaan dirnial y" 4y' 4y Aar ompl Mialan alah a aar pramaan m pm q 0 adalah m α β i maa aar yang lain yani m α β i hingga φ m α βi dan φ m α βi adalah oli bai n pramaan dirnial y " py' qy 0. Jadi oli mm pramaan dirnial rb adalah: y c α βi c α βi α βi c c α βi α α c co β i in β c co β i in β α { c c co β c c i in β}. Dngan mngambil c c A dan i c c B maa oli mm pramaan dirnial rb adalah y α { Aco β Bin β}.

23 5 B. Pramaan Dirnial Parial Pramaan dirnial parial adalah a pramaan yang mngandng a aa lbih rnan parial a ngi yang ida diahi dngan da aa lbih pbah bba. Tinga ordr pramaan dirnial parial adalah panga ringgi dari rnan yang rma dalam pramaan dirnial parial. Dan draja dgr pramaan dirnial parial adalah panga ringgi dari rnan inga ringgi yang rma dalam pramaan dirnial parial. Pramaan dirnial parial linir adalah a bn pramaan dirnial parial yang brdraja a dalam pbah a bbanya dan rnan parialnya Hahan 993. Bbrapa pramaan dirnial parial linir ord- yang pning. c dib pramaan glombang dimni a; 7 c dib pramaan ondi pana dimni a; 8 0 y dib pramaan laplac dimni a; 9 y y dib pramaan poion dimni a; 0 0 z y dib pramaan laplac dimni iga.

24 6 Dalam hal ini c adalah onana adalah wa dan y z adalah pbah bba. Un mmdahan noai maa dignaan ind n mnoaian rnan parial pri dan bagainya. Adapn bn mm pramaan dirnial parial linir ord- dibrian dngan A B C D E F G y yy y dimana A B C DE F dan G adalah ngi-ngi yang brganng pada dan y. Trdapa 3 jni pramaan dirnial parial linir yang pning yai paraboli hiprboli dan llipi. Pramaan dirnial parial ord da dalam pramaan ; jia jia B B 4AC 4AC > 0 dib pramaan paraboli 0 dib pramaan hiprboli jia B 4AC < 0 dib pramaan llipi Piny 998. Sdangan pramaan 8 mrpaan pramaan paraboli pramaan 7 mrpaan pramaan hiprboli dan pramaan 9 mrpaan pramaan llipi. Syara Baa Syara baa adalah yara-yara rn aa ondii-ondii rn yang rliba dalam pramaan dirnial parial n mmban mncari oli pramaan dirnial parial rb. Ada iga mnginan

25 7 yai inrval rbaa inrval ngah rbaa dan inrval a rbaa. Un inrval rbaa barnya inrval I adalah 0 < < L hingga mmpnyai da yara baa yai pada 0 dan L. Un inrval ngah a rbaa barnya I adalah 0 < < biaa dili > 0 yara baanya hanya pada 0. Dan n inrval a rbaa barnya inrval I adalah < < hingga ida pnya yara baa. Bn pramaan yara baa dibrian dngan α β 3 n dimana α β adalah a onana dan n didiniian bagai grad. n.... n. Trdapa iga jni yara baa yai: n a pramaan 3 dib dngan ondii Dirichl jia α 0 dan β 0 ; b pramaan 3 dib dngan ondii Nmann jia α 0 dan β 0 ; c pramaan 3 dib dngan ondii campran jia α 0 dan β 0 Piny 998.

26 8 C. Tranormai Laplac Dinii 5. Mialan adalah a ngi yang rdinii pada inrval [0. Tranormai Laplac dari adalah a ngi F yang didiniian dngan ingral F d 0 4 dngan darah aal F adalah ma nilai dari dmiian hingga ingral dari 4 ada. Fngi aal dinyaaan dngan hr cil dan ranormai Laplacnya dngan hr yang ama api hr bar. Tranormai Laplac dari dinoaian dngan F aa L{}. Slanjnya ngi aal adalah invr dari F dan dinoaian dngan L - {F} Hahan 993. Jia L{}F maa dib invr ranormai Laplac dari F dan cara imboli dili: L - {F} dngan L - dib opraor invr ranormai Laplac. Dinii 6. Sa ngi diaaan onin bagian dmi bagian pada a lang jia onin di jmlah hingga ii pada lang rb Hahan 993. Dari pngrian rb brari lang yang dimad dapa dibagi mnjadi jmlah hingga b lang hingga onin pada iap b

