Ringkasan Materi Kuliah PEMETAAN LAPLACE

Transkripsi

1 Ringaan Mari Kuliah PEMETAAN APACE Pndahuluan Diini ia ajian mod lain unu mnlaian pramaan difrnial linar dngan ofiin onana Mod ini diu mod pmaan aplac Olh mod ini uau maalah nilai awal dipaan uau pramaan aljaar ang dapa dilaian dngan mod aljaar dan uau al pmaan aplac Pmaan aplac dan Sifa-ifana Andaian fungi g rdfinii unu, raa dan ringralan di dalam iap lang rhingga, maa mnuru dfinii d g g lim d Kia aaan ahwa ingral awajar di rua iri onvrgn aau divrgn uai dngan ada aau ida adana limi di rua anan Sagai conoh d onvrgn api d divrgn Jlalah, api d lim d lim lim, d lim d lim lim

2 Dfinii Mialan ahwa fungi f rdfinii unu Pmaan aplac dari f, ang ia naaan dngan F aau [f], didfiniian olh ingral awajar F()= [f()] = f d, () aalan ingral () ujud iap lih ar aau ama dngan uau nilai Conoh Hiung pmaan aplac dari f() Pnlaian d d d f lim d lim lim Jia >, limi di aa ujud dan ia prolh d, f > Conoh Hiung pmaan aplac dari Pnlaian f d d f lim ( ) d ( ) d lim ( ) ( ) lim imi ini ujud hana jia > Karna iu, f d, >

3 Dalam conoh dan ia liha ahwa pmaan apalac mrupaan fungi dari Kia amil f agai alian pmraan aplac dari F Unu maud cara pnulian agi alian pmaan aplac, ia prnalan lamang pnggani [f()] =F() Kia ulian juga f()= - [f()] Dari conoh dan ia liha ahwa - dan - Kia caa ahwa unu uau f ang dirian, F ang raian dinan cara unggal (ila ini ada) Aan ia ulian Torma, mngnai alian pmaan aplac, api lumna aan ia rian dfinii riu Dfini Suau fungi f diaaan oninu agian dmi agian pada uau lang I, jia I dapa diagi mnjadi jumlah rhingga lang-lang agian, di dalam langlang agian iu f onunu dan mmpunai limi iri dan anan ang rhingga Dfinii Suau fungi f diaaan rord ponnial jia mnuju arhingga ada ilangan M,, dan T hingga f M ila T Aau, f diaaan rord ponnial jia ada uau dmiian hingga lim f /, dimana = dan uau ilangan poiif rhingga Sarang ia rian uau orma ang mnjamin onvrgnan ingral () anpa ui Torma Jia f oninu agian dmi agian pada iap lang rhingga di dalam,, dan jia f rord ponnial dan mnuju arhingga, ingral 9) onvrgn unu > Slanjuna, jia f dan g adalah fungi-fungi oninu agian dmi agian ang pmaan aplac-na ujud dan mmnuhi [f()] =

4 [g()], maa f = g pada i-ii di mana f dan g oninu Jadi, F() mmpunai alian ang oninu, maa f adalah unggal Torma riu mmrian pada ia ala-ala ang rguna unu mnghiung pmaan aplac Bui orma prama mrupaan aia drhana dari dfinii dan arna iu aan dihilangan (liha aihan ) amang-lamang c, c, dan dalam orma-orma riu ini mnaaan onana arang Torma f c g c F c G c Torma Jia F() = [f()], maa F( + ) = [ - f()] Conoh Cari (a) [ ] Pnlaian (a) [ ] = d lim lim lim Jia >, maa dua limi di aa ama dngan nol pri dapa diuian dngan mnggunaan auran hopial Jadi, [ ] =, d d Conoh 4 Cari [ - ] Pnlaian Karna [! ] = S [ - ] = 7, mnuru Torma, ia prlu

5 (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii) (ix) (x) (xi) (xii) (xiii) (xiv) (xv), F(), n!, n Tal f() n, n =,,,, n!, n,, m m m,,,,,,,, n, n =,,, in co in m co m coh inh in co ( c G f ( c g c F ) c )

6 (xvi) F f (xvii) (xviii) (xix) (xx) (xxi) F() (xxii) n n F f n n f f f, F n n f G F g f d f g d F f d F f u du d f n Conoh Buian ahwa Pnlaian Dngan mnggunaan rumu (XV) dari Tal 4, ia dapaan = - Kmudian ia gunaan (IV) unu mmprolh Conoh 7 Buian ahwa in Pnlaian Dari rumu (VI) ia ahu ahwa in () Gunaan rumu (XVIII) pada Pramaan () dngan n = :

7 Jadi, d d in = - in in in Conoh 8Tnuan Pnlaian Dngan mnggunaan dompoii pcahan agian (liha Apndi B), ia punai = = co in Torma 5 Jia f() uau fungi priodi dngan priod T, maa T f f d T 4 Pnrapan Pmaan aplac pada Pramaan Difrnial Torma f F f jadi f f d

8 maa du d, Amil u, dv f d, pngingralan parial f f f d dan v = f() Jadi, dngan F f f Dalam uu aa, f, lim f Torma f d arna f rord ponnial, maa n n n n n f F f f f Conoh Slaian maalah nilai awal, (), () Pnlaian Dngan mngamil pmaan aplac dari Pramaan (), ia dapaan Y Y Y Inga ahwa ia gunaan Y() unu mnaaan mnuiuian nilai awal (), ia dapaan Y Y Y Y Y Y Y Y Dngan

9 Jadi, ia lah mnlaian MNA iu jia ia dapa mnnuan alian pmaan aplac ang rra di aa Barangali ada rapa cara unu ang rahir ini, api ang paling mudah ialah dngan mnggunaan pnguraian rapa pcahan agian Kia lauan agai riu (liha Apndi B) : B A Sarang, A dan B Jadi, Karna iu, