BAB 4 PENGANALISAAN RANGKAIAN DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE DUA ATAU LEBIH TINGGI. Ir. A.Rachman Hasibuan dan Naemah Mubarakah, ST

Transkripsi

1 BAB 4 PENGANAISAAN RANGAIAN DENGAN PERSAMAAN DIFERENSIA ORDE DUA ATAU EBIH TINGGI Oleh : Ir. A.Rachman Haibuan dan Naemah Mubarakah, ST

2 4. Pendahuluan Pada umumnya peramaan diferenial homogen orde dua dengan koefiien konan diperlihakan ebagai beriku. d i di + a + a i d d a penyeleaiannya berbenuk ekponenial yang dimialkan dengan : i(). di d.. d d i.. Sehingga : a + a + a oleh karena harga idak akan pernah nol unuk harga yang erbaa : a + a + a

3 a ; ± a 4a a a a oleh ebab iu erdapa dua benuk ekponenial dari penyeleaian peramaan diferenial homogen, yaiu : i dan i jumlah penyeleaian-penyeleaian ini adalah : i 3 i + i maka ecara umum dapa dinyaakan penyeleaian ini adalah : i(). +.

4 4. Repon Rangkaian RC Seri Dengan Inpu Uni Sep Gambar 4. Rangkaian eri RC dengan inpu egangan earah maka pada aa aklar diuup, ehingga dapa diulikan peramaan egangan pada rangkaian adalah : di + R.i + i d Vo d C d bila dideferenialkan :. + R. + d Peramaan ini diebu ebagai peramaan karakeriik rangkaian di aa C

5 Adapun akar-akar peramaan karakeriik ini adalah : ; R R ± maka benuk umum penyeleaian dari peramaan diferenial : 4 C i. +.

6 4. Bilamana : R > ( keadaan overdamped / eredam lebih) C Dalam kondii ini bearan R 4 C ehingga akar-akar dan adalah nyaa. maka pada, bagian dari i d C maka : i( di d (+) + R. + C d V o adalah poiif, di (+) + ) d V o di d. +. di V ( + ) o. +. d + V o

7 akan diperoleh : ) ( V o dan ) ( V o.. i + arena : ( ) o ) ( V i V o +. ) ( V o ) ( V o.. +. Gambar 4. urva aru pada rangkaian eri RC dengan inpu ep pada kondii R > C 4

8 4. Bilamana : R ( keadaan criical damped / eredam lebih) C Pada kondii ini bearan 4 R menjadi nol, oleh karena iu akar C peramaan karakeriik adalah nyaa dan ama, ehingga : i + Di dalam hal ini kondii. awal : i (+) dan maka : di d i di Vo ( + ) (+) ( +.. ) ehingga : i Vo.. d dimana : di d R (+) Vo Vo

9 dan kalau digambarkan kurvanya adalah : i Vo.. Gambar 4.3 urva aru pada rangkaian eri RC dengan inpu ep 4 pada kondii R > C

10 Bilamana : R < 4 (keadaan underdamped / kurang eredam) C Pada kondii ini bearan 4 R negaif, oleh karena iu akar C peramaan karakeriik adalah bilangan komplek, yang dimialkan : dimana : A + jb dan A R A dan B jb. 4 R C ehingga : i i (A+ jb) + R.in C (A jb) Jika diurunkan akan di dapa peramaan aru nya : Vo. R C 4 R 4.

11 erliha bahwa dalam keadaan ini aru beroilai, dan kalau bagian ekponenial R dihilangakan, maka aru i murni inuoidal dengan frekueni reonani (naural angular frequency). ω n C R 4 [ radian ] de ik ω R aau f n [ iklu ] n π π C 4 de ik Vo τ R C 4 Vo R C 4 τ Gambar 4.4 urva aru dari rangkaian eri RC dengan inpu uni ep 4 pada kondii R < C

12 Conoh : Saklar pada rangkaian di bawah ini diuup pada aa, dengan mengabaikan emua kondii awal elemen rangkaian, carilah benuk peramaan aru i. Jawab : Bila aklar diuup, peramaan egangan pada rangkaian adalah : di d di + R.i + i d d C V di d R +.i + i d C +.i + i d 6, (,).(. ) di +.i +. 4 i d, d V