27 9 lang yang rjadi jadi a ngi onin pada [0 jia onin pada lang [0N n ma N > 0. Dinii 7. Sa ngi diaaan brord ponnial jia rdapa onana a ngai M dan T hingga α M n ma T Hahan 993. Torma. Diahi dan a ngi-ngi. Jia ranormai Laplac dari dan ada dan c mrpaan a onana maa: i L } L { } L { }; { ii L{ c } c L }. Bi: { i Jla L } d. { L } { L } { 0 0 d d 0 0 d L } L{ } L { }. { 0 ii Jla L { c } c d. 0 L { c } c d

28 0 0 L { c } c d L{ c } c L }. { Aibanya invr ranormai Laplac jia ada adalah linir. Bi: Tli L - { F } dan L- { F }. a Jla L - F F }. { L - F F } L - { F } L - { F }. { b Jla L - { cf } c. L - { cf } c L - { F }. Jadi L - adalah linir. D. Mapl Mapl mrpaan alah a pranga lna yang dimbangan olh Warloo Inc. Kanada n prlan Compr Algbraic Sym CAS. Mapl ring dignaan n prlan pnylaian prmaalahan pramaan dirnial dan vialiainya arna mdah n dignaan. Mapl mmilii mampan mnydrhanaan pramaan hingga a oli pramaan dirnial dapa dipahami dngan bai. Kngglan dari Mapl n apliai pramaan dirnial adalah mampan mlaan graan/animai grai dari a nomna yang dimodlan dalam

29 pramaan dirnial yang mmilii nilai awal dan yara baa Karono 00. Un mmlai Mapl pada Window cp dngan li pada icon Mapl yang aan langng mmbrian rpon dngan mnampilan worh >. Mn-mn yang rdapa pada ampilan Mapl rdiri dari Fil Edi Viw Inr Forma Spradh Opion Window dan Hlp. Sbagian bar mn di aa mrpaan mn andar yang dimbangan n program apliai pada im oprai Window. Bahaa yang dignaan pada Mapl mrpaan bahaa pmrograman yang alig bagai bahaa apliai bab prnyaaan aa amn yang mrpaan inp maan pada Mapl brpa dlarai pada bahaa program dan command prinah yang ring dignaan pada apliai. Simbol > ini oomai dan bagai anda bahwa Mapl lah iap n diopraian. Prinah ompr dibrian dngan mngian pada papan i lah imbol >. Prinah ini dica dalam warna mrah dangan hailnya dica dalam warna bir. Siap prinah Mapl jia ingin diampilan har diahiri dngan imbol ii oma ; dan imbol ii da : jia rpon ida ingin diampilan.

30 BAB III METODE PENELITIAN Pranan mod pnliian dalam a pnliian anga pning. Shingga dngan mod pnliian dapa mncapai jan pnliian yang lah diapan dan agar pnliian yang lah dilaan brjalan dngan lancar. Mlali mod pnliian maalah yang dihadapi dapa diaai dan dipcahan dari prolhan daa yang lah dimplan. Langah-langah yang dilaan pada pnliian ini mlipi bbrapa hal yai. A. Pmilihan Maalah Dalam prliahan yang diprolh pnli banya maalah yang prl diaji lbih lanj. Dari bbrapa maalah rb dihadapan pada proalan n mmilih maalah yang mdian dijadian bahan daar n mlaan pnliian lbih lanj. B. Mrman Maalah Prman maalah diprlan n mmbaai prmaalahan hingga diprolh bahan ajian yang jla. Shingga aan lbih mdah n mnnan langah dalam mmcahan maalah rb. C. Sdi Paa Slah diprolh maalah n dilii pnlii mngadaan di paa. Sdi paa adalah pnlaahan mbr paa yang rlvan dignaan n mngmplan daa inormai yang diprlan dalam pnliian. Sdi paa diawali dngan mngmplan mbr paa yang brpa b

