BAB VIII METODA TEMPAT KEDUDUKAN AKAR

Transkripsi

1 6 BAB VIII METODA TEMPAT EDUDUAN AAR Dekripi : Bab ini memberikan gambaran ecara umum mengenai diagram tempat kedudukan akar dan ringkaan aturan umum untuk menggambarkan tempat kedudukan akar erta contohcontoh oal Objektif : Memahami bab ini akan menjadi bekal yang penting untuk memahami prinipprinip metoda tempat kedudukan akar 8. Pendahuluan arakteritik daar tanggapan peralihan uatu item lingkar tertutup ditentukan oleh polepole lingkar tertutup. Jadi dalam peroalan analii, perlu ditentukan letak polepole lingkar tertutup pada bidang. Dalam diain item lingkar tertutup, akan diatur pole dan zero lingkar terbuka edemikian rupa ehingga pole dan zero lingkar tertutup pada poii yang diinginkan. Polepole lingkar tertutup adalah akarakar peramaan karakteritik. Untuk mencarinya diperlukan penguraian peramaan polinomila karakteritik ata faktorfaktornya. Pada umumnya ini ulit jika derajat polinomial karakteritiknya tiga atau lebih tinggi. Teknik klaik penguraian polinomial ata faktorfaktornya adalah kurang ampuh karena penguatan fungi alih lingkar terbuka berubah maka perhitungan aru diulang. Metoda tempat kedudukan akar merupakan uatu metoda dengan menggambar akarakar peramaan karakteritik untuk emua harga dari uatu parameter item. Akarakar untuk uatu harga tertentu dari parameter ini elanjutnya terletak pada grafik yang diperoleh. Perhatikan bahwa parameter ini biaanya adalah penguatan tetapi etiap variabel lain dari fungi alih lingkar terbuka juga dapat digunakan. Jika tidak diebutkan, dianggap bahwa penguatan fungi alih lingkar terbuka merupakan parameter yang diubah di eluruh daerah harganya yaitu dari nol ampai tak terhingga. Tempat kedudukan akarakar peramaan karakteritik item lingkar tertutup jika penguatan diubah dari nol ampai tak terhingga memberikan latar belakang pemberian nama metoda ini. Diagram ini ecara jela menunjukkan kontribui tiap pole dan zero lingkar terbuka pada letak polepole lingkar tertutup. Metoda tempat kedudukan akar memungkinkan untuk mencari polepole lingkar tertutup dari pole dan zero lingkar terbuka dengan penguatan ebagai parameter. Metoda ini menghilangkan keulitankeulitan yang timbul pada teknik klaik dengan memberikan peragaan grafi emua pole lingkar tertutup untuk emua harga penguatan fungi alih lingkar terbuka. 8. Diagram Tempat edudukan Akar Tinjau item yang ditunjukkan pada Gambar 8. berikut

2 7 Gambar 8. Diagram Blok Sitem endali Lingkar Tertutup Fungi alih lingkar tertutup Gambar 8. adalah C R G = + G H Peramaan karakteritik item lingkar tertutup adalah atau (8.) + G( ) H( ) = (8.) G( ) H( ) = (8.) arena G( ) H( ) adalah bearan komplek maka peramaan (8.) dapat dipiahkan menjadi dua peramaan dengan menyamakan maingmaing udt dan bear kedua rua peramaan terebut untuk mendapatkan Syarat udut G( ) H( ) =± 8 ( k+) dimana k =,,,... (8.4) Syarat bear G( ) H( ) = (8.5) Hargaharga yang memenuhi yarat udut dan yarat bear adalah akarakar peramaan karakteritik atau polepole lingkar tertutup. Suatu diagram dari titiktitik pada bidang komplek yang hanya memenuhi yarat udut adalah tempat kedudukan akardan akarakar peramaan karakteritik untuk uatu harga penguatan yang diberikan dapat diperoleh dari yarat bear. Sebelum membaha uatu metoda untuk menggambar diagram tempat kedudukan akar ecara terperinci akan diberikan uatu ilutrai diagram tempat kedudukan akar untuk item orde kedua ederhana dengan fungi alih terbuka berikut G H Fungi alih lingkar tertutupnya = C R = (8.6) (8.7)

