BAB NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Transkripsi

1 BAB 8 RUANG EIGEN Masalah nilai dan vkor ign banyak skali dijumpai dalam bidang rkayasa, spri maslah ksabilan sism, opimasi dngan SVD, komprsi pada pngolahan cira, dan lain-lain. Unuk lbih mmahami masalah nilai dan vkor ign, pada bab ini akan dijlaskan mlalui dfinisinya dan bbrapa conoh yang rkai, sampai pada basis ruang ign dari suau mariks. Pada bagian akhir, unuk mnambah wawasan dari aplikasi nilai dan vkor ign buku ini akan mmaparkan nang aplikasi nilai dan vkor ign pada pnnuan solusi sism prsamaan difrnsial. 8. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Sblum kia mlangkah lbih jauh, kia awali pmbahasan mari bab ini dngan pmahaman dfnisi dari nilai dan vkor ign suau mariks. Misalkan sbuah mariks A nn dan v adalah vkor ak nol di R n dan skalar mrupakan skalar Rill shingga mmnuhi : Av v (8.) maka dinamakan nilai ign, sdangkan v dinamakan vkor ign. Conoh 8. : Prhaikan prkalian mariks briku :

2 6 Bab 8 Nilai dan Vkor Eign 5 4 Skalar 5 dan vkor, masing-nasing dinamakan nilai ign dan vkor ign dari mariks A Prhaikan bahwa : Av v Av v Av I v, dimana I nn mrupakan mariks idnias. ( A I ) v (8.) Dngan mnginga kmbali pmbahasan nang SPL homogn, maka SPL (8.) akan mmpunyai solusi unggal ( v adalah vkor nol) jika dan hanya jika d (A I). Karna mnuru dfinisi, vkor v mrupakan vkor ak nol, maka kondisi ini akan dipnuhi jika dan hanya jika d ( A I ). Dngan dmikian, kia bisa mngahui nilai ign dari suau mariks A, yakni skalar () yang mmnuhi : d (A I). (8.) Slanjunya, prsamaan ini dinamakan prsamaan karakrisik. Jadi, nilai ign mrupakan akar-akar dari prsamaan karakrisik rsbu. Conoh 8. : Jawab : Tnukan nilai ign dari mariks : - A - Akan dinukan nilai ign, yakni saa d (A I)

3 Aljabar Linar Elmnr Adiwijaya Dngan kspansi kopakor spanjang kolom k- ( ) ( () () ) ( ) ( ² ) ( ) ( ) ( + ) Jadi, mariks A mmiliki iga buah nilai ign yaiu :,, dan. Jangan dilupakan, bahwa ini dari pncarian nilai ign adalah mncari akar dari prsamaan karakrisik d (A I). Kadang-kadang mahasiswa rjbak unuk mmbnuk prsamaan rsbu mnjadi polinom ord inggi, slanjunya mrka ksusahan dalam mncari akar prsamaan polinom rsbu. Conoh 8. : Tnukan nilai ign dan vkor ign dari mariks A Jawab : Nilai ign dari A dapa diprolh saa d (I A) D Dngan kspansi kofakork spanjang baris prama :

4 8 Bab 8 Nilai dan Vkor Eign ( ) ( )(( ) ) + ( +) (+( )) ( )( 4 + ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )(( )( ) ) ( )( 5 + 4) ( ) ( 4) Nilai Eign dari mariks rsbu adalah dan 4. Unuk z y Dngan oprasi baris lmnr, mariks yang diprbsar dari SPL homogn mnjadi : Misal s dan adalah paramr, solusi SPL homogn rsbu adalah : s s z y s + Jadi, vkor ign yang brssuaian dngan nilai ign adalah : dan

5 Aljabar Linar Elmnr Adiwijaya 9 Unuk z y Dngan oprasi baris lmnr, mariks yang diprbsar dari SPL homogn mnjadi : Misal s adalah paramr, solusi SPL homogn rsbu adalah: s z y Jadi, vkor ign yang brssuaian dngan nilai ign 4 adalah. Vkor ign yang brssuaian dngan suau nilai ign mrupakan vkor ak nol dalam ruang solusi dari SPL ( ) v A I. Ruang solusi ini dinamakan ruang ign dari A yang brssuaian dngan nilai ign. Dngan dmikian, basis dari ruang ign mariks A dapa dinyaakan sbagai briku : Basis ruang ign yang brssuaian dngan nilai ign adalah :, Smnara iu, basis ruang ign yang brssuaian dngan nilai ign 4 adalah :

