TRANSFORMASI LAPLACE. Asep Najmurrokhman Jurusan Teknik Elektro Universitas Jenderal Achmad Yani. 11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 1

Transkripsi

1 TRANSFORMASI LAPLACE Aep Najmurrokhman Juruan Teknik Elektro Univerita Jenderal Achmad Yani April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem

2 Tujuan Belajar : mengetahui ide penggunaan dan definii tranformai Laplace. menurunkan tranformai Laplace beberapa inyal. mengetahui dan menggunakan ifat-ifat tranformai Laplace. menerapkan konep dan ifat tranformai Laplace dalam menyeleaikan peramaan diferenial. menggunakan tabel tranformai Laplace dalam menganalii inyal dan item. April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 2

3 Inovator Pierre-Simon Laplace, French Mathematician ( ) April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 3

4 Ide Peramaan diferenial Tranformai Laplace Peramaan aljabar Solui peramaan diferenial Domain waktu Domain frekueni April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 4

5 Ilutrai? RCy t yt ut? April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 5

6 Tranformai Laplace F() = L(f(t)) 0 t F f t e dt C (bilangan komplek) F adalah fungi bernilai komplek dari bilangan komplek diebut variabel frekueni dengan atuan per detik, ehingga t tidak beratuan Bentuk integral di ata mengaumikan bahwa f tidak mengandung impul di t = 0. Dalam beberapa literatur, jika huruf kecil menandakan inyal, maka huruf bearnya menandakan tranformai Laplacenya, mialnya U = L(u), Vin = L(vin), dt. April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 6

7 Tranformai Laplace adalah ebuah tipe tranformai integral 0 t e f ( t) dt Berikan ebuah fungi ke dalamnya maka diperoleh fungi baru F( ) Fungi baru dalam domain yang berbeda April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 7

8 Jika 0 t e f ( t ) dt F( ) F( ) adalah tranformai Laplace dari f ( t). Simbol : L f t ( ) F( ), L y( t) Y ( ), L x( t) X ( ), etc. April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 8

9 Korepondeni atu-atu L(f) = L(g) f = g Tranformai Laplace balik f t 2j j F j e t d April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 9

10 Contoh () Tentukan tranformai Laplace dari f(t) = e t. Jawab : t t t t F e e dt e dt e 0 0 t Integral di ata terpenuhi jika e 0 apabila t yang menyaratkan bagian real dari variabel lebih dari 0 ROC (region of convergence) = daerah konvergeni April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 0

11 Contoh (2) Tentukan tranformai Laplace untuk fungi f(t) =, t 0. t t F e dt e 0 0 April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem

12 Contoh (3) Tentukan tranformai Laplace dari fungi inuoidal : f(t) = co t Jawab : Ubah ke bentuk ekponenial f t e e 2 2 t j t j t j t j t e e e dt e dt e dt j 2 j 2 2 j t jt April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 2

13 Tranformai Laplace f(t) F() ROC δ(t) (impul) emua (unit tep) Re()>0 t n e -at co ωt in ωt Re()>0 Re()+Re(a)>0 Re()>0 Re()>0 April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 3 n! n a

14 Sifat-ifat Tranformai Laplace Sifat f(t) F() Linierita a f(t) + b g(t) a F() + b G() Penkalaan waktu f(at) a F a Penundaan waktu f(t-t) e -T F() Penkalaan ekponenial e at f(t) F(-a) Konvolui waktu x(t) * y(t) X() Y() April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 4

15 Sifat-ifat Tranformai Laplace Sifat f(t) F() Konvolui frekueni (modulai) Perkalian dengan t x(t) y(t) g(t) = t f(t) 2j G X ( )* Y ( ) F Difereniai waktu d dt n n x(t) n X ( ) n k 0 n k x ( k ) (0) Integral g t t 0 f d t 0 d G F f April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 5