3 8 Peramaan karakteritik item adalah + + = (8.8) Akan ditentukan tempat kedudukan akarakar peramaan (8.8) jika diubah dari nol ampai tidak terhingga. Untuk memberikan gambaran yang jela mengenai rupa diagram tempat kedudukan akar item ini, pertamatama akan dicari akarakar peramaan karakteritik ecara analiti dalam bentuk dan kemudian mengubah dari nol ampai tidak terhingga. Haru diingat bahwa ini bukan merupakan cara yang benar untuk menggambar diagram tempat kedudukan akar. Cara yang benar adalah menggunakan pendekatan cobacoba ecara grafi dan pekerjaan ini dapat diederhanakan dengan menerapkan aturanaturan umum yang akan diberikan pada Bagian 8.. Akar akar peramaan karakteritik peramaan (8.8) adalah = + 4k (8.9) = 4k (8.) Akarakar peramaan (8.9) dan (8.) adalah nyata untuk dan komplek untuk 4 > 4. j j = 4 = j j + P j j = = σ σ = 4 = j j = 4 j j Gambar 8. Diagram Tempat edudukan Akar Peramaan (8.6) Tempat kedudukan akarakar untuk emua harga ditunjukkan pada Gambar 8.. Tempat kedudukan akarakar terebut diberi kala dengan ebagai parameter. Setelah diagram terebut digambar maka dengan egera dapat ditentukan harga yang akan menghailkan uatu akar atau polepole lingkar tertutup pada uatu titik yang diinginkan. Dari analii ini, jela bahwa polepole lingkar tertutup untuk = adalah ama dengan polepole dari G( ) H( ). Jika harga diperbear dari nol ampai 4 maka polepole lingkar tertutup bergerak menuju titik,. Untuk harga dari nol ampai 4 emua polepole lingkar tertutup terletak pada umbu

4 9 nyata. Ini berkaitan dengan item redaman lebih ehingga tanggapan impula tidak beroilai. Pada =, kedua polepole lingkar tertutup nyata terebut beratu. Ini 4 berkaitan dengan redaman kriti. Jika diperbear dari 4 maka polepole lingkar tertutup terebut bergerak meninggalkan umbu nyata dan menjadi komplek dan karena bagian nyata dari pole lingkar tertutup adalah kontan untuk > maka pole 4 pole lingkar tertutup terebut bergerak epanjang gari =. Oleh karena itu untuk > 4 item menjadi redaman kurang. Untuk uatu harga yang diberikan, atu dari polepole lingkar tertutup konjugai bergerak menuju = j + edangkan yang lain bergerak menuju = j. Untuk yarat udut ditentukan dengan peramaan = + = ± 8 ( k+) ( +) k =,,,... (8.) Tinjau titik P pada tempat kedudukan akar yang ditunjukkan pada Gambar 8.. Jika titik P terletak pada umbu nyata antara dan maka = 8 dan =. Dengan demikian etiap titik pada tempat kedudukan akar terebut memenuhi yarat udut. Juga dapat dilihat bahwa jika titik P bukan merupakan titik pada tempat kedudukan akar maka jumlah dan tidak ama dengan ± 8 ( k+) dimana k =,,,... Jadi titiktitik yang tidak terletak pada tempattempat kedudukan akar, tidak memenuhi yarat udut ehingga bukan merupakan polepole lingkar tertutup. Jika polepole lingkar tertutup ditentukan dari tempat kedudukan akar maka harga yang berkaitan dengan pole terebut ditentukan dari yarat bear eperti yang dinyatakan pada peramaan (8.5). Sebagai contoh jika pole lingkar tertutup yang dipilih adalah = + j maka harga untuk kondii ini adalah 4 G H = (8.) + = + j 4 = ( +) = + j + j.885 = + j + = (8.) arena polepole komplek aling berpaangan maka jika alah atu diantaranya mialnya = + j telah diperoleh maka yang lain dapat diperoleh ecara otomati. 4 Dalam menghitung harga dapat digunakan alah atu aja dari paangan komplek terebut. Dari diagram tempat kedudukan akar pada Gambar 8. ecara jela terlihat bahwa pengaruh perubahan harga pada perilaku tanggapan peralihan item orde kedua. enaikan harga akan memperkecil raio redaman ς ehingga memperbear lewatan dari repon. enaikan harga juga akan memperbear frekueni alamiah