6 Bab 8 Nilai dan Vkor Eign. 8. DIAGONALISASI Suau mariks kuadra A nn dikaakan dapa didiagonalkan (diagonalizabl) jika rdapa mariks P yang mmpunyai invrs shingga PP AP mrupakan mariks diagonal. Mariks P dinamakan mariks yang mndiagonalkan mariks A. Prlu diprhaikan bahwa vkor-vkor kolom pada mriks P mrupakan vkor vkor ign dari mariks A. Karna P mmiliki invrs brari d (A). Ini mnunjukan bahwa vkorvkor ign rsbu saling bbas linar. Dngan dmikian diprolh ksimpulan bahwa : A dapa didiagonalkan jika dan hanya jika A nn mmiliki n buah vkor ign yang bbas linar Misal A, cara mnnukan P : nn o Tnukan nilai ign o Tnukan n vkor ign yang bbas linar, p, p, pn o Bnuk mariks P dimana vkor-vkor kolomnya adalah vkor-vkor p, p, p n Conoh 8.4 : Tnukan apakah A dapa didiagonalkan? Jika ya, nukan mariks pndiagonal P dan mari diagonal D!

7 Aljabar Linar Elmnr Adiwijaya Jawab : Spri lah dijlaskan pada conoh sblumnya bahwa : Vkor ign yang brssuaian dngan nilai ign adalah : dan Smnara iu, vkor ign yang brssuaian dngan n.. 4 adalah. Shingga diprolh : P Karna d (P). Ini mnunjukan bahwa vkorvkor ign rsbu saling bbas linar. Dngan argumn rsbu disimpulkan bahwa A dapa didiagonalkan. Smnara iu, mariks diagonalnya brbnuk : D P AP 4 Mariks diagonal D P - AP, unsur diagonalnya mrupakan nilai nilai ign yang brssuaian dngan vkor vkor ign p, p, pn. Prlu dikahui bahwa jika A nn, mmpunyai n buah nilai ign yang brbda maka A dapa didiagonalisasi. Conoh 8.5 : Tnukan mariks yang mndiagonalkan mariks

8 Bab 8 Nilai dan Vkor Eign A Jawab : Prsamaan karakrisik dari mariks A adalah :. A I d ( ) ( ) ( ) d Dngan mnggunakan kspansi kofakor : Pilih Baris I { }. d c a c a c a A I + + ( ) ( ) ( ) + + ( ) ( ) ( ) Diprolh : ; ; Unuk ( ). v A I Dngan OBE maka ( ). A I Jadi +

9 Aljabar Linar Elmnr Adiwijaya Dngan dmikian, vkor ign yang brssuaian dngan adalah vkor ak nol yang brbnuk, dimana adalah paramr Jadi vkor ign yang brssuaian dngan adalah : P Unuk ( ). v A I Dngan OBE maka ( ). A I Jadi vkor ign yang brssuaian dngan adalah vkor ak nol yang brbnuk, dimana adalah paramr. Jadi vkor ign yang brssuaian dngan adalah :

10 4 Bab 8 Nilai dan Vkor Eign P Unuk ( ). v A I Dngan OBE maka ( ). A I Jadi vkor ign yang brssuaian dngan adalah vkor ak nol yang brbnuk, dimana adalah paramr Jadi vkor ign yang brssuaian dngan adalah P Pandang + + P k P k P k k k k

11 Aljabar Linar Elmnr Adiwijaya 5 Prhaikan OBE briku : { },, P P P mrupakan himpunan yang bbas linar Jadi Dngan dmikian mariks yang mndiagonalkan A adalah : P Pada pmbahasan brikunya adalah masalah diagonalisasi dari suau mariks simri. Namun sblumnya kia prlu ahu bbrapa dfinisi nang mariks orogonal. Suau mariks B nn dikaakan mariks orogonal jika invrs dari mariks rsbu sama dngan ranspos dari mariks yang brsangkuan (B B ). Unuk mmahami sifa dari suau mariks orogonal, prhaikan bahwa prnyaaan briku adalah kivaln sau sama lain : a. B adalah mariks orogonal nn b. Vkor-vkor baris dari B mmbnuk himpunan oronormal di R n dalam RHD Euclids. c. Vkor-vkor kolom dari B mmbnuk himpunan oronormal di R n dalam RHD Euclids. Suau mariks A nn dikaakan dapa didiagonalkan scara orogonal jika rdapa mariks orogonal P sdmikian hingga P AP (dngan kaa lain P AP) mrupakan mariks diagonal. Sbagai ilusrasi, kia dapa mliha gambaran nang mariks yang didiagonalkan scara orogonal, sbagai briku :

