Transformasi Laplace dalam Mekatronika

Transkripsi

1 Tranformai Laplace dalam Mekatronika Oleh: Purwadi Raharjo Apakah tranformai Laplace itu dan apa perlunya mempelajarinya? Acapkali pertanyaan ini muncul dari eorang pemula, apalagi begitu mendengar namanya yang berbau aing. Mirip eeorang yang baru mendengar nama rumu Pythagora, namanya aja ulit diucapkan apalagi iinya, begitu pikirnya. Padahal etelah dipelajari, tidak eulit dari yang dibayangkan. Metoda matematika temuan eorang ahli matematika dan atronomi Peranci bernama Pierre-Simon Laplace di tahun 1785 ini ebenarnya cukup penting, diantaranya dalam bidang teknik kendali, karena angat berguna untuk menyederhanakan perhitungan-perhitungan. ita emua pati telah mengetahui bahwa operai perkalian atau pembagian uatu peramaan matematik bia ederhana menjadi operai penjumlahan atau pengurangan, jika dikenakan fungi logaritma pada peramaan terebut. Mialkan untuk menghitung 10 5 x10 7, jika dikenakan operai logaritma, maka akan menjadi peramaan log( ) = Rua kanan nampak lebih mudah dihitung dengan kalkulator karena hanya proe penjumlahan aja, bukan? Setelah melakukan proe penjumlahan ini, lalu kita bia tahu jawaban perkalian 10 5 x10 7, yaitu dengan melakukan proe kebalikan dari fungi logaritma tadi. Seperti di ata, dengan proe tranformai Laplace, kitapun bia menyederhanakan perhitungan uatu peramaan matematika yang mengandung operai turunan/diferenial atau integral menjadi peramaan yang berii perkalian atau pembagian biaa. Peramaan kalkulu yang rumit terebut bia diubah (ditranformaikan) menjadi peramaan aljabar biaa. Inilah alah atu letak keunggulan tranformai Laplace. Tranformai Laplace dari uatu fungi f(, yang dituli dengan notai L ( f( ), terdefiniikan ebagai berikut: F( dengan adalah bilangan komplek. T = t L( f( ) e f( = lim 0 T ε ε 0 e t f( Biaanya untuk beberapa fungi f(, udah ada orang yang pernah menghitung fungi

2 padanannya, ehingga kita tidak perlu uah-uah lagi untuk melakukan pengintegralan dari definii di ata. Fungi hail tranformai ini, yaitu F(, dinamakan fungi bayangan dari fungi aal f(. Di dalam teknik kendali/elektronika, eringkali varibel t dari fungi aal ini adalah variabel waktu (time-domain), dan dari fungi bayangan adalah frekueni (frequency-domain). Tabel di bawah ini adalah beberapa fungi bayangan dari fungi aal etelah proe tranformai Laplace yang dihitung dari definii di ata. Tabel 1. Fungi aal padanan fungi bayangannya Fungi aal, f( f (a 1 F a a, ( a > 0) e at f( F( a) ' f ( F( f(0) '' '' f ( F( f(0) f (0) ( ) f n n ( F( τ f ( 1 F( 0 t F( ' F ( Fungi bayangan, F( f(0) t n f( ( ) ( 1) F n ( ( f g)( F ( G( f (0)... f n 1 ' n ( n 1) (0) Gb. 1 Tranformai dari wilayah waktu ke wilayah frekueni dengan tranformai Laplace.

3 Model Sitem endali Motor DC dengan Tranformai Laplace Sekarang mari kita melihat atu contoh penerapan tranformai Laplace dalam mekatronika. Gb. Beberapa contoh motor DC etika tegangan litrik dialurkan pada uatu motor DC, maka pada prinipnya item yang terbentuk dapat digambarkan eperti Gb. 3 berikut. R L T e J T, B m e i DC motor Gb.3 Sitem rangkaian ekuivalen motor DC Jika dialiri aru litrik yang tinggi, akan emakin kuat tenaga putar motor DC terebut.

