MATEMATIKA TERAPAN I. REVIEW

Transkripsi

1 MATEMATIKA TERAPAN Dafar isi : I. Rviw Dfinisi Dasar Fungsi Variabl Turunan/Drivaif Bbrapa auran pada oprasi urunan Laihan Soal Ingral Bbrapa sifa pada oprasi ingral Bbrapa sifa rigonomri ang prlu diprhaikan Laihan Soal II Prsamaan Difrnsial Biasa Pngrian prsamaan difrnsial Pmbnukan prsamaan difrnsial Ord prsamaan difrnsial Prsamaan difrnsial biasa Solusi prsamaan Difrnsial Solusi umum Solusi khusus Masalah nilai awal dan nilai baas Laihan Soal III. Prsamaan Difrnsial Ord Bnuk Sdrhana prsamaan difrnsial ord prama Pmisahan Variabl Conoh Soal Cria IV. Prsamaan Difrnsial Linar Ord Ciri-ciri sifa linarias pada Prsamaan Difrnsial Prsamaan Difrnsial Eksak Mod Fakor Pngingralan Solusi Prsamaan Difrnsial Non Eksak Dngan Fakor Pgingaralan V. Prsamaan Difrnsial Ord Prsamaan Difrnsial linar Ord Prsamaan Difrnsial Linar Homogn Ord dngan Kofisin Konsan (Scond Ordr Homognous Linar Diffrnial Equaions Wih Consan Cofficins) Akar-akarna adalah bilangan riil dan sama Akar-akarna adalah bilangan riil dan brbda Akar-akarna adalah bilangan komplks Prsamaan Difrnsial Linar Non-Homogn Ord dngan Kofisin Konsan (Scond Ordr Homognous Linar Diffrnial Equaions Wih Consan Cofficins) VI. Aplikasi Prsamaan Difrnsial Dalam Bidang Tknik Elkro I. REVIEW Dfinisi Dasar Fungsi Scara mudah, fungsi dapa dipandang sbagai auran ang mnghubungkan inpu dan oupu. Inpu ang dibrikan akan dilwakan k sbuah blok fungsi, dan mnghasilkan oupu ssuai dngan karakrisik blok fungsi. Hal ini dapa diilusrasikan sbagai briku :

2 inpu auran oupu Gambar. Hubungan anara inpu, oupu, dan blok fungsi Sbuah fungsi pngali inpu dua kali akan mnghasilkan nilai oupu dua kali dari nilai inpu. fungsi rsbu apabila diuliskan scara mamais adalah sbagai briku : f :, aau diulis scara lbih kompak f ( ) dan digambarkan sbagai briku : inpu Fungsi inpu kalikan oupu f Gambar. Sbuah fungsi dngan blok fungsi inpu kalikan Inpu suau fungsi disbu sbagai argumn. Pada fungsi f ( ), ang mnjadi argumn adalah. Jika digani dngan nilai, maka : f (). 6, dngan nilai argumn adalah. Sbuah fungsi dapa digambarkan scara grafik dngan mmakai kordina karsius. Fungsi f ( ) dapa digambarkan dngan mnguji nilai f( ) unuk bbrapa nilai sbagai briku. =, f( ) = =, f( ) = =, f( ) = = -, f( ) = - = -, f( ) = - ds Gambar. koordina karsius fungsi f ( ) Variabl Pada fungsi f ( ), dan dapa mmiliki kmungkinan sjumlah nilai rnu, shingga dan dinamakan sbagai variabl. adalah variabl indpndn (variabl bbas) dan adalah variabl dpndn (variabl ak-bbas), mnginga nilai dinukan olh nilai variabl. Conoh I. a. 5, variabl dpndn =. variabl indpndn = dq b. 6q, variabl dpndn = q. variabl indpndn = d c. 9, variabl dpndn =, variabl indpndn =, pada conoh b dan c rliha bahwa pada prsamaan diffrnsial, variabl dpndn-na adalah variabl dalam bnuk urunanna. TURUNAN/DERIVATIF Briku ini adalah urunan dari bbrapa fungsi.

3 Tabl I.. Bbrapa fungsi ang sring digunakan bsra urunanna Fungsi, () Turunan, Fungsi, () Turunan, Konsana sin ( a b ) a n n n cos ( a b ) ( a b ) a ( a b ) an ( a b ) a ( a b) sinh( a b ) acosh( a b ) a a a cosh( a b ) asinh( a b ) ln anh( a b ) asc h ( a b ) sin cos cos ch( a b ) a cos ch( a b)coh( a b ) cos sin sc h( a b ) as ch( a b) anh( a b ) sin( a b ) a cos( a b ) coh( a b ) a cos ch ( a b ) cos( a b ) asin( a b ) sinh ( a b ) a an( a b ) asc ( a b ) cosh ( a b ) cos c( a b) a cos c( a b)co( a b ) anh ( a b ) sc( a b ) asc( a b) an( a b ) Bbrapa Auran Pada Oprasi Turunan Jika u dan v adalah sbuah fungsi, dan c adalah konsana, maka :. ( u v)' u ' v '. ( uv)' u ' v uv '. ( cu)' cu '. u u ' v uv ' ( )' v v 5. Jika () z, dan z d d dz z( ), maka : * d dz d Conoh I. Carilah urunan dari fungsi briku ini :. ( sin ) jawab : d( ) d(sin ) ' d d ' cos ( a b ) a ( a b ) a ( a b ). sin misalkan : u, v sin.

