ANALISIS TRANSFORMASI LAPLACE PADA STRING-BEAM MODEL SKRIPSI OLEH LILIS SURYANI NIM

Transkripsi

1 ANALISIS TRANSFORMASI LAPLACE PADA STRING-BEAM MODEL SKRIPSI OLEH LILIS SURYANI NIM. 6 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 6

2 ANALISIS TRANSFORMASI LAPLACE PADA STRING-BEAM MODEL SKRIPSI OLEH LILIS SURYANI NIM. 6 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 6

3 ANALISIS TRANSFORMASI LAPLACE PADA STRING-BEAM MODEL SKRIPSI Diajukan Kpada Fakula Sain dan Tknologi Univria Ilam Ngri Maulana Malik Ibrahim Malang unuk Mmnuhi Salah Sau Pryaraan dalam Mmprolh Glar Sarjana Sain S.Si Olh Lili Suryani NIM. 6 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 6

4

5

6

7 MOTO Allah idak mmbbani orang mlainkan uai dngan kanggupannya QS. Al-Baqarah/:86. Allah ir, and you ll nvr b la.

8 PERSEMBAHAN Skripi ini pnuli prmbahkan kpada kdua orang ua rcina, Ayahanda yang lalu bkrja kra dan anpa llah unuk lalu mmbimbing, mnjadi moivaor rbaik dalam hidup dan Ibunda yang lalu abar dan lalu mmbrikan dukungan moril. Hanya kaa drhana yaiu rima kaih aa gala pngorbanan dan doa yang lah dibrikan kpada pnuli. Tak lupa pula unuk adik dan kakak kluarga yang lalu mmbri manga dan dukungan.

9 KATA PENGANTAR Aalamu alaikum Warahmaullahi Wabarakauh Alhamdulillah, puji yukur bagi Allah Sw. aa limpahan rahma, auik, hidayah, dan karunia-nya, hingga pnuli mampu mnylaikan pnyuunan kripi yang brjudul Analii Tranormai Laplac pada Sring-Bam Modl ini bagai alah au yara unuk mmprolh glar arjana dalam bidang mamaika di Fakula Sain dan Tknologi, Univria Ilam Ngri Maulana Malik Ibrahim Malang. Dalam pro pnyuunan kripi ini, pnuli banyak mndapa banuan, bimbingan, ra arahan dari brbagai pihak. Unuk iu ucapan rima kaih pnuli ampaikan kpada:. Pro. Dr. H. Mudjia Rahardjo, M.Si, laku rkor Univria Ilam Ngri Maulana Malik Ibrahim Malang.. Dr. drh. Bayyinaul Mucharomah, M.Si, laku dkan Fakula Sain dan Tknologi, Univria Ilam Ngri Maulana Malik Ibrahim Malang. 3. Dr. Abduakir, M.Pd, laku kua Juruan Mamaika, Fakula Sain dan Tknologi, Univria Ilam Ngri Maulana Malik Ibrahim Malang. 4. Ari Kuumaui, M.Pd., M.Si, laku don pmbimbing I yang naniaa mmbrikan doa, arahan, naiha, moivai dalam mlakukan pnliian, ra pngalaman yang brharga kpada pnuli. 5. Ach. Nahichuddin, M.A, laku don pmbimbing II yang lah mmbrikan bimbingan, arahan, dan brbagai ilmunya kpada pnuli. 6. Sgnap ivia akadmika Juruan Mamaika, Fakula Sain dan viii

10 Tknologi, Univria Ilam Ngri Maulana Malik Ibrahim Malang ruama luruh don, rima kaih aa gala ilmu dan bimbingannya. 7. Bapak dan ibu yang lalu mmbrikan doa, manga, ra moivai kpada pnuli. 8. Sluruh man-man di Juruan Mamaika khuunya angkaan kla Mamaika A, rima kaih aa knangan-knangan indah yang diraju brama dalam mnggapai cia-cia. 9. Smua pihak yang cara langung aau idak langung lah iku mmbrikan banuan dalam mnylaikan kripi ini. Akhirnya pnuli hanya dapa brharap, di balik kripi ini dapa dimukan uau yang dapa mmbrikan manaa dan wawaan yang lbih lua aau bahkan hikmah bagi pnuli, pmbaca, dan bagi luruh mahaiwa. Waalamu alaikum Warahmaullahi Wabarakauh Malang, Aguu 6 Pnuli i

11 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL HALAMAN PENGAJUAN HALAMAN PERSETUJUAN HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN HALAMAN MOTO HALAMAN PERSEMBAHAN KATA PENGANTAR... viii DAFTAR ISI... ABSTRAK... ii ABSTRACT... iii... iv BAB I PENDAHULUAN. Laar Blakang.... Rumuan Maalah Tujuan Pnliian Baaan Maalah Manaa Pnliian Mod Pnliian Simaika Pnulian... 6 BAB II KAJIAN PUSTAKA. Tranormai Laplac Syara Cukup unuk Kwujudan Tranormai Laplac Sia-ia Tranormai Laplac Invr Tranormai Laplac Pramaan Dirnial Biaa Pramaan Dirnial Linir Ord Sau Pramaan Dirnial Linir Ord Dua Homogn Pramaan Dirnial Linir Ord Dua Tak Homogn Modl Sring-Bam Pnurunan Modl Sring-Bam...

12 .4 Pnliian Trdahulu Pnylaian Maalah dalam Al-Quran... 8 BAB III PEMBAHASAN 3. Analii Bnuk Tranormai Laplac unuk Modl Sring- Bam Slaian Analiik unuk Modl Sring-Bam dngan Maalah Nilai Awal dan Nilai Baa yang dibrikan Slaian Pramaan Sring dari Modl Slaian Pramaan Bam dari Modl Analii Kabahan Slaian unuk Modl Sring-Bam Analii Kabahan Slaian unuk Pramaan Sring Analii Kabahan Slaian unuk Pramaan Bam Tranormai Laplac dalam Al-Quran... 4 BAB IV PENUTUP 4. Kimpulan Saran DAFTAR RUJUKAN LAMPIRAN RIWAYAT HIDUP i

13 ABSTRAK Suryani, Lili. 6. Analii Tranormai Laplac pada Sring-Bam Modl. Skripi. Juruan Mamaika, Fakula Sain dan Tknologi, Univria Ilam Ngri Maulana Malik Ibrahim Malang. Pmbimbing: I Ari Kuumaui, M.Pd., M.Si. II Ach. Nahichuddin M.A Kaa Kunci: modl Sring-Bam, linir, ranormai Laplac. Modl Sring-Bam adalah modl dngan pramaan dirnial parial yang mnjlakan mngnai nomna vibrai pada jmbaan. Modl yang digunakan pada pnliian ini adalah modl linir homogn. Tujuan pnliian ini unuk mnylaikan modl Sring-Bam linir homogn dngan ranormai Laplac. Langkah-langkah dari pnliian ini adalah mnganalii bnuk ranormai Laplac unuk modl Sring-Bam, mnrapkan ranormai Laplac pada modl Sring-Bam dngan maalah nilai awal dan nilai baa yang dibrikan, dan mnylaikan modl unuk mndapakan laian ranormai Laplac pada modl Sring-Bam. Hail dngan mod ranormai Laplac unuk modl Sring-Bam dalam pnliian ini diprolh laian dan. Sdangkan unuk invr ranormai Laplac pada pnliian ini idak dapa dirapkan dalam mnnukan dan Shingga bagi pnliian lanjunya, diarankan unuk mnggunakan mod yang lain dalam mndapakan dan bagai hail invr dari dan. ii

14 ABSTRACT Suryani, Lili. 6. Analyi o Laplac Tranorm on Sring-Bam Modl. Thi. Dparmn o Mahmaic, Faculy o Scinc and Tchnology, Sa Ilamic Univriy o Maulana Malik Ibrahim Malang. Advior: I Ari Kuumaui, M.Pd., M.Si. II Ach. Nahichuddin M.A Kyword: Sring-Bam Modl,linar, Laplac Tranorm. Sring-Bam Modl i a modl wih a parial dirnial quaion which dcrib h phnomnon o vibraion on h bridg. Th modl ha ud in hi rarch i a modl linar homognou. Th purpo o hi rarch i olving Sring-Bam modl linar homognou uing Laplac ranorm. Th p o hi rarch ar analyzing h orm o Laplac ranorm or Sring-Bam modl, applying h Laplac ranorm on Sring-Bam modl wih h givn iniial and boundary valu problm, and olving h modl o obain h Laplac ranorm oluion on Sring-Bam modl. Th rul uing Laplac ranorm mhod or Sring-Bam modl in hi rarch obain a oluion and. Bu or h invr Laplac ranorm in hi rarch canno apply o drmin and. For urhr rarch, i i rcommndd o u ohr mhod in obaining and a a rul o h invr o and. iii

15 Sring-Bam. Sring-Bam Sring-Bam Sring-Bam Sring-Bam Sring-Bam Sring-Bam Sring-Bam iv

16 BAB I PENDAHULUAN. Laar Blakang Al-Quran diurunkan olh Allah Sw. kpada nabi Muhammad Saw. unuk mnjadi pdoman bagi manuia dalam mnylaikan iap prkara aau prmaalahan. Sbagaimana irman Allah Sw. di dalam ura an-naml/7:77-78, yang brbunyi: Dan Sungguhnya Al qur'an iu bnar-bnar mnjadi punjuk dan rahma bagi orang-orang yang briman. Sungguhnya Tuhanmu akan mnylaikan prkara anara mrka dngan kpuuan-nya, dan Allah Maha Prkaa lagi Maha mngahui QS. An-Naml/7: Mnuru air Al-Qurhubi/Syaikh Imam Al-Qurubi, yakni dalam aya 77 rbu rkandung makna bahwa ungguhnya al-quran adalah punjuk dan rahma bagi orang-orang briman karna hanya orang-orang briman yang mampu mngambil manaa al-quran. Sdangkan dalam aya 78 rkandung makna bahwa Allah Sw. akan mnylaikan prkara anara banga Irail lalu mmbrikan ganjaran kpada maing-maing mrka yang bnar dan alah Al-Qurhubi, 9:587. Dngan mnginga kuipan aya di aa, maka rdapa laian unuk iap maalah yang ada. Dmikian pula dalam prmaalahan vibrai objk yang mmbuuhkan analii cara mamaika dalam laian dan inrprainya. Cabang mamaika yang mngkaji prmaalahan pri ini adalah mamaika

17 rapan. Mnuru Wibowo 4 mamaika rapan mrupakan cabang mamaika yang brknaan dngan pnggunaan ala mamaika abrak guna mmcahkan maalah-maalah konkr pri maalah vibrai pada jmbaan. Tahap awal yang dilakanakan adalah mngkonruki modl mamaika unuk vibrai pada jmbaan. Slanjunya, modl mamaika ini diajikan dalam bnuk pramaan dirnial parial yang rdiri dari pramaan Sring dan pramaan Bam dari jmbaan. Pnliian ini mnggunakan modl Drábk, dkk 999 yang lanjunya dianalii mnggunakan ranormai Laplac. Tranormai Laplac adalah uau mod yang mnranormaikan pramaan dirnial dari domain waku mnjadi domain baru dngan variabl bba yaiu domain rkuni, dngan adalah bilangan komplk. Bgiu pula baliknya, invr ranormai Laplac adalah ranormai dari domain rkuni mnjadi domain waku Endy dan Sugiyono dalam Mandaari, 5:. Tranormai Laplac dimukan olh mamaikawan Pranci Pirr Simon Laplac , yang juga diknal unuk pramaan Laplac Tang, :3. Tranormai Laplac yang dibaha dalam pnliian ini adalah unuk mnranormaikan pramaan dirnial parial modl Sring-Bam k dalam bnuk pramaan dirnial biaa. Pnliian yang dilakukan mrujuk pada bbrapa pnliian rdahulu. Pnliian yang dilakukan olh Dia dan Widodo 3 mnggunakan mod ranormai Laplac unuk mnylaikan pramaan dirnial parial pada pramaan aliran pana. Shingga, dngan mnggunakan mod rbu diprolh brbagai macam karakriik logam pnghanar lirik yang mmpngaruhi prubahan pana dalam pnghanar lirik. Pnliian yang

18 3 dilakukan olh Imran dan Mohyud-Din 3 mnggunakan ranormai Laplac dalam mod dkompoii anga iin dalam mnylaikan laian analiik unuk pramaan dirnial parial ord inggi. Pnliian yang dilakukan olh Munawaroh, dkk 4 mnggunakan ranormai Laplac unuk mnnukan laian dari modl mamaika im grak pada rangkaian pga gandng dngan prdam dan gaya luar. Mliha bbrapa pnliian rdahulu yang mnggunakan mod ranormai Laplac unuk mnylaikan pramaan dirnial parial, maka pnliian ini brupaya mnganalii dan mmahami pnrapan mod ranormai Laplac unuk mndapakan laian modl Sring-Bam dngan maalah nilai awal dan nilai baa yang dibrikan. Brdaarkan paparan di aa, maka oku pnliian ini mngambil ma Analii Tranormai Laplac pada Sring-Bam Modl.. Rumuan Maalah Brdaarkan uraian pada laar blakang di aa, maka rumuan maalah yang dibaha adalah:. Bagaimana analii ranormai Laplac unuk modl Sring-Bam?. Bagaimana laian dari modl Sring-Bam dngan maalah nilai awal dan nilai baa yang dibrikan mnggunakan hail ranormai Laplac? 3. Bagaimana analii kabahan laian yang diprolh unuk modl Sring- Bam dngan ranormai Laplac?