4 Sebaliknya, eperti dalam tape recorder, jika baterai udah lemah, maka uara kaet menjadi tidak karuan, karena motor di dalamnya udah tidak kuat lagi memutar pita kaet. Maka, bia dikatakan bahwa tori (torque/tenaga putar) yang dihailkan berbanding luru dengan bear aru litrik yang dialirkan pada motor. Pada mobil mainan yang memakai baterai mialnya, emakin bear torinya, emakin ulit lajunya dihentikan dengan tangan kita. Jika Te ialah tori, dan i adalah aru litrik, maka hubungannya menjadi eperti berikut: T e = m i (1) di mana ialah uatu kontanta tori. Selanjutnya, e dalam Gb. 3 di ata adalah tegangan balik (electromotive force) yang terjadi karena kumparan dalam motor berputar di dalam medan magnet (prinip generator litrik). Bear tegangan ini berbanding luru dengan kecepatan putaranω. Seperti yang terjadi di dalam dinamo epeda atau kincir angin, emakin cepat putarannya maka emakin bear nyala lampunya karena tinggi tegangan yang dihailkan. Maka, hubungannya bia dinyatakan ebagai berikut: eω e = () di mana e adalah uatu kontanta. Jika uatu motor dengan tahanan dan induktani kumparan motor maing-maing R dan L, berputar tanpa beban (kelembaman J=0 dan geekan Bm=0), maka hubungan tegangan dan aru litrik dalam rangkaian tertutup ini bia dinyatakan ebagai d i( e = R i( + L (3) Bagaimana jika pada umbu motor dikenakan uatu beban dan ada geekan? etika motor diberi beban, maka kelembaman (J) pun haru diperhitungkan. Menganalogikan tori dengan gaya pada hukum Newton, yakni uatu benda akan mendapatkan percepatan linear ketika dikenakan uatu gaya (ΣF=ma), maka uatu benda yang diberi tori pun akan berputar dengan percepatan udut yang berbanding luru dengan tori terebut. Sehingga hubungan ini dapat ditulikan ebagai berikut: dω T = J (4) di mana J adalah inertia (kelembaman).

5 Gb. 4 Rumu hukum Newton untuk gerakan rotai dianalogikan dengan gerakan linear Apabila terjadi geekan ketika motor berputar, maka perlu diperhitungkan juga pengurangan tori akibat geekan ini, yang bearnya ebanding dengan kecepatan putaran ω dan koefiien geekan Bm. T B = Bm ω (5) Dengan demikian total tori yang menyebabkan perubahan kecepatan putaran adalah dω T = Te TB = J (6) Dengan memaukkan peramaan (1) dan (5) ke dalam peramaan (8) maka diperoleh dω i Bm ω = J J dω Bm i = + ω (7) Oleh karena dθ( ω ( =, dan d ω d θ = edangkan tranformai Laplacenya maing-maing dinyatakan ebagai θ ( ) dan θ ( ) ata etelah dilakukan tranformai Laplace menjadi, maka peramaan (7) di I J Bm ( = θ ( + θ( (8)

6 Sementara itu, dari peramaan (3), tegangan litrik motor menjadi d i( ( t ) = R i ( t ) + L + e d i( (9) = R i( + L + e ω Jika dikenakan tranformai Laplace pada peramaan (9) ini, maka kita peroleh: ( ) = R I ( ) + L I( + e θ ( ) = ( L + R ) I ( ) + eθ ( ) Selanjutnya, dengan memaukkan peramaan (8) pada (10), bia didapat (10) ( ) = ( L + R ) L J = L J = 3 3 J Bm ( ( e θ + θ ( θ m m + L Bm R J R Bm θ( + θ( + θ( + θ( + eθ( L Bm+ R J R Bm+ e θ( + θ( + θ( m m (11) Nampaklah di ini, peramaan-peramaan differenial di ata berubah menjadi peramaan dengan proe aritmatika biaa, yang menunjukkan hubungan antara tegangan motor dan bear udut putaran θ. Hanya aja, perlu diperhatikan bahwa di ini kita tidak lagi bermain di wilayah waktu t. Seperti ditunjukkan peramaan (11) di ata, ecara umum peramaan dalam item motor DC bia direpreentaikan ebagai berikut 3 ( a + a + a ) θ( ) ( = 3 1 di mana, a 1, a, dan a 3 adalah bilangan-bilangan tetapan. Bagaimana, apakah maih bingung dengan tranformai Laplace ini? Baiklah, agar tidak terlalu melelahkan karena banyaknya rumu-rumu matematika, kita potong dulu pembahaan ini ampai di ini. Yang penting dalam ei ini ialah, bahwa kita telah melihat manfaat tranformai Laplace untuk merepreentaikan item pada motor DC menjadi ederhana. Pada pembahaan elajutnya, peramaan Laplace di ata akan digunakan untuk melihat ketabilan pengendalian putaran motor DC. Refereni: Nakagawa S., Simulai Bipped Robot dengan MATLAB/Simulink dan deign berbai model, Cybernet Sytem 007, p (in Japanee).