4 u ', dan v' cos maka mnjadi uv. ' ' ( uv)' u ' v uv ' sin cos. cos Jawab : ' sin.. Jawab : Misalkan u dan v. u', dan v ' u ( ) v, maka u u ' v uv ' ' ( )' v v ' ( ). ( ) ' ( ) ( ) ( ) ( ) 5. 6 z, z. Carilah d Jawab : 6 d d dz ( ), * d dz d 5 6 z. 5 z. 5 ( ) d! Laihan Soal I. Tmukan urunan dari. 7. an( ). 5. sin( ) cos( ) cos ( ) sin(5 ) sin ( )

5 . sin(5 ). cos5. w w. 5. ln( ) 7 sin( ) 6. sin ( ) 5cos ( ) 7. an ( ) cos ( ) 5 8. Sbuah fungsi : ( ) (a) nukan d (b) jika urunan prama fungsi rsbu adalah nol, brapa nilai? Laihan Soal I. Carilah urunan dari fungsi briku ini :. sin cos.. sin cos. sin cos (nomor -, gunakan auran prkalian) 5. cos sin ln( ) 9.. sin ( ) INTEGRAL Pross mngingralkan suau fungsi mrupakan kbalikan urunan/drivaif. Suau fungsi f() d( f) dapa kia urunkan mnjadi :. Apabila kia ingin mncari suau fungsi f() dari d urunan/drivaif-na, maka dinamakan : ingral Tabl I.. Bbrapa fungsi angs sring digunakan bsra ingral fungsi rsbu Fungsi, f() f ( ) d Fungsi, f() f ( ) d

6 K, Konsana k c ana ln sc a a n a n an( a b ) ln sc( a b) cn, n a c c cos c( a b ) ln cosc( a a b) co( a b) c c s c( a b ) ln sc( a b) an( a b) c a a c a ln c sin cos c sin a cos a c a sin( a b ) cos( a b) c a cos sin c cosa sin a c a cos( a b ) sin( a b) c a an ln sc c co( a b ) ln sin( a b) c a sin c a a a an a a c c Conoh I. Tmukan fungsi jika : (a) ' 6 (b) ' (c) ' cos jawab :. 6d. c, dngan c adalah suau konsana smbarang. Prlu diinga, bahwa urunan dari suau konsana adalah nol. d ( ) ( ), c. (cos ) d sin c Bbrapa sifa pada oprasi ingral (sifa linarias):

7 . ( f g) d fd gd. Afd A fd. ( Af Bg) d A f d B gd (sifa - dinamakan sifa linarias). uv ' d uv vu ' d Bbrapa sifa rigonomri ang prlu diinga :. sin cos cos. cos cos. sin. an sin cos 5. sin sin cos 6. cos sin cos cos sin 7. an sc 8. co co sc 9. sin( A B) sin Acos B sin Bcos A. cos( A B) cos Acos B sin Asin B. an( A B) an( A B) an Aan B. sin Acos B sin( A B) sin( A B ). sin Asin B cos( A B) cos( A B ). cos Acos B cos( A B) cos( A B ) Laihan Soal I. Tmukan fungsi jika :. sin( ) nomor 5 ds, gunakan sifa linar ingral sin cos 7. 7cos c ( ) 8. cos(9 ) nomor 9 ds. Carilah : 9. cos. sin

8 . d. sin. 5 ( ) d. 5. sin cos (5 7) d II. Prsamaan Difrnsial Biasa (Ordinar Diffrnial Equaions) II. Pngrian Prsamaan Difrnsial Prsamaan Difrnsial/PD adalah prsamaan ang di dalamna brisi urunan (drivaiv aau diffrnial) sau aau lbih variabl. Prsamaan difrnsial ord dngan sbagai variabl indpndn dan sbagai variabl dpndn diulis scara mamais sbagai briku : d f (, ). Sdangkan prsamaan difrnsial dalam ord diulis scara mamais sbagai : d d d f (,, ) dngan caaan, idak smua variabl dari fungsi f harus muncul dalam d d prsamaan. Conoh dari prsamaan difrnsial anara lain: d () sin d ( adalah variabl indpndn, adalah variabl dpndn ang nilaina rganung ) () " ' cos () u u u

9 () d d II Pmbnukan prsamaan difrnsial Prsamaan difrnsial muncul kika rjadi prubahan pada suau bsaran, ang biasana dinaakan dalam suau fungsi mamais. Conoh (), (), () dan ( ) mrupakan prsamaan difrnsial ang scara mamais diksprsikan anpa mngahui laar blakang pmbnukan/rjadina prsamaan difrnsial rsbu. Conoh pmbnukan prsamaan difrnsial dalam dunia riil adalah prsamaan diffrnsial ang rbnuk dari suau objk ang sdang brgrak. Dimisalkan objk rsbu brgrak dngan d d karakrisik prsamaan : 6 dngan : mnaakan jarak d (aiu urunan kdua fungsi jarak) mnaakan prcpaan, dan d (urunan prama) mnaakan kcpaan. Conoh ang lain adalah muaan lisrik ang brgrak, dimisalkan mmiliki prsamaan : dq 8q sin dngan q mrupakan muaan lisrik, dq mrupakan laju aliran muaan (ang diisilahkan sbagai aliran arus lisrik). Conoh lain pmbnukan prsamaan difrnsial adalah pada rangkaian lisrik ang rdiri dari komponn RC sbagaimana diprlihakan dalam gambar briku : R V R Vs + - i C Vc Gambar II. Suau Rangkaian lisrik dngan saklar Brdasarkan hukum kirchof, jumlah gangan pada loop ruup dari suau rangkaian lisrik adalah nol. Jika diuliskan : VS VR V C, aau VR VS V C. Vs = gangan sumbr Vc = gangan pada kapasior V R = gangan pada rsisor Brdasarkan hukum Ohm, arus ang mngalir pada rsisor (pada rangkaian ruup) dapa Vs Vc dicari dngan rumus : i. R dvc Arus ang mngalir pada kapasior adalah : i C. Olh karna arus ang mngalir pada kapasior = arus ang mngalir pada rsisor, maka : Vs Vc dvc C. R

10 dvc Shingga didapakan : RC Vc Vs.Prsamaan ini mrupakan prsamaan difrnsial dngan Vc adalah variabl dpndn, dan mrupakan variabl indpndn. Lbih lanju nang aplikasi prsamaan difrnsial dalam bidang lkro, dapa diplajari di bagian akhir bab ini. Ord Prsamaan Difrnsial Ord prsamaan difrnsial adalah ord ringgi dari urunan ang ada di dalam prsamaan difrnsial rsbu. dq q R, adalah prsamaan difrnsial ord prama dalam q C d sin( ), adalah prsamaan difrnsial ord prama dalam θ '', adalah prsamaan difrnsial ord kdua dalam d u du u, adalah prsamaan difrnsial ord kiga dalam u Prsamaan Difrnsial Biasa Prsamaan difrnsial ang hana mlibakan sau variabl indpndn disbu sbagai prsamaan difrnsial biasa. Shingga conoh (), (), dan () di muka mrupakan conoh prsamaan difrnsial biasa, sdangkan conoh () bukan mrupakan prsamaan difrnsial biasa. Slanjuna, () mrupakan prsamaan difrnsial parsial (parial diffrnial quaion,pde). Prsamaan difrnsial parsial adalah prsamaan difrnsial ang mlibakan dua aau lbih variabl indpndn. Conoh : prsamaan difrnsial parsial ord dngan variabl indpndn : dan diulis d dalam bnuk : f (,, ), dan bukan f (,, ). d Solusi Prsamaan Difrnsial Solusi prsamaan diffrnsial adalah suau fungsi ang mmnuhi prsamaan difrnsial ang dimaksudkan. Pada kdua kasus di aas adalah dimaksudkan unuk mncari nilai () dan q(). Solusi prsamaan diffrnsial dapa brupa solusi analiis, dimana jawaban dari prsamaan diffrnsial rsbu dapa dinaakan dalam fungsi-fungsi dasar spri, sin, cos, ds. Tidak smua prsamaan difrnsial dapa dicari solusina scara analiis. Solusi prsamaan diffrnsial dapa juga dicari dngan mnggunakan mod numrik ang mnghasilkan solusi dngan nilai pndkaan. d Conoh II.: Tunjukkan bahwa = adalah solusi dari prsamaan difrnsial : Jawab : d Unuk mmbukikan bahwa = adalah solusi dari prsamaan difrnsial, maka d subsiusikan = kdalam prsamaan. ( ) d,, brlaku unuk smua nilai, shingga = adalah solusi dari. Conoh II. : Tunjukkan bahwa.5 adalah solusi dari prsamaan difrnsial '' '. Jawab :.5, ' '' ', shingga : ( ) (.5), ''. Subsisusikan k dalam prsamaan difrnsial

11 Solusi ini brlaku unuk smua nilai. Shingga difrnsial '' '.5 mrupakan solusi dari prsamaan Solusi Umum dan Khusus Prsamaan difrnsial bolh jadi mmiliki banak solusi. Sbagai conoh, prsamaan d difrnsial dapa mmiliki solusi =, = +9, = -6, ds. Solusi solusi ini disbu d sbagai solusi khusus, sdangkan = + C mrupakan solusi umum dari. Prsamaan diffrnsial dalam bidang knik umumna digunakan unuk mmodlkan sism dinamis, aiu sism ang brubah rhadap waku. Conoh dari bbrapa sism dinamis anara lain:. Rangkaian lisrik dngan arus/gangan ang mrupakan fungsi waku.. Dalam produksi kimia, dimana kanan, laju aliran, ds slalu brubah rhadap waku.. Pralaan smikondukor, dimana krapaan hol dan lkron slalu brubah. Masalah Nilai Awal dan Nilai Baas Jika dalam suau prsamaan difrnsial dibrikan suau kondisi ambahan dngan sbuah nilai ang sama pada variabl indpndn-na (baik fungsi maupun urunanna), maka dikaakan bahwa prsamaan difrnsial rsbu sbagai masalah nilai-awal (iniial-valu problm). Jika kondisi ambahan ang dibrikan mrupakan nilai ang brbda pada variabl indpndn-na, maka dikaakan sbagai masalah nilai-baas (boundar-valu problm). Conoh II. : Sbuah prsamaan difrnsial : ; ( ), ( ) mrupakan bnuk iniial-valu problm, karna rdapa dua kondisi ambahan aiu pada, dngan (π) = dan (π) =. Sdangkan pada prsamaan difrnsial : ; ( ), ( ) mrupakan bnuk boundar-valu problm, karna dua kondisi ambahan dibrikan pada nilai ang brbda, aiu pada and. Laihan Soal II.:. Tunjukkan bahwa : sin adalah solusi dari prsamaan difrnsial : d d. Jika d A adalah solusi umum dari d, carilah solusi khusus ang mmnuhi () =.. Idnifikasi variabl dpndn dan indpndn dari prsamaan difrnsial briku ini. Dan sbukan ord prsamaan difrnsial rsbu! d d (a) 5 cos d d d (b) 9 d d d d (c) ( )( ) 9 d d d

12 . d d Solusi umum dari : ( ) d d adalah : d ang mmnuhi : () =, () d A B. Carilah solusi khusus III. Prsamaan Difrnsial Ord Sblum mmbahas prsamaan difrnsial ord inggi, akan dibahas rlbih dahulu prsamaan difrnsial ord. Bnuk Sdrhana d Bnuk sdrhana prsamaan difrnsial ord adalah : f( ). Fungsi dapa dicari d dngan cara mngingralkan f(), aiu : f ( ) d. Namun d, kbanakan pada dmikian, prsamaan difrnsial ang dijumpai dalm soal umumna idak ssdrhana iu bnukna.. Conoh III. d 5sin. Unuk mncari fungsi (), prsamaan rsbu diingralkan : d 5 Maka 5sin d, cos C Pmisahan Variabl d Jika prsamaan difrnsial mmiliki bnuk : f ( ) g( ) d difrnsial rsbu dapa dicari dngan mod pmisahan variabl, aiu :, maka pnlsaian prsamaan ( ) d f ( ) d. g Briku ini adalah conoh pnlsaian prsamaan difrnsial dngan mod pmisahan variabl. Prhaikan bahwa variabl diklompokkan ssuai dngan variabl sjnisna, aiu variabl dngan d, variabl dngan d. Conoh III. Tmukan solusi prsamaan difrnsial briku dngan mod pmisahan variabl : (a) d d (b) d d (c) d d, () = (d) dm msin, m() Jawab : (a) Prsamaan difrnsial d d mnjadi d d shingga

