Oleh: Kelompok IV CICI NARTIKA RELA SEPTIANI RIKA OCTALISA ULPA ARISANDI RIRIN BRILLIANTI

Transkripsi

1 Oleh: Kelompok IV CICI NARTIKA 759 RELA SEPTIANI 7433 RIKA OCTALISA 7447 ULPA ARISANDI 745 RIRIN BRILLIANTI 7467 KELAS : 6.L MATA KULIAH : MATEMATIKA LANJUTAN DOSEN PENGASUH : FADLI, S.Si FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG

2 Tranformai Laplace merupakan kla dari ranformai inegral yang dimanfaakan : Unuk meruah enuk peramaan diferenial iaa menjadi enuk peramaan aljaar. Unuk meruah peramaan diferenial parial menjadi peramaan diferenial iaa.. Definii Mial fungi f( erdefinii unuk. Maka ranformai Laplace (au ii aau unilaeral dari f( didefiniikan eagai: L(f( e - f( d...(. Inegral (. merupakan fungi dalam parameer, maka noai lain yang iaa digunakan adalah F( L (f(. Sedangkan fungi aal f( dapa diperoleh dari Tranformai inver f( L (F(. Agar ranformai Laplace F( ada maka inegral ak wajar (. harulah konvergen dan ini dapa diceak dengan mencari limi : e - f( d lim e- f( d...(. Bila kia coa unuk eerapa nilai ilangan ula n, ecara indukif didapakan ranformai Laplace unuk f( n yaiu : n! F( ( >...(.3 n Maka didapakan ranformai inver, L n Conoh : Tenukan ranformai Laplace dari f( e a. Jawa : Dengan menggunakan definii (. didapakan, F(S lim e(- a d lim (- a e a Dari enuk (.4 didapakan ranformai inver, L e a a n ( n! a ( > a...(.4

3 Beerapa ifa : Sifa keeradaan ranformai, ifa keunggalan dan ifa linear dari ranfomai Laplace namun eelumnya, perhaikan eerapa definii eriku. Fungi f( dieu koninu agian demi agian pada inerval [a,] ila : i. Inerval [a,] dapa diagi menjadi u-u inerval yang erhingga anyaknya yang menyeakan f( koninu pada u-u inerval ereu. ii. Limi dari f( pada eiap ujung u inerval ernilai hingga. Fungi f( dieu eraa ekponenial pada inerval [a,] ila erdapa ilangan real M dan r ehingga erlaku f ( M e r unuk eiap [a,]. Sifa Keeradaan Tranformai Laplace : Tranformai Laplace dari f( dengan ada ila f( koninu agian demi agian dan eraa ekponenial unuk. Sifa Keunggalan Tranformai Laplace : Tranformai lalace dari uau fungi adalah unggal yaiu ila F ( dan F ( merupakan ranformai Laplace dari f( maka F ( F (. Sifa Linear Tranformai Laplace : Dengan menggumakan definii (., didapa ahwa Tranformai Laplace mempunyai ifa linear, L ( af ( g( e ( af ( g( d a f ( d g( d...(.5 e af ( G( e Inver dari ranformai Laplace juga mempunyai ifa linear, karena : L (c F( d G( L (L(cf( dg( cf( dg(...(.6 cl (F( d L (G( Conoh : Tenukan ranfomai Laplace dari f( ( Jawa : Dengan menggunakan ifa (.5 dan rumu umum unuk ranformai Laplace dari fungi polinom (.3 didapakan ranformai Laplace dari fungi f( ( 4 4, yaiu : F(

4 . Tranformai Laplace dari Turunan Fungi Tingka n Mial f( dan urunannya f ( koninu dan eraa ekponenial, maka f( dan f ( mempunyai ranformai Laplace. Dengan menggunakan inegral parial dan ifa eraa ekponenial dari f( maka diperoleh : L(f ( e f ( d e - f( e f ( d...(.7 Dengan menggunakn noai (.7 didapakan ranformai Laplace dari urunan orde dan orde 3 dari fungi f( yaiu: L(f ( F( f ( f ( Dan L(f ( 3 F( f ( f ( f ( Secara indukif dapa diperoleh ranformai Laplace dari urunan orde n fungi f (, L(f (n ( n F( n - f( n f ( -... f (n (...(.8 Meode penurunan fungi (.8 akan leih mudah dierapkan unuk menenukan ranformai Laplace dari fungi yang apaila diurunkan ampai ingka-n akan kemali ke enuk emula. Unuk jelanya dierikan conoh eriku. Tenukan ranformai Laplace dari f ( in a Jawa : Dilakukan penurunan ampai ingka ke- didapakan, f( in a f ( f ( a co a f ( a f ( -a in a f ( Pada penurunan ingka- udah dihailkan enuk aal, ehingga digunakan : L(f ( F( f ( f ( L(-a in a L(in a f ( f ( a L(in a a Dari hail yang didapakan pada conoh (.5 didapakan ranformai inver, in a L a a

