Solusi khusus dari masalah nilai awal tersebut dapat ditulis dalam bentuk integral Fourier, yaitu:

Transkripsi

1 KARTIKA YULIANTI Jurusan Pndidian Mamaia FPMIPA - Univrsias Pndidian Indonsia Jl. Dr. Syabudhi 9, Bandung Tlp. () 8, Fa () 8 -mail: yahoo.com DINAMIKA FLUIDA EXERCISE. Ta as iniial spcrum a bloc funcion (nonzro for ½ ). Anima h iniial profil and h voluion. (Approima h fourir ingral by a Rimann sum). Jawab: Masalah nilai awal : u 3 u Dngan iniial spcrum :, F ( ), lainnya Solusi umum masalah rsbu adalah: u(, i ( 3 cc Solusi husus dari masalah nilai awal rsbu dapa diulis dalam bnu ingral Fourir, yaiu: i( 3 u(, d cc / / cos( 3 d Dngan program Malab, diprolh bnu glombang awal (pada = ) dan propagasi dari glombang rsbu.

2 sprum: f()=,. < < profil glombang, pada = propagasi glombang sampai = Propagasi glombang yang diprolh dari program Malab ssuai dngan modl yang dibua. Glombang hanya brranslasi dngan cpaan 3 sauan cpaan. Masalah nilai awal dngan modl : u i u dan iniial spcrum : F ( ),, lainnya Bnu awal dan volusi dari glombang rsbu adalah sbagai briu:

3 Pada =, bai unu modl ranslasi aaupun disprsi mmpunyai bnu glombang yang sama. Unu modl ranslasi, sjalan dngan wau, bnu glombang ida mngalami prubahan. Sdangan unu modl disprsi, sjalan dngan wau, ampliudo glombang smain lama smain cil. EXERCISE 3 A ypical ampl of a spcral funcion is a Gaussian, wih sandard dviaion : G() ( ) ( o ) Drmin h corrsponding spaial profil G. Invsiga for o = how h valu of drmins h widh of G and h spaial nsion of G. Invsiga h ffc of o. Jawab: Fungsi spcrum Gaussian: G() ( ) ( o ) Briu adalah gambar fungsi sprum dngan = sampai, dngan o =. 3

4 .7 sprum: fungsi gauss dngan psi = sampai Unu urva yang brgaris lbih bal adalah fungsi Gauss dngan =. Nilai mmbrian pranan pada inggian dan landaian grafi fungsi. Smain bsar nilai, maa urva fungsi Gauss smain landai. Sdangan nilai o mmbrian pngaruh pada la pusa simri fungsi Gauss rsbu. Aan diunjuan pngaruh dari nilai (profil) glombang yang dihasilan. Solusi umum: Invsigasi i( u(, G() d cc o Modl: ranslasi u u, ( = ). dan o dari fungsi sprum pada bnu

5 - Dngan =, o = sprum: fungsi gauss dngan psi=, o=. - - glombang w= pada = - - glombang w= pada = Dngan =, o =. sprum: fungsi gauss dngan psi=, o=. - - glombang w= pada = - - glombang w= pada = - -

6 - Dngan =,, o = 6 sprum: fungsi gauss dngan psi=., o= - - glombang w= pada = - - glombang w= pada = - - Brdasaran hasil rsbu dapa diaaan bahwa smain bsar nilai varians ( ) maa bnu fungsi sprum gauss aan smain landai (ampliudo cil, panjang glombang bsar), api bnu glombang yang dihasilan adalah baliannya, yaiu mmpunyai ampliudo bsar dan panjang glombang cil. Hal rsbu brlau juga unu modl yang lain (disipasi dan disprsi). o Modl disipasi u i u, ( = ) - Dngan =, o = glombang w= pada = - - glombang w= pada = - - 6

7 - Dngan =, o = glombang w= pada = - - glombang w= pada = - - Pada =, bnu glombang yang diprolh pada = 3 mmpunyai panjang glombang yang lbih cil bila dibandingan dngan =. Aibanya pada = glombang dngan = 3 mmpunyai ampliudo yang lbih rndah (hampir daar). - Dngan =,, o = glombang w= pada = - - glombang w= pada = - - Karna glombang yang dihasilan dngan =, mmpunyai panjang gllombang yang sanga bsar, maa pnurunan (pross disipasi) glombangnya mmrluan 7

8 wau yang sanga lama, bila dibandingan dngan pada =, inggi glombang hanya mnurun sdii. =. Pada gambar rliha bahwa o Modl ranslasi n disprsi, u u u - Dngan =, o = - Dngan = 3, o = 8

9 Glombang dngan =3 mmpunyai bnu lbih smpi (runcing), bila dibandingan dngan =, api dua glombang rsbu mmpunyai ampliudo yang sama. Sdangan pada =, bnu glombang unu =3 lbih rigid dari pada =. o Modl disipasi u iu i u, ( = + ) - Dngan =, o = glombang w=+ pada = glombang w=+ pada = Bnu glombang pada modl ini mirip dngan bnu glombang dngan modl u i u. Prbdaanya adalah pada modl ini, glombang mnurun lbih cpa, arna pada modl ini rdapa ofisin yang mmbanu mmprcpa pnurunan. 9

10 - Dngan =, o = glombang w=+ pada = glombang w=+ pada = Invsigasi o Modl ranslasi u u, ( = ). - Dngan =, o = sprum: fungsi gauss dngan psi=, o=. - - glombang w= pada = - - glombang w= pada = - -

11 - Dngan =, o = sprum: fungsi gauss dngan psi=, o=. - - glombang w= pada = - - glombang w= pada = Dngan =, o = sprum: fungsi gauss dngan psi=, o=. - - glombang w= pada = - - glombang w= pada = - - Nilai o mmbrian pngaruh pada la pusa simri fungsi Gauss rsbu. Unu nilai o =, fungsi Gauss simri rhadap garis =, sdangan o = fungsi Gauss simri rhadap garis =.

12 Trdapa prbdaan bnu profil glombang unu nilai o yang brbda. Unu o = diprolh glombang dngan sau hump, unu o = dihasilan glombang dngan iga hump (sau hump bsar dan dua hump cil), sdangan unu o = diprolh glombang dngan lbih banya hump. Dapa disimpulan bahwa smain bsar nilai o maa jumlah glombang smain banya. Fnomna rsbu dapa dijlasan sbagai briu: jia nilai o maa nilai (- o ) aan smain bsar. Karna mrupaan bilangan glombang, brari jumlah glombang yang dihasilan smain banya. Mngnai prbdaan anda ( o posiif aau ngaif) ida mmpngaruhi bnu glombang yang dihasilan. Dapa diliha bahwa unu o = dan o = dihasilan bnu glombang yang sama. Ksimpulan rsbu brlau juga unu modl yang lain (disipasi dan disprsi). Modl disipasi u i u, ( = ) - Dngan =, o = glombang w= pada = glombang w= pada = Modl disipasi u iu i u, ( = + ) - Dngan =, o =

13 glombang w=+ pada = glombang w=+ pada = EXERCISE 3. Th iniial valu problm for a scond ordr quaion dscribs h iniial profil and h iniial vlociy u(,) f (), u(,) g() Wri down in fourir ingrals h soluion of IVP (iniial valu problm) for u c u u (*) Anima, and inrpr h soluion for f(), g() Obsrv, and plain, ha h soluion rmains symmric abou = for all im. Jawab: Solusi umum: i( u (,.(**) Aan dicari rlbih dahulu prsamaan disprsi. Subsiusi (**) (*), diprolh: ( i ) i( ( c shingga u(, c ( i) c ( c ) / i( ( c i( ) aau ) / ) ( i) ( c i( ) / Solusi u(, dapa diulis dalam bnu ingral Fourir: 3

14 u(, F( ) i( d dngan ( c ) Diahui nilai awal: u(,) f ( ) F( ) i ( ) d Maa F( ) f ( ) i ( ) d Shingga solusi dalam bnu ingral Fourir: u(, f ( ) d i ( ) i( d Diahui bnu awal glombang: f ( ) Dngan program Mapl, diprolh gambar fungsi F():