12 6 Bab 8 Nilai dan Vkor Eign D P AP (8.4) aau PDP A (8.5) Karna P mrupakan mariks orogonal, maka prnyaaan diaas dapa diulis mnjadi : A PDP (8.6) Shingga diprolh hubungan A (PDP ) (P ) DP PDP A (8.7) Dngan dmikian, suau mariks bujur sangkar A dikaakan dapa didiagonalkan scara orogonal jika dan hanya jika mariks A rsbu mrupakan mariks simri. Masalahnya, kia ak dapa sra mra mnbak suau mariks orogonal yang mmnuhi dfinisi diaas. Briku ini adalah langkah-langkah mnnukan mariks orogonal yang mndiagonalkan scara orogonal suau mariks kuadra. Misal A, cara mnnukan P : nn a. Tnukan nilai ign b. Tnukan basis ruang ign unuk siap nilai ign yang diprolh c. Gunakan pross Gram Schmid unuk mrubah siap basis pada (b) mnjadi basis ruang ign yang oronormal. d. Bnuk mariks P dimana vkor-vkor kolomnya brupa basis ruang ign yang oronormal. Conoh 8.6 : Tnukan mariks yang mndiagonalkan scara orogonal mariks A Jawab : Kia mmpunyai nilai ign ; ; Basis ruang ign :

13 Aljabar Linar Elmnr Adiwijaya 7 Unuk adalah Unuk adalah Unuk adalah Dngan dmikian basis ruang ign yang oronormal dari mariks diaas scara bruruan adalah,,. Dngan dmikian mariks yang mndiagonalkan A scara orogonal adalah : P 8. SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR Pada kuliah ini, sism prsamaan difrnsial yang akan dibahas hanya sism prsamaan difrnsial linar ord sau dngan kofisin konsan. Misalkan, ) ( ) ( y a d dy (8.8) mrupakan prsamaan difrnsial ord dngan kofisin konsan. Solusi dari prsamaan difrnsial rsbu brbnuk dimana c mrupakan suau konsana yang brganung a c y ) (

14 8 Bab 8 Nilai dan Vkor Eign pada kondisi awal rnu. Masalah sism prsamaan yang dilngkapi dngan suu kondisi awal rnu dinamakan masalah nilai awal. Jika kondisi awal dari prsamaan difrnsial rsbu adalah y ( ) maka solusi dari sism prsamaan difrnsial () adalah y( ) a Briku ini mrupakan bnuk umum dari sism prsamaan difrnsial ord sau dngan kofisin konsan yang rdiri dari n prsamaan dan n buah pubah. ( ) d d d d M d d ( ) ( ) n a + a + a a a a M + a + a n M + a + a n M n a n a n M nn n n n (8.9) Sism prsamaan difrnsial rsbu dapa di ulis dalam bnuk : ' a a L an ' a a L an (8.) M M M O M M n' an an L ann n aau X ' AX (8.) Conoh 8.7 : Tuliskan sism prsamaan difrnsial briku dalam bnuk prkalian mariks :

15 Aljabar Linar Elmnr Adiwijaya 9 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( r d dr r d dr r d dr Tnukan solusinya jika sism rsbu mmpunyai nilai awal, dan! () r () r () r Jawab : Sism prsamaan difrnsial rsbu brbnuk : ' ' ' r r r r r r Shingga solusi sism rsbu adalah : r r r Masalahnya, suau sism prsamaan difrnsial idak slalu mmbrikan mariks kofisin yang brbnuk mariks diagonal. Misalkan, nn n n n n p p p p p p p p p P L M O M M L L mrupakan mariks yang dapa mndiagonalkan mariks kofisin dari suau sism prsamaan difrnsial A, shingga AP P D brbnuk mariks diagonal. Tulis :

16 Bab 8 Nilai dan Vkor Eign aau ( ) p ( ) p M M n ( ) pn p p M pn L L O L pn pn M pnn u( ) u ( ) M un ( ) (8.) X PU (8.) dimana U mrupakan suau mariks yang brisi fungsi syang brgaung pada. Dngan mndifrnsialkan siap prsamaan pada sism (8.) diprolh : X ' PU ' (8.4) Dngan mnsubsiusikan prsamaan (8.) pada prsamaan (8.) maka : PU ' A( PU ) (8.5) Karna P mrupakan mariks yang mndiagonalkan A, ini brari P mmiliki invrs. Olh karna iu prnyaaan diaas dapa diulis dalam bnuk : U ' P APU (8.6) aau U ' DU (8.7) D mrupakan mariks diagonal, dngan dmikian solusi unuk U dapa diprolh. Dngan kmbali mnsubsiusikan solusi U pada (8.), shingga mnjadi : X PU Langkah-langkah dalam mnylsaikan sism prsamaan difrnsial :. Mnnukan nilai ign dari mariks kofisin A.. Mnnukan mariks P yang mndiagonalkan A.. Tulis sism prsamaan difrnsial yang baru dalam bnuk U ' DU dimana D P AP. 4. Tnukan solusi sism prsamaan difrnsial U ' DU. 5. Tnukan solusi X yang diprolh dari sism prsamaan X PU