5 3. Tranformai Laplace dari Inegral Fungi Pada meode penurunan fungi (.8 diperlihakan ahwa ranformai Laplace dari urunan fungi didapakan dengan mengalikan hail ranformai fungi dengan. Karena inegral merupakan ani urunan maka dapa diurunkan ranformai Laplace dari inegral fungi yang merupakan pemagian dari hail ranformai fungi oleh. Mial F( L (f( ada. Maka : L f ( x dx F(...(.5 Dengan >. Sedang dengan menggunakan ranformai inver didapakan : F( L Conoh : Tenukan inver dari : G( Jawa : f ( x dx...(.6 4 Menggunakan ifa (., G( dapa diulikan eagai : G( F( 4. Inver dari F( adalah f( 4e. Oleh karena iu, inver dari G( adalah F ( dengan g( 4e x dx (e - Beriku dierikan ael paangan ranformai Laplace unuk eerapa fungi yang ia dieleaikan menggunakan meode yang dierikan eelumnya. Tael. Tranformai Laplace f( F( L(f( Domain dari F( n! T n (n B n S > e a Sin Co Sinh a S > a S > S > S >

6 Coh S > 4. Pergeeran Terhadap Sumu S Mial fungi f( mempunyai ranformai Laplace, F( L (f(. Maka grafik hail ranformai Laplace dari g( e a f(, dengan menggeer grafik hail ranformai dari f( aau grafik F( epanjang a auan kea rah kanan (ila a> aau kea rah kiri (ila a<.maka didapakan ranformai Laplace : L ( f ( e a a e ( e f ( d ( a e f ( d F( a Sehingga ranformai inver.7 L - (F(- a e a f(..8 Conoh. Tenukan ranformai Laplace dari : g( e in 3 Penyeleaiaian : Mial f( in 3. Maka g( e f( 3 Tranformai laplace dari f( yaiu F(.Oleh karena iu, 9 3 G( F( ( 9 Conoh. Tenukan inver Dari G( Penyeleaian : G(S ( ( Mial F ( dan F (, maka keduanya mempunyai inver eruru uru f ( co dan f ( -in, ehingga G( F ( F(. Oleh karena iu inver dari G( adalah g( e - (co in

7 5. Pergeeran erhadap umu Mial F( L(f( ada dan didefiniikan fungi angga g ( { ; < a f a ; > a ( dengan a. Unuk mencari ranformai laplace dari fungi angga g( yang erdefinii unuk > dapa dieleaikan dengan memperkenalakan fungi angga auan Fungi angga auan aau fungi Heaviide didefiniikan eagai eriku, < a U (-a...(,9, > a Dengan a > Garafik fungi angga auan (,9 diunjukan pada gamar. eriku a Gamar L(g(T L (f(-au(-a ω e f ( a u( a d ω e f ( y a u( y a dy a e f ( y ady e f ( y a dy ω a e f ( y a dy ω ( A T e f ( d a e -a e e -a F ( f ( ω a Sehingga diperoleh ranformai laplace unuk g( f( a u ( a

8 L(g( L(f( au( a e -a F(. Sedangkan ranformai inver ( L - e a F( f( au( a g(... Mial f( a maka f( dan F( S, maka didapakan ranformai Laplace dari fungi angga auan L [ ( a ] e a u Dan Tranformai Inver :. L - e a u( a.3 Conoh : Tenukan ranformai Laplace dari fungi g( u( Penyeleaian : Bila kia padankan dengan paangan ranformai Laplace, g( f( au( a G( e -a F(, maka dimialkan f ( -. Oleh karena iu, f( dan F(.Jadi Tranformai Laplace dari fungi g( adalah G( e-a F( e -a Conoh : e π Tenukan Inver dari ranformai, G( 4 Penyeleaian : Mial : F( 4 Maka inver dari F( adalah f( in Dengan menggunakan enuk. maka didapakan inver dari G(, g( in ( π u( π