19 4.3 Tujuan Pnliian Tujuan pnliian ini adalah:. Mngahui analii ranormai Laplac unuk modl Sring-Bam.. Mngahui laian dari modl Sring-Bam dngan maalah nilai awal dan nilai baa yang dibrikan mnggunakan hail ranormai Laplac. 3. Mngahui analii kabahan laian yang diprolh unuk modl Sring- Bam dngan ranormai Laplac..4 Baaan Maalah Agar pmbahaan kripi ini lbih rrukur, maka baaan maalah pada pnliian ini adalah:. Modl yang digunakan adalah modl Sring-Bam homogn dngan aumi bahwa jika nilai ngai maka Bam akan urun ru mnru hingga unuk mnahan agar Bam idak urun ru mnru digunakan anda pada pramaan Ohn, dkk:.. Pnliian ini idak mliha bra dari panjang Sring maka unuk uku idak diprimbangkan hingga uku pun bgiu mngikui Sring. 3. Unuk uku dan idak diprimbangkan karna pada pnliian ini idak ada pngaruh dari nrgi krnal rhadap Sring aaupun Bam. 4. Slaian analiik hanya diokukan kika kondii awal

20 5 dan kondii baa 5. Karna ingka komplkia modl yang dihadapi pnlii maka digunakan banuan program Malab aau Mapl unuk bbrapa prhiungan..5 Manaa Pnliian Manaa pnliian ini adalah unuk mngahui dan mmahami ranormai Laplac bagai alah au mod dalam mnylaikan pramaan dirnial parial khuunya pada modl Sring-Bam dngan maalah nilai awal dan nilai baa yang dibrikan..6 Mod Pnliian Mod pnliian ini mnggunakan kajian orii, dngan langkahlangkah bagai briku:. a. Mnranormaikan rua kiri dari modl Sring-Bam cara Laplac. b. Mnubiuikan kondii awal pada hail ranormai Laplac. c. Mndapakan laian dan dngan cara ubiui kondii-kondii baanya.. Mndapakan laian dan dngan cara mnginvrkan dan pada langkah c. 3. Mngck kabahan laian.

21 6.7 Simaika Pnulian Agar kripi ini lbih rarah dan mudah dipahami, maka pnuli mnggunakan imaika pnulian yang rdiri dari mpa bab. Maing-maing bab dibagi k dalam bbrapa ubbab dngan rumuan bagai briku: Bab I Pndahuluan, yang mlipui laar blakang, rumuan maalah, ujuan pnliian, baaan maalah, manaa pnliian, mod pnliian, dan imaika pnulian. Bab II Kajian Puaka, mlipui ranormai laplac, pramaan dirnial biaa, modl Sring-Bam, pnliian rdahulu, ra mmbaha kajian Ilam mngnai laian maalah dalam al-quran. Bab III Pmbahaan, mlipui analii ranormai Laplac unuk modl Sring- Bam, laian dari modl dngan maalah nilai awal dan nilai baa yang dibrikan, dan ck kabahan laian yang lah diprolh. Slain iu juga brii nang pnjlaan ranormai Laplac di dalam al- Quran. Bab IV Pnuup, yang mlipui kimpulan dan aran bagai acuan unuk pnliian lanjunya.

22 BAB II KAJIAN PUSTAKA. Tranormai Laplac Tranormai Laplac adalah uau mod yang mnranormaikan pramaan dirnial dari domain waku mnjadi domain baru dngan variabl bba yaiu domain rkuni, dngan adalah bilangan komplk. Bgiu pula baliknya, invr ranormai Laplac adalah ranormai dari domain rkuni mnjadi domain waku Endy dan Sugiyono dalam Mandaari, 5:. Tranormai Laplac dimukan olh mamaikawan Pranci Pirr Simon Laplac , yang juga diknal unuk pramaan Laplac Tang, :3. Tranormai Laplac dari ungi didiniikan bagai. Dan ada aau idaknya rganung dari apakah hail pada pramaan. ada konvrgn aau idak ada divrgn. Sringkali dalam prakiknya rdapa uau bilangan riil hingga ingral pada pramaan. ada unuk dan idak ada unuk. Himpunan nilai hingga pramaan. ada dinamakan darah kkonvrgnan rang o convrgnc aau kwujudan inc dari Spigl, 994:6. 7

23 8.. Syara Cukup unuk Kwujudan Tranormai Laplac Torma... Jika adalah koninu cara bagian-bagian dalam iap lang Buki: brhingga N dan kponnial brord unuk N, maka ranormai Laplac-nya F ada unuk mua Spigl, 999:. Unuk iap bilangan poii N diprolh,. Karna adalah koninu cara bagian-bagian dalam iap lang rbaa N, ingral prama di rua kanan ada. Juga ingral kdua di rua kanan ada, karna adalah kponnial brord unuk N. Unuk mlihanya prlu diamai bahwa dalam hal dmikian,.3 Jadi ranormai Laplac ada unuk Spigl, 999:8.

