Kendali Optimal pada Masalah Persediaan Barang yang Mengalami Peningkatan

Transkripsi

1 Sminar Nasional Tnologi Informasi, omuniasi dan Indusri (SNTII) 9 ISSN (Prind) : Faulas Sains dan Tnologi, UIN Sulan Syarif asim Riau ISSN (Onlin) : Panbaru, 8-9 Mi 07 ndali Opimal pada Masalah Prsdiaan Barang yang Mngalami Pningaan Manda Lisa Usvia, Nilwan Andiraja Univrsias Islam Ngri Sulan Syarif asim Riau Jl. HR. Sobranas No.55 Panbaru -mail: usvialisamanda@yahoo.om, nilwanandiraja@uin-susa.a.id Absra Jurnal ini mmbahas nang ndali opimal pada masalah prsdiaan barang yang mngalami pningaan. Prsdiaan barang yang mngalami pningaan disbaban arna adanya prsdiaan awal mudian rjadinya pnambahan prsdiaan sdangan prminaan barang sdii. Brdasaran prsamaan difrnsial dinami dan fungsi ujuan yang dibrian dapa dimuan solusi prsamaan difrnsial unu prsdiaan barang yang mngalami pningaan. Brdasaran hasil pmbahasan solusi prsamaan difrnsial unu prsdiaan barang yang mngalami pningaan aan di amai dalam dua asus. mudian, diprolh prsamaan inga prsdiaan yang opimal, prsamaan raa-raa produsi yang opimal, dan slisih anara raa-raa fungsi pningaan dan raa-raa fungsi pnurunan. Slanjunya mnganalisa sabilan prsamaan inga prsdiaan yang opimal. Brdasaran pmbahasan diprolh prsamaan inga prsdiaan yang opimal mnapai sabilan apabila, shingga mnuju sau nilai (inga prsdiaan masimal). aauni: Difrnsial, ndali Opimal, sabilan, Pningaan Barang, Prsdiaan. Absra This journal disuss abou opimal onrol of an invnory s problm wih amlioraing ims. Invnory wih amlioraing ims du h iniial invnory and han h addiion of supply whil dmand a bi. Basd on h dynami diffrnial quaions and h objiv funion of givn an b found h soluion of diffrnial quaions for h invnory wih amlioraing ims. Basd on h rsuls of h soluion of diffrnial quaions for h invnory wih amlioraing ims will b obsrvd in wo ass. Thn, obaind quaion opimal invnory lvls, quaion produion ra funion, and diffrn bwn drioraing ra funion and amlioraing ra funion. Furhrmor, analyz h sabiliy quaion opimal invnory lvls. Basd on h rsuls obaind quaion opimal invnory lvls o rah sabiliy if for (masimum invnory lvls). ywords: Amlioraing Ims, Conrol Opimal, Diffrnial, Invnory, Sabiliy. hn lad up o on valu. Pndahuluan Prusahaan yang mlauan giaan usaha pada umumnya mmilii prsdiaan. Prsdiaan barang pada prusahaan adang mngalami pnurunan dan pningaan. Pnurunan prsdiaan dapa mnghamba lanaran pross produsi. Bgiu sbalinya, pningaan prsdiaan mrupaan pmborosan arna mnybaban rlalu ingginya biaya pmliharaan dan pnyimpanan barang digudang. Pngndalian prsdiaan di prluan unu dapa mngaur rsdianya suau prsdiaan opimal. Pngndalian prsdian dapa dilauan salah saunya dngan mnrapan ori ndali. Tori ndali adalah sbuah ori yang mmbahas mngnai pross pngauran aau pngndalian rhadap sau aau bbrapa bsaran (variabl aau paramr) shingga brada pada suau harga rnu. Pnylsaian masalah ndali opimal dapa dislsaian dngan mnrapan prinsip masimum ponryagin. Prinsip masimum ponryagin mrupaan prinsip pning dalam mnylsaian masalah ndali opimal arna prinsip ini mnyaaan ondisi yang diprluan agar diprolh solusi yang opimal. Lbih mmprjlas nang pnrapan ori ndali pada prsdiaan bisa diliha dalam jurnal dan aril pnliian yang braian dngan hal rsbu yaiu pnliian rlbih dahulu olh Pardi Affandi d (05) adalah ndali Opimal dari Sism Invnory dngan Pningaan dan 590