13 d d C C, cukup diulis: C (b) Prsamaan difrnsial d d mnjadi d d shingga d d ln C ln C' (c) Pisahkan variabl ang sama shingga prsamaan difrnsialna mnjadi : d d, ingralkan kdua ruas : d d c, Kalikan kdua ruas dngan shingga mnjadi : c ( sharusna adalah c, namun karna masih brsifa konsana, cukup diulis c saja). Unuk mncari nilai c, subsiusikan nilai () =. c, c Shingga solusi prsamaan difrnsial d d adalah : dm (d) msin, m(). Pisahkan variabl ang sama shingga : dm dm sin, m m sin, m dm sin, m cos c, m cos c olh karna c =, maka m cos Laihan Soal. d. d d. d d. d 9cos 5. d cos 8sin 6. d sin, () =

14 d 6 7. d, () = d 8. d d 9. sin d. mukan solusi umum dari prsamaan difrnsial : ang mmnuhi : () = 5 d ( ). Tnukan solusi khusus Conoh Soal Cria Conoh III. Laju prumbuhan pnduduk suau ngara adalah, kali jumlah pnduduk saa ini. Jika jumlah pnduduk saa ini adalah 8, brapakah jumlah pnduduk slah minus? Jawab : Langkah Pmodlan mnjadi prsamaan difrnsial dn.n Langkah Ingralkan dn N., ln N. c Langkah Jadikan N sbagai subjk :. c N Langkah Susun kmbali prsamaan N dngan konsana ang brsangkuan:. c. N, N A dngan A = c Langkah 5 Cari nilai konsana : 8 A A 8 (didapa dari N() = 8) Langkah 6 Tmukan solusina :. 58 N 8, N.98 individu Conoh III. Jawab : Blok s dng bra kg mllh dalam lingkungan ang mpraurna naik. Laju pngurangan bra s pr dik adalah sbanding dngan dikurangi bra s ang rsisa. Slah 6 dik, bra s adalah 9.5 kg. brapa bra s slah dik? Langkah Susun prsamaan difrnsialna : dm k ( M ), M() =, M(6) = 9.5 Langkah Ingralkan : dm dm k( M), k M ln M k c Langkah Jadikan M sbagai subjk : k c k c ln M k c, M, M Langkah Susun kmbali prsamaan M dngan konsana ang brsangkuan: k c k M, M A, dngan A = c

15 Langkah 5 Cari nilai konsana Gunakan nilai kondisi awal : M() =, M(6) = 9.5 A A, 6k 6k 6k 9.5 A,.5,.5, 6k ln.5, k.8.8 maka M Langkah 6 Tmukan solusina :.8 M,.8 M(), M () kg Conoh III.5 Jawab : Laju prumbuhan suau kulur bakri adalah sbanding (proporsional) dngan fungsi ksponnsial pangka, dngan adalah waku (dalam jam). Disbabkan karna prumbuhan bakri ang sanga cpa, maka rjadi ovrcrowding, shingga laju prumbuhan bakri juga brbanding rbalik dngan pangka mpa dari jumlah bakri saa iu. Lwa ksprimn dikahui bahwa konsana proporsionalna adalah. Jika pada awalna hana rdapa bakria, brapa banak bakria dalam waku 5 jam? Solusi : dn pmodlan mamais :, n () n cos c c 5 n n dn d, n dn, c, c 5 c valuasi nilai c : c 5 n 5, 5 n 5, n 5 5 (5) 5, dianakan : n (5) =??? 5 n 5 c IV. Prsamaan Linar Ord Prama d Adakalana prsamaan difrnsial mmiliki bnuk : d P( ) Q( ), maka dikaakan bahwa prsamaan difrnsial rsbu dinamakan prsamaan difrnsial linar ord prama. P() dan Q() mrupakan fungsi. Conoh prsamaan difrnsial linar ord prama adalah d 5 7, d P() = 5 Q() = 7 d, P() = d Q() = Mod Fakor Pngingralan Prsamaan linar ord prama dapa dicari solusina dngan mod : fakor pngingralan, aiu dngan cara mngalikan prsamaan difrnsial linar rsbu dngan μ shingga : d P Q, dngan P dan Q mrupakan fungsi dngan variabl. d

16 Fakor pngingralan/ μ dapa dicari dngan rumus :. Id dari pnggunaan fakor pngingaralan ini adalah mnjadikan prsamaan difrnsial rsbu brsifa ksak, akni sisi kiri d d prsamaan difrnsial P Q dapa diulis sbagai : ( ) Q( ). Inga bahwa : d d d ( ) d d ( dari rumus ( uv)' u ' v uv ' ). Shingga : d d d d d d P, disdrhanakan mnjadi : d d d d P d d P, d P d d Pd maka akan didapakan : kmbali k prsamaan difrnsial mula-mula : d ( ) Q( ), Qd d Qd Conoh IV. d Tnukan pnlsaian dari : 5 dngan fakor pngingralan d Jawab : d dari prsamaan difrnsial 5, rliha bahwa P dan Q 5. d d ln Maka : Qd, dngan Pd 5d 5 C, 5 C Laihan Soal :. Bukikan bahwa solusi dari prsamaan difrnsial d d P. d d 8, (). d 8. d d 8 5. d d Prsamaan Difrnsial Eksak Sbuah prsamaan difrnsial dngan bnuk : adalah : Pd.