31 3 aa lirar jrnal ripi dan bagainya. Slah paa rmpl dilanjan dngan pmahaman ii mbr paa rb yang pada ahirnya mbr paa ini dijadian landaan n mnganalii prmaalahan. D. Mmcahan Maalah Slah prmaalahan dirman dan mbr paa rmpl langah lanjnya adalah pmcahan maalah mlali pngajian cara orii yang lanjnya din cara rinci dalam bn pmbahaan. Dalam pmbahaan maalah dilaan bbrapa langah poo yai:. mmbrian maalah nilai baa pada pramaan dirnial parial;. mnranormaian maalah nilai baa pada pramaan dirnial parial dngan mnggnaan mod ranormai Laplac; 3. mnylaian maalah nilai baa pada pramaan dirnial parial yang lah diranormaian dngan mod ranormai Laplac dngan mnggnaan invr ranormai Laplac. E. Mnari Kimplan Langah rahir dalam giaan pnliian ini adalah mnari implan dari lrhan prmaalahan yang lah dirman dngan brdaaran pada landaan ori dan hail pmcahan maalah.

32 BAB IV PEMBAHASAN A. Pmodlan Pramaan Kondi Pana Dimni Sa Prhaian a baang awa ipi dngan ran panjang hingga yang diiolai dngan irian mlinangnya diamian onan dan rba dari bahan homogn ra rla pada mb X. Didiniian adalah h pada ii dan wa dalam baang awa rb. Ujng-jng awa dan liha gambar. 0 iolaor o X Gambar. Sa Baang Kawa pada Smb X. Idniiai Baran yang Trliba Idniiai baran yang rliba pada pmodlan di aa dapa diliha dalam abl. 4

33 5 Tabl. Idniiai Baran yang Trliba Baran yang rliba Lambang Saan Var/Kon Wa d Var Panjang awa m Var Sh awa o C Var Aliran pana q Kg.m. -3 Var Enrgi ma q.δ Kg.m. - Var Enrgi lar qδδδ Kg.m. - Var Enrgi yang dirap [ΔΔ-]Δ Kg. m. Var. Hm yang Mngndalian Pramaan ondi pana drhana diarariaian olh hm di bawah ini.. Pana mngalir dari mpa yang lbih pana mpa yang lbih dingin.. Enrgi yang ma ama dngan nrgi lar diambah dngan nrgi yang dirap. 3. Enrgi brbanding lr dngan laj prbahan h praan panjang Hm Forir pada hanaran pana. 3. Modl Mamaia Jla nrgi ma: q Δ ; nrgi lar: q Δ Δ Δ ;

34 6 nrgi yang dirap: Δ Δ Δ ] [. Jadi q Δ q Δ Δ Δ Δ Δ Δ ] [ q q Δ Δ Δ Δ Δ Δ ] [ q q Δ Δ Δ Δ Δ Δ ] [ q q Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ ] [ lim lim 0 0 q. Sai dngan hm Forir yang mnyaaan bahwa nrgi brbanding lr dngan laj prbahan pana rhadap maa diprolh q α 0 > α anda ngai pada hm Forir mnnjan bahwa pana mngalir dari mpa yang lbih pana mpa yang lbih dingin. Jadi α α α α c. c

35 7 Pramaan ini dib dngan pramaan ondi pana dimni a. Konana dinamaan diia yang ama dngan K σρ dngan ondiia rmal K pana jni σ dan rapaan ρ diandaian onan. 0 I Diribi mprar pada aa awal yai aa 0 Syara baa dapa dinan pada da jng baang awa yai 0 dan l. Mialnya mprar pada jng-jngnya adalah diprolh yara baa Dirichl: 0 > 0. l > 0 Jia jng baang awa diiolai maa 0. Dan jia pana yang mngalir q proporional rhadap prganian mprar pada jng baang awa maa mnr hm Forir ondi pana dimni a q hingga diprolh yara baa Nmann: 0 q0 > 0. l q l > 0 Jia prganian mprar pada jng baang awa proporional rhadap mprar maa diprolh yara baa Campran:

