TRANSFORMASI LAPLACE

Transkripsi

1 BAB 2 Pokok Pembahaan : Prinip Daar Linieria Singularia Perkalian dan Pembagian Dengan Waku Pergeeran Tranformai Fungi-fungi Elemener

2 . PRINSIP DASAR Tranformai Laplace adalah ranformai dari uau fungi waku ; f(), dengan frekueni komplek, menjadi fungi frekueni F(). Tranformai Laplace digunakan unuk memecahkan fungi-fungi : Periodik dan aperiodik Koninyu dan dikoninyu Ekponenial Membenuk Peramaan Diferenial Fungi yang ak dapa diuli dengan pernyaaan maemaik Bila f() komimyu, maka F() juga koninyu. Membua fungi menjadi konvergen. AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 2

3 Bila f() ; >, maka ranformai Laplace f() adalah F() F() = L f() = ( 2- ) f().e - d dengan e = = Frekueni komplek = σ + jω Fakor perkalian e - membua fungi F() konvergen. AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 3

4 2. LINIERITAS 2.. Penjumlahan Tranformai Laplace penjumlahan/pengurangan dua aau lebih fungi f(), ama dengan jumlah/kurang ranformai Laplace dari maingmaing fungi iu endiri. L [f () + f 2 () ] = { ± } - 2 L [f () + f 2 () ] = f().e d + L [f () + f 2 () ] = L f ( ) + L f 2 ( ) f () f () e d 2 f ().e d L [f () + f 2 () ] = F () + F 2 () ( 2-2 ) AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 4

5 2.2. Perkalian Dengan Konana Tranformai Laplace dari perkalian uau f() dengan embarang konana ama dengan perkalian embarang konana dengan ranformai Laplace (f() iu endiri. L [ k f() ] = k.f ().e d = k f().e d L[k f()] = k F() ( 2-3.A ) L[a.f ()+ b.f 2 ()] = ± 2 af ()e d bf ()e d L[a.f () + b.f 2 ()] = a F () + b F 2 () ( 2-3.B ) AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 5

6 3. SINGULARITAS 3.. Difereniai Tranformai Laplace difereniai f() dan urunannya f () adalah bb : L f() = F() = df () Mial : u = f() ; du = d dv = e - d ; d f().e - d f().e - e e df() = - - f() f() d = + L d - d e v = df () d L df () = F() f() ( 2-4.A ) d AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 8

7 2 d f () d df () df () L = L =. L - f () 2 d d d d = F() f() f () = [ f() f() ] f () 2 d f () L = 2 f().f() f () ( 2-4.B ) 2 d n d f () L n = n f() n-.f() n-2 f () -....f n-2 () + f n- () d n L [ D n f() ] = n.f() - n j j. f () ( 2-4.C ) j = f() = fungi nilai awal (iniial value funcion) AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 9

8 3.2. Inegrai A. Inegrai Terbaa L f() = F() = L = f().e - d - f() d.e d Mial : u = f() d, du = f() d ; dv = e- d, v = e - - L f() d -e = f() d + - f().e d L f() d = F() ( 2-5.A ) AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

9 B. Inegrai Tanpa Baa Waku. Unuk kau eperi ini diperlukan nilai awal yaiu nilai pada =. L f() d = [ F() + f() ] ( 2-5.B ) 4. PERKALIAN DAN PEMBAGIAN DNG WAKTU (TIME-FREQ. SCALING) 4.. Perkalian dengan waku - L [ f() ] =.f() e d = f() d - d(e ) d df() d d - = f() e d d AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA

10 df() L [ f() ] = ( 2-6.A ) d 2 L [ 2 2 d F() f() ] = ( ) 2 ( 2-6.B ) d n L [ n n d F() f() ] = ( ) ( 2-6.C ) n d AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 2

11 4.2. Pembagian Dengan Waku f() - L = = f() e d f() d = e - d(-) = f() d. e f() d. e - - d(-) - = - f() e d d. f() L = F() d ( 2-7 ) AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 3

12 5. PERGESERAN 5.. Pergeeran Waku (Time Shifing) Bila L f() = F(), digeer ebear, maka - L f(- ).U(- o ) = f(- ).U(- ) e d = F(- ).U(- ) =, berlaku unuk < f(- ), berlaku unuk > Jika dimialkan τ = - ; = τ + ; dτ = d maka L f(- ).U(- ) = f(τ) e dτ = - (τ + ) - f(- ) e d -τ f(τ) e dτ L f(- ).U(- ) = e -o F() ( 2-8 ) AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 4

13 5.2. Fungi Gerbang (Gae Funcion) Fungi gerbang adalah uper poii dua buah Fungi Sauan Langkah (Uni Sep Funcion). Noai fungi gerbang G o (T) ; < T G (T) = U(- ) U( - T) f() f() T T AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 5

14 Conoh :. f() E E f() T T E E f() =.G (T) = [ U() U(-T) ] T T E F() = L { [ U() U(-T) ] } T E E = L {. U() - (-T). U(-T) E.U( - T)} T T E E = - e -T E - e -T T T E F() = [ - (+T).e -T ] T AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 6

15 T 2. f() = E in ω. G ( ) ; ω = 2 π f ; f = 2 f() T/2 2π T f() = E in. G ( ) T 2 T 2π f() = E in ( ).[ U( T/2)] T T - 2πE e 2 + F() = 2 T 2 2 π + T AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 7

16 5.3. Pergeeran Frekueni Pergeeran frekueni dalam domain merupakan ranformai Laplace perkalian f(), dengan fungi ekponenial e -b, yaiu ama dengan ranformai Laplace fungi erebu yang mengalami pergeeran ebear b ehinga menjadi (+b). Bila L f() = F() L [ e -b.f()] = = -b - e.f().e d -(+b) e f() d L [ e -b.f()] = F(+b) ( 2-9 ) AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 8

17 5.4. Fungi Periodik Tranformai Laplace fungi periodik dengan periode T ama dengan ranformai Laplace periode perama fungi erebu dibagi (- e -T ). f() f () f 2 () f 3 () f n () T 2T 3T nt f() = f () + f 2 () + f 3 () +... fn() f f 3 = f() U() ; f 2 = f(u-t) U(-T) = f(u-2t) U(-2T) ; fn = f(u-nt) U(-nT) L f () = F () AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 9

18 F() = F ()+ F ()e -T + F () e -2T F () e -(n-)t F() = F () [ + e -T + e -2T e -(n-)t ] F() F() = -T ( 2- ) - e ( ) AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 2

19 6. TRANSFORMASI FUNGSI-FUNGSI ELEMENTER 6.. Fungi Ekponenial Waku. f() = e a dengan a adalah konana yang dapa merupakan bilangan : Nyaa, Imajiner aau Komplek Bila L f() = F() = f().e a - -(-a) L f() = e.e d = = - d e d ( - a ).e -(-a) ( - a ) L e a = ( 2- ) AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 2

20 6.2. Fungi Sauan Langkah (Uni Sep Funcion) f() U() f() = U() U() = ; > U() = ; < Bila U() = e a unuk a =, U() = L U() = unuk a = L U() = ( - a ) - L U() = = e d.e - ) L U() = ( 2-2 AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 22

21 6.3. Fungi Sinu e ja -ja e = = co a + j in a co a - j in a e ja e -ja = 2j in a - in a = [e ja e -ja ] 2j ja -ja L in a = L [e e ] = 2j 2j ( -ja) ( +ja) a + L in a = ( 2-3 ) a 2 2 AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 23

22 6.4. Fungi Coinu e ja + e -ja = 2 co a ; co a = ½ (e ja + e -ja ) L co a = L [ ½ (e ja + e -ja ) ] L co a = 2 2 ( 2-4 ) +a 6.5. Fungi Hiperbolik inh a = [e a e -a ] ; coh a = [e a + e -a ] a - a - a L inh a = ( 2-5 ) 2 2 L coh a = ( 2-6 ) 2 2 AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 24

23 7. IKHTISAR 7.. Sifa-Sifa Uama Tranformai Laplace Fungi Fungi Linieria [ f () + f 2 () ] F () + F 2 () Perkalian dng konana k f() ; k > k F() [a.f () + b.f 2 ()] ; a,b > a F () + b F 2 () Difereniai Difereniai ke n df () d n d d n f () n F() f() j = n j j. f () AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 25

24 Fungi Fungi Inegrai (erbaa) f() d F() Inegrai (ak erbaa) f() d [ F() + f() ] Pergeeran Waku f(- ).U(- ) ; > e -o F() Pergeeran Frekueni [ e -b.f()] F(+b) Skala Frekueni-Waku f(a) ; a > F a a AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 26

25 Perkalian dng Waku Fungi. f() n f() Fungi ( ) df() d n n d F() d n Pembagian dng Waku f() F() d AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 27

26 7.2. Tranformai Laplace Fungi-fungi Elemener Fungi Singularia Fungi Fungi Uni Impul δ() Uni Sep u() Uni Ramp r() = u() 2 AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 28

27 Fungi Fungi Uni Parabola p()= ½ 2 u() 3 Inegral ke n impul Uni Double δ (-n) () n δ () Turunan ke n impul δ (n) () n AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 29

28 Fungi Elemener Biaa Fungi Fungi Konana k Pangka dari Ekponenial e a Perkalian dng Ekponenial (n ) (n )!.e -a k n ( + a) 2 ( a) 2 AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 3

29 Perkalian dng Ekp.- Berulang Sinu Coinu Sinuhyperbolicu Coinuhyperbolicu Sinuoid Fungi (n + )! in ω co ω inh ω coh ω n a 2 2 b e a + b co ω an a Fungi ω ω ω ω 2 2 a ( + a) ω 2 2 ( ω + bω ω n AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 3

30 Fungi Fungi Sinu Teredam e -a in ω ω 2 2 ( + a) +ω Coinu Teredam Sinuoid Teredam e -a co ω 2 2 p a a + p.e co ω an b + a 2 2 ( + a) +ω a( + p) + bω 2 2 ( + p) +ω Perkalian dng inu in ω Perkalian dng coinu co ω 2ω ( +ω ) 2 2 ω ( +ω ) AGUS R UTOMO - DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 32