17 M(, ) d N(, ) d dinamakan prsamaan difrnsial ksak (ac diffrnial quaion) jika rdapa sbuah fungsi f f sdmikian rupa shingga M and N f pada darah rnu. Olh karnana, prsamaan f di aas dapa diulis kmbali mnjadi : d f (, ) k, k adalah nilai konsana rnu. f d. Solusi dari prsamaan ini adalah f f Apabila M(, ) dan N(, ) maka prsamaan difrnsial dalam bnuk M(, ) d N(, ) d dikaakan ksak jika dan hana jika M N. Conoh IV. jawab : Bukikan bahwa prsamaan difrnsial briku brsifa ksak dan nukan solusi prsamaan difrnsial rsbu : (a) 9 d d (b) sin sin d cos cos d (a) Unuk prsamaan difrnsial M M(, ) 9 N N (, ) olh karnana, prsamaan difrnsial rsbu ksak. Fungsi difrnsialna adalah : f 9 f (, ) 9 d C ( ) f f (, ) C ( ) dngan mmbandingkan kdua prsamaan di aas maka didapakan : f (, ) Olh karnana, solusi umum prsamaan difrnsial rsbu adalah : k (b) Unuk prsamaan difrnsial ini : M M(, ) sin sin cos sin

18 N N (, ) cos cos cos sin adalah mrupakan prsamaan difrnsial brsifa ksak. Fungsi difrnsialna adalah : f sin sin f (, ) sin cos C ( ) f cos cos f (, ) sin cos C ( ) dngan mmbandingkan kdua prsamaan di aas maka didapakan : f (, ) sin cos Olh karnana, solusi umum prsamaan difrnsial rsbu adalah : sin cos k Solusi Prsamaan Difrnsial Non Eksak Dngan Fakor Pgingaralan Apabila prsamaan difrnsial dalam bnuk : M(, ) d N(, ) d jika idak ksak, fakor ingralna dicari rlbih dahulu. Pdoman mncari fakor pngingralanna adalah sbagai briku : a. jika M N f( ), dngan f() adalah fungsi dalam, maka fakor ingralna N f ( ) d adalah : b. jika M N g( ), dngan g() adalah fungsi dalam, fakor ingralna adalah N g( ) d Conoh IV. Tmukan fakor pngingralan dari prsamaan difrnsial biasa briku dan nukan solusina : solusi: d d M (, ) M M dan 6 N(, ) dan rliha bahwa p d N M N N N. Olh karnana, fakor pngingralanna adalah : shingga prsamaan difrnsial-na mnjadi d d

19 fungsi difrnsialna adalah f (, ) f f f (, ) C( ) f f C'( ) C'( ) dngan mmbandingkan kdua prsamaan di aas, didapakan : C '( ), shingga C( ) consan solusi umum prsamaan difrnsial rsbu adalah : f (, ) k Conoh IV. Slsaikan : ( ) d ( ) d Jawab : Kia priksa rlbih dahulu apakah prsamaan difrnsial rsbu brsifa ksak aaukah idak. M 8 6 N prsamaanna idak ksak karna N M. Slanjuna dicari fakor ingralna : M N M N 8 8, dan N g( ) maka fakor ingralna adalah : d kalikan prsamaan difrnsial ( ) d ( ) d dngan fakor ingralna, aiu :, shingga prsamaan difrnsialna brbnuk : ( ) d ( ) dan prsamaan difrnsial ini ksak. ln Slanjuna : ambil = Md ( ) d ( )

20 shingga : '( ) = N '( ) shingga '( ), maka ( ) konsana olh karnana, solusi prsamaan difrnsial ( ) d ( ) d adalah : C Soal laihan priksalah apakah prsamaan difrnsial di bawah ini ksak aau idak, kmudian carilah solusina.. ( ) d ( ) d. ( ) d ( ) d V. Prsamaan Difrnsial Ord Prsamaan Difrnsial linar Ord Prsamaan difrnsial linar ord mmiliki bnuk umum sbagai briku : : d d p( ) q( ) d d r( ) f ( ) dngan p( ), q( ), r( ) dan f( ) adalah fungsi dngan variabl. Apabila f( ) =, maka prsamaan difrnsial ini dikaakan homogn. Sbalikna, jika f( ), maka dikaakan sbagai prsamaan difrnsial linar idak homogn ord. d d p( ) q( ) d d r( ), homogn d d p( ) q( ) d d r( ) sin, idak homogn conoh prsamaan difrnsial linar ord anara lain : d d d d sin Prsamaan Difrnsial Linar Homogn Ord dngan Kofisin Konsan (Scond Ordr Homognous Linar Diffrnial Equaions Wih Consan Cofficins) Ord : pangka ringgi dari urunan (drivaif) ang rdapa pada prsamaan difrnsial : d Conoh : d Homogn : iap lmn mngandung unsur :, d, d d Conoh : homogn d d idak homogn d Linar : iap lmn prsamaan mngandung sidakna sau unsur :, d, dan idak rdapa

21 d d unsur : aau. Prsamaan difrnsial dikaakan linar jika :. Variabl dpndn dan urunanna brpangka sau. Jadi bnuk (mngapa??) d adalah non linar d. Tidak ada prkalian anara varibl dpndn dan urunanna. Shingga bnuk adalah non-linar (mngapa??). Variabl dpndn idak brbnuk fungsi non-linar, spri fungsi sinus, cosinus, ksponnsial, ds. d Conoh : d d d Linar, karna sara (),(),() rpnuhi d d, Tidak linar karna mnalahi sara () d d d d, Tidak linar karna mnalahi sara () cos, Tidak linar karna mnalahi sara () d d Kofisin Konsan : kofisin,, adalah konsana Solusi Umum Conoh dari prsamaan difrnsial linar homogn ord dngan kofisin konsan anara lain : d d d : 6,, ds Briku ini conoh dalam mncari solusi umum prsamaan difrnsial linar homogn ord dngan kofisin konsan Conoh V. Carilah solusi dari prsamaan difrnsial : d d. Jawab : Misalkan d d C, maka C, dan C Subsiusikan shingga mnjadi : C C C, Bnuk mrupakan prsamaan karakrisik. Slanjuna subsiusikan C