9 6. Tranformai Laplace dari Fungi Tangga Mial dierikan fungi f( u( (3 u ( 5 u (. Maka nilai fungi f( unuk eerapa inerval : Inerval <, Pada inerval ini, nilai u ( u ( u (, ehingga f( Inerval < < Pada inerval ini, nilai u ( dan u ( u (, ehingga f( Inerval < < Pada inerval ini, nilai u ( u ( dan u (, ehingga f( (3 3 Inerval > Pada inerval ini, nilai u ( u (, ehingga f( (3-5 Grafik fungi f( diunjukan pada gamar.3. Sehingga ila fungi f( dinyaakan dalam fungi angga maka f( : ; < ; < < F( ; < < 3 ; > Bila dikaikan dengan ranformai laplace, maka hanya akan di perhaikan nilai fungi f( unuk, ehingga fungi f( : ; < < ; < < F( 3 ; >

10 Mial dihadapkan permaalahan unuk mendapakan rnformai Laplace erhadap dua fungi yang ama yaiu fungi : F( u( (3 u ( 5 ; < < U ( dan fungi f( 3 ; < < ; > Langkah langkah unuk menenukan ranformai laplace dari fungi angga g( : (i Uahlah g( ke dalam enuk uku uku dengan facor fungi angga auan u ( a dengan cara eriku : a Nilai a pada u( a diamil dari aa maing maing u inerval fungi g(. Nilai uau uku dari g( akan merupakan perkalian anara u( a dan nilai fungi ereuaian dengan a yang diamil anda poiif dan anda negaive dienukan dari perandingan anara dan a. Unuk a < diamil anda poiif ( dan unuk < a diamil anda negaive (- (ii Tranformaikan maing maing uku yang didapakan dari (i menggunakan meode.. Conoh : ; < Dik : g( ; < < ; >. Nyaakan g( ke dalam uku uku dari u( a. Tenukan ranformai Laplace dari g( Penyeleaian :. Baa u inerval dari g( adalah dan, ehingga g( dapa dinyaakan dalam uku- uku dengan facor u( dan ( jadi : G( u( u(.u ( u ( ( - u (. Dengan menerapakan enuk.5 didapakan ranformai Laplace dari g( yaiu : e e G( Conoh maalah nilai awal yang erkaian dengan pemakaian fungi angga auan dierikan conoh eriku : ; < y 4y 4y r( ; r( ; y( y ( ; >

11 . Tenukan ranformai laplace r(. Tenukan olui maalah nilai awal ereu. Penyeleaian :. Baa u inerval dari fungi r( adalah dan, maka enuk fungi angga auan yang akan menjadi facor di dalam iap uku dari fungi r( adalah u( dan u( -!, jadi r (.u ( (-u ( u ( diperoleh hail ranformainya : L [ r( ] e. Dengan memiahkan L ( y( Y ( dan dengan mengamil ranformai pada kedua rua didapakan : Y( e ( ( Mial 3 F( 3 ( ( Dan G( e e ( ( Maka eruru uru inver dari F( dan G( adalah e F( ( Dan G( u ( e ( e ( Oleh karena iu olui maalah nilai awal adalah : Y( f( g( e ( - u ( e ( e (

12 7. Fungi Dela Dirac Diperkenalkan fungi impul auan aau fungi dela direc. Fungi dela direc aau fungi impul auan didefiniikan :, a δ ( a a Tranformai laplace dari fungi dela direc diperoleh dari perhiungan langung aau menggunakan faka ahwa fungi dela direc merupakan urunan dari fungi angga : L [ δ ( a ] L [ u' ( a ] L [ u' ( a ] e -a Sedangakan ranformai inver e δ ( a L - a ( Conoh : - u( Tenukan nilai maalah awal : y; y y δ ( π ; y( y ( Penyeleaian : Dengan melakukan ranformai pada kedua rua dan menggunakn (.9 didapakan, e π Y(.Solui maalah nilai awal merupakan inver dari y( yaiu y( ( ( π e in( π u( π Dierikan ale Dario paangan ranformai laplace yang erkaian dengan pergeeran umu dan fungi angga auan. Tael. Paangan Tranformai Laplace Berkaian Dengan Pergeeran Sumu f( f ( L (f( Domain dari F( n a e ( n B n! S > a n ( a e a in S > a e a co e a inh e a coh ( a a S >a ( a ( a a ( a S > a S > a

