Analisis Rangkaian Listrik Jilid 2

Transkripsi

1 Sudaryatno Sudirham Analisis Rangkaian Listrik Jilid Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik ()

2 BAB 7 Tanggapan Frekuensi Rangkaian Orde Ke-Dua 7.. Rangkaian Orde Kedua Dengan Pole Riil Pole dari fungsi tansfer rangkaian orde kedua bisa riil ataupun kompleks konjugat. Pembahasan dalam sub-bab ini akan dikhususkan untuk fungsi alih dengan pole riil 7... Band-Pass Gain Fungsi alih rangkaian orde kedua dengan satu zero dan dua pole riil dapat ditulis sebagai Ks s) sehingga ( s+α)( s+β) (7.) K jω ( K / αβ) jω ( jω+α)( jω+β) ( jω / α)( jω / β) Fungsi gain adalah yang dalam satuan db menjadi log K db ( K / ) αβω T ( (7.) ( ω / α) ( ω / β) ( / αβ) log + logω log ( ω / β) ( ω / α) (7.3) Fungsi gain ini terdiri dari komponen-komponen dengan bentuk yang telah kita kenal pada pembahasan rangkaian orde pertama. Komponen pertama (suku pertama ruas kanan (7.3)) bernilai konstan. Komponen kedua berbanding lurus dengan logω dengan perubahan gain + db per dekade; komponen ketiga pengurangan gain db per dekade; komponen ke-empat juga pengurangan gain db / dekade. Frekuensi cutoff ω C α diberikan oleh komponen ke-tiga sedangkan komponen ke-empat memberikan frekuensi cutoff ω C β.

3 Nilai fungsi gain dengan pendekatan garis lurus untuk β > α adalah seperti dalam tabel di bawah ini. Mengenai fungsi fasa-nya akan kita lihat pada contoh-contoh. Gain Frekuensi ω C α rad/s ω C β rad/s ω <ω<α α<ω<β ω>β Komp. log( K /αβ) log( K /αβ) log( K /αβ) Komp. + db/dek +log(α/) + db/dek log( K /αβ) +log(β/) + db/dek Komp.3 db/dek log(β/α) db/dek Komp.4 db/dek Total log( K /αβ) log( K /αβ) + db/dek log( K /αβ) +log(α/) log( K /αβ) +log(α) db/dek CO TOH-7.: Gambarkan Bode plots pendekatan garis lurus (tanggapan gain dan tanggapan fasa) rangkaian yang diketahui fungsi alihnya adalah : 5s T ( s) ( s+ )( s+ ) Penyelesaian : 5 jω,5ω T ( ( jω+ )( jω+ ) ( jω/)( jω/) T ( db ϕ( ω) + 9 log tan ( ω/),5ω ( ω/) ( ω/) tan ( ω/) log,5+ logω log o ( ω/) ( ω/) Nilai frekuensi dan kurva fungsi gain adalah sebagai berikut. Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik ()

4 Gain Frekuensi ω C rad/s ω C rad/s ω <ω< <ω< 4 ω> 4 Komponen 6 db 6 db 6 db 6 db Komponen + db/dek + db/dek 8+ db/dek Komponen 3 db/dek 6 db/dek Komponen 4 db/dek Total 6 db 6 db + db/dek 4 db 4 db db/dek 4 Gain [db] Gain ω C ω C -4 ω [rad/s] Untuk menggambarkan tanggapan fasa, kita perhatikan fungsi fasa o ϕ( ω) + 9 tan ( ω/) tan ( ω/) Untuk ω maka ϕ(ω) (+9 o )9 o. Mulai dari,ω C sampai ω C (atau dari sampai ) terjadi perubahan fasa 45 o per dekade. Mulai dari,ω C sampai ω C (atau sampai ) terjadi perubahan fasa 45 o per dekade. Perhatikan bahwa dalam contoh ini ω C <,ω C, sehingga ada selang frekuensi di mana tanggapan fasa konstan yaitu antara sampai rad/s. Tabel berikut ini memuat nilai-nilai ϕ(ω) dan dari tabel ini kita gambarkan kurva pendekatan garis lurus tanggapan fasa. 3

