SISTEM PENGOLAHAN ISYARAT. Kuliah 5 Transformasi Fourier

Transkripsi

1 TKE 403 SISTEM PENGOLAHAN ISYARAT Kuliah 5 Transformasi Fourir Bagian II Indah Susilawai, S.T., M.Eng. Program Sudi Tknik Elkro Fakulas Tknik dan Ilmu Kompur Univrsias Mrcu Buana Yogyakara 009

2 KULIAH 5 SISTEM PENGOLAHAN ISYARAT TRANSFORMASI FOURIER Bagian II Tori Konvolusi Misalkan ada suau hasil kali dari sinyal, kira-kira spri apakah ransformasi Fourir-nya? F ω [ y y ] y y 86 Prama, y i diuliskan sbagai invrs ransformasi Fourir dari Y i ω sbagai briku. i Yi ω π ω y dω 87 Maka subsiusi prsamaan 87 k prsamaan 86 mnadi, F y y α ] Y α dα Y Ω π π [ Ω ω Dngan cara mngubah uruan pngingralan, maka prnyaaan di aas dapa dinyaakan kmbali sbagai, π π Ω+ α ω Y α Y Ω dα Dan suku yang brada di dalam kurung adalah mrupakan fungsi dla, shingga,

3 F[ y y ] δ Ω + α ω Y α Y Ω dα π 88 aau F [ y y ] δ Ω + α ω Y α dα Y Ω π Dan dngan mnggunakan sifa proyksi fungsi dla, prsamaan rsbu dapa diulis kmbali mnadi, F [ y y ] Y ω Ω Y Ω π 89 Prnyaaan di sblah kanan anda sama dngan disbu konvolusi convoluion dari dua fungsi Y ω dan Y ω dan sring diuliskan dngan noasi sbagai briku. Y Y ω Y ω Ω Y Ω π ω 90 Hasil yang sama uga diprolh ika digunakan Y ω Y ω Y α Y ω α dα π 9 Prsamaan 89 sringkali disbu dngan ori konvolusi. Dngan cara analisis yang snis, dapa diprlihakan bahwa F [ Y ω Y ω] y y y y d d 9 3

4 Tori Parsval Misalkan konvolusi dari fungsi Yω dngan dirinya sndiri sbagai briku. Y ω Y ω Jika ω 0 maka π F[ y y ] [ y ] Y ω Ω Y Ω ω π Y Ω Y Ω [ y ] 93 Dan ika Maka Ω Ω Y Ω [ y ] [ ] y Y Ω * π Y Ω Y Ω [ y ] Aau dinyaakan π Y Ω [ y ] 94 Prsamaan ini disbu ori Parsval yang mnyaakan bahwa ika didfinisikan daya dari sbuah fungsi z. sbagai P [ z.] z. d. Maka dayanya diprahankan prsrvd olh ransformasi Fourir. 4

5 Pngaruh Ukuran Sampl Brhingga Dalan knyaaan yang sbnarnya, sinyal idak prnah diukur dari sampai. Apa pngaruhnya pada ransformasi Fourir ika hanya mngambil suau bagian waku rnu saa dari sbuah sinyal? Dngan mnggsr iik asal pada koordina waku, dapa diasumsikan bahwa sinyal diukur dari / hingga /. Dngan dmikian ingral Fourir-nya mnadi, X ω ω 95 Aau dapa dinyaakan dngan cara briku. ω w X ω 96 Dngan w adalah fungsi ndla window funcion, yang dalam hal ini brbnuk koak rcangular. Prhaikan Gambar 34. Gambar 34. Fungsi ndla koak 5

6 Prsamaan 96 mrupakan ransformasi sbuah hasil kali, shingga mnuru ori konvolusi maka F [ w ] W Ω X ω Ω π 97 Pada pmbahasan rdahulu lah dimukan ransformasi Fourir unuk fungsi yang brbnuk spri pada Gambar 34 yaiu, Shingga Ω sin W Ω 98 Ω Ω sin F [ w ] Ω X ω Ω π 99 Ini mrupakan rumus umum, unuk mliha bagaimana pngaruhnya maka misalkan adalah glombang sinus sin α dngan spkrum π X ω + α [ δ ω α δ ω ] aau scara grafis digambarkan pada Gambar 35. Prsamaan 99 mmbrikan F[ w ] π sin Ω π [ δ ω Ω α δ ω Ω + ] Ω α 00 Ingral suku yang prama mnghasilkan 6