24 9.. Sia-Sia Tranormai Laplac Tranormai Laplac uau ungi mmpunyai bbrapa ia. Sia-ia rbu anara lain: a. Sia Linir Torma... Jika dan c adalah barang konana, dangkan dan c adalah ungi-ungi dngan ranormai-ranormai Laplacnya maing-maing F dan F, maka:.4 Spigl, 999:3. Buki: Mialkan dan. Maka jika dan adalah konana-konana, c c c c d c d c d c c F d c c F d.5 Conoh: 4 3co 5 co

25 .6 Simbol, yang mnranormaikan k dalam F, ring dibu opraor ranormai Laplac. Karna ia yang dinyaakan dalam orma ini, dikaakan bahwa adalah uau opraor linir aau bahwa ia mmiliki ia linar Spigl, 999:-3. b. Sia Tranlai aau Prgran Prama Torma... Jika maka a F a Buki: Karna d F, maka a a d a d F a.7 Spigl, 999:3. c. Sia Tranlai aau Prgran Kdua Torma...3 Jika F dan g a,, jika jika a a a maka g F.8 Buki: g g d = a g d g d a a d a d a a a d.9 Mial u = a maka = u + a dan du = d, hingga

26 a a d u a u du a u u du a F u. Spigl, 999:4. d. Sia Pngubahan Skala Torma...4 Jika F, maka a F a a Buki: Karna d maka a a d du Mial u = a, du = a d aau d =, hingga didapakan a a u u a a a d du u a a u du F a a. Spigl, 999:4.. Tranormai Laplac dari Turunan-urunan Torma...5 Jika maka Karna d F, maka ' ' d d d d. Jika ' F maka '' F ' Buki:

27 .3 d '' ' d d d '. '. ' ' ' ' ' ' ' '.. ' ' F F F d d d, F maka n n n n n n F.4 Spigl, 999:5.. Tanormai Laplac dari Ingral-ingral Torma...6 Jika, F maka F du u Buki: Mial du u g maka ' g dan g Dngan ranormai Laplac pada kdua rua, diprolh: ' g g g F g F g.5

28 3 Jadi diprolh u du F Spigl, 999:6. g. Prkalian dngan Torma...7 Buki: n n n n d n Jika F, maka F F n d Karna F di bawah anda ingral, diprolh: d d ' d d d maka mnuru auran Libniz unuk mnurunkan d d d d d d =.6 d ' Jadi F Spigl, 999:7. d h. Sia Pmbagian olh Torma...8 Jika F, maka u du Buki: Mial g maka g. Dngan mnggunakan dinii ranormai Laplac unuk kdua bagian, maka diprolh bnuk g aau d F g d aau dg F. Slanjunya dngan mngingralkan diprolh, d

29 4 F dg d G u du u du.7 Jadi u du Spigl, 999:8...3 Invr Tranormai Laplac Dinii..3. Jika ranormai Laplac uau ungi adalah F, yaiu jika F, maka dibu uau invr ranormai Laplac dari. Scara imboli diuli F dngan dibu opraor invr ranormai Laplac. a. Kunggalan Invr Tranormai Laplac Karna ranormai Laplac dari uau ungi-nol adalah nol maka jla bahwa bila F maka juga F. Dngan dmikian dapa diprolh dua ungi yang brbda dngan ranormai Laplac yang ama. Conoh: 3 dan, 3, Mngakibakan.8 3 Jika mmprhiungkan ungi-ungi nol, maka rliha bahwa invr ranormai Laplac idak unggal Spigl, 999:4.

30 5. Pramaan Dirnial Biaa Pramaan dirnial PD adalah pramaan yang mngandung urunan di dalamnya. Pramaan dirnial dibagi mnjadi dua. Prama, PD yang mngandung hanya au variabl bba, dibu pramaan dirnial biaa PDB. Kdua, PD yang mngandung lbih dari au variabl bba, dibu pramaan dirnial parial PDP Endy dan Sugiyono dalam Mandaari, 5:5. Brdaarkan ia kliniran pangka au dari pubah ak bbanya, PD dapa dibdakan mnjadi PD linir dan PD idak linir. Bnuk umum PD linir ordr dibrikan: n ' an y a y a y dngan a n a n,, a dibu koiin PD. Bila maka dibu PD linir homogn, dangkan bila maka dibu PD linir ak homogn. Bila idak dapa dinyaakan pri bnuk di aa dikaakan PD idak linir. Dari conoh rdahulu, pramaan Brnoulli dan Van Dr Pol mrupakan PD idak linir Muria, 9: Pramaan Dirnial Linar Ord Sau Suau pramaan yang mngandung au aau bbrapa urunan dari uau ungi yang idak dikahui dibu pramaan dirnial. Khuunya, uau pramaan brbnuk n F, y, y, y,, y.9 yang mana k y mnyaakan urunan y rhadap yang k k, dibu pramaan dirnial biaa brord n.

31 6 y n n a y an y' an y k. Bahwa y dan mua urunannya muncul dalam pangka au dibu uau pramaan linir karna jika diulikan dalam pnulian opraor, n n D a D an D an y k. opraor dalam kurung iku adalah opraor linir. Jadi, jika L mnyaakan opraor, dan g brupa ungi dan c konana, L g L L g L c cl. Purcll dan Varbrg, 999: Pramaan Dirnial Linar Ord Dua Homogn Suau pramaan dirnial linir ord kdua mmpunyai bnuk, y ' a y' a y k.3 ' Mialkan a, a adalah konana, dan k cara idnik adalah nol kau homogn. Pramaan dirnial linir homogn ord kdua lalu mmpunyai dua laian undamnal u dan u, yang bba au ama lain yakni, ungi yang au bukan klipaan ungi yang lainnya, dari kliniran opraor D ad a, C u C u.4 adalah uau laian juga Purcll dan Varbrg, 999:44. Pramaan banu: karna D r r r, bahwa r mrupakan uau laian rhadap pramaan dirnial unuk uau pilihan r yang uai. Unuk mnguji kmungkinan, prama mnulikan pramaan rbu dalam bnuk opraor

32 Skarang D a D a y.5 7 r r r D ad a D ad a r r r r ar a r Dimialkan rua kanan adalah nol, r r ar a.6 r a r a.7 Pramaan.7 dibu pramaan banu unuk.5. Karna pramaan.7 mrupakan uau pramaan kuadra biaa dan dapa dilaikan dngan pmakoran aau jika prlu dngan rumu kuadra. Trdapa iga kau yang diinjau yaiu dua akar riil brlainan, akar unggal brulang, aau akar-akar komplk aling konjuga Purcll dan Varbrg, 999:44. Akar-akar riil brlainan. Jika r dan r brlainan, akar-akar riil pramaan banu, maka laian umum y ' a y' a adalah ' y r r y C C.8 Tapi, apabila pramaan banu mmpunyai bnuk, r r r r r r.9 Maka pramaan.9 akan mnghailkan laian undamnal unggal r dan haru mncari laian lain yang bba dari laian rbu. Slaian yang dmikian adalah r, pri yang akan dijabarkan bagai briku r r r r D r D r D r D r r r r r r r r r r r.3

33 Akar brulang. Jika pramaan banu mmpunyai akar unggal brulang r, maka laian umum rhadap y ' a y' a adalah ' y 8 r r y C C.3 Apabila pramaan banu mmpunyai akar-akar komplk aling konjuga bagai briku: D B y.3 dngan pramaan banu r dan akar-akar komplk i. Slaianlaian undamnalnya cara mudah rliha brupa in dan co Purcll dan Varbrg, 999:443. Akar-akar komplk aling konjuga. Jika pramaan banu mmpunyai akarakar komplk aling konjuga i, maka laian umum y ' a y' a adalah ' y y C co C in.33 Purcll dan Varbrg, 999: Pramaan Dirnial Linir Ord Dua Tak Homogn Pramaan linir ak-homogn umum dngan koiin konan, y n n a y an y' an y k.34 Slaian pramaan.34 dapa dirduki aa iga langkah: Mnnukan laian umum. yh Cu Cu Cnun rhadap pramaan homogn. Mnnukan laian khuu y p rhadap pramaan ak-homogn rbu.