5 4 teredam maupun frekueni alamiah tidak teredam. Berikut ini kumpulan dari beberapa diagram tempat kedudukan akar ederhana Tabel 8. umpulan Diagram Tempat edudukan Akar

6 4 Tabel 8. umpulan Diagram Tempat edudukan Akar Untuk Umpan Balik Poitif dan Umpan Balik Negatif eterangan : Gari tebal menunjukan umpan balik negatif dan gari putuputu menunjukan umpan balik poitif. Berikut ini contoh ilutrai untuk menggambar diagram tempat kedudukan akar. Dalam ilutrai akan digunakan perhitungan grafi digabung dengan pemerikaan untuk menentukan tempat kedudukan akarakar dari peramaan karakteritik item lingkar tertutup. Langkah

7 4 pertama dari proedur penggambaran diagram tempat kedudukan akar adalah mencari tempat kedudukan dari akarakar yang mungkin dengan menggunakan yarat udut kemudian tempat kedudukan diberi kalan penguatan dengan menggunakan yarat bear. Contoh 8. Tinjau item yang berikut G( ) = dan ( + )( + ) H = (8.4) Buat keta diagram tempat kedudukan akar dan kemudian tentukan harga edemikian ehingga raio redaman dari epaang pole lingkar tertutup konjugai komplek yang berpengaruh adalah.5 Jawab : Untuk item yang dinyatakan oleh peramaan (8.4) dimana yarat udut menjadi Syarat bear + + = + + = ± 8 k+ (8.5) G( ) H( ) = = (8.6) + + Adapun proedur dalam membuat keta diagram tempat kedudukan akar adalah. Tentukan tempat kedudukan akar pada umbu nyata. Langkah pertama dalam menggambar diagram tempat kedudukan akar adalah meletakkan polepole lingkar terbuka = = = pada bidang komplek. Letak polepole lingkar terbuka ditunjukkan dengan tanda ilang edangkan letak letak zero lingkar terbuka akan ditunjukkan denga tanda lingkaran kecil. Perhatikan bahwa titik awal tempat kedudukan akaradalah polepole lingkar terbuka. Banyaknya cabang tempat kedudukan akar untuk item ini adalah tiga yaitu ama dengan banyaknya pole lingkar terbuka. Untuk menentukan tempat kedudukan akar pada umbu nyta, dipilih uatu titik uji. Jika titik uji ini terletak pada umbu nyata poitif maka = + = + = (8.7) Ini menunjukkan bahwa yarat udut terpenuhi, oleh karena itu tempat kedudukan akar tidak terletak pada umbu nyata poitif. emudian pilih uatu titik uji pada umbu nyata negatif antara dan elanjutnya didapatkan Maka =8, + = + = (8.8) + + = 8 (8.9) Sehingga yarat udut terpenuhi oleh karena itu bagian umbu nyata negatif antara dan merupakan bagian tempat kedudukan akar. Jika uatu titik uji dipilih antara dan maka = + = 8 (8.) + = (8.)

