8. Fungsi Logaritma Natural, Eksponensial, Hiperbolik

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "8. Fungsi Logaritma Natural, Eksponensial, Hiperbolik"

Harjanti Kurnia
7 tahun lalu
Tontonan:

1 8. Fungsi Logaritma Natural, Eksponnsial, Hiprbolik 8.. Fungsi Logarithma Natural. Sudaratno Sudirham Dfinisi. Logaritma natural adalah logaritma dngan mnggunakan basis bilangan. Bilangan ini, sprti halna bilangan π, adalah bilangan-nata dngan dsimal tak trbatas. Sampai dngan angka di blakang koma, nilaina adalah,78888 Bilangan mrupakan salah satu bilangan-nata ang sangat pnting dalam matmatika: ln (8.) ln a a ln a (8.) Kita lihat skarang fungsi logaritma natural. Fungsi logaritma natural dari dituliskan sbagai ln (8.) Fungsi ini didfinisikan mlalui intgral (mngnai intgrasi akan kita plajari pada Bab-), aitu ln dt (8.) t Brikut ini kita akan mlihat dfinisi trsbut scara grafis di mana intgral dngan batas trtntu sprti (8.) brarti luas bidang antara fungsi /t dan sumbu- ang dibatasi olh t dan t. Prhatikan Gb.8.. Nilai fungsi ln adalah luas bidang ang dibatasi olh kura (/t) dan sumbu-t, dalam rntang antara t dan t. 6 5 /t ln t Gb.8.. Dfinisi ln ditunjukkan scara grafis. Kura fungsi ln dalam koordinat - adalah sprti pada Gb.8.. Nilai ln trjadi pada nilai. Sudaratno Sudirham, Fungsi Log Natural, Eksponnsial, Hiprbolik /6

2 ,5,5 - -,5 - Gb.8.. Kura ln. Sifat-Sifat. Sifat-sifat logaritma natural mirip dngan logaritma biasa. Jika dan a adalah positif dan n adalah bilangan rasional, maka: ln a ln a + ln ln ln ln a; a n ln nln (8.5) ln ln ln -,5 ln brnilai ngatif untuk < 8.. Fungsi Eksponnsial Antilogaritma dan Fungsi Eksponnsial. Antilogaritma adalah inrsi dari logaritma; kita mlihatna sbagai suatu fungsi ln (8.6) Mngingat sifat logaritma sbagaimana disbutkan di atas, ksprsi ini kialn dngan ang disbut fungsi ksponnsial. (8.7) Fungsi ksponnsial ang pnting dan sring kita jumpai adalah fungsi ksponnsial dngan ksponn ngatif; fungsi ini dianggap mulai muncul pada walaupun faktor u(), aitu fungsi anak tangga satuan, tidak dituliskan. a b (8.8) ; Eksponn ngatif ini mnunjukkan bahwa makin bsar b maka nilai fungsi makin kcil. untuk suatu nilai b trtntu, makin bsar fungsi ini akan makin mnurun. Makin bsar b akan makin cpat pnurunan trsbut. Dngan mngambil nilai a, kita akan mlihat bntuk kura fungsi ksponnsial (8.8) untuk bbrapa nilai b, dalam rntang sprti trlihat pada Gb.8.. Pada Gb.8.. ini trlihat bahwa makin bsar nilai b, makin cpat fungsi mnurun. Sudaratno Sudirham, Fungsi Log Natural, Eksponnsial, Hiprbolik /6

3 ,8,6,,,5,5,5,5 Gb.8.. Prbandingan kura dan. Pnurunan kura fungsi ksponnsial ini sudah mncapai skitar 6% dari nilai awalna (aitu nilai pada ), pada saat /b. Pada saat 5b kura sudah sangat mnurun mndkati sumbu-, nilai fungsi sudah di bawah % dari nilai awalna. Olh karna itu fungsi ksponnsial biasa dianggap sudah brnilai nol pada 5/b. Prsamaan umum fungsi ksponnsial dngan amplitudo A adalah at A u(t) (8.9) Faktor u(t) adalah fungsi anak tangga satuan untuk mnatakan bahwa kita hana mninjau kadaan pada t. Fungsi ini mnurun makin cpat jika a makin bsar. Didfinisikanlah shingga (8.9) dituliskan a τ (8.) / τ A u( t) (8.) τ disbut konstanta waktu; makin kcil τ, makin cpat fungsi ksponnsial mnurun. Gabungan Fungsi Eksponnsial. Gabungan fungsi ksponnsial ang banak dijumpai dalam rkaasa adalah ksponnsial ganda aitu pnjumlahan dua fungsi ksponnsial. Kdua fungsi mmpunai amplitudo sama ttapi brlawanan tanda; konstanta waktu dari kduana juga brbda. Prsamaan fungsi gabungan ini adalah / τ / τ ( ) u( t) Bntuk kura dari fungsi ini trlihat pada Gb.8.. A (8.) Fungsi ini dapat digunakan untuk mmodlkan surja. Glombang surja (surg) mrupakan jnis pulsa ang awalna naik dngan cpat sampai suatu nilai maksimum trtntu kmudian mnurun dngan agak lbih lambat. Surja tgangan ang dibangkitkan untuk kprluan laboratorium brbntuk mulus namun kjadian alamiah ang sring dimodlkan dngan surja tidaklah mulus, misalna arus trpaan ptir. Sudaratno Sudirham, Fungsi Log Natural, Eksponnsial, Hiprbolik /6

4 5 A / τ A A / τ A / τ / τ ( ) 8.. Fungsi Hiprbolik Gb.8.. Kura gabungan dua fungsi ksponnsial. Dfinisi. Kombinasi trtntu dari fungsi ksponnsial mmbntuk fungsi hiprbolik, sprti cosinus hiprbolik (cosh) dan sinus hiprbolik (sinh) + cosh ; sinh (8.) Prsamaan (8.) ini mrupakan dfinisi dari cosinus hiprbolik dan sinus hiprbolik. Dfinisi ini mngingatkan kita pada fungsi trigonomtri biasa cosinus dan sinus. Pada fungsi trigonomtri biasa, jika cosθ dan sinθ maka fungsi sinus dan cosinus ini mmnuhi prsamaan lingkaran satuan (brjari-jari ), aitu + sin θ + cos θ. Pada fungsi hiprbolik, jika cosh dan sinh, maka fungsi-fungsi ini mmnuhi prsamaan hiprbola satuan : Hal ini dapat kita uji dngan mnsubstitusikan cosh untuk dan sinh untuk dan kita akan mndapatkan bahwa prsamaan hiprbola satuan akan trpnuhi. Kita coba: cosh sinh Bntuk kura fungsi hiprbolik satuan trlihat pada Gb dngan cosh + ; sinh P[,] t/τ Gb.8.5. Kura fungsi hiprbolik satuan. Sudaratno Sudirham, Fungsi Log Natural, Eksponnsial, Hiprbolik /6

5 Jika kita masukkan cosh + ; sinh maka titik P[,] akan brada di bagian positif kura trsbut. Karna slalu brnilai positif dan / juga slalu positif untuk smua nilai nata dari, maka titik P[,] slalu brada di bagian positif (sblah kanan sumbu-) kura hiprbolik. Mirip dngan fungsi trigonomtri, fungsi hiprbolik ang lain didfinisikan sbagai sinh ; cosh + cosh + coth sinh tanh (8.) sch cosh + ; csch sinh (8.5) Idntitas. Bbrapa idntitas fungsi hiprbolik kita lihat di bawah ini. ). cosh sinh. Idntitas ini tlah kita buktikan di atas. Idntitas ini mirip dngan idntitas fungsi trigonomtri biasa. ). tanh sch. Idntitas ini diprolh dngan mmbagi idntitas prtama dngan cosh. ). coth csch. Idntitas ini diprolh dngan mmbagi idntitas prtama dngan sinh. u ). cosh + sinh. Ini mrupakan konskunsi dfinisina. u 5). cosh sinh. Ini juga mrupakan konskunsi dfinisina. Kura-Kura Fungsi Hiprbolik. Gb.8.6 brikut ini mmprlihatkan kura fungsifungsi hiprbolik. cosh - - (a) - b) sinh sch Sudaratno Sudirham, Fungsi Log Natural, Eksponnsial, Hiprbolik 5/6

6 cosh - - c) d) - sinh tanh coth coth csch sinh csch ) Gb.8.6. Kura-kura fungsi hiprbolik. Sudaratno Sudirham, Fungsi Log Natural, Eksponnsial, Hiprbolik 6/6

dokumen-dokumen yang mirip

Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral Darpublic Hak cipta pada penulis, SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darpublic,