13 Tael.3 Paangan Tranformai Laplace Berkaian dengan Fungi Tangga Sauan No F( F( Au( a A a e Au ( a A Aa a e 3 A u( a A A Aa a e 3 4 Ae u ( a a Ae a e 5 A co u( a A( co a A(in a a e 6 A in u( a A( co a A(in a a e co a c A(in a ( c ( c 7 Ae -c co u ( a A ( ( a( c 8 Ae -c in u ( a A ( co a A(in a( c a( c ( c ( c e e 8. Meode Penurunan dan Inegrai Tranformai a. Penurunan Tranformai Mial L[ f ( ] e f ( d. Bila F( diurunkan erhadap maka rua kanan juga diurunkan erhadap yaiu inegran diurunkan erhadap dengan memandang peuah lain ( eagai konana. Turunan Perama : F '( e ( f ( d L( f ( Turunan Kedua : F ''( e f ( (3 3 Turunan Keiga : F ( e - f ( ( d L( f ( 3 ( d L( f ( Maka ecara indukif dapa diperoleh ranformai dari urunan fungi ingka-n yaiu: n n ( n L( f ( ( F (... ( Sedang ranformai inver, n n n L F f... ( ( ( ( (

14 Conoh: g in π! 4 Tenukan ranformai Laplace dari fungi ( Jawa: Mial: π f ( in in co 4 Maka didapakan hail ranformai dari f(, F ( ( ( Sehingga ranformai laplace dari g( yaiu: G ( F' ( (. Penginegralan Tranformai Mial L(f( F( dan F f ( lim ada, maka: x ( x dx e f ( d dx f ( f ( e ( x d e e x f ( d dx d... (3 f L Tranformai Laplace inver. f ( ( L F x dx... (4 Meode penginegralan ranformai akan leih mudah dierapkan unuk menenukan inver ranformai ila enuk ranformai erupa fungi logarima aau fungi inver rigonomeri. Mial dierikan ranformai G(. Maka dapa diulikan: G ( F( x dx. Sehingga G ( dan inver dari G(. g( Conoh: a G ln! a Tenukan inver dari ( f (

15 Jawa: Fungi G( dapa dinyaakan, G( ln ( a ln (. hail urunan perama dari G(, G ( a Mial F(x - G ( -, maka inver dari F( adalah: a a f ( e e. Didapakan inver: g( e e a 9. Konvolui Definii: Konvolui dari dua fungi f(x dan g( didefiniikan eagai eriku: f ( g( ( f * g( f ( x g( xdx *... ( Sifa-ifa daar (aljaar dari konvolui fungi anara lain: komuaif, diriuif, dan aoiaif.. f * g g * f (komuaif. f * (g h f * g f * h (diriuif 3. (f * g * h f * (g * h (aoiaif 4. f * * f Conoh: Tenukan f( * g ( ila :. f ( ; g ( in. f ( ; g ( in Jawa:. ( f * g( f ( x g( x dx x in( x dx xd( co( x x co ( x in( x in( x in. ( f * g( in xdx co x co Meode Konvolui Kadang-kadang hail ranformai Laplace H( dapa dinyaakan eagai hail kali dua uah ranformai F( dan G( yang ereuaian dengan ranformai inver f( dan g(. inver dari H(, h( dapa diperoleh dari konvolui f( dan g(, eagaimana dijelakan eriku.

16 Mial : L (f( F( L (h( H( dan H ( F(. G(, Maka : F xy ( G( f ( x dx e g( y f f. dy ( x y ( x e g( y dy dx ( x e g( x d dx f L f ( x f ( x g( x dx d ( x g( x dx L( f ( * g( Jadi diperoleh paangan ranformai Laplace, h f * g H F G....3 ( ( ( ( ( ( Conoh: Tenukan inver dari ranformai: H ( 4 Jawa: Mial H( F ( G( dengan F( dan G( Maka didapakan eruru-uru inver dari F( dan G( yaiu f( dan G( in. Kemudian didapakan h( f( * g( in.. Gerak Harmonik Trayekori x( dari gerak harmonik uau enda dengan maa m yang erganung pada alu dengan konana li k dan egai damping erm era gaya yang ekerja pada enda adalah f( dinyaakan dengan peraamaan diferenial idak homogen. mx ''( x'( kx( f (....3 Tranformai Laplace [ x( x( x' ( ] [ x( x( ] kx( f ( m Bila enda mulai dari diam maka x( dam x (. Sehingga peramaan.3 diulikan menjadi....3