8 4 Pada peramaan (8.) dan (8.) terlihat bahwa yarat udut tidak terpenuhi. Oleh karena itu umbu nyata negatif dari ampai bukan merupakan bagian dari tempat kedudukan akar. Dengan cara yang ama, jika uatu titik uji diletakkan pada umbu nyata negatif dari ampai maka yarat udut terpenuhi. Jadi tempat kedudukan akar pada umbu nyata negatif antara dan erta ampai. Tentukan aimtot tempat kedudukan akar. Aimtot tempat kedudukan akar jika mendekati tak terhingga dapat ditentukan ebagai berikut : Jika uatu titik uji dipilih angat jauh dari titik aal maka Sehingga yarat udut menjadi atau lim G( ) = lim = lim (8.) + + = + = ± 8 ( k+) dengan k =,,, (8.) Sudut aimtot : ± 8 k+ (8.4) arena udut terebut berulang jika k diubah maka udutudut aimtot yang berbeda ditentukan ebagai 6, 6 dan 8. Jadi ada tiga aimtot dimana aimtot yang mempuyai udut 8 adalah umbu nyata negatif. Selain itu ebelum menggambar aimtotaimtot ini pada bidang komplek haru ditentukan titik potong aimtot terebut pada umbu nyata dimana peramaan karakteritik item adalah + + = (8.5) + + = (8.6) Jika dianggap bear maka peramaan karakteritik dapat didekati dengan peramaan + = (8.7) Abi dari perpotongan aimtot dan umbu nyata dapat diperoleh dengan menyatakan = σ diperoleh a σa = (8.8) Titik aal dari aimtot adalah (,). Aimtot aimtot terebut hampir merupakan bagian dari tempat kedudukan akar di daerah yang angat jauh dari titik aal.. Tentukan titik breakaway. Untuk menggambar tempat kedudukan akar dengan teliti haru dicari titik breakaway dimana cabang tempat kedudukan akar yang beraal dari polepole di dan menjauhi umbu nyata dan bergerak di dalam bidang komplek. Titik breakaway berkaitan dengan uatu titik pada bidang yang mempuyai akar peramaan karakteritik rangkap. Titik breakaway a σ, dapat diperoleh ebagai berikut : tinjau uatu titik uji yang terletak di dekat umbu nyata negatif antara dan eperti yang ditunjukkan pada Gambar 8. berikut

9 44 Gambar 8. Penentuan Titik breakway Jika jarak vertikal dari titik uji yang diukur dari umbu nyata negatif dinyatakan dengan δ maka udutudut, dan dari bearan, + dan + dapat dituli δ = 8 tan (8.9) σb δ = tan (8.) σb ( ) δ = tan σb ( ) (8.) Untuk harga δ yang kecil diperoleh δ = 8 (8.) σb δ = σb + δ = σb+ (8.) (8.4) Syarat udut Menjadi Atau + + = 8 δ δ δ + + = σb σb+ σb+ + + = σb σb σb (8.5) (8.6) (8.7)

10 45 Dengan menyeleaikan peramaan (8.8) diperoleh Serta menghailkan σ 6σ + = (8.8) b b σb =.4 (8.9) σb =.577 (8.4) arena > σb > maka titik breakaway harulah(.4, ). Jika banyaknya uku pada peramaan (8.7) ada empat atau lebih maka untuk mencari harga σ b dapat digunakan pendekatan coba coba. Pendekatan ini dapat dipermudah jika dicari uatu harga pendekatan dari σ b dengan mengabaikan pole dan zero yang terletak jauh dari titik breakaway kemudian memberikan koreki kecil pada harga σ b pendekatan ini. 4. Tentukan titik potong tempat kedudukan akar dengan umbu khayal. Titiktitik ini dapat diperoleh dari kriteria ketabilan Routh. Adapun peramaan karakteritik item Diuun menjadi = (8.4) 6 (8.4) Harga yang membuat koefeien dari pada kolom pertama ama dengan nol adalah = 6. Titik potong pada umbu khayal elanjutnya dapat diperoleh dengan menyeleaikan peramaan pembantu yang diperoleh dari bari yakni Menghailkan + = + 6 = (8.4) = ± j (8.44) Jadi frekueni pada titik potong dengan umbu khayal adalah ω = ±. Harga penguatan pada titik potong ini adalah = 6. Cara lain untuk mencari titik potong tempat kedudukan akar dengan umbu khayal adalah dengan memaukkan = jω pada peramaan karakteritik. Menyamakan bagian nyata maupun bagian khayal dengan nol kemudian mencari mencari ω dan. Untuk item yang edang ditinjau, peramaan karakteritik dengan = jω adalah Atau ( jω ) + ( jω ) + ( jω ) + = (8.45) ω + j ω ω = (8.46)

11 46 Dengan menyamakan baik bagian nyata maupun bagian khayal peramaan (8.46) ama dengan nol diperoleh : Sehingga akhirnya diperoleh ω = (8.47) ω ω = (8.48) ω = ± dan = 6 (8.49) Jadi tempat kedudukan akarakar memotong umbu khayal di ω = ± dan harga pada titik potong ini adalah 6 5. Pilih uatu titik uji yang cukup jauh dari umbu = jω dan titik aal eperti yang ditunjukkan pada Gambar 8.4 kemudian terapkan yarat udut. Jika uatu titik uji terletak pada tempat kedudukan maka jumlah tiga udut + + haru ama dengan 8. Jika titik uji terebut tidak memenuhi yarat udut, pilih titik uji yang lain ampai memenuhi yarat terebut. (Jumlah udut pada titik uji akan menunjukkan arah pergerakan titik uji). Lanjutkan proe ini dan letakkan titiktitik ecukupnya yang memenuhi yarat udut. j + + j σ j Gambar 8.4 Penggambaran Tempat edudukan Akar 6. Berdaarkan informai yang diperoleh pada langkah diata, gambarlah diagram tempat kedudukan akar lengkap eperti ditunjukkan pada Gambar 8.5 berikut j 8 j = 6 =.8 j 6 O = 6 =.8 σ j j Gambar 8.5 Diagram Tempat edudukan Akar 8 7. Tentukan epaang pole lingkar tertutup konjugai komplek dominan edemikian rupa ehingga raio redaman ς ama dengan.5. Pole lingkar tertutup dengan ς =.5 terletak pada gari yang melalui titik aal dan membentuk udut

12 47 β = co ς = co.5 6 ± ± =± dengan umbu khayal negatif. Pada Gambar 8.5, pole lingkar tertutup yang mempuyai ς =.5 diperoleh =. + j.58 dan =. j.58 (8.5) Harga yang menghailkan polepole terebut diperoleh dari dar i yarat bear = ( +)( +) =. + j.58 =.6 (8.5) Dengan menggunakan harga ini pole ketiga diperoleh =.. Dengan demikian dari langkah 4 dapat dilihat bahwa untuk = 6 polepole lingkar tertutup dominan terletak pada umbu khayal yaitu = ± j. Dengan harga ini item akan beroilai terumeneru. Untuk > 6 pole lingkar tertutup dominan terletak di ebelah kanan umbu khayal bidang ehingga item menjadi tidak tabil. Akhirnya jika diperlukan tempat kedudukan akar ecara mudah dapat diberi kala dalam bentuk dengan menggunakan yarat bear. Hanya ditentukan uatu titik pada tempat kedudukan akar kemudian mengukur bear dari tiga bearan komplek, + dan +, mengalikannya dan menyamakan hail perkalian ini dengan harga penguatan pada titik terebut atau + + = (8.5) 8. Ringkaan Aturan Umum Untuk Menggambarkan Tempat edudukan Akar Aturan dan proedur umum untuk menggambar tempat kedudukan akar dari item yang ditunjukkan pada Gambar 8. adalah. Tentukanlah cari peramaan karakteritik item + G( ) H( ) = (8.5) dan uun kembali perramaan ini ehingga parameter yang diinginkan tampak ebagai faktor pengali dalam bentuk ( m) ( + p )( + p ) +( + p ) + z + z + + z + = m (8.54) Pada pembahaan ini, dianggap bahwa parameter yang ingin ditinjau adalah penguatan dimana >. Dari fungi alih lingkar terbuka dalam bentuk perkalian faktorfaktornya, letakkan pole dan zero lingkar terbuka pada bidang.. Carilah titik awal dan titik akhir dari tempat kedudukan akar dan carilah juga banyaknya cabang tempat kedudukan akar. Titiktitik pada tempat kedudukan untuk = adalah polepole lingkar terbuka. Ini dapat dilihat dari yarat udut dengan memaukkan harga mendekati nol atau lim ( m) + z + z + + z = lim = (8.55) + p + p + + p m Peramaan terakhir ini ecara tidak langung menunjukkan bahwa harga haru mendekati alah atu pole lingkar terbuka. Setiap tempat kedudukan akar dimulai dari