13 d 4 d i di i d d 4.. i d + + d d mialkan : ehingga : d ( ) i d ( ) 4 + 4(. ) Di dapa : 5, 3.. 4(. 4 dari rangkaian dapa diliha : ) 948,68 R.,. 6 5 dan. 6 C (,).(. )

14 ernyaa : i R > C aau R > 4 C, ehingga. +. 5,3. 948,68. i. +. unuk, diperoleh : i( { + ) ehingga diperoleh : + 5, ,68. dan demikian juga pada C yang idak bia berubah dengan ekeika, ehingga i d maka : C di (+) + R.i( { + ) + i d V d C di V (+) Amp / de d, 3

15 di (+) 3 d 5,3. 5, , ,68. 5, ,68. Subiuikan dengan peramaan : + maka diperoleh : dan - Sehingga di dapa peramaan aru pada rangkaian : i. 5,3. 948,68. Amp.

16 Conoh : Perhaikan rangkaian di bawah ini : dengan mengabaikan kondii awal, pada aa aklar diuup. Carilah benuk peramaan aru i pada rangkaian. Jawab : Adapun peramaan egangan pada rangkaian eelah aklar diuup adalah : di d di di R V + R.i + i d V d C +.i + i d d C di +.i + i d ().(,4) +.i + 5 i d d

17 d i di i d d. 5 i d d + + d d d mialkan : d ( ) i ( ) Sehingga didapa : + 4(.5) 4(.5) 5 dan 5 R erliha bahwa : 5. dan C ().(,4) 5 maka : R C 4 aau R C

18 ehingga benuk umum penyeleaian peramaan ini adalah : ( + ) i α dimana : R 5 α ehingga : 5 ( + ) i karena ifa yang idak dapa berubah dengan ekeika, maka pada aru : i(+) 5. i { (+) (. ) + Di dapa : 5 i. demikian juga dengan C yang idak dapa berubah dengan ekeika, maka egangan pada C pada + : i(+ ) d C

19 di (+) + R.i( { + ) + i(+ )d V d C 443 di d (+) V bila Peramaan umum aru dideferenialkan au kali, maka : Amp / de di d (+) maka diperoleh. 5 di (+) d Sehingga di dapa peramaan aru pada rangkaian : i. 5 Amp

20 4.3 Repone Rangkaian Paralel RC Dengan Sumber Searah Gambar 4.5 Rangkaian paralel RC dengan umber earah Bila aklar erbuka, maka menuru hukum aru irchhoff dapa diulikan : dv C + G.v + v d d Io

21 dideferenialkan au kali : bilamana : didapa : d d + G C d d + C.v d, maka : G + +.v d C C G + G C C 4C dan G G C C 4C mialkan : α G C dan β G C 4C ehingga : ( α + β) dan ( α β) ehingga Peramaan karakeriik nya dapa menjadi : [ ( α + β) ][ ( α β) ].v erliha bahwa harga β bia poiif; nol dan imaginer / negaif,

22 4C emunkinan I : G > harga β adalah poiif dimana dan nyaa. Peramaan egangan v pada rangkaian Gambar 4.5 bilamana aklar Io dibuka pada adalah : ( ) v C + ( ) Io C ( ) Io C ( ) Gambar 4.6 urva egangan pada rangkaian paralel RC dengan inpu earah 4C pada kondii G >

23 Conoh : Perhaikan rangkaian ini : dengan mengabaikan emua kondii awal elemen paif, maka pada aklar dibuka, carilah benuk peramaan egangan v, dan berapa bear egangan v eelah aklar dibuka elama, deik. Jawab : Peramaan aru pada rangkaian eelah aklar dibuka adalah : dv C + G.v + v d Io dv d + 7.v + v d 4 d

24 d d v dv d d v 7.v d + + d d mialkan : d d ( ) maka : 7 +.v + aau : akar-akar peramaan ini adalah : dan elanjunya: G (7) 49 dan 4C 4. (/) 4C maka : G > ehingga benuk umum penyeleaian Peramaan adalah : v. +.