36 8 > > l l β α dimana α β adalah a onana yang dibrian. B. Pnylaian Pramaan Dirnial Parial dngan Tranormai Laplac Inrval ngah a rbaa pada a paraboli Diahi pramaan ondi pana c. Pada ondii awal 0 diahi yara baanya adalah: > g β α ; 0 > dngan αβ a onana yang dibrian. Diahi c L L c c L L ~ 0 ~ d d d d 0 ~ ~. Sbiian ondii awal pramaan hingga diprolh:

37 9 d ~ ~ 3 d dngan yara baa: 0 α 0 β g 0 L 0 β α L{ g } 0 L{ α 0 } L β L{ g } 0 αl{ 0 } βl L{ g } ~ d~ 0 α 0 β g~. 4 d Inrval rbaa pada a paraboli Pramaan ondi pana dimni a: 0 < < l > 0 5 pada ondii awal 0 0 < < l diahi yara baanya adalah: 0 α 0 β g ; > 0 ; αβ onana 6 l α l β g ; > 0 ; αβ onana. 7 Dngan mnranormai pramaan 5 diprolh pramaan yang ama dngan pramaan. Dan dngan bii dari ondii awal pramaan

38 30 diprolh pramaan yang ama dngan pramaan 3 dngan yara baa: 0 α 0 β g 0 L 0 β α L{ g } 0 L{ α 0 } L β L{ g } 0 αl{ 0 } βl L{ g } ~ ~ d 0 α 0 β g~ dan 8 d l α l β g l L l β α L{ g } l L{ α l } L β L{ g } l αl{ l } βl L{ g } ~ ~ d l α l β g ~. 9 d C. Pnylaian Umm Dngan mnggnaan ranormai Laplac rhadap aa dalam maalah nilai baa pada pramaan dirnial parial maa

39 3 pramaan-pramaan dirnial parial rb dapa diranormaian mnjadi pramaan dirnial biaa brbn: y '' y. 0 Sbagai conoh prhaian pramaan dirnial y '' y 0. Tli y dan y a laian. A' y B' y 0 Jadi. A' y' B' y ' Dngan mnylaian A dan B diprolh A dan B maa pnylaian pramaan 0 di aa adalah: y A y B y. Jia pada pramaan 0 rb brbn ponnial polinomial dan rigonomri rbaa pada in α dan co α maa A dan B brpa a onana. Inrval ngah a rbaa pada a paraboli Diamian bahwa oli mm dari pramaan 0 adalah: m m y A B. Dngan mngambil pramaan: m m A ' B' 0 dan m m A' B' 3 diprolh: ' m m m A

40 3 c d m m A m dan 4 m m m B ' c d m m B m. 5 Jia A dan B dari 4 dan 5 dibiian pramaan diprolh: m m m m d m m c d m m c y. Dari pramaan 3 aar-aar ararii dari pramaan 0 ~ ~ d d adalah ;. Diamian bahwa oli mm dari pramaan 3 rb adalah: B A ~. 6 Dngan mngambil pramaan: 0 ` ` B A dan B A ` `. Diprolh: A `

41 33 c d A. 7 B ` c d B. 8 Jia A dan B dari 7 dan 8 dibiian pramaan 6 hingga diprolh: d c d c ~ d d c c arna harlah rbaa bila maa L har pla rbaa bila ~ } { maa har diprolh 0 c hingga d d c ~. Un mndapaan pnylaian pramaan di aa dngan invr ranormai Laplac hingga diprolh:

42 34 L - c d d. 9 Inrval rbaa pada a paraboli Diamian bahwa oli mm dari pramaan 0 rb adalah: y A coh B inh. 0 Dngan mngambil pramaan: A ` coh B` inh 0 dan A ` inh B` coh diprolh: A` inh A` A d c B` coh B` B d c