17 Aljabar Linar Elmnr Adiwijaya Conoh 8.8 : Tnukan solusi dari sism prsamaan difrnsial 4 d d d d + Jawab : Sism prsamaan difrnsial rsbu dapa diulis dalam bnuk : 4 ' ' Tulis 4 A maka d(i A) 4 ( 4) ( ) ( )() ( ) ( ) Nilai ign dari A adalah dan. Basis ruang ign yang brssuaian dngan nilai ign adalah Basis ruang ign yang brssuaian dngan nilai ign adalah Dngan dmikian diprolh mariks : P

18 Bab 8 Nilai dan Vkor Eign Conoh 8.9 : yang mndiagonalkan A, shingga diprolh : D P AP shingga diprolh sism prsamaan difrnsial yang baru yaiu : u' u u' u dngan solusi u c dan u c. Dngan dmikian solusi dari sism prsamaan difrnsial kia adalah : X PU aau c c aau c + c c c + Tnukan solusi dari masalah nilai awal : dp p() + q( ) d dq p() + q( ) d dngan kondisi awal p dan q. ( ) ( ) Jawab : Kia punya Karna A

19 Aljabar Linar Elmnr Adiwijaya (.I A) ( ) ( ) Maka d.i A { } ( ) ( ) ( )( ) ( 4 + 4) 4 + ( )( ) Akhirnya diprolh ; Unuk (. I A) + Jadi vkor ign yang brssuaian dngan adalah vkor ak nol yang brbnuk, dimana mrupakan paramr. Jadi basis ruang ign yang brssuaian dngan adalah P

20 4 Bab 8 Nilai dan Vkor Eign Unuk ( ). A I Jadi vkor ign yang brssuaian dngan adalah vkor ak nol yang brbnuk, dimana mrupakan paramr Jadi basis ruang ign yang brssuaian dngan adalah P Shingga Solusi Umum dari ssm prsamaan difrnsial U D U adalah U Dngan dmikian solusi dari sism prsamaan difrnsial kia adalah : PU X aau c c shingga c c + c c + Unuk

21 Aljabar Linar Elmnr Adiwijaya C C C C ; C C Dngan Eliminasi didapa Jadi solusi masalah nilai awal rsbu adalah : p ) ( q + ) (

22 6 Bab 8 Nilai dan Vkor Eign Laihan Bab 8. Tnukan basis ruang ign dari A. Apakah B dapa didiagonalkan, jlaskan!. Misal. Apakah A dapa didiagonalkan? 4 4 A (jlaskan) Jika YA, nukan mariks pndiagonal (P) dan mariks diagonal (D) 4. Suau Mariks A mmiliki Basis Ruang Eign yang scara bruruan brssuaian dngan dan brssuian dngan. Tnukan mariks A 5. Suau opraor linar di didfinisikan olh R + + c b c b c b a T

23 Aljabar Linar Elmnr Adiwijaya 7 Jika A mrupakan mariks ransformasi dari opraor linar rsbu dan α adalah nilai ign dari A. Tnukan basis krnl dari ransformasi yang didfinisikan olh mariks ransformasi (αi A ) unuk siap α 6. Tnukan solusi dari masalah nilai awal : dp p( ) + q( ) d dq p( ) + q( ) d dngan kondisi awal p( ) dan q( ). 7. Misalkan aliran TCP yang mlwai suau rour didfinisikan olh : dw 4 w( ) + q( ) d dq 5 w( ) + q( ) d dimana w raa-raa ukuran window TCP (pak) dan q raaraa panjang anrian pada bolnck rour (pak). Jika pada saa, ukuran window TCP yang dikirim adalah 6 pak dan panjang anrian pada bolnck rour adalah pak. Tnukan raa-raa panjang anrian pada bolnck rour unuk siap waku ()

24 8 Bab 8 Nilai dan Vkor Eign DAFTAR PUSTAKA [] Anon H., Rorrs, C., 995, Elmnary Linar Algbra : Applicaions Vrsion, 6 h diion, John Willy and Sons, Nw York [] Arifin, A.,, Aljabar Linar, disi kdua, Pnrbi ITB, Bandung [] Durbin, J. R., 99, Modrn Algbra : An Inroducion, rd diion, John Willy and Sons, Singapor [4] Kryszig E.,, Advancd Enginrng Mahmaics, 8 h diion, John Willy & Sons, Torono, 99 [5] Lon, S. J.,, Aljabar Linar dan Aplikasinya, rjmahan Pnrbi Erlangga, Jakara, [6] Roman, S., 99, Edvancd Linar Algbra, Springr Vrlag, Nw York