5 ϕ(ω) Frekuensi ω C rad/s ω C 4 rad/s ω <ω< 3 <ω< 5 ω> 5 Komponen o o o o Komponen 9 o 9 o 9 o 9 o Komponen 3 o 45 o /dek 9 o 9 o Komponen 4 o o o 45 o /dek 9 o Total 9 o 9 o 45 o /dek o 45 o /dek 9 o ϕ [ o ] Pemahaman : Karena frekuensi cutoff pertama ω C, maka perubahan fasa 45 o /dekade terjadi pada selang frekuensi <ω<. Karena frekuensi cutoff kedua ω C, maka perubahan fasa 45 o /dekade yang kedua terjadi pada selang frekuensi <ω<. Di luar ke-dua selang frekuensi ini fasa tidak berubah, sehingga terlihat adanya kurva mendatar pada selang frekuensi <ω< High-Pass Gain -9 ω C ω C ω [rad/s] E+5 Karakteristik high-pass gain dapat diperoleh dari rangkaian orde kedua yang fungsi alihnya mengandung dua zero di s. CO TOH-7.: Gambarkan tanggapan gain dan tanggapan fasa jika diketahui fungsi alihnya adalah 4 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik ()

6 s T ( s) ( s+ 4)( s+ ) Penyelesaian : Gain dari sistem ini adalah ( T ( ( jω+ 4)( jω+ ) 8 ω ( jω/ 4)( jω/ ) 8 ( ω/ 4) ( ) log / 8 + logω log db log ω ( ω/ ) + ( ω/ ) ( ω/ 4) + Komponen pertama tanggapan gain adalah konstan log(/8) 58 db. Komponen kedua berbanding lurus dengan log(ω) dengan kenaikan db per dekade. Pengurangan gain oleh komponen ketiga mulai pada ω C 4 dengan db per dekade. Pengurangan gain oleh komponen ke-empat mulai pada ω C dengan db per dekade. Kurva tanggapan gain adalah sebagai berikut. Gain [db] - +db/dek +4dB/dek Fungsi fasa adalah : ω [rad/s] o ϕ( ω) + 9 tan ( ω/ 4) tan ( ω/ ) 5

7 Pada ω, ϕ(ω) o + 9 o 8 o. Pada ω(ω C /)4, komponen ke-tiga mulai memberikan perubahan fasa 45 o per dekade dan akan berlangsung sampai ωω C 4. Pada ω.ω C, komponen ke-empat mulai memberikan perubahan fasa 45 o per dekade dan akan berlangsung sampai ωω C. 5 ϕ [ o ] ,ω C,ω C ω C ω C ω [rad/s] Pemahaman : Penggambaran tanggapan gain dan tanggapan fasa di sini tidak lagi melalui langkah antara yang berupa pembuatan tabel peran tiap komponen dalam berbagai daerah frekuensi. Kita dapat melakukan hal ini setelah kita memahami peran tiap-tiap komponen tersebut dalam membentuk tanggapan gain dan tanggapan fasa. Melalui latihan yang cukup, penggambaran tanggapan gain dan tanggapan fasa dapat dilakukan langsung dari pengamatan formulasi kedua macam tanggapan tersebut. Kita perhatikan penggambaran tanggapan fasa. Dalam contoh ini,ω C < ω C dan bahkan,ω C < ω C. Oleh karena itu, penurunan fasa 45 o per dekade oleh pole pertama, yang akan berlangsung sampai ωω C, telah ditambah penurunan oleh pole kedua pada ω,ω C sebesar 45 o per dekade. Hal ini menyebabkan terjadinya penurunan fasa 45 o mulai dari ω,ω C sampai dengan ωω C karena dalam selang frekuensi tersebut dua pole berperan menurunkan fasa secara bersamaan. Pada ωω C peran pole pertama berakhir dan mulai dari sini penurunan fasa hanya disebabkan oleh pole kedua, yaitu 45 o per dekade. 6 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik ()

8 7..3. Low-pass Gain Karakteristik low-pass gain dapat diperoleh dari rangkaian orde kedua yang fungsi alihnya tidak mengandung zero. CO TOH-7.3: Gambarkan Bode plots pendekatan garis lurus rangkaian yang fungsi alihnya adalah : 4 5 T ( s) ( s+ )( s+ ) Penyelesaian : 4 5,5 ( jω+ )( jω+ ) ( jω/)( jω /) T (,5 ( ω/) ( ω /) T ( log,5 log ( ω/) log db ϕ( ω) tan ( ω /) tan ( ω /) ( ω/) Komponen pertama tanggapan gain adalah log(,8) 6 db. Komponen kedua memberikan perubahan gain db per dekade mulai pada ω ω C. Komponen ke-tiga memberikan per-ubahan gain db per dekade mulai pada ω ω C, sehingga mulai ω perubahan gain adalah 4 db per dekade. Gain [db] ω [rad/s] 7