34 9 3 Mnambahkan laian-laian dari langkah dan. Mnyaakan hailnya bagai uau orma ormal. Torma..3. Jika y p uau laian khuu barang rhadap pramaan ak-homogn, n n L y D ad an D an y k.35 dan jika y h adalah laian umum rhadap pramaan homogn yang Buki: brpadanan, maka y y p y h.36 adalah laian umum dari.36 Purcll dan Varbrg, 999:446. Kliniran oprai L mrupakan lmn kunci dalam pmbukian. Andaikan y p dan y h adalah pri yang dijlakan, maka L y p yh L y p L yh k.37 Shingga y y p yh adalah uau laian rhadap.34. Sbaliknya, andaikan y barang laian rhadap.34. Maka, L y y p L y L y p k k.38 Shingga dari iu y y p adalah uau laian rhadap pramaan homogn. Maka y y p y y p dapa diulikan bagai p y diambah lian rhadap pramaan homogn Purcll dan Varbrg, 999: Mod Koiin Tak Tnu Pramaan umum, y ' a y' a y k.39 '

35 Fungi k brupa polinom, kponn, inu, dan coinu. Tabl. Mod Koiin Tak Tnu Sumbr: Purcll dan Varbrg, 999 y k p m A m m A A a a A a a A a B in a Aco a Bina..3. Mod Variai Paramr Mod yang lbih umum daripada mod koiin ak-nu adalah mod variai paramr. Mnuru Purcll dan Varbrg 999 jika u dan u adalah laian bba rhadap pramaan homogn dngan pmialan y h C u C u, maka rdapa uau laian khuu rhadap pramaan ak-homogn yang brbnuk dngan y p v u v u.4 ' ' v u v.4 u ' ' ' ' v u v u k.4.3 Modl Sring-Bam Pramaan Sring-Bam Modl adalah pramaan dirnial parial yang mnjlakan mngnai nomna jmbaan. Modl ini mmua bagai bar prgrakan dari vibrai Sring dan bagai Bam dari jmbaan. Suku nonlinir mnyaakan hubungan Bam dan Sring yang mnybabkan kabl brgrak k bawah. Olh karna iu, dibrikan anda ngai di dpan pada pramaan prama dan dibrikan anda poii di dpan pada pramaan kdua yang mnyaakan hubungan Bam dan Sring yang

36 mnybabkan kabl brgrak k aa. Drábk dkk 999 mnyaakan modl ini bagai briku: ungi ungi dan dan Pnurunan Modl Sring-Bam Aumi yang dibangun adalah adalah pluang parikl mndak k kanan, adalah pluang parikl mndak k kiri, adalah pluang parikl konin dngan arah dakan, adalah pluang parikl mlawan arah dakan. Pluang dan diaumikan idak brubah dan. Jadi jika parikl didak dari kiri, adalah pluang parikl brgrak k arah kanan, dan adalah pluang parikl brbalik arah k kiri. Dngan mmprhaikan pramaan ini, Maka, kpani dr Taylor unuk pramaan.44 adalah,.46 Dari pramaan.46 kdua rua dikurangi dngan, maka.47

37 Dari pramaan.47 ord kduanya dipoong dan uku diabaikan, maka diprolh Diaumikan, dan dngan dan brupa konana ak nol. Shingga pramaan.5 mnjadi,.5 Kmudian, kpani dr Taylor unuk pramaan.45 adalah,.5.53 Dari pramaan.53 kdua rua dikurangi dngan, maka.54 Dari pramaan.54 ord kduanya dipoong dan uku diabaikan, maka diprolh

38 3 Diaumikan, dan di mana dan brupa konana ak nol. Shingga pramaan.57 mnjadi, Pramaan.5 dan.59 dikurangkan, hingga mnjadi.6 Pramaan.5 dan.59 dijumlahkan, hingga mnjadi.6 Pramaan.6 diurunkan rhadap, hingga mnjadi Pramaan.6 diurunkan rhadap, hingga mnjadi.6 Pramaan.6 dikalikan dngan, hingga mnjadi.63 Pramaan.64 dan.63 dikurangkan, hingga mnjadi Jika, brnilai dan brnilai maka,.66 Dngan mnggunakan aumi dan cara yang ama pula maka dapa dicari pnurunan pramaan kdua pada im.43 api dngan kpani dr Taylor hingga ord 5 unuk pramaan.44 bagai briku,

39 4.67 Dari.67 kdua rua dikurangi dngan, maka.68 Dari.68 ord kmpa dan klimanya dipoong, uku diabaikan, maka diprolh Diaumikan,,,,, dan dngan,,,,, dan brupa konana ak nol. Shingga pramaan.7 mnjadi,

40 Kmudian, kpani dr Taylor unuk pramaan.45 adalah,.74 Dari.74 kdua rua dikurangi dngan, hingga diprolh.75 Pramaan.75 ord kmpa dan klimanya dipoong, uku diabaikan, maka diprolh.76.77

41 6.78 Diaumikan,,,,, dan dngan,,,,, dan brupa konana ak nol. Shingga pramaan.78 mnjadi,.79 Pramaan.73 dan.8 dikurangkan, hingga mnjadi.8 Pramaan.73 dan.8 dijumlahkan, hingga mnjadi.8 Pramaan.8 diurunkan rhadap, hingga mnjadi.8 Pramaan.8 diurunkan rhadap, hingga mnjadi.83

42 7.84 Pramaan.83 dan.84 dijumlahkan, hingga mnjadi.85 Pramaan.85 dapa diuli mnjadi.86 Dari pramaan.86 dilakukan pmoongan hingga mnjadi.87 Jika, brnilai dan brnilai maka,.88 Kmudian dngan mmprhaikan maa dan bra pr auan panjang Sring dan Bam ra nrgi krnal yang priodik maka rbnuk modl Sring-Bam bagai briku:.4 Pnliian Trdahulu Pnliian yang dilakukan mrujuk pada bbrapa pnliian rdahulu. Pnliian yang dilakukan olh Dia dan Widodo 3 mnggunakan mod