17 k m f x ( ( Mial m α ; m k ω dan α ω ω maka peramaan.33 menjadi: m k m m f x ( ( ( α ω m f ( ( α ω α m f ( ( ω α ω m f Dengan meode konvolui didapakan olui peramaan diferenial (.34, yaiu: ( [ ] e f m x in * ( ω ω α. Peramaan Inegral Benuk peramaan inegral dierikan eagai eriku: ( ( dx x y x g f y ( ( Dengan fungi f( dan g( dierkan. Benuk inegral di rua kanan dapa diuah menjadi enuk konvolui anara fungi g( dan y(, ehingga peramaa inegral dapa diulika: y ( f ( g ( * y ( olui peramaan inegral dapa dicari dengan mengamil ranformai Laplace unuk kedua rua ehingga didapakan fungi y( merupakan ranformai inver dari Y(. conoh: carilah olui peramaan inegral ( ( dx e x y y e y x ( jawa: dengan menggunakan noai konvolui fungi y( dapa diulikan menjadi ( * ( e y e y Tranformaikan kedua rua, didapakan: ( ( Y Y

18 Dinyaakan ecara ekplii fungi Y( 3 3 ( Y 4 4 ( 4 Solui peramaan inegral merupakan inver dari Y( yaiu: 3 y( e 4 4 Tael.4 Sifa Tranformai Laplace No Sifa Tranformai L af g af G Linear ( ( ( ( ( L ( cf( dg( cf ( dg( Pergeeran umu a L( f ( a e f ( 3 Pergeeran umu L e f ( F a 4 Skala 5 Turunan 6 Inegral 7 Perkalian dengan L ( ( a a df d d f L F d ( f ( a F L F( f ( ( f ( f '( n d f n d n n L F( f (... f ( n ( ( F L ( f x dx f df ( ( L f d d F ( ( L f d n n n d F L( f ( n d ( ( ( 8 Pemagian oleh f ( L F( y dy L f * g F G ( ( ( ( ( ( ( x dx

19 LATIHAN KERJA MAHASISWA Tenukan ranformai Laplace dari :. f(. f( e Carilah inver dari : 3. F( Gunakan meode Tranformai urunan aau inegral unuk mencari ranformai Laplace dari: 4. f( Sin 5. f( in Tenukan f( ila dikeahui F(: a 4 4 Gamarkan grafik fungi eriku dan enukan ranformainya: 8. f( u (- 9. f( u π in fungi eriku didefiniikan ernilai unuk nilai di luar inerval yang dierikan. Gamar grafik dan enukan ranformai Laplacenya:. ( < <. Sin (π < < 4π Tenukan gamar dan inver ranformai Laplace eriku: 4 e e. Gunakan meode Penurunan Tranformai unuk menenukan ranformai Laplace dari fungi eriku: 3. 4 e 4. f( e - in carilah inver dari ranformai Laplace eriku: a 5. F( ln (

20 Seleaikan konvolui eriku: 6. * e a 7. co * co enukan h( ila H( 8. ( 4 9. ( Gunakan ranformai Laplace unuk menyeleaikan peramaan inegral eriku:. y( y( xdx. y( in y( x in ( xdx 3 Gunakan meode yang epa unuk menenukan f( ila F( (. ( ( ( 3

21 PEMBAHASAN. f(. f( e 3. F( 4. f ( in f '( in d 3 u co du co.u. du f '( co.( in f.in u ' v v' u in co in co f 4e u 4 4 u'. v e e v ' f ' u' v v' 5. ( 6. ( f ' ( ( ( ( u ( 4( e (. e 4 f '( 4. e 8. e 7. f (. e in u u' v e v'. e w in co f ' u' vw v' uw w' f ' f ' ( uv ( ( ( e ( in ( e ( ( e 3 (. e.in. e.in. e.co 3

22

23

24