9 Fungsi fasa adalah ϕ( ω) tan ( ω/) tan ( ω/) Pada ω, ϕ(ω). Mulai pada ω, komponen kedua memberikan perubahan fasa 45 o per dekade sampai ω. Mulai pada ω, komponen ke-tiga memberikan perubahan fasa 45 o per dekade sampai ω. Jadi pada selang <ω< perubahan fasa adalah 9 o per dekade. 45 ϕ [ o ] Fungsi Alih Dengan Zero Riil egatif Dalam contoh-contoh sebelumnya, fungsi alih mempunyai zero di s. Fungsi alih dalam contoh berikut ini mempunyai zero di s. CO TOH-7.4: Gambarkan tanggapan gain dan tanggapan fasa jika diketahui fungsi alihnya adalah 4 4 ( s+ ) T ( s) ( s+ )( s+ ) Penyelesaian : 4 4 ( jω+ ) 8( jω/ ) ( jω+ )( jω+ ) ( jω/)( jω/) ω [rad/s] 8 ( ω/ ) + ( ω/) ( ω/) 8 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik ()

10 log8+ log db log ( ω/ ) ( ω/) log ( ω/) ϕ( ω) + tan ( ω/ ) tan ( ω/) tan ( ω/) Komponen pertama dari tanggapan gain adalah log8 8 db. Komponen kedua memberikan perubahan gain + db per dekade, mulai pada ω. Komponen ke-tiga memberikan perubahan db per dekade mulai pada ω. Komponen ke-empat memberikan perubahan db per dekade mulai pada ω. 4 Gain [db] 3 +db/dek db/dek 8 Fungsi fasa adalah: ω [rad/s] ϕ( ω) + tan ( ω/ ) tan ( ω/) tan ( ω/) Pada ω, ϕ(ω). Komponen kedua memberikan perubahan fasa +45 o per dekade mulai dari ω sampai ω. Komponen ketiga memberikan perubahan fasa 45 o per dekade mulai dari ω sampai ω. Komponen keempat memberi-kan perubahan fasa 45 o per dekade mulai dari ω sampai ω. Kurva tanggapan fasa adalah seperti di bawah ini. 9

11 45 ϕ [ o ] ω [rad/s] Pemahaman : Zero tetap berperan sebagai peningkat gain dan fasa. Zero riil negatif meningkatkan gain dan fasa mulai pada frekuensi yang sama dengan nilai zero Tinjauan Umum Bode Plot dari Rangkaian Yang Memiliki Pole dan Zero Riil Bode plots terutama bermanfaat jika pole dan zero bernilai riil, yaitu pole dan zero yang dalam diagram pole-zero di bidang s terletak di sumbu riil negatif. Dari contoh-contoh fungsi alih yang mengandung zero dan pole riil yang telah kita bahas di atas, kita dapat membuat suatu ringkasan mengenai kaitan antara pole dan zero yang dimiliki oleh suatu fungsi alih dengan bentuk kurva gain dan kurva fasa pada Bode plots dengan pendekatan garis lurus. Untuk itu kita lihat fungsi alih yang berbentuk Ks( s+α ) T ( s) (7.4) ( s+α)( s+α3) yang akan memberikan Kα T ( αα3 jω( jω/ α) ( jω/ α )( jω / α ) 3 (7.5) Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik ()