43 8 ranormai Laplac unuk mnylaikan pramaan dirnial parial pada pramaan aliran pana. Shingga, dngan mnggunakan mod rbu diprolh brbagai macam karakriik logam pnghanar lirik yang mmpngaruhi prubahan pana dalam pnghanar lirik. Pnliian yang dilakukan olh Imran dan Mohyud-Din 3 mnggunakan ranormai Laplac dalam mod dkompoii anga iin dalam mnylaikan laian analiik unuk pramaan dirnial parial ord inggi. Pnliian yang dilakukan olh Munawaroh, dkk 4 mnggunakan ranormai Laplac unuk mnnukan laian dari modl mamaika im grak pada rangkaian pga gandng dngan prdam dan gaya luar..5 Pnylaian Maalah dalam Al-Quran Spri yang lah diampaikan blumnya bahwa al-quran diurunkan olh Allah Sw. kpada nabi Muhammad Saw. unuk mnjadi pdoman bagi manuia dalam mnylaikan iap prkara aau prmaalahan. Maalah adalah au ciri dunia yang idak akan prnah hilang, iapapun yang namanya maih hidup di bumi ini pai akan mnghadapi maalah mulai dari anak-anak hingga kakk-nnk. Olh karna iu pula, Allah Sw. lah mmpriapkan mod rbaik dalam mnghadapi iap maalah yaiu dngan abar dan hala, bagaimana irman Allah Sw. di dalam ura al-baqarah/:53, yang brbunyi: Hai orang-orang yang briman, jadikanlah abar dan hala bagai pnolongmu. Sungguhnya Allah bra orang-orang yang abar QS. Al- Baqarah/:53.

44 9 Dalam kuipan aya di aa, Allah Sw. mmrinahkan kaum mukminin unuk mmina prolongan dalam gala uruan mrka baik dunia maupun akhira, kabaran adalah pngndalian dan pnjagaan diri rhadap hal yang dibnci. Dan kabaran ada iga macam, yaiu abar dalam kaaan kpada Allah Sw. hingga mampu mnunaikannya, abar dari kmakiaan kpada Allah Sw. hingga mnjauhinya dan abar aa akdir-akdir Allah Sw. yang mmilukan agar idak mmakinya. Kabaran adalah prolongan yang bar dari gala uau, karna ama kali idak ada jalan bagi orang yang idak brabar unuk mndapakan apa yang diinginkannya, khuunya dalam hal kaaan yang anga uli dan brkinambungan, di mana hal iu angalah mmbuuhkan kabaran dan kbranian unuk mraakan kpahian yang mnyakikan, namun jika plakunya iu konkuni dngan kabaran, nicaya dia akan mmprolh kmnangan, namun bila baliknya, nicaya dia idak akan mndapakan apa-apa kcuali khampaan A-Sa di, 7:38. Shingga dikahui bahwa kabaran iu angalah dibuuhkan olh orang hamba, bahkan mnjadi uau yang darura dalam iap kondii, olh karna iu Allah Sw. mmrinahkan dan mngabarkan bahwaanya Dia bra orang-orang yang abar. Lalu Allah Sw. mmrinahkan unuk mmina prolongan dngan hala, karna hala adalah iang agama dan cahaya kaum mukminin, dan ia adalah pnghubung anara orang hamba dngan Tuhannya. Apabila hala orang hamba iu mpurna, diambah dngan apa yang diwajibkan dan yang diunnahkan padanya, hala yang rii olh khadiran hai yang mrupakan

45 3 ininya, hingga orang hamba bila mulai mlakanakan hala, dia mraa mauk mnmui Tuhannya dan brdiri brhadapan dngan-nya bagaimana brdirinya orang pmbanu yang bropan anun dan pnuh prhaian dngan apa yang ia bicarakan dan apa yang ia lakukan ra rbuai dalam brmunaja kpada Tuhannya dan brdoa kpada-nya; idak alah lagi bahwa hala iu adalah bar-bar pnolong dari gala prkara, karna hala iu mncgah dari prbuaan kji dan mungkar, dan karna khadiran hai di dalam hala iu mngharukan adanya buah karakr dalam hai orang hamba yang mngajaknya kpada plakanaan prinah Tuhannya dan mnjauhi larangan-nya, inilah hala yang diprinahkan olh Allah Sw. unuk dijadikan pnolong dalam gala prkara A-Sa di, 7:38. Dari air di aa jla bahwa dngan mnggunakan mod rnu maka apapun maalahnya baik unuk uruan dunia maupun akhira mmiliki laian. Sbagaimana irman Allah Sw. di dalam ura al-inyirah/94:6, yaiu: Sungguhnya udah kulian iu ada kmudahan QS. Al-Inyirah/94:6. Bahwa Allah Sw. mmbriahukan brama kulian iu rdapa kmudahan. Kmudian Dia mmprga bria rbu, Ibnu Jarir mriwayakan dari al-haan, dia brkaa: Nabi Muhammad Saw. prnah kluar rumah pada uau hari dalam kadaan nang dan gmbira, dan bliau juga dalam kadaan rawa raya brabda: Sau kulian iu idak akan prnah mngalahkan dua kmudahan, ungguhnya brama kulian iu pai rdapa kmudahan Ad-Dimayqi, :498. Dari uraian di aa jla bahwa idak ada kulian dan kmpian yang abadi, Allah Sw. akan mmbrikan kmudahan dan klapangan lahnya.

46 BAB III PEMBAHASAN 3. Analii Bnuk Tranormai Laplac unuk Modl Sring-Bam Kika diaumikan modl Sring-Bam adalah modl linir, maka dapa dirduki mnjadi bnuk bagai briku: dngan, dngan kondii awal : Maa pr auan panjang ring dngan ormula : Maa pr auan panjang dk dngan ormula : Kgangan ring : Modulu Young : Momn inria dk : Koiin damping pada ring : Koiin damping pada dk dan kondii baa 3.3 Pramaan 3. dapa dihiung dngan mnggunakan dinii dari ranormai Laplac, maka: 3

47 3,,,,,,.... v v V m v v V m V v v m d v v v m d v v v m d v v v m d v v m d v v m ,,,, v V b v V b V v b d v v b d v v b 3.6

48 33,,,,,,.... u u U m u u U m U u u m d u u u m d u u u m d u u u m d u u m d u u m

49 34 b u u d b b b U, b U, u u u U d u, u, 3.9 Slanjunya dngan mnubiuikan pramaan 3.4 ampai pramaan 3.9 pada pramaan 3. dan dngan mngnakan kondii-kondii awalnya maka diprolh, 3.a pramaan 3.a dan 3.b dapa dijabarkan mnjadi, 3.b 3.a Shingga bnuk ranormai Laplacnya adalah 3.b 3.a 3.b 3. Slaian Analiik unuk Modl Sring-Bam dngan Maalah Nilai Awal dan Nilai Baa yang Dibrikan Pada bagian ini, hail ranormai Laplac pada 3. diubiuikan unuk mndapakan laian dari pramaan Sring yang diajikan pada ubbab 3.. dan pramaan Bam yang diajikan pada ubbab 3...

