Catatan Kuliah 8 Memahami dan Menganalisa Optimisasi Pertumbuhan

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Catatan Kuliah 8 Memahami dan Menganalisa Optimisasi Pertumbuhan"

Herman Muljana
7 tahun lalu
Tontonan:

1 Caaan Kuliah 8 Mahai dan Mnganalisa Opiisasi Prubuhan. Sia dari Fungsi Eksponnsial Fungsi ksponnsial adalah ungsi ang variabl bbasna uncul sbagai pangka. Bnuk uu : b ; b > diana : variabl dpndn Conoh : : variabl indpndn b : basis aau bilangan dasar 5 ; ( ) 4 Fungsi ksponnsial punai dua basis, aiu : (i) Basis konsana b Fungsi ksponnsial dngan basis b > Sia uaa : Nilai dari ungsi akan ndkai subu kika ndkai nilai ngai ak hingga ( ) Nilai akan onoon naik siring dngan ningkana nilai b ; b > 0 Fungsi ksponnsial dngan basis 0< b < Sia uaa : Nilai dari ungsi akan ndkai subu kika ndkai nilai posii ak hingga ( + ) Nilai akan onoon urun siring dngan ningkana nilai

2 b 0< b < (ii) Basis bilangan naural,, Fungsi ksponnsial ang iliki basis ini biasa disbu dngan ungsi ksponnsial naural.. Fungsi Eksponnsial Naural dan Masalah dala Prubuhan Bilangan Fungsi ksponnsial naural adalah ungsi ksponnsial ang nggunakan basis bilangan, kika ndkai bilangan ang sakin bsar aau ak hingga. Jika nilai Nilai diprolh dngan ngvaluasi prnaaan ungsi ( ) sakin bsar, aka ( ) njadi : + +, , ,

3 Slanjuna, jika nilai sakin bsar sapai ak hingga ( ), aka ( ) akan njadi konvrgn k bilangan, Jadi, dapa didinisikan sbagai : li ( ) li + Inrprasi Ekonoi dari bilangan Dala konoi, bilangan dapa diinrprasikan sbagai bnuk khusus dari bunga ajuk. Misalkan dibrikan nilai pokok awal (iniial principal) sbsar $. Dan ingka bunga ang diawarkan olh bank sbsar 00% pr ahun. Jika bungana digabungkan njadi sahun skali, aka nilai ass pada akhir ahun akan njadi $, ang scara aais dinaakan sbb : ( + ) V iniial principal Inrs ra ( + 00% ) + Jika bungana digabungkan njadi si ahunan skali, aka nilai bunga sbsar 50% dari iniial principal akan dibrikan pada akhir priod 6 bulan praa. Karnana nilai ass awal pada priod 6 bulan kdua sbsar $,50, dan nilai ass pada akhir ahun njadi : V + 50% + 50% +, 5 Dngan cara ang saa dapa diulis : V 3 ; 4 V Scara uu dapa dinaakan dngan : V ( ) + ; ds. diana nunjukkan rkunsi pnggabungan bunga dala ahun. Jika bunga digabungkan scara koninu dala ahun, aka njadi ak rbaas, aka nilai ass pada akhir ahun njadi :

4 li V li + ( dollars) Karnana, bilangan dapa diinrprasikan sbagai nilai akhir ahun diana nilai pokok awal sbsar $ akan ubuh jika ingka bunga sbsar 00% pr ahun digabung scara koninu. Bunga Majuk dan Fungsi r A Dngan iniial principal sbsar $ A, akan diinvsasikan slaa ahun pada ingka suku bunga noinal r. Maka bnuk uu bunga ajuk diodiikasi njadi : r V ( ) A + Bnuk di aas dapa dinaakan dngan : r + A V r r r w A +, diana w w r Kika ningka sapai ak rhingga, aka w. Olh karna iu, scara uu nilai ass dala pross pnggabungan bunga ang koninu adalah : V li V A r Insananous Ra o Growh Koisin r dala ungsi o growh. r A dapa diinrprasikan sbagai insananous ra r dv r Dibrikan ungsi V A, aka ingka prubahan V adalah : ra rv d Tingka prubuhan (ra o growh) V adalah ingka prubahan V ang dinaakan dala bnuk rlaiv aau prsnas, karnana :