22 d d k prsaman mnghasilkan prsamaan, dngan = -, -. olh karnana rdapa solusi, aiu C dan C. Olh karnana, solusi umum d d prsamaan difrnsial adalah : C C Conoh V. Tnukan solusi umum dari prsamaan difrnsial briku : d d 5 jawab : misalkan C, maka C C 5A, Didapakan = 5, -. Solusi umum : C C 5 d C, dan 5 d C Caaan : d d mmiliki prsamaan karakrisik d d 5 mmiliki prsamaan karakrisik d d jadi :,, d d maka : Akar-akar prsamana karakrisik dapa mmiliki kmungkinan :. Akar-akarna adalah bilangan riil dan brbda. Akar-akna adalah bilangan komplks dan sama. Akar-akarna adalah bilangan komplks. Akar-akna adalah bilangan riil dan sama Laihan Soal : Tuliskan prsamaan karakrisik dari : d d (a) d d (b) d (c) Akar-akarna adalah bilangan riil dan brbda Jika akar prsamaan karakrisik adalah dan, maka solusi dari prsamaan difrnsial rsbu adalah : C C, jika adalah variabl dpndn dan adalah variabl indpndn.

23 Conoh V. Tmukan solusi dari prsamaan difrnsial : d d (), () langkah pnlsaian :. Tuliskan prsamaan karakrisik dan cari nilai. Tuliskan solusi umum. Cari nilai konsana dari solusi umum Jawab : () () ( )( ), C C () (i) () C C (ii) C C, () C C maka dicari nilai C dan C dari prsamaan : = C + C dan = -C -C C C, ( C ) C C, C d d shingga solusi dari, (), () adalah apabila digambar dalam grafik akan rliha spri gambar briku : Gambar. Grafik dari Conoh V. Tmukan solusi dari prsamaan difrnsial : d d 7 () ( ) Jawab : () 7 ( )( ), () C C, () C C () = C + C dan = C + C C, C d d Jadi solusi slngkapna dari prsamaan difrnsial 7 dngan () ( ) adalah :. Grafik diunjukkan pada gambar

24 Gambar V. grafik fungsi Jika akar-akar prsamaan karakrisik mrupakan bilangan komplks dan sama. Jika akar prsamaan karakrisik adalah, maka solusi dari prsamaan difrnsial rsbu adalah : C cos C sin Prhaikan conoh soal briku : Conoh V.5 Tnukan solusi dari : Jawab : d d d Prsamaan karakrisik dari adalah : d,, maka olh karnana, solusi umum ang didapakan adalah : j j C C brdasarkan sifa rigonomri : j cos j sin j cos j sin maka didapakan : C (cos j sin ) C (cos j sin ) jika C C A Cj Cj B maka : Acos B sin Jika akar-akar prsamaan karakrisik mrupakan bilangan komplks Jika akar prsamaan krakrisik adalah a bj, maka solusi dari prsamaan difrnsial rsbu adalah : a ( C cos b C sin b ) Conoh V.6 Tnukan solusi dari prsamaan difrnsial : '' ' jawab : Prsamaan karakrisik : Akar prsamaan dicari dngan mnggunakan rumus abc :

25 b b ac a... 6, j maka solusi umumna adalah : ( Acos Bsin ) Jika akar prsamaan karakrisik brupa bilangan riil dan sama maka solusi umumna brbnuk :. Conoh V.6 '' 9 Prsamaan karakrisik : 9, Solusi dari prsamaan difrnsial rsbu adalah :. Laihan Soal. nukan prsamaan karakrisik dari : di di L R i C. nukan solusi dari prsamaan difrnsial homogn ord briku : d d a. d d 8 d d b. d d d c. 6 d 5d d. 6 d d. d d Prsamaan Difrnsial Linar Non-Homogn Ord dngan Kofisin Konsan (Scond Ordr Homognous Linar Diffrnial Equaions Wih Consan Cofficins) Dari bnuk umum prsamaan difrnsial linar ord d d p( ) q( ) r( ) f ( ) d d jika f( ), maka solusi khusus prsamaan difrnsial rsbu dicari dngan mncobana dngan mnggunakan knuan sbagai briku : : f() Konsana Polinomial dngan draja n Solusi coba-coba Konsana Polinomial dngan draja n

26 cos k acos k b sin k sin k acos k b sin k k a k a Solusi oal mrupakn pnjumlahan dari solusi khusus dan solusi umum. Solusi_oal = Solusi_Umum + Solusi_Khusus Conoh V.7 Carilah solusi dari prsamaan difrnsial : d d 6 8 cos d d (). Mncari solusi umum d d Prsamaan karakrisik dari 6 8 adalah : d d 6 8 ( )( ), Shingga solusi umumna adalah : C C () Mncari solusi khusus Bbrapa langkah ang harus dilakukan dalam mngrjakan solusi khusus :. Cari fungsi ang mrupakan solusi khusus brdasarkan abl Brdasarkan abl, maka solusi khusus dimisalkan adalqh fungsi : ( ) acos bsin p. Cari urunan prama dan kdua, kmudian subsiusikan k dalam prsamaan difrnsial Turunan pramana : ' p( ) asin bcos Turunan kduana : '' p( ) acos bsin d d Slanjuna subsiusikan k prsamaan difrnsial 6 d d 8 cos ( '' p( ) acos bsin ) 6( ' p( ) asin bcos )+( p( ) acos bsin ) = cos. Klompokkan kofisin- kofisin angs sjnis, dan cari nilai konsanana Unuk kofisin cos : ( a 6b 8 a) cos ( b 6a 8 b)sin cos ( a 6b 8 a) cos cos (7a 6 b ) Unuk kofisin sin : ( b 6a 8 b)sin ( b 6a 8 b ) (6a 7 b ) Maka dapa dicari nilai a dan b, aiu : a 8, b Subsiusikan nilai konsana ang didapa k dalam solusi khusus prsamaan difrnsial Solusi khusus : p( ) acos bsin adalah : 8 p( ) cos sin 85 85