12 Dari (7.5) terlihat ada tiga macam faktor yang akan menentukan bentuk kurva gain maupun kurva fasa. Ke-tiga faktor tersebut adalah:. Faktor K Kα yang disebut faktor skala. Kontribusi faktor αα3 skala ini pada gain dan fasa berupa suatu nilai konstan, tidak tergantung pada frekuensi. Kontribusinya pada gain sebesar log K akan bernilai positif jika K > dan bernilai negatif jika K <. Kontribusinya pada sudut fasa adalah o jika K > dan 8 o jika K <.. Faktor jω. Faktor ini berasal dari pole atau zero yang terletak di titik (,) dalam diagram pole-zero di bidang s. Kontribusinya pada gain adalah sebesar ± log(ω) dan kontribusinya untuk sudut fasa adalah ± 9 o ; tanda plus untuk zero dan tanda minus untuk pole. Jika fungsi alih mengandung pole ataupun zero ganda (lebih dari satu) maka kontribusinya pada gain adalah sebesar ± nlog(ω) dan pada sudut fasa adalah ±n9 o dengan n adalah jumlah pole atau zero. Dalam pendekatan garis lurus, faktor ini memberikan perubahan gain sebesar ±n db per dekade mulai pada ω ; tanda plus untuk zero dan tanda minus untuk pole. 3. Faktor + jω/α. Faktor ini berasal dari pole ataupun zero yang terletak di sumbu riil negatif dalam diagram pole-zero di bidang s. Faktor ini berkontribusi pada gain sebesar ± log ( ω / α) dan berkontribusi pada sudut fasa sebesar ± tan ( ω/ α) ; tanda plus untuk zero dan tanda minus untuk pole. Dalam pendekatan garis lurus, faktor ini memberikan perubahan gain sebesar ±db per dekade mulai pada ω α; untuk frekuensi di bawahnya kontribusinya nol. Perubahan fasa yang dikontribusikan adalah sebesar ±45 o per dekade dalam selang frekuensi,α < ω < α; di luar selang itu kontribusinya nol. Koreksi-koreksi untuk memperoleh nilai yang lebih tepat, terutama di sekitar titik belok, dapat kita lakukan dengan kembali pada formulasi kontribusi pole ataupun zero pada gain yaitu sebesar

13 ± log ( ω/ α). Nilai perubahan gain yang lebih tepat diperoleh dengan memasukkan nilai ω yang kita maksudkan pada formulasi tersebut sehingga kita akan memperoleh: perubahan gain di ω α adalahsebesar ± log ( / ) + α α 3 db. perubahan gain di ω α adalah sebesar ± log ( / ) + α α 7 db. perubahan gain di ω.5α adalah sebesar ± log (.5 / ) + α α db Tinjauan Kualitatif Tanggapan Frekuensi di Bidang s Pembahasan kuantitatif mengenai tanggapan frekuensi dari rangkaian dengan fungsi alih yang mengandung pole riil di atas, telah cukup lanjut. Berikut ini kita akan sedikit mundur dengan melakukan tinjauan secara kualitatif mengenai tanggapan frekuensi ini, untuk kemudian melanjutkan pembahasan tanggapan frekuensi rangkaian dari rangkaian dengan fungsi alih yang mengandung pole kompleks konjugat. Tinjaulah sistem orde pertama dengan fungsi alih yang mengandung pole riil K T ( s) s +α Diagram pole-zero dari fungsi alih ini adalah seperti terlihat pada Gb.7.5.a. Dari gambar ini kita dapatkan bahwa fungsi gain : K K K T ( (7.6) jω+α α +ω A( ω) dengan A(ω) adalah jarak antara pole dengan suatu nilai ω di sumbu tegak. Makin besar ω akan makin besar nilai A(ω) sehingga akan semakin kecil. Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik ()

14 Jika kita gambarkan kurva terhadap ω dengan skala linier, kita akan mendapatkan kurva seperti terlihat pada Gb.7.5.b. Akan tetapi jika dalam penggambaran itu kita menggunakan skala logaritmis, baik untuk absis maupun ordinatnya, kita akan mendapatkan kurva seperti terlihat pada Gb.7.5.c. Inilah bentuk karakteristik low-pass gain dari rangkaian orde satu yang telah kita kenal. jω A(ω) ω (a) α σ low-pass gain (b) 5 (c) 5 ω 3 ω 3 Gb.7.5. Diagram pole-zero sistem orde pertama dan kurva terhadap ω Kita lihat rangkaian orde pertama dengan fungsi alih yang mengandung zero di (,) Ks T ( s) s +α Fungsi gain adalah Kjω K ω K ω T ( (7.7) jω+α α +ω A( ω) Jika kita plot terhadap ω dengan skala linier, kita akan mendapatkan kurva seperti terlihat pada Gb.7.6.a. Akan tetapi jika kita plot terhadap ω dengan skala logaritmis, baik untuk absis maupun ordinatnya, kita akan mendapatkan kurva seperti terlihat 3