13 48 uatu pole fungi alih lingkar terbuka G( ) H( ). Jika diperbear hingga mendekati tak terhingga maka etiap tempat kedudukan akar akan menuju ke uatu zero fungi alih lingkar terbuka atau menuju tak terhingga pada bidang komplek. Ini dapat dilihat ebagai berikut jika dimaukkan mendekati tak terhingga pada yarat bear maka ( m) + z + z + + z lim = lim = (8.56) + p + p + + p m Oleh karena itu harga haru mendekati alah atu zero lingkar terbuka atau uatu zero lingkar terbuka di tak terhingga. Diagram tempat kedudukan akar mempuyai cabang ebanyak akar peramaan karakteritiknya karena banyaknya pole lingkar terbuka biaanya lebih bear dari zeronya maka banyaknya cabang ama dengan banyaknya pole. Jika banyaknya pole lingkar tertutup ama dengan banyaknya pole lingkar terbuka maka banyaknya cabang tempat kedudukan akar yang berakhir di zero lingkar terbuka yang bearnya terhingga ama dengan banyaknya m zero lingkar terbuka. n m cabang lainnya berakhir di tak terhingga epanjang aimtotnya.. Tentukan tempat kedudukan akar pada umbu nyata. Tempat kedudukan akar pada umbu nyata ditentukan oleh pole dan zero lingkar terbuka yang terletak pada umbu nyata. Pole dan zero konjugai komplek fungi alih lingkar terbuka tidak berpengaruh pada letak tempat kedudukan akar pada umbu nyata karena kontribui udut dari epaang pole atau zero konjugai komplek pada umbu nyata adalah 6. Setiap bagian tempat kedudukan akar pada umbu nyata mempuyai daerah dari uatu pole atau zero ke pole atau zero lain. Dalam menggambar tempat kedudukan akar pada umbu nyata, pilih uatu titik uji padanya, jika jumlah total banyaknya banyaknya pole dan zero di ebelah kanan titik uji ini ganjil maka titik ini terletak pada tempat kedudukan akar. Tempat kedudukan akar dan komplemennya membentuk egmenegmen yang bergantian pada umbu nyata. 4. Tentukan aimtot aimtot tempat kedudukan akar. Jika titik uji terletak jauh dari titik aal maka udut etiap bearan komplek dapat dianggap ama. Selanjutnya atu zero lingkar terbuka dan atu pole lingkar terbuka aling menghilangkan. Oleh karena itu, tempat kedudukan akar untuk harga yang angat bear haru menuju ke gari aimtot yang mempuyai udut (kemiringan) ebagai berikut Sudut aimtot : Dimana ±8( k + ) n m ( k =,,, ) (8.57) n : Banyaknya pole terhingga dari G( ) H( ) m : Banyaknya zero terhingga dari G( ) H( ) Diini k = merupakan aimtot dengan udut terkecil terhadap umbu nyata. Walaupun k dapat mempuyai tak terhingga harga, jika k membear akan tetapi udut aimtot kemudian akan berulang ehingga banyaknya aimtot yang berbeda adalah n m. Semua aimtot berpotongan pada umbu nyata. Titik potong ini dapat diperoleh jika pembilang maupun penyebut fungi alih lingkar terbuka diuraikan maka hailnya adalah

14 49 G H + z + z + + z + + z z z = + p + p + + p + + p p p m m m m n n n n (8.58) Jika uatu titi uji terletak angat jauh dari titik aal maka G( ) H( ) dapat dituli G H = + nm nm + p + p + + pn z + z + + zn arena peramaan karakteritik adalah Maka peramaan (8.6) dapat dituli menjadi (8.59) G( ) H( ) = (8.6) + = (8.6) n m nm + p + p + + pn z + z + + zn Untuk harga yang bear peramaan (8.6) dapat didekati dengan ( p + p + + p )( z + z + + z ) nm n n + = n m Jika abi titik potong antara aimtot dengan umbu nyata dinyatakan dengan ( p + p + + p )( z + z + + z ) (8.6) n n σa = (8.6) n m arena emua pole dan zero komplek elalu dalam paangan konjugai maka σa elalu merupakan bearan nyata. Setelah diperoleh titik potong aimtot dengan umbu nyata maka diagram tempat kedudukan akar telah iap digunakan. 5. Tentukan titik breakaway dan breakin. arena imetri konjugai dari tempat kedudukan akar, maka titiktitik breakaway dan titktitik breakin mungkin terletak pada umbu nyata atau bia juga merupakan paangan konjugai komplek. Jika uatu tempat kedudukan akar terletak di antara dua pole lingkar terbuka yang berbataan pada umbu nyata maka paling tidak terdapat atu titik breakaway diantara dua pole terebut. Dengan cara yang ama, jika tempat kedudukan akar terletak diantara dua zero yang berbataan pada umbu nyata maka paling tidak elalu terdapat atu breakin diantara kedua zero terebut. Jika tempat kedudukan akar terletak di antara uyatu pole lingkar terbuka dan uatu zero lingkar terbuka pada umbu nyata maka mungkin tidak terdapat titik breakway atau breakin atau baik titik breakway maupun titik break in keduanya ada. Jika peramaan karakteritik dinyatakan oleh A( ) + B( ) = (8.64) Maka titik breakway dan titik breakin dapat ditentukan dari akarakar ' ' A B A B d = = d B (8.65)