43 35 Jia A dan B dari dan dibiian pramaan 0 diprolh: c d c d y inh coh. Diamian bahwa oli mm dari pramaan 3 adalah : B A inh coh ~. 3 Dngan mngambil pramaan: 0 inh ` coh ` B A dan B A coh ` inh ` hingga diprolh: A inh ` A ` c d A. 4 B coh `

44 36 B ` c d B. 5 Jia A dan B dari 4 dan 5 dibiian pramaan 3 diprolh: d c coh ~ d c inh. Un mndapaan pnylaian pramaan di aa dngan invr ranormai Laplac hingga diprolh: L - d c coh d c inh. 6

45 37 Conoh. Slaian maalah nilai baa pramaan ondi pana pada a baang awa ipi mi inini dngan mprar awal o 0 C dan jng awa pada 0 mmpnyai mprar onan. o Pnylaian: Diahi c > 0 > 0. Dipnyai 0 0 > 0. Jla d ~ 0 ~ d d ~ d ~ 0. Dipnyai 0 > 0. o Jla L{ 0 } L } { o o ~ 0. Jadi c c ~. Tli c 0. Jla Jadi ~ c. ~ o 0 ~ 0 c 0

46 38 o c. Jadi Jadi o ~. L - { ~ } L - o o L - orc. Jadi orc. D. Pmrograman Kompr Pramaan Kondi Pana Dimni Sa pana dimni a. Bri ini adalah pmrograman Mapl n pramaan ondi Inrval ngah a rbaa pada a paraboli > rar;wihpdeool: > p:d@@yy; p : D y y > p:ya*pm[]*b*pm[]*; m p : y A m B

47 39 > :DA*pm[]*DB*pm[]*0; m m : D A D B 0 >:m[]*da*pm[]*m[]*db*pm[]* ; m m : m D A m D B > ol:olv{}{dadb}; ol : D A m D B m m m m m > ol:ol[]; ol : D A m m m > ol3:ol[]; ol3 : D B m m m > ol:dolv{ol}a; m ol : A d _C m m > ol:dolv{ol3}b; m ol : B d _C m m > ol3:b_c_col;

48 40 m ol3 : B d _C m m > pr:bolol3p; m m m pr : y d _C m m d _C m m > impliypr; y m m m m d _C m _C m m m _C m _C m m m > rar;wihinran: > p:di$-/*0; p : 0 > p:dolvp; m m m d p : _F _F > p:b_fa_fbp; p : A B > :DA*pqr/*DB*p- qr/*0; 0 : D A D B

49 4 > :qr/*da*pqr/*- qr/*db*p-qr/*-/; : D A D B > 3:olv{}{DADB}; 3 : D A D B > ol:3[]; ol : D A > ol:3[]; ol : D B > o:dolv{ol}a; o : A d _C > o:dolv{ol}b;

50 4 : o B d _C > o3:b_c_co; : o3 B d _C > pr:boo3p; pr : d _C d _C > pr:impliypr; pr d _C : d _C > pr:b_c0pr; pr : d d _C > invlaplacpr;

51 43 invlaplac invlaplac d invlaplac d _C Dirac Inrval rbaa pada a paraboli > rar;wihpdeool: > D@@yy; D y y > p:a*cohb*inh; p : A coh B inh > p:da*cohdb*inh0; p : D A coh D B inh 0 > p:da*inhdb*coh; p : D A inh D B coh > p3:olv{pp}{dadb}; p3 : D A > :p3[]; D B : D A > :p3[];

52 44 : D B > ol:dolv{}a; ol : A d _C > ol:dolv{}b; ol : B d _C > ol3:b_c_col; ol3 : B d _C > pr:bolol3p; pr : d _C coh d _C inh > pr:impliypr; pr : coh d coh _C inh _C > rar;wihpdeool:wihinran: > p:di$-/*-/; p : > p:dolvp; inh d

53 45 p : d _F _F d > pp:b_fa_fbp; pp : d A B d >p:da*cohqr/*db*inhqr /*0; p : D A coh D B inh 0 >p3:qr/*da*inhqr/*qr/ *DB*cohqr/*-/; p3 : D A inh D B coh > :olv{pp3}{dadb}; : D A > :[]; : D A D B

54 46 > 3:[]; 3 : D B > ol:dolva; ol : A d _C > ol:dolv3b; ol : B d _C > ol3:b_c_col; ol3 : B d _C > ol:bolol3pp;

55 47 ol : > ol:impliyol; d d _C d _C d ol : d d d _C d _C > ol3:invlaplacol;

56 48 ol3 : invlaplac invlaplac d invlaplac d d Dirac _C Dirac d Dirac _C Dirac > impliyol3; invlaplac invlaplac d invlaplac d d Dirac _C Dirac d Dirac _C Dirac Conoh.