7 sin Ω Ω π [ δ ω Ω α ] sin ω α ω α Ingral suku yang kdua mnghasilkan sin Ω Ω π [ δ ω Ω + α ] sin ω+ α ω+ α Shingga hasil akhirnya dapa dinyaakan ω α ω+ α sin sin w sin α] ω α ω + F [ α 0 Scara grafis prsamaan 0 diprlihakan pada Gambar 36. Gambar 35. Spkrum fungsi sinus 7

8 magniud Gambar 36. Spkrum glombang sinus dikonvolusikan dngan ndla koak Puncak-puncak pada spkrum mmpunyai lbar 4π /, dan akan smakin lbar saa smakin kcil. Shingga pngaruh ndla koak rlak pada lbar puncak-puncak pada spkrum yang dihasilkan. Saa maka akan diprolh karakrisasi frkunsi yang aam. Difrnsiasi dan Ingrasi dx Misalkan ransformasi Fourir sbuah urunan sbagai briku, dx ω F[ ] 0 Unuk mnylsaikan prsamaan 0 dibuuhkan rumus ingrasi bagian pr bagian yaiu: { u } { u } dv u v v Dngan mnggunakan ingral bagian pr bagian ini pada prsamaan 0 dan mmisalkan dx ω u dan v maka diprolh 8

9 F[ ] dx ω ω [ ] ω ω [ ] + ω X ω ω 03 Caaan : Sbuah sinyal akan mmpunyai ransformasi Fourir ika sinyal rsbu mmpunyai daya yang bsarnya brhingga, yaiu C < 04 Jika adalah fungsi sinus maka sinyal sinus mrupakan sinyal yang dayanya ak brhingga, namun di pmbahasan yang lalu dikahui bahwa ransformasi Fourir-nya adalah fungsi dla yang mrupakan fungsi yang sbnarnya bukan fungsi. Dngan dmikian maka suku prama pada prsamaan 03 akan mnadi nol shingga, dx ω F[ ] ω X ω 05 Dari prsamaan 05 dikahui bahwa difrnsiasi aau pnurunan pada domain waku kivaln aau sama dngan prkalian dngan fakor ω dalam domain frkunsi. Dalam hal ini uga brlaku bahwa, Misalkan, F[ x n n d x n ] F ω X ω n 06 z d sdmikian shingga z, maka ini brari bahwa dari prsamaan 05, 9

10 Aau F z X ω ω F[ z ] ω F d F d X ω ω 07 Dngan dmikian dapa disimpulkan bahwa ingrasi dalam domain waku kivaln dngan pmbagian olh ω dalam domain frkunsi. Tanggapan Frkunsi dan Tanggapan Impuls Tinau sism briku, + m y c y + k y 08 Prsamaan di aas dicirikan dalam domain waku olh fungsi difrnsial ord dua yang brganung pada mnadikannya cukup suli unuk dislsaikan. Bagaimana ika dislsaikan dalam domain frkunsi? Dngan mngambil ransformasi Fourir pada kdua sisi pada prsamaan 08 maka diprolh, F m y + c y + k y F[ ] 09 Transformasi Fourir mrupakan opraor linir yaiu mmiliki sifa yang dinyaakan pada prsamaan briku. F[ ax + bx ] af[ x ] + bf[ x ax ω + bx ω ] 0 Aplikasi prsamaan 0 pada prsamaan 09 mnghasilkan mf y + c F y + k F [ y] F[ ] 0

11 Dan dngan mnggunakan prsamaan 06 diprolh m ω Yω + c ω Yω + k Yω Xω aau m ω + c ω + k Yω Xω Jika didfinisikan H ω 3 mω + cω + k maka diprolh Yω Hω Xω 4 Fungsi Hω sring disbu dngan isilah anggapan frkunsi aau frquncy rspons. Misalkan dicari invrs ransformasi Fourir dari prsamaan 4, maka diprolh y h 5 dalam hal ini [ H ω ] Apakah h mmpunyai ari yang pning? h F 6 Misalkan δ maka dari prsamaan 5, y h δ h Maka dngan dmikian h adalah pnylsaian dari m h + c h + k h δ 7 Fungsi h sring disbu dngan isilah anggapan impuls aau impuls rspons.

12 Misalkan bahwa ω, maka subsiusi pada prsamaan 5 mnghasilkan 8 H h h x h y ω ω ω ω ω Dngan dmikian ika mrupakan suau fungsi harmonik ω, maka kluarannya adalah ω dikalikan dngan anggapan frkunsinya.