27 solusi_oal = Solusi_Umum + Solusi_Khusus 8 = C C + cos sin Laihan Soal : Tmukan solusi khusus dari : d d. 6 8 d d LATIHAN SOAL TERPADU d. Tnukan solusi dari prsamaan difrnsial d, dngan,,, adalah konsana.. Tmukan solusi prsamaan difrnsial briku dngan mod pmisahan variabl : d (a) sin d. Prgrakan suau bnda ang jauh k bumi mmiliki prsamaan : dv d g bv Tnukan kcpaan bnda rsbu pada waku, jika v( ).. Ini bahan radioakif mngalami pluruhan dngan fungsi pluruhan : dn N N adalah konsnrasi(massa) ini bahan radioakif rsbu and adalah konsana pluruhan. Tmukan N( ) dngan kondisi awal N( ) N o. 5. Dari prsamaan difrnsial briku, nukan : (a) apakah brsifa linar (b) sbukan ord prsamaan difrnsial rsbu (c) bukikan bahwa fungsi ang dibrikan mrupakan solusi dari prsamaan difrnsial rsbu : i. d, c ii. d, c, d d iii.,. d d iv. 6 ( ), 6. Tmukan solusi dari prsamaan difrnsial dngan kondisi awal briku ini : d a. 6, () 6

28 d b. 5 sin( ), () d c., () d d., () d. 6 sin(5 ) cos(5 ), () d f., () 7. Tmukan fakor pngingralan dari prsamaan difrnsial biasa briku dan nukan solusina : (a) d d (b) ( ) d d 8. Bukikan bahwa prsamaan difrnsial briku brsifa ksak dan nukan solusi dari prsamaan difrnsial rsbu : (a) a b d b c d (b) d d Aplikasi Prsamaan Difrnsial Dalam Bidang Tknik Elkro Rangkaian LRC pada gambar dapa dimodlkan k dalam prsamaan difrnsial dngan auran-auran sbagai briku :. Hukum II Kirchoff s nang gangan : jumlah/sigma ksluruhan gangan dalam loop ruup adalah nol (h sum of all h volag drops around an closd loop is zro).. Tgangan pada pada rsisor, VR, adalah sbanding dngan arus ang mlwaina, ang dirumuskan dngan : V R = ir (Hukum Ohm s ), dngan R adalah rsisansi dari rsisor.. Tgangan pada kapasior adalah sbanding dngan muaan lkrik pada kapasior, aiu q, ang dirumuskan dngan : Vc. q, dngan C adalah kapasiansi kapasior (dalam sauan C farad) dan muaan q dalam sauan coulombs.. Tgangan pada indukor sbanding dngan laju prubahan arus lisrik ang mngalir dalam di sau sauan waku. Dirumuskan sbagai : V L L, dngan L adalah indukansi indukor ang diukur dalam sauan : hnri. Gambar VI. Rangkaian RLC dalam loop ruup. Brdasarkan hukum II Kirchof (KVL II) : di L ir q v(). C

29 dq Olh karna i (), maka: di d dq d q ( ). Shingga prsamaan di d q dq q L ir q v() mnjadi : L R v() C c Conoh VI. Sbuah rangkaian lisrik ang rdiri dari komponn R, C, dan sumbr gangan sbagai briku : R Vs + - i V R C Vc Jika pada saa = swich ruup, gangan pada kapasior adalah Vo, aiu Vc () = Vo maka :. Bukikan bahwa prsamaan difrnsial ang rbnuk mrupakan prsamaan difrnsial linar ord prama. Carilah solusi dari prsamaan difrnsial rsbu mnggunakan mod fakor pngingaraln. Carilah solusi khusus dari prsamaan difrnsial rsbu jika gangan pada kpasior mula-mula adalah Vo =. Solusi pada kondisi ini dinamakan : rspon kadaan nol (zro sa- rspons). Carilah solusi prsamaan difrnsial ang rbnuk, jika gangan sumbr = (Vs = ). Solusi pada kondisi ini dinamakan : rspon inpu nol (zro inpu- rspons) 5. bukikan bahwa solusi () mrupakan pnjumlahan anara zro sa- rsponsdan zro inpu- rspons Jawab :. brdasark hukum II Kirchof nang gangan : Vs() VR Vc. Arus ang mngalir pada rsisor = arus ang mngalir pada kapasior Vs VR dvc C, shingga prsamaan difrnsial ang rbnuk adalah : R dvc RC Vc Vs, ang dapa disdrhanakan mnjadi bnuk : dvc Vc Vs (prsamaan difrnsial ord prama linar) RC RC. dari pmbnukan prsamaan difrnsial di aas rliha bahwa : P = RC, Q = Vs, shingga fakor pngingralan ( ) dibrikan sbagai : RC P, RC P, RC solusi dapa dicari dngan rumus : Vc Q, dngan Vs V cos. Maka :

30 ( RC) Vc V cos RC ( RC) V ( RC) Vc cos. Sdangkan Vc Vc RC RC. ( RC) ( ) ( RC) RC R C cos cos sin R C RC. ( RC) cos V R C ( RC) ( R C ) ( ) sin RC VR C cos sin R C RC + K. ( ) + K. RC ( RC ) + K. Maka : Dngan kondisi pada saa =, Vc = Vo, maka : RC VR C cos Vc sin ( R C ) RC + K. ( ) dngan mnrapkan =, Vc = Vo VR C Vo K, shingga : ( R C ) RC K Vo V ( RC ). Subsiusikan nilai K k prsamaan shingga : VR C cos V Vc sin ( Vo ) ( R C ) RC ( R C ). Dngan mnggani Vo =, maka didapakan :fungsi zro sa- rspons na adalah : Vc VR C cos sin V ( R C ) RC ( R C ). Dngan mnggani Vs = V =,maka dari prsamaan difrnsial ( RC ) VR C cos V Vc sin ( Vo ) ( R C ) RC ( R C ) fungsi zro inpu- rspons na adalah : ( RC) ( RC ) ( RC ) didapakan Vc Vo. 5. Trliha bahwa solusi prsamaan difrnsial dari poin () mrupakan jumlah anara zro sa- rspons dan zro inpu- rspons ( RC) cos Voal Vo. +( Vc VR C sin V ) ( R C ) RC ( R C ) ang mrupakan solusi ang didapakan dari (), aiu : VR C cos V Vc sin ( Vo ) ( R C ) RC ( R C ) ( RC )

31 Laihan soal :. Bukikan bahwa : ( ) ( RC) RC R C cos cos sin R C RC Conoh VI. Sbuah rangkaian lisrik ang rdiri dari R, L, n C rsusun parall spri pada gambar : Is() R L C Sumbr arus adalah Is(), arus ang mngalir adalah I, dngan prsamaan : d i L di LC i i () s, unuk R dngan i mrupakan arus ang mngalir pada indukor. Jika L = H, R =, dan C =. F, dngan sumbr arus is (). Dngan nilai kondisi di awal i= dan pada saa =. d i L di. Prsamaan difrnsial bnuk apakah LC i i () s? R d i L di. Carilah solusi unuk prsamaan difrnsial LC i i () s R. Carilah zro inpu- rspons, aiu kondisi pada saa is ( ) di. Carilah zro sa- rspons, aiu saa i= dan unuk = 5. Tunjukkan bahwa solusi () mrupakan pnjumlahan anara zro inpu- rspons dan zro sa- rspons jawab : d i L di d i di. LC i i () s, i R prsamaan karkrisik adalah :. Akar prsamaan karkrisik adalah : b b ac..,., j solusi umumna olh karnana adalah : / i ( Acos Bsin ) solusi khusus dicari dngan mncoba-coba, olh karna f() =, maka diandaikan i, i', i'', subiusikan k prsamaan difrnsial : i" i ' a

32 di + shingga, = shinggs solusi khususna adalah : i solusi ksluruhan =solusi umum + solusi khusus / i ( Acos Bsin ) + unuk mncari nilai konsana A dan B, maka digunakan banuan kondisi awal. Saa =, i=, shingga : i A, A di : / ( Asin B cos ) di saa =,, shingga B A B ( ) B B B shingga solusi lngkapna adalah : / i ( cos sin ) + ( Acos B sin ) / /. zro inpu- rspons, aiu kondisi pada saa is ( ) dari () lah didapakan solusi umumna, aiu : / i ( ) ( Acos Bsin ) s. krjakan. krjakan MATLAB Solusi prsamaan difrnsial biasa linar MaLab mrupakan prangka lunak ang dapa digunakan unuk mncari solusi prsamaan difrnsial scara mudah. Sinaks prinah ang digunakan unuk mncari prsamaan difrnsial adalah prinah dsolv.

33 Sbagai conoh, prsamaan difrnsial ord sbagai briku : '' + = cos() dngan kondisi '() = dan () =, dngan '' = d /d dan ' = d/d. =dsolv('d + = cos(*)', 'D()=', '()=') = -/*cos()^+/+/*cos() pr() - / cos() + / + / cos() solusi rsbu dapa disdrhanakan : = simpl() = -/*cos(*)+/*cos() pr() - / cos( ) + / cos() conoh : cari solusi prsamaan difrnsial homogn linar ord dngan kofisin konsan briku : '' + ' + 5 =. Jawab : dsolv('d+*d+5*') ans = C*p(-)*sin(*)+C*p(-)*cos(*) Apabila prsamaan difrnsial di aas brbnuk '' + ' + 5 = -sin(),dngan '() = and () =. = dsolv('d+*d+5* = -sin()', 'D()=','()=') = /*sin(*)*cos(*)-/*sin(*)*sin(*)- /8*sin(*)*cos()+/8*sin(*)*sin()+/8*cos(*)*cos()+/8*cos(*)*sin()- /*cos(*)*cos(*)-/*cos(*)*sin(*)+/*p(-)*sin(*)+9/*p(-)*cos(*) = simpl() = -/5*sin()+/*cos()+/*p(-)*sin(*)+9/*p(-)*cos(*) apabila digambarkan/diplo : fplo(,[ ])

34 prsamaan difrnsial unuk ord kiga : ''' - '' - ' + = dngan ''() =, '() = -5, dan () = 5 =dsolv('d-*d-d+*=*^-6*+','d()=','d()=-5','()=5') = -*++^+p()-p(*)+*p(-) fplo(,[ ]) DAFTAR PUSTAKA Ars, Frank, JR,PhD, & Aul, JC, MSc, & Rana, Lil, Dra. 999: Prsamaan Difrnsial dalam sauan SI mric (sri buku schaum, ori dan soal-soal). Erlangga, Jakara. Karono. 99. Pnunun Blajar Prsamaan Difrnsial. Cakan prama, Andi Offs, Yogakara. Spigl, Murra, PhD. 99. Mamaika Lanjuan Unuk Para Insinur Dan Ilmuwan. (alih bahasa : Drs. Koko Marono). Cakan kiga. Erlangga, Jakara. Crof, Anhon & Davidson, Robr & Hargravs, Marin.. Enginring Mahmaics, A Foundaion For Elcronic, Elcrical, Communicaion and Ssms Enginrs. Third diion. Parson, Addison-Wsl. UK.