57 49 Gambarlah pada conoh bagai bah prmaan dalam rang yang mmpyai mprar o 7 o C dan pramaan ondi pananya n 0 dngan panjang 0 L L 0. Pnylaian: > wihplo: Warning h nam changcoord ha bn rdind > :gamma*r/*qr*; : γ r > :bgamma7; : 7 r 4 >plo3drh ylhiddnorina ion[530]il"gambar "; Conoh 3.

58 50 Gambarlah pada conoh bagai bah prmaan dalam rang yang mmpyai mprar o 35 o C dan pramaan ondi pananya 8 n dngan panjang 0 L L. Pnylaian: > wihplo: Warning h nam changcoord ha bn rdind > p:gamma*r/*qr*; p : γ r > p:bgamma358p; p : 35 r 6 8 >plo3drhp ylhiddnorina ion[3540]il"gambar 3"; Conoh 4.

59 5 Gambarlah pada conoh bagai bah prmaan dalam rang yang o o mmpyai mprar o 37 C dan o 38 C pada pramaan ondi pana 8 n dngan panjang 0 L L. Pnylaian: > wihplo: Warning h nam changcoord ha bn rdind > p:gamma*r/*qr*; p : γ r > p:bgamma378p; p : 37 r 6 > p:bgamma388p; 8 p : 38 r 6 8 >plo3d{rhprhp} ylhidd norinaion[3540]aframedil"gambar 4";

60 5

61 BAB V PENUTUP A. Simplan Pmodlan pramaan ondi pana dimni a adalah dimana adalah onan. Bn ranormai Laplac dari maalah nilai baa pada pramaan ondi pana dimni a adalah.. Inrval ngah a rbaa pada a paraboli d d c ~ dngan yara baa: ~ ~ 0 0 ~ g d d β α.. Inrval rbaa pada a paraboli d c coh ~ d c inh dngan yara baa: ~ ~ 0 ~ 0 g d d β α dan 53

62 54 ~ ~ ~ g d l d l β α. Sdangan pnylaian bn ranormai Laplac dari maalah nilai baa pada pramaan ondi pana dimni a adalah.. Inrval ngah a rbaa pada a paraboli L - d c d. Inrval rbaa pada a paraboli L - d c coh d c inh B. Saran Pada pnlian ripi ini prmaalahan hanya dibaai pnylaian maalah nilai baa pada pramaan dirnial parial linar ord da dngan a paraboli pada pramaan ondi pana dimni a

63 55 dngan ranormai Laplac. Olh arna i diprlan pnliian lbih lanj dalam hal yang ama pada a-a lain dngan mnggnaan mod yang ama mapn dngan mod lainnya.

64 DAFTAR PUSTAKA Hahan E Mamaia Tni Lanjan. Jaara: Erlangga. Karono. 00. Mapl n Pramaan Dirnial. Yogyaara: J&J Larning. Piny M. A Parial Dirnial Eqaion and Bondary-Val Problm wih Applicaion Third Ediion. Singapor: McGraw-Hill Inc. Pip L. A Mamaia Trapan: n Para Ininyr dan Fiiawan. Yogyaara: Gajah Mada Univriy Pr. Sra W. A. 99. Parial Dirnial Eqaion an Inrodcion. Nw Yor: John Wily & Son Inc. 56

65 LAMPIRAN Tabl. Sia-ia Umm Tranormai Laplac F n n 3... n n! 0! n n > 0 n Γ n a a a a a a in a a co a inh a a coh a a a r ~ 0 d ~ d 57