50 Slaian Pramaan Sring dari Modl Hail ranormai Laplac unuk pramaan Sring 3.a dapa diuli bagai briku, 3.3 yang mrupakan pramaan dirnial biaa non homogn. Mnuru Purcll dan Varbrg 999:446, laian umum unuk pramaan dirnial biaa didiniikan bagai briku 3.4 dngan adalah laian umum dari pramaan homogn dan adalah laian khuu dari pramaan non homogn. Bnuk homogn dari pramaan 3.4 adalah Pramaan 3.5a dapa diuli dalam bnuk karakriik bagai briku 3.5a 3.5b Slanjunya dihiung akar-akar bagai briku 3.5c Arinya akar-akar imajinr, hingga dapa dinyaakan laian bagai briku 3.5d Sdangkan unuk, karna pada pramaan 3.4 dngan mnggunakan Tabl., maka dapa diuli bagai briku

51 Slanjunya dihiung koiin dan dngan langkah-langkah bagai briku a Subiuikan pramaan 3.7 dan 3.8b k pramaan 3.4b, diprolh 3.7b Dari ini dapa diimpulkan bahwa 3.8 Ini arinya aau Padahal maka 3.9 dan Subiuikan hail dari 3. dan 3. k dalam 3.7, hingga diprolh Subiuikan hail dari 3.5d dan 3. k dalam 3.4, maka diprolh laian umum bagai briku Dalam hal ini, ranormai Laplac dari kondii baanya adalah 3.

52 Shingga diprolh 3.4 dan 3.5 Dngan mnubiuikan nilai dan maka diprolh 3.6 Slanjunya, unuk mmprolh laian dari pramaan Sring 3. maka dilakukan invr ranormai Laplac pada pramaan 3.6, akan api pada kau ini ada bbrapa uku dari pramaan 3.6 yang idak dapa diingralkan pri hingga idak diprolh hail dari invr ranormai Laplac bagai laian akhir dari pramaan Sring.

53 Slaian Pramaan Bam dari Modl Hail ranormai Laplac unuk pramaan Bam 3.b mrupakan pramaan dirnial biaa homogn. Mnuru Purcll dan Varbrg 999:446, laian umum unuk pramaan dirnial biaa pri pramaan 3.b adalah bagai briku, Pramaan 3.b dapa diuli dalam bnuk karakriik briku 3.7 Slanjunya dihiung akar-akar bagai briku 3.8 Arinya akar-akar riil dan imajinr, hingga dapa dinyaakan laian bagai briku 3.9 Dalam hal ini, ranormai Laplac dari kondii baanya adalah 3.3 Shingga diprolh 3.3 dan 3.3 dan

54 dan 3.34 Kmudian, dari pramaan 3.3 ampai dngan pramaan 3.34 akan rbnuk marik hingga diprolh nilai dan bagai briku: dngan, dan Kmudian dngan mnubiuikan nilai dan maka diprolh 3.35 Slanjunya, unuk mmprolh laian dari pramaan Bam 3. maka dilakukan invr ranormai Laplac pada pramaan 3.35, akan api pada

55 kau ini ada bbrapa uku dari pramaan 3.35 yang idak dapa diingralkan 4 pri hingga idak diprolh hail dari invr ranormai Laplac bagai laian akhir dari pramaan Bam. 3.3 Analii Kabahan Slaian unuk Modl Sring-Bam 3.3. Analii Kabahan Slaian unuk Pramaan Sring Dikahui laian yang diprolh 3.6 lah kondii baa dimaukkan adalah bagai briku, Unuk mmbukikan laian di aa bnar maka dilakukan pnurunanpnurunan pada laian 3.6 rbu. Turunan dari rhadap adalah bagai briku

56 4 diprolh Subiui hail pnuruna di aa k dalam pramaan 3.a maka Shingga diprolh bnar. Jadi, dngan rpnuhi bnuk daarnya maka laian rbu dikaakan 3.3. Analii Kabahan Slaian unuk Pramaan Bam Dikahui laian yang diprolh 3.35 lah kondii baa dimaukkan adalah bagai briku, Unuk mmbukikan laian di aa bnar maka dilakukan pnurunanpnurunan pada laian 3.35 rbu yang kmudian diubiui k dalam pramaan 3.b maka diprolh

57 4 Jadi, dngan rpnuhi bnuk daarnya maka laian rbu dikaakan bnar. 3.4 Tranormai Laplac dalam Al-Quran Sbagaimana uraian blumnya, bahwa Allah Sw. lah mmpriapkan mod rbaik dalam mnghadapi iap maalah yaiu alah aunya dngan abar. Kabaran adalah prolongan yang bar dari gala uau, karna ama kali idak ada jalan bagi orang yang idak brabar unuk mndapakan apa yang diinginkannya rmauk mndapakan laian unuk maalah yang ngah dihadapi. Sabar dalam hal ini bukan brari parah dan mnyrah pada naib. Sabar adalah kgigihan unuk ap brpgang guh kpada kapan Allah Sw. kapan hai dalam mnrima knuan Allah Sw., karna apapun yang mnimpa adalah knuan-nya. Jadi kabaran iu adalah buah pro aki, kolaborai anara ridlo rla mnrima akdir Allah Sw. dan ikhiar mncari laian. Kabaran bukan pro diam dan pai, mlainkan pro aki, yaiu akal aki, ubuh aki dan iman yang aki. Juru dari maalah yang diikapi dngan kabaran akan urun rahma dan punjuk dari Allah. Spri halnya pada modl Sring-Bam, yaiu modl dngan pramaan dirnial parial yang mnjlakan nomna dawai ganung. Modl ini mmua bagai bar prgrakan dari vibrai ring dan bagai prgrakan dk dari jmbaan. Dibuuhkan pro aki dalam mnghadapi modl ini yaiu aki dalam mncari pnylaiannya. Salah au mod pnylaian