5 dv d rv Ra o growh o V r V V Nilai r di aas disbu insananous ra o growh. Discouning & Ngaiv Growh Prasalahan discouning adalah nnukan prsn valu A. Unuk kasus diskri, dikahui uur valu : V A( + i) Maka bnuk discouning unuk kasus diskri : V A V + i ( + i) ( ) Sdangkan unuk kasus koninu, dikahui uur valu : V A Maka bnuk discouning unuk kasus koninu : V A V r r r 3. Logaria Logaria dapa diarikan sbagai pangka dari suau bilangan pokok unuk nghasilkan suau bilangan rnu. b Bnuk uu : log Basis aau bilangan dasar ( b) dari suau logaria dapa brupa bilangan posii, kcuali. Akan api, basis ang lazi digunakan adalalah basis 0 dan basis. (i) Logaria biasa (coon logarihs) Logaria ang nggunakan basis 0 dan dilabangkan dngan log. Conoh : 0 0 log00 log0 (ii) Logaria naural Logaria ang nggunakan basis, , dan dilabangkan dngan log aau ln. Conoh : log ln

6 Auran-auran logaria : ln uv ln u + ln v ln u ln u ln v v a ln u aln u ln a u a aln u u b log u ( b log )( log u) b log logb ln b b log b b log log log b b log ( b log )( log ) log b log ln ln b 4. Fungsi Logaria Jika suau variabl dinaakan sbagai ungsi logaria dari variabl lain, aka ungsi ini disbu sbagai ungsi logaria. b Bnuk uu : log b dan log ( ln ) Prhaikan graik di bawah ini :

7 ( ln ) log 0 0 Brdasarkan graik di aas, rnaa kurva ungsi log adalah pncrinan dari kurva ungsi ksponnsial. 5. Drivai Eksponnsial dan Fungsi Logaria Auran drivai ungsi ksponnsial (i) ' (ii) ' ' (iii) ' b b lnb Auran drivai ungsi logaria (i) ln ' (ii) ln ' ' Opial Tiing ) Sorang pdagang win, punai uni win ang dapa dijual skarang aau nani dngan harga ang lbih ahal. Apabila harga skarang adalah k dan harga pada waku k- adalah V k diana > 0. Kapankah win rsbu harus dijual agar kununganna aksiu? (Prlihakan SOSC) Jawab : Misal diasusikan suku bunga sbsar r, aka prsn valu A dari nilai jual win pada waku k- adalah : r V A r k

8 k r Tujuan dari asalah ini adalah aksiukan A. Brdasarkan prsaaan di aas : r k A Log linirkan kdua ruas : ln A r ln ( k ) ln A ln k+ ln ln A ln k+ r Dirnsialkan kdua ruas rhadap : r [ ] [ ] d ln A d ln k d d r + d d d d da r Ad da A r d da Agar A aksial, aka sara FONC ang harus dipnuhi adalah 0 d, aka da A r 0 d Karna A 0 aka 0 r r SOSC : ( ) ( r) * 4r

9 d A d d A d d A r d da 3 r A + d 4 da Karna 0, aka prsaaan di aas njadi : d A 4 4 d A 3 A 3 d Subsiusi nilai * 4r k prsaaan di aas nghasilkan : A < d A 3 d ( r ) Karna d A 0 d < aka waku opial agar A aksiu adalah * 4r ) Jika nilai win ubuh ngikui ungsi : V k Brapa waku opial unuk nipan win rsbu? (priksa SOSC)

dokumen-dokumen yang mirip

BAB III TURUNAN FUNGSI

BAB III TURUNAN FUNGSI Sandar Kompnsi Mahasiswa mmahami konsp urunan unsi dan knik-knik an dapa diunakan unuk mnnukan urunan, baik unsi ksplisi maupun unsi implisi,. Kompnsi Dasar Slah mmplajari pokok