15 pada Gb.7.6.b. Inilah bentuk karakteristik high-pass gain dari rangkaian orde satu yang telah kita kenal (a) ω 5 3 Gb.7.6. Diagram pole-zero sistem orde pertama dan kurva terhadap ω. Fungsi alih rangkaian orde kedua dengan fungsi transfer yang mengandung dua pole riil, berbentuk K T ( s) ( s+α ) ( s+ α Diagram pole-zero dari fungsi alih ini adalah seperti terlihat pada Gb.7.6.a. Dari diagram ini terlihat bahwa fungsi gain dapat dituliskan sebagai K ( jω+α ) ( jω+α K A ( ω) A ( ω) high-pass gain ) ω +α ) K ω +α (7.8) dengan A (ω)dan A (ω) adalah jarak masing-masing pole ke suatu nilai ω. Dengan bertambahnya ω, A (ω)dan A (ω) bertambah secara bersamaan. Situasi ini mirip dengan apa yang dibahas di atas, yaitu bahwa akan menurun dengan naiknya frekuensi; perbedaannya adalah bahwa penurunan pada rangkaian orde kedua ini ditentukan oleh dua faktor yang berasal dari dua pole. Dalam skala linier bentuk kurva adalah seperti Gb.7.7.b. Dalam skala logaritmik kita memperoleh karakteristik low-pass gain seperti terlihat pada Gb.7.7.c. yang sudah kita kenal. ω (b) Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik ()

16 8 6 4 Gb.7.7. Diagram pole-zero sistem orde kedua dan kurva terhadap ω Jika fungsi alih mengandung satu zero di (,) kurva dengan skala linier akan terlihat seperti Gb.7.8.a. dan jika dibuat dengan skala logaritmik akan seperti Gb.7.8.b. yang telah kita kenal sebagai karakteristik band-pass gain. Jika fungsi alih mengandung dua zero di (,) kita memperoleh kurva dalam skala linier seperti pada Gb.7.9.a. dan jika digunakan skala logaritmik akan kita peroleh karakteristik high-pass gain seperti Gb.7.9.b. A (ω) A (ω) (a) α α low-pass gain (b) (c) 6 4 ω (a) 4 ω 8 band-pass gain Gb.7.8. Diagram pole-zero sistem orde kedua dan kurva terhadap ω jω ω σ (b) ω 3 4 5

17 8 6 4 (a) Gb.7.9. Diagram pole-zero sistem orde kedua dan kurva terhadap ω Keadaan yang sangat berbeda terjadi pada rangkaian orde dua dengan fungsi alih yang mengandung pole kompleks konjugat yang akan kita lihat berikut ini Rangkaian Orde Kedua Yang Memiliki Pole Kompleks Konjugat Rangkaian orde ke-dua yang memiliki pole kompleks konjugat dinyatakan oleh fungsi alih yang berbentuk yang memberikan fungsi gain high-pass gain ω 8 (b) ω K T ( s) (7.9) ( s+α+ jβ) ( s+α jβ) K ( jω+α+ jβ) ( jω+α jβ) K K ( ω+β) +α ( ωβ) +α A ( ω) A ( ω) Gb.7.. memperlihatkan diagram pole-zero rangkaian orde kedua dengan fungsi alih yang mengandung pole kompleks konjugat dalam tiga keadaan yaitu frekuensi ω < ω < ω 3. 6 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik ()

18 jω jω jω A (ω) A (ω) ω A (ω) ω 3 β ω α (a) A (ω) σ (b) A (ω) σ (c) A (ω) σ Gb.7.. Diagram pole-zero sistem orde kedua dengan pole kompleks konjugat. Dari Gb.7.. terlihat bahwa peningkatan ω akan selalu diikuti oleh bertambahnya nilai A (ω). Akan tetapi tidak demikian halnya dengan A (ω). Pada awalnya peningkatan ω diikuti oleh turunnya nilai A (ω) sampai mencapai nilai minimum yaitu pada saat ω ω β seperti pada Gb.7..b. Setelah itu A (ω) meningkat dengan meningkatnya ω. Hasilnya adalah fungsi gain meningkat pada awal peningkatan ω sampai mencapai nilai maksimum dan kemudian menurun lagi. Puncak tanggapan gain disebut resonansi. Untuk mempelajari tanggapan frekuensi di sekitar frekuensi resonansi, kita tuliskan fungsi alih rangkaian orde kedua dalam bentuk Ks s) (7.) s + bs+ c yang dapat kita tuliskan Ks s) s + ζωs+ω dengan (7.) b ω c dan ζ c Bentuk penulisan penyebut seperti pada (7.) ini disebut bentuk normal. ζ disebut rasio redaman dan ω adalah frekuensi alami tanpa redaman atau dengan singkat disebut frekuensi alami. Frekuensi alami adalah frekuensi di mana rasio redaman ζ. Fungsi alih (7.) dapat kita tuliskan 7