58 43 yang dapa digunakan adalah ranormai Laplac. Tranormai Laplac ndiri adalah uau mod yang mnranormaikan pramaan dirnial dari domain waku mnjadi domain baru dngan variabl bba. Kmbali pada hakika dan makna abar dalam mnghadapi maalah yaiu, bukan hanya maa-maa mnrima prmaalahan api juga brikhiar unuk mnnylaikan prmaalahan yang dang dihadapi rbu. Tranormai Laplac dalam pnliian ini mrupakan alah au wujud ikhiar unuk mnylaikan modl Sring-Bam. Sbagaimana irman Allah Sw. di dalam ura al-inyirah/94:6, yaiu: Sungguhnya udah kulian iu ada kmudahan QS. Al-Inyirah/94:6. Bahwa Allah Sw. mmbriahukan brama kulian iu rdapa kmudahan. Kmudian Dia mmprga bria rbu, Ibnu Jarir mriwayakan dari al-haan, dia brkaa: Nabi Muhammad Saw. prnah kluar rumah pada uau hari dalam kadaan nang dan gmbira, dan bliau juga dalam kadaan rawa raya brabda: Sau kulian iu idak akan prnah mngalahkan dua kmudahan, ungguhnya brama kulian iu pai rdapa kmudahan Ad-Dimayqi, :498. Dari uraian di aa jla bahwa idak ada kulian dan kmpian yang abadi, Allah Sw. akan mmbrikan kmudahan dan klapangan lahnya. Hal ini brari iap maalah pai mmiliki pnylaian.

59 BAB IV PENUTUP 4. Kimpulan Brdaarkan hail pmbahaan di aa diprolh kimpulan bagai briku:. Hail analii ranormai Laplac yang dirapkan unuk pramaan Sring dan pramaan Bam bruru-uru diajikan dalam bnuk briku:. Slaian yang diprolh unuk pramaan Sring bagai briku:, Dan unuk pramaan Bam diprolh laian bagai briku: unuk dan 44

60 3. Dari hail pmbahaan pnliian ini diimpulkan bahwa laian dan rbuki bnar karna mmnuhi bnuk daarnya Saran Dalam pnliian ini invr ranormai Laplac unuk dan gagal mndapakan dan. Olh karna iu, diarankan pnliian lanjunya unuk mnggunakan mod yang lain dalam mndapakan dan bagai hail invr dari dan nya

61 DAFTAR RUJUKAN Al-Qurhubi. 9. Tair Al Qurhubi. Jakara: Puaka Azzam. Ad-Dimayqi, A.F.I.. Tair Ibnu Kair Juz 5. Trjmahan B.A. Bakar. Bandung: Sinar baru Algnindo. A-Sa di, A. 7. Tair A-a di. Jakara: Puaka Sahia. Dia, M.F. & Widodo, B. 3. Karakriik Aliran Pana dalam Logam Pnghanar Lirik. Jurnal Tknik Pomi, : -5. Drábk, P., Linldr, H., & Tajcová, G Coupld Sring-Bam Equaion A a Modl o Supnion Bridg. Applicaion o Mahmaic, 44 : Imran, N. & Mohyud-Din, S.T.. 3. Dcompoiion Mhod For Fracional Parial Dirnial Equaion PDE Uing Laplac Tranormaion. Inrnaional Journal o Phyical Scinc, 8 6: Kuumaui, A. 5. Simulai Numrik Modl Glombang Tori Vrkikal. Ti idak dipublikaikan. Malang: Program Pacaarjana Fakula Mamaika dan Ilmu Pngahuan Alam Univria Brawijaya. Mandaari, R. 5. Tranormai Laplac pada Pramaan Tlgra. Skripi idak dipublikaikan. Malang: Juruan Mamaika Fakula Sain dan Tknologi Univria Ilam Ngri Maulana Malik Ibrahim Malang. Munawaroh, Z., Choim, M., & Wuryano. 4. Slaian Sim Oilai Dua Draja Kbbaan pada Rangkaian Pga Gandng dngan Prdam dan Gaya Luar. Unn Journal o Mahmaic, 3 : -5. Muria, D. 9. Mamaika Daar unuk Prguruan Tinggi. Bandung: Rkayaa Sain. Ohn, K.R.. A Mahmaical Modl o a Supnion Bridg Ca Sudy: Adomi Bridg, Aimpoku, Ghana. Global Advancd Rarch Journal o Enginring, Tchnology, and Innovaion. 3, Purcll, E.J. & Varbrg, D Kalkulu dan Gomri Analii Jilid, Edii Klima. Jakara: Erlangga. Spigl, M.R Mamaika Lanjuan unuk Para Ininyur dan Ilmuwan. Jakara: Erlangga. Spigl, M.R Tranormai Laplac. Jakara: Erlangga. 46

62 Tang, K.T.. Mahmaical Mhod or Enginr and Scini,,3. Trjmahan I. Muaqin. Bandung: Juruan Fiika Fakula Sain dan Tknologi UIN Sunan Gunung Djai. Wibowo, H.B. 4. Cabang Pmbagian Ilmu Mamaika. Onlin, hp://hadibranawibowo.blogpo.co.id/4//cabang-pmbagianilmu-mamaika.hml, diak 7 Okobr 5. Zaudrr, E. 6. Parial Dirnial Equaion o Applid Mahmaic, Third Ediion. Nw York: John Wily & Son, Inc. 47

63 Lampiran : Program Malab unuk Mncari Nilai dan clc,clar all ym z w U U U3 U4 A=[ ; pz p-z coz inz;... w^ w^ -w^ ;... w^*pz w^*p-z -w^*coz - w^*inz]; B=[U; U;... U3; U4]; C=invA; D=C*B

64 RIWAYAT HIDUP Lili Suryani dilahirkan di Tarakan pada anggal Novmbr 994, anak ngah dari 3 braudara, puri dari paangan bapak Sumaro dan ibu Sulari. Pndidikan prama dilaikan di kampung halaman di SDN 4 Tarakan yang diamakan pada ahun 6. Pada ahun yang ama dia mlanjukan pndidikan mnngah prama di SMPN Tarakan dan dilaikan pada ahun 9, kmudian dia mlanjukan pndidikan mnngah aa di SMAN Tarakan dan mnamakan pndidikan rbu pada ahun. Jnjang pndidikan brikunya dimpuh di Univria Ilam Ngri Maulana Malik Ibrahim Malang mlalui jalur SNMPTN Undangan dngan mngambil Juruan Mamaika Fakula Sain dan Tknologi. Dia dapa dihubungi via mail: lili.uryani38@gmail.com

65