16 Linierita L (3(t) - 2e t ) = 3 L ((t)) - 2 L (e t ) April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 6

17 Penyekalaan ekponenial L(co t) = 2 L(e -t co t) =? April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 7

18 Penundaan waktu a b e a e a a F a b e e April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 8 e a b e b

19 Turunan x t 3 x t 2 xt 0 ; x0 a, x b 0 Sifat turunan : L (x') = L(x) x(0) = X() a L (x'') = 2 X() x(0) - x'(0) = 2 X() - a - b didapat : 2 X ab 3X a 2X 0 X a 2 b 3a 3 2 April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 9

20 Aplikai Tran. Laplace dalam rangkaian elektrik : Contoh () R = C = F Kapaitor tidak bermuatan pada t = 0, yaitu y(0) = 0 inyal input u berupa tangga atuan. Tentukan bentuk inyal y. Solui : Peramaan rangkaian yt yt ut Tranf. Laplace Y Y April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 20

21 Jawab April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 2 Y Y t e t y Y Y

22 Contoh (2) Perhatikan rangkaian berikut, aklar ditutup aat t = 0 dan V C (0) =.0 V. Cari i(t) dalam rangkaian. April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 22

23 Jawab Peramaan rangkaian dapat ditulikan dalam bentuk berikut atau April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 23

24 Terapkan tranformai Laplace ehingga didapat Karena V C (0) =.0 V maka April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 24

25 Dengan demikian diperoleh ehingga tranformai Laplace peramaan rangkaian berbentuk April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 25

26 Bentuk terakhir adalah ehingga diperoleh April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 26

27 April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 27

28 Contoh (3) Perhatikan rangkaian berikut Kapaitor tidak memiliki muatan aat t = 0. Jika aklar ditutup, tentukan aru i dan i 2, erta muatan pada C untuk t > 0 April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 28

29 Jawab Dengan menggunakan hukum Kirchhoff diperoleh atau April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 29

30 Subtitui (2) ke () diperoleh atau (3) April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 30

31 Karena dan maka ehingga tranformai laplace peramaan (3) berbentuk atau didapat April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 3

32 Bentuk i(t) adalah Dari peramaan (2) diperoleh atau April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 32

33 Untuk menghitung muatan pada kapaitor, kita memerlukan informai tegangan pada kapaitor dan diperoleh atau April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 33

34 Karena maka April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 34

35 Tuga#3. Perhatikan rangkaian berikut Kapaitor memiliki muatan awal mc dan aklar berada di poii cukup lama ampai tercapai kondii tunak. Saklar dipindahkan ke poii 2 aat t = 0. Tentukan aru i(t) untuk t > 0. April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 35

36 2. Perhatikan item berikut a. nyatakan hubungan antara inyal u dan y dalam bentuk LCCODE. Petunjuk : jika keluaran ebuah integrator w maka maukannya adalah w (turunan dari w). April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 36

37 b. anggap kondii mulanya nol, yaitu y(0) = y (0) = y (0) = 0, nyatakan tranformai Laplace inyal y ebagai fungi tranformai Laplace dari inyal u, yaitu Y U April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 37

38 3. Sumber tegangan v(t) diberikan kepada ebuah motor aru earah (DC motor). Model ederhana dari motor terebut adalah rangkaian eri antara ebuah induktani L dan ebuah reitani R, ehingga aru yang mengalir dalam motor memenuhi peramaan L di dt Ri v April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 38

39 Sudut putar motor ditandai dengan (t) dan kecepatan d udutnya (t), artinya. Aru motor menghailkan dt tori (t) yang ebanding dengan bear arunya, yaitu t kit dengan k adalah kontanta motor. Ineria putar motor ditandai dengan J dan koefiien redamannya b. Peramaan Newton yang berlaku berbentuk d J dt ki b April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 39

40 0 Anggap bahwa i(0) = 0, 0, dan 0 0. Nyatakan perbandingan tranformai Laplace (t) dengan tranformai Laplace v(t). April 20 EL2032 Sinyal dan Sitem 40