5. Transformasi Integral dan Persamaan Integral

Transkripsi

1 5. Tranformai Integral dan Peramaan Integral 5.. Tranformai Integral 5.. Tranformai Laplace 5.3. Tranformai Fourier 5.4. Peramaan Integral

2 5.. Tranformai Integral Di dalam Fiia Matematia ita ering menjumpai paangan fungi yang dihubungan bb: b g α f t K α, t dt a Fungi gα diebut tranformai integral dari ft dengan ernel Kα,t. Mapping fungi ft di ruang-t dari fungi gα di ruang-α.

3 Mengapa ita butuh tranformai integral?? Karena dalam banya au maalah lebih mudah dieleaian dengan cara tranformai dan inveri. Kita membutuhan repreentai dalam ruang lain. Contoh di fiia: watu freueni ruang real ruang momentum

4 Problem aal uah Solui problem aal Tranformai integral Invere tranformai Problem di ruang tranformai relatif mudah Solui di ruang tranformai

5 dt e t f g t i α π α dt e t f g t α α dt t tj t f g b a n α α dt t t f g b a α α Satu diantara tranformai yang terpenting Fourier Ada tiga lainnya: Tranformai Laplace: Tranformai Hanel Fourier-Beel Tranformai Mellin

6 5.. Tranformai Laplace Tranformai Laplace f atau L dari Ft didefiniian: f L{ F t} Beberapa fungi ederhana: a a lim e t F t dt e t F t dt Ft, t > L{} e dt t Ft e t, t > L{ e t } e t e t dt,untu >

7 } {coh t L + + } {inh t L + 3 Fungi hiperboli inu dan oinu Karena: coh t ½ e t + e -t dan inh t ½ e t - e -t Maa dan

8 4 Fungi inu dan oinu biaa dengan menggunaan: co t coh it dan in t i inh it dan diperoleh: L{co t} L{in t} Ft t n L t! { } t n n t e t dt +

9 Tabulai: Ft f e t coh t inh t co t + in t t n n! n+ + Tabel lengap dapat dilihat di Arfen

10 Contoh oal:. Carilah Ft bila f f f + Jawab: Fungi f dapat diuraian menjadi: A B + C + + dengan ubtitui bali, diperoleh A, B -, C, ehingga: + dengan demiian invere f menjadi: Ft co t

11 . Carilah Ft bila f Jawab: Fungi f dapat diuraian menjadi: f A + B + + C + D A A + B B + C dengan ubtitui bali, diperoleh A, B /, C, D/ ehingg + D + C + D

12 Turunan Tranformai Laplace per-definii: L L t df { F' t} e dt dt integrai bagian: t t { F' t} e F t + e F t dt L{Ft} F alau diteruan L{F t} L{Ft} Ft F dan eterunya: L{F n t} n L{Ft} n- Ft n- F t F n-

13 Contoh di Fiia: Kau oilator harmoni: A t, y y o, y F y y + ω y Kalau pada peramaan diferenial ita lauan tranformai Laplace: L{ y } ω L{y} L{y} y y ω L{y}

14 mauan yarat bata, diperoleh: L{ y} y + ω invere tranformai ini menghailan: y y o co ωt eperti yang diharapan Pertanyaan, apabila yarat bata diubah menjadi t, y, y v o apa yang terjadi? Jawab: y v o /ω in ωt, butian!

15 Sifat-ifat lain fungi Laplace.Subtitui f-a L{e at Ft} butian! Sehingga: L{ e at in t} a + a L{ e at co t} a +. Tranlai e -b f L{Ft-b} butian! 3. Turunan uatu tranformai Turunan e-n: f n L{-t n Ft} butian! 4. Integrai uatu tranformai f x dx F t L t

16 Contoh au: Oilator Teredam Kau getaran harmoni teredam: mx " ' t + bx t + X t dengan m,,b adalah ontan. Bila ita gunaan ondii iniial XX, X, maa peramaan tranformai menjadi: m[ x X ] + b[ x X ] + x dan x X m + b m + b +

17 Peramaan terahir dapat dieleaian dengan melengapi uadrat penyebut bb: m b m m b m m b Apabila fator redaman damping ecil, b <4 m, uu terahir adalah poitif dan ebut ebagai ω / / + ω + + m b m b X x / / / / ω ω ω ω m b m b X m b m b X

18 Kita gunaan Didapat: dengan } in { a t e L at + } co { a a t e L at + + t m b t e X t X t m b / in co ω ω ω co / ϕ ω ω ω t e X t m b m m b tan ω ω ϕ

19 RLC Analog Ada eerupaan antara oilator harmoni teredam dengan rangaian RLC I L R C Dari huum Kirchchoff: di q L + RI + dt C Didiferenialan: d I L dt di + R + I dt C mx " t ' + bx t + X t Analog dengan problem meania.

20 5.3. Tranformai Fourier Secara Matemati tranformai Fourier diembangan dari deret Fourier. Secara detail dapat dilihat di Arfen. g α f t e π iαt dt Invernya: f t π g α e iαt dt

21 Berbagai macam bentu TF Paangan tranformai Fourier Hf i πft h t e dt h t H f e iπft df g iαx F α f x e dx iαx f x F α e dx π ix f x e dx π f x ix g e d π

22 Di Meania Kuantum: Paet gelombang, fx, dengan gelombang dalam bilangan gelombang, g f x ix g e d π g ix f x e dx π Lebih lengap: f x, t i xωt g e d π Jadi cuup banya cara penulian tranformai Fourier, pilih alah atu dan haru oniten!

23 Searang ita lihat enyataan bahwa pada umumnya hail tranformai Fourier adalah fungi omple. H Maa: f πift h t e dt Hf Komple Rf + i If real imaginer dengan H f H f R f + e I iθ f f fae θ f I f arctan R f

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33 Topi-topi teria Teorema Konvolui Repreentai Momentum Peramaan Integral