2 Sminar Nasional Tnologi Informasi, omuniasi dan Indusri (SNTII) 9 ISSN (Prind) : Faulas Sains dan Tnologi, UIN Sulan Syarif asim Riau ISSN (Onlin) : Panbaru, 8-9 Mi 07 Pnurunan Barang. mudian, pnliian lain dngan pmbahasan yang sama juga dilauan olh Lofi Tadj d (008) adalah Opimal Conrol of an Invnory Sysm wih Amlioraing and Drioraing Ims. Dalam pnliian-pnliian rsbu dibahas modl mamaia dari masalah prsdiaan yang mngalami pningaan dan pnurunan barang sra bagaimana mnylsaian bnu modl prsdiaan barang rsbu mnggunaan ni ndali opimal, shingga diprolh prsamaan inga prsdiaan yang opimal, prsamaan raa-raa produsi yang opimal, dan slisih anara raa-raa fungsi pningaan dan raa-raa fungsi pnurunan. Jurnal ini hanya brfous pada prsdiaan barang yang mngalami pningaan. Namun, pnliian ini aan mnambah pmbahasan hingga mnganalisa sabilan.. Mod Pnliian Jurnal ini mmbahas nang prsdiaan barang yang mngalami pningaan dan mnylsaiannya dngan mnggunaan ni ndali opimal. Adapun ahapan-ahapan yang aan dilauan sbagai briu:. Diahui fungsi difrnsial dinami sbagai briu: I P v I 0, dan bnu fungsi ujuan sbagai briu: T J h I I P P d 0. Didfinisian Prsamaan Hamilon sbagai briu: g H hi I P P dngan 3. Slanjunya, didfnisian Prsamaan Lagrang sbagai briu : g L hi I P P g P vi. dngan g P vi. 4. Slanjunya brdasaran langah no dan 3 dibnu ondisi opimal pada prsdiaan barang yang mngalami pningaan dngan syara sbagai briu : H P 0, L I, L P 0, dan 0 ; g 0 5. Dari langah no 4 aan di prolh solusi prsamaan difrnsial unu prsdiaan barang yang mngalami pningaan. 6. Trahir aan dianalisa sabilan prsamaan difrnsial dinami brdasaran solusi dari langah no Hasil dan Analisis Pada bagian ini di bahas nang prsdiaan barang yang mngalami pningaan dan mnylsaiannya dngan mnggunaan ni ndali opimal. Slanjunya, aan di analisa sabilan dari sism dinami prsdiaan barang yang mngalami pningaan rsbu. 3.. ndali Opimal pada Masalah Prsdiaan Barang yang Mngalami Pningaan Dfinisian fungsi dinami prsdiaan barang yang mngalami pningaan sbagai briu: dngan I P v I v m dari wau 0 hingga maa lbih lanju dipnuhi 0,.(). mudian, unu mnjamin bahwa inga prsdiaan barang mninga P v I 0 0, () 59

3 Sminar Nasional Tnologi Informasi, omuniasi dan Indusri (SNTII) 9 ISSN (Prind) : Faulas Sains dan Tnologi, UIN Sulan Syarif asim Riau ISSN (Onlin) : Panbaru, 8-9 Mi 07 slanjunya, dibrian fungsi ujuan prsdiaan barang yang mngalami pningaan sbagai briu: T J h I I P P d.(3) 0 Prsamaan () hingga Prsamaan (3) mrupaan baasan nonngaif, P 0 0, mudian, pada pmbahasan slanjunya digunaan noasi I I, I I, P P dan v Prsamaan Hamilon didfinisian sbagai briu : g H hi I P P (4) v. (5) dngan g P vi dan Prsamaan Lagrang didfinisian sbagai briu : g L hi I P P..(6) Syara ondisi opimal pada prsdiaan barang yang mngalami pningaan dibrian sbagai briu: Brdasaran Prsamaan (7) diprolh: H I I P P P h P vi 0 Brdasaran Prsamaan (8) diprolh: P vi hi I P P Brdasaran Prsamaan (9) diprolh: 0 hi I P P P H P 0 (7) L I..(8) L P 0.(9) 0 ; g 0 (0) P.() hi I v P vi () 0 P P..(3) Prsamaan (0) diimpliasian 0. Brdasaran Prsamaan () dan Prsamaan () diprolh: I P vi..(4) dngan urunan Prsamaan (4) diprolh : I vi vi..(5) dngan mnsubsiusian Prsamaan () dan Prsamaan (4) Prsamaan (5) diprolh: 59

4 Sminar Nasional Tnologi Informasi, omuniasi dan Indusri (SNTII) 9 ISSN (Prind) : Faulas Sains dan Tnologi, UIN Sulan Syarif asim Riau ISSN (Onlin) : Panbaru, 8-9 Mi 07 I hi I v vi v dan brdasaran Prsamaan (.3), maa P P I hi I P P v vi v P vi P vi, shingga.(6) brdasaran Prsamaan (), maa P P, shingga h hi I v v I vp.(7) Slanjunya, unu mnnuan prsamaan inga prsdiaan yang opimal, prsamaan raa-raa produsi yang opimal, dan slisih anara raa-raa fungsi pningaan dan raa-raa fungsi pnurunan harus diprolh solusi dari Prsamaan (7). Solusi Prsamaan (7) aan diamai dua asus dalam bnu solusi splisi. Dua asus yang aan di slsaian dalam bnu solusi splisi adalah sbagai briu : A. Fungsi v adalah onsana ia fungsi v dalam bnu onsana maa prsamaan difrnsial dari Prsamaan (7) aan diprolh sbagai briu: h hi I v I vp (8) dngan Prsamaan (8) mrupaan prsamaan diffrnsial ord dua nonhomogn. Langah prama yang dilauan dalam pnylsaian Prsamaan (8) yaiu mnnuan rlbih dahulu pnylsaian umum prsamaan homogn shingga aan diprolh prsamaan ararisinya sbagai briu : h r v 0.(9) dan aar aar prsamaan yang diprolh r h v r dan r h v r, shingga solusi dari Prsamaan (8) adalah r r I Q ( )..(0) dimana Q ( ) mrupaan solusi unu prsamaan nonhomogn dari Prsamaan (8). mudian, diprolh Q ( hi vp ). Slanjunya, unu mnnuan P dngan mnggunaan ondisi h v I0 I 0 dan I M pada Prsamaan (0) aan diprolh sbagai briu: a. Unu 0 diprolh I 0 Q (0) b. Unu diprolh M r r Q ( ) nilai dan dapa dislsaian sbagai briu : A Bx C I 0 M r r Q Q 0 593

5 Sminar Nasional Tnologi Informasi, omuniasi dan Indusri (SNTII) 9 ISSN (Prind) : Faulas Sains dan Tnologi, UIN Sulan Syarif asim Riau ISSN (Onlin) : Panbaru, 8-9 Mi 07 maa x B A C r I Q 0 M Q, shingga di prolh 0 r r dan r I Q 0 M Q 0 r r Brdasaran Prsamaan (4) dan Prsamaan (0) di prolh sbagai briu: ( I P vi) r r ( ) r v r v Q P vq ( ).() shingga dari Prsamaan () dapa disubsiusian Prsamaan () dan diprolh: P () r r P ( ) r v r v Q P vq ( ).() B. Fungsi h v v adalah onsana Diasumsian: h v v.(3) shingga Prsamaan (7) aan diprolh: I hi I v P 0, (4) maa aan di prolh prsamaan difrnsial ord dua nonhomogn. Slanjunya, unu mnylsaian Prsamaan (3) prlu mnghiung v rlbih dahulu unu mndapaan solusi Prsamaan (4). Pada Prsamaan (3) diasumsian h a, maa pnylsaian Prsamaan dv (3) yaiu d a v, bnu rsbu dapa dislsaian dngan mngingralan dua ruas a a shingga di prolh v. mudian, dngan mnsubsiusian v dalam a Prsamaan (4) diprolh: a hi a I I a P.(5) dngan Prsamaan (5) mrupaan prsamaan difrnsial ord dua nonhomogn. Langah prama yang dilauan dalam pnylsaian Prsamaan (5) yaiu mnnuan rlbih dahulu pnylsaian umum prsamaan homogn shingga aan diprolh prsamaan ararisinya sbagai briu : r 0.(6) dan aar-aar prsamaan yang diprolh r dan r shingga solusi dari Prsamaan (6) yaiu : I Q( ).(7) dimana Q () mrupaan solusi unu prsamaan nonhomogn dari Prsamaan (5). mudian diprolh hi Q () V V 594

6 Sminar Nasional Tnologi Informasi, omuniasi dan Indusri (SNTII) 9 ISSN (Prind) : Faulas Sains dan Tnologi, UIN Sulan Syarif asim Riau ISSN (Onlin) : Panbaru, 8-9 Mi 07 dngan V dan V mrupaan ani urunan dari I Slanjunya, unu mnnuan M maa aan di prolh sbagai briu : a. Unu 0 diprolh 0 b. Unu I hi V ' dan V '. P dngan mnggunaan ondisi 0 I 0 diprolh M hi V V nilai dan dapa dislsaian sbagai briu : A Bx C hi I 0 M hi V V B A C, shingga di prolh Maa x dan hi I 0 M V V hi hi hi I 0 M V V brdasaran Prsamaan (4) dan Prsamaan (7) di prolh sbagai briu : ( I P vi) hi v V v V P v I dan shingga dari Prsamaan (7) dapa disubsiusian Prsamaan () dan diprolh: hi P () v V v V v (8) 3.. Analisa sabilan Slanjunya, aan di analisa sabilan dari Prsamaan (), maa unu 0, pada Prsamaan () aan mnapai sabilan apabila unu maa prsamaan inga prsdiaan yang opimal I mnuju sau nilai (inga prsdiaan masimal M ). 595

7 Sminar Nasional Tnologi Informasi, omuniasi dan Indusri (SNTII) 9 ISSN (Prind) : Faulas Sains dan Tnologi, UIN Sulan Syarif asim Riau ISSN (Onlin) : Panbaru, 8-9 Mi 07 Conoh Brdasaran jurnal Lofi Tadj d (008), dibrian 0. 00, m 0. 0, v , I 0, P 5, I 0 0, M 50, h. 5, dan 5. Tnuan nilai opimal inga prsdiaan sabilannya pada saa 0,0. I dan analisa Pnylsaian: r r Q ( ) mudian di subsiusian nilai-nilai diaas, dan Prsamaan 0. Solusi Prsamaan 0 unu 0 dngan mnggunaan banuan Program Mapl diprolh ampa pada grafi di bawah ini. prsdiaan Gambar Grafi 50 I yang Sabil Brdasaran Gambar ampa bahwa unu 0 diprolh nilai opimal inga I 50 aau I M, maa dapa di simpulan bahwa I sabil arna I mnuju sau nilai (inga prsdiaan masimal M ). unu 0 4. simpulan Brdasaran pmbahasan diprolh simpulan bahwa pningaan prsdiaan biasanya disbaban arna adanya prsdiaan awal dan mudian rjadinya pnambahan prsdiaan sdangan prminaan barang masih sdii. Brdasaran modl prsdiaan barang yang mngalami pningaan diprolh sbagai briu :. Fungsi v dalam bnu onsana di prolh sbagai briu : a. Prsamaan inga prsdiaan yang opimal yaiu : r r I Q ( ) b. Prsamaan raa raa produsi yang opimal yaiu : P() r r P ( ) r v r v Q P vq ( ) 0, 0,. slisih anara raa raa fungsi pningaan dan raa raa fungsi pnurunan bnu onsana. Fungsi h v v dalam bnu onsana diprolh sbagai briu : v dalam 596

8 Sminar Nasional Tnologi Informasi, omuniasi dan Indusri (SNTII) 9 ISSN (Prind) : Faulas Sains dan Tnologi, UIN Sulan Syarif asim Riau ISSN (Onlin) : Panbaru, 8-9 Mi 07 a. Prsamaan inga prsdiaan yang opimal yaiu : I hi V V b. Prsamaan raa raa produsi yang opimal yaiu : P () v V v V. Slisih anara raa raa fungsi pningaan dan raa raa fungsi pnurunan yaiu : a a v a 0, hi v 0, 3. Prsamaan inga prsdiaan yang opimal maa I mnuju sau nilai (inga prsdiaan masimal Dafar Pusaa I mnapai sabilan apabila unu [] Edwin J. Purll dan Dal Varbg. alulus dan Gomri Analiis Jilid. disi 5, halaman 5-40, Erlangga, Jaara [] Hri Andriano dan Agus Prijono. Mnguasai Maris dan Vor. Rayasa Sains Bandung. Bandung [3] L. Tadj, d. Opimal Conrol of an Invnory Sysm wih Amlioraing and Drioraing Ims. Applid Sins, Vol 0, halaman [4] Olsdr, GJ. Mahmaial Sism Thory. Halaman 6. Univrsiy of Thonology, Dlf [5] Pardi Affandi, d. ndali Opimal pada Masalah Invnori yang Mngalami Pningaan. Jurnal Fisia FLUX. Vol, No., halaman [6] Praiwi, Inan. sabilan Sism ndali Lingar Truup Unu Wau Brhingga. Tugas Ahir Mahasiswa Univrsias Islam Ngri Sulan Syarif asim Riau. 06. [7] Riardo, Hnry J. A Modrn Inroduion o Diffrnial Equaions. disi, halaman Elsvir Aadmi Prss, London [8] Waluya, SB. Prsamaan Difrnsial. halaman Graha Ilmu. Yogyaara M ). 597