19 s) s + ζω K ( s / ω ) + ( ζ / ω ) s+ ω dan dari sini kita peroleh K jω ω ( ω/ ω) + j( ζω/ ω) + K ω ω ( ( ω/ ω) ) + ( ζω/ ω) o ( ζω/ ω) ϕ( ω) θk + 9 tan ( ω/ ω) Fungsi gain dalam db adalah K log + logω db ω log Ks s+ω s ( ( ω / ω ) ) + ( ζω / ω ) (7.) (7.3) (7.4) Rasio redaman akan mempengaruhi perubahan nilai gain oleh pole seperti ditunjukkan oleh komponen ketiga dari fungsi gain ini. Untuk frekuensi rendah komponen ketiga ini mendekati nilai ( ( ω/ ω ) ) + ( ζω/ ω ) log log (7.5) Untuk frekuensi tinggi komponen ketiga mendekati log log( ω/ ω ( ( ω/ ω ) ) + ( ζω/ ω ) ) ( ω/ ω ) + ( ζ) log( ω/ ω ) (7.6) Pendekatan garis lurus untuk menggambarkan tanggapan gain mengambil garis horizontal db untuk frekuensi rendah dan garis lurus log(ω/ω ) untuk frekuensi tinggi yang memberikan kemiringan 4 db per dekade. Kedua garis ini berpotongan di ω ω yang merupakan titik beloknya. Gb.7.. memperlihatkan pengaruh nilai rasio redaman pada tanggapan gain ini di sekitar titik belok. 8 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik ()

20 db ζ, ζ,5 ζ,5 ζ - pendekatan linier ω -4 ω[rad/s] Gb.7.. Pengaruh rasio redamaan pada perubahan gain oleh pole. Fungsi fasa adalah ( ζω/ ω) ( ω/ ω ) o ϕ( ω) θ + 9 tan (7.7) K Untuk frekuensi rendah pengurangan fasa oleh pole mendekati nilai ( ζω/ ω ) ( / ) tan ζω ω tan (7.8) ( ω/ ω ) dan untuk frekuensi tinggi mendekati ( ζω/ ω) ( ζω/ ω) o tan tan 8 (7.9) ( ω/ ω) ( ω/ ω) Gb.7.. memperlihatkan pengaruh rasio redaman terhadap perubahan fasa yang disebabkan oleh pole. ϕ(ω) [ o ] ζ, ζ,5 ζ pendekatan linier ω ζ,5 ω[rad/s] Gb.7.. Pengaruh rasio redaman pada perubahan fasa oleh pole. 9

21 CO TOH-7.5: Gambarkan tanggapan gain dan tanggapan fasa untuk fungsi alih berikut ini dan selidiki pengaruh rasio redaman terhadap tanggapan gain. 8s T ( s) 4 s + s+ 4 Penyelesaian : Kita tuliskan fungsi alih dengan penyebutnya dalam bentuk 8s normal menjadi T ( s). Dari sini s +,5 s+ kita peroleh ω, dan ζ,5. s s) s / + (ζ / ) s+ ( ) T ( ( ω / ) jω + jζω / + ω ( ( ω / ) ) + (ζω / ) ( ( ω/ ) ) + (ζω/ T ( log + logω log ) db Komponen pertama konstan log 6 db. Komponen kedua memberikan penambahan gain db per dekade, mulai frekuensi rendah. Pengurangan gain oleh komponen ketiga 4 db per dekade mulai pada ω ω. o o o Fungsi fasa adalah : ϕ ( ω) / dek <ω< db ϕ [ o ] rad/s E+5 rad/s E+5 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik ()

22 Soal-Soal. Tentukanlah tanggapan frekuensi dan tentukan gain tertinggi dan frekuensi cutoff dari rangkaian di bawah ini. + v in 9kΩ,5H kω + v o. Tentukanlah tanggapan frekuensi dan tentukan gain tertinggi dan frekuensi cutoff dari rangkaian di bawah ini. + v in kω µf kω + v o 3. Tentukanlah tanggapan frekuensi dan tentukan gain tertinggi dan frekuensi cutoff dari rangkaian-rangkaian di bawah ini. + v in H kω,5µf + v o kω + v in kω + kω µf + v o kω + v in kω + µf + v o 4. Tentukanlah tanggapan frekuensi dan tentukan gain tertinggi dan frekuensi cutoff dari hubungan bertingkat dengan tahap pertama rangkaian ke-dua dan tahap kedua rangkaian pertama.