25 ehingga Peramaan menjadi : arena : v v(+ ) maka : + arena : dv C (+) + G.v(+ ) + v(+ )d Io dv Io d 3 (+) vol / de 443 d C Jika peramaan egangan dideferenialkan au kali, didapa : dv (+) 3. d maka : -3-4 Maka didapa : dan -

26 bilamana harga dan ini diubiuikan kedalam Peramaan, maka didapa benuk peramaan egangan v bilamana aklar dibuka pada adalah : v 3. 4 ( ) vol edangkan bear egangan v eelah aklar dibuka elama, deik adalah : [ 3.(,) 4(,) ],75 vol v(,de)

27 4C emungkinan II : G dimana β adalah nol dan peramaan egangan v pada rangkaian Gambar 4.5, unuk kondii 4C G ebagai beriku : dengan : α G C v Io C.. α v Io.. C α Gambar 4.7 urva aru pada rangkaian paralel RC dengan inpu aru earah pada kondii G 4C

28 Conoh : Perhaikan rangkaian beriku ini : dengan mengabaikan emua kondii awal dari elemen paif, maka pada aa aklar dibuka, carilah benuk peramaan egangan v dan berapa bear v eelah aklar erbuka elama, deik. Jawab : Adapun peramaan aru pada rangkaian eelah aklar dibuka ialah : dv C + G.v + v d Io d dv + 6.v + 9 v d 4 d d v dv bila dideferenialkan au kali, maka diperoleh : v d d

29 mialkan : d d maka : ( ) v + aau : akar-akar peramaan ini adalah : dan erliha bahwa : maka : G (6) 36 4C 4. dan 36 (/ 9) 4C G, ehingga benuk umum penyeleaian Peramaan : v dengan 3 α. +.. G (6) α 3 3 v. +.. C. α

30 Apabila aklar dibuka pada aa, maka : v (+) Dari : dv Io 4 Io (+) 4 vol / de d C dv C (+) + G.v(+ ) + v(+ )d d Maka : dv (+) 3. { d Sehingga diperoleh benuk peramaan egangan v pada rangkaian unuk 4C kondii G adalah : v 4.. vol Seelah aklar dibuka elama, deik, maka bear egangan V adalah : 3., 3. v(,de) 4.(,).,96 vol

31 4C < emungkinan III : G harga β adalah negaif dimana dan komplek Dalam keadaan ini β 4C G, edangkan α G C maka akar-akar merupakan bilangan komplek : ( α + j β ) dan ( α j β ) maka diperoleh peramaan egangan v pada rangkaian Gambar 4.5, 4C unuk kondii G < : v Io. C G C G 4 in C G 4C

32 erliha v merupakan oilai egangan berbenuk inu yang ampliudonya idak konan dan menurun ecara ekponenial dengan konana waku ω C G n dengan frekueni ayunan ( angular frequency ) : C G 4C rad / de Io. G C C G 4 Io. G C C G 4 G C G C Gambar 4.8 urva egangan pada rangkaian paralel RC dengan inpu aru earah pada kondii G < 4C

33 Conoh : Perhaikan rangkaian di bawah ini : v Io Amp R,5 Ω,5 H C F I (-) q C(-) pada aa aklar dibuka, carilah benuk peramaan egangan v pada rangkaian. Jawab : Adapun peramaan aru pada rangkaian eelah aklar dibuka ialah : dv C + G.v + v d Io d d v dv + +.v d d mialkan : d maka : d ( ) +.v + + +

34 adapun akar-akar peramaan adalah : j dan 4.. j dari rangkaian erliha bahwa : G ehingga ernyaa bahwa : 4C 4. 4 dan 8,5,5 4C G < maka benuk umum penyeleaian Peramaan adalah : ( + j) ( j) ( j j ) v. + v. +.. karena : j β co β + j inβ dan j β co β j inβ [( + ).co + ( j j ).in ] (.co +.in ) v v 3 4

35 unuk (.co+.in ) v(+ ) Dari : dv C (+) + G.v(+ ) + v(+ )d d Maka : dv (+) d ( co in ) Io dv d 3 (+) 4 Io C vol / de dan bilamana harga-harga 3 dan 4 diubiuikan kedalam Peramaan maka diperoleh benuk peramaan egangan v bilamana aklar dibuka pada aa adalah : v in