15 5 Dimana ini merupakan alah atu cara yang berdaarkan pada difereniai terhadap. Jika harga yang diperoleh dari akar = yang memenuhi d = adalah poitif, d maka titik = adalah titik breakway atau breakin tetapi jika harga yang diperoleh dari akar = yang memenuhi d = adalah negatif maka titik = d bukan merupakan titik breakway atau breakin. 6. Carilah udut berangkat (atau udut datang) tempat kedudukan akar dari polepole komplek. Untuk membuat keta tempat kedudukan akar dengan ketelitian yang layak haru dicari arah tempat kedudukan akar di dekat pole atau zero komplek. Jika dipilih uatu titik uji dan digerakkan di ekitar pole komplek (atau zero komplek) maka jumlah kontribui udut dari pole dan zero yang lain dapat dianggap tetap ama. Oleh karena itu, udut berangkat (atau udut datang) tempat kedudukan akar dari uatu pole komplek (atau pada uatu zero komplek) dapat diperoleh dengan mengurangi 8 dengan jumlah udut emua bearan komplek dari emua pole dan zero yang lain ke pole komplek ( atau zero komplek) yang ditanyakan dengan menggunakan tanda yang euai. Sudut berangkat ini ditunjukkan pada Gambar 8.6 berikut j Φ Angle of departure σ Gambar 8.6 Cara Menggambar Tempat edudukan Akar 7. Carilah titik potong tempat kedudukan akar dengan umbu khayal. Titik potong ini dapat diperoleh ecara mudah dengan menggunakan kriteria ketabilan Routh, dengan pendekatan cobacoba atau dengan ubtitui = jω pada peramaan karakteritik kemudian menyamakan baik bagian nyata maupun bagian khayal dengan nol dan akhirnya mencari ω dan. Jadi harga ω yang diperoleh akan memberikan informai mengenai frekueni pada aat tempat kedudukan akar memotong umbuk hayal dan mengenai harga yang merupakan penguatan kriti ketabilan 8. Peramaan karakteritik item yang mempuyai fungi alih lingkar terbuka G H + b = + a + + b m m m + + a n n n untuk n m (8.66) Adalah peramaan aljbar derajat n dalam. Jika orde pembilang dari G( ) H( ) lebih rendah dari atau lebih maka koefeien a merupakan penjumlahan negatif dari akarakar peramaan dan tidak tergantung pada. Pada kau ini, jika beberapa akar pada tempat kedudukan bergerak ke arah kiri dengan membearnya maka akarakar yang lain haru bergerak ke arah kanan dengan membearnya. Informai ini berguna dalam mencari bentuk umum tempat kedudukan akar.

16 5 9. Tentukan tempat kedudukan akar di dekat umbu jω dan titik aal. Bagian yang paling penting dari tempat kedudukan akar tidak terletak pada umbu nyata ataupun aimtotnya tetapi terletak di dekat umbu jω dan titik aal. Bentuk tempat kedudukan akar yang terletak pada daerah yang penting ini haru diperoleh dengan ketelitian yang cukup baik. 8.4 Rangkuman Setiap titik pada tempat kedudukan akar merupakan uatu kemungkinan pole lingkar tertutup. uatu titik pada tempat kedudukan akar akan merupakan uatu pole lingkar tertutup jika harga memenuhi yarat bear. Jadi yarat bear memungkinkan untuk menentukan harga penguatan di etiap letak akar pada tempat kedudukan. Setelah pole lingkar tertutup dominan diperoleh dengan metoda tempat kedudukan akar maka pole lingkar tertutup ianya dapat diperoleh dengan membagi peramaan karakteritik dengan faktor yang yang mengandung polepole lingkar tertutup dominan terebut. Faktorfaktor hail pembagian ini mengandung pole lingkar tertutup tidak dominan.