23 5. Tentukanlah tanggapan frekuensi dan tentukan gain tertinggi dan frekuensi cutoff dari hubungan bertingkat dengan tahap pertama rangkaian ke-tiga dan tahap ke-dua rangkaian pertama. 6. Tentukanlah tanggapan frekuensi dari suatu rangkaian jika diketahui tanggapannya terhadap sinyal anak tangga adalah sebagai seperti di bawah ini. Tentukan gain tertinggi dan frekuensi cutoff. a). g( t) e b). g( t) 7. Ulangi soal 6 jika diketahui : a). g( t) b). g( t) 5 t u( t); 5 t ( 5e ) u( t) t t ( e e ) u( t) t ( e sin t) u( t) 8. Tentukanlah tanggapan frekuensi dari suatu rangkaian jika diketahui tanggapannya terhadap sinyal impuls adalah seperti di bawah ini. Tentukan gain tertinggi dan frekuensi cutoff. a). h( t) e t b). h( t) δ( t) e u( t) t u( t) 9. Gambarkan Bode plot (pendekatan garis lurus) jika diketahui fungsi alihnya (5s+ )(.5s+ ) T ( s) (.5s+ )(.5s+ ). Gambarkan Bode plots (pendekatan garis lurus) jika diketahui fungsi alihnya s(.s+ ) T ( s) 5 (.s+ )(.4s+ ) Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik ()

24 Daftar Pustaka. Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik, Penerbit ITB, ISBN Sudaryatno Sudirham, Pengembangan Metoda Unit Output Untuk Perhitungan Susut Energi Pada Penyulang Tegangan Menengah, Monograf, 5, limited publication. 3. Sudaryatno Sudirham, Pengantar Rangkaian Listrik, Catatan Kuliah El, Penerbit ITB, Sudaryatno Sudirham, Analisis Harmonisa Dalam Permasalahan Kualitas Daya, Catatan Kuliah El 64, P. C. Sen, Power Electronics McGraw-Hill, 3rd Reprint, 99, ISBN Ralph J. Smith & Richard C. Dorf : Circuits, Devices and Systems ; John Wiley & Son Inc, 5 th ed, David E. Johnson, Johnny R. Johnson, John L. Hilburn : Electric Circuit Analysis ; Prentice-Hall Inc, nd ed, Vincent Del Toro : Electric Power Systems, Prentice-Hall International, Inc., Roland E. Thomas, Albert J. Rosa : The Analysis And Design of Linier Circuits,. Prentice-Hall Inc, Douglas K Lindner : Introduction to Signals and Systems, McGraw-Hill,

25 Daftar otasi v atau v(t) : tegangan sebagai fungsi waktu. V : tegangan dengan nilai tertentu, tegangan searah. V rr : tegangan, nilai rata-rata. V rms : tegangan, nilai efektif. V maks : tegangan, nilai maksimum, nilai puncak. V : fasor tegangan dalam analisis di kawasan fasor. V : nilai mutlak fasor tegangan. V(s) : tegangan fungsi s dalam analisis di kawasan s. i atau i(t) : arus sebagai fungsi waktu. I : arus dengan nilai tertentu, arus searah. I rr : arus, nilai rata-rata. I rms : arus, nilai efektif. I maks : arus, nilai maksimum, nilai puncak. I : fasor arus dalam analisis di kawasan fasor. I : nilai mutlak fasor arus. I(s) : arus fungsi s dalam analisis di kawasan s. p atau p(t) : daya sebagai fungsi waktu. p rr : daya, nilai rata-rata. S : daya kompleks. S : daya kompleks, nilai mutlak. P : daya nyata. Q : daya reaktif. q atau q(t) : muatan, fungsi waktu. w : energi. R : resistor; resistansi. L : induktor; induktansi. C : kapasitor; kapasitansi. Z : impedansi. Y : admitansi. T V (s) : fungsi alih tegangan. T I (s) : fungsi alih arus. T Y (s) : admitansi alih. T Z (s) : impedansi alih. µ : gain tegangan. β : gain arus. r : resistansi alih, transresistance. g : konduktansi; konduktansi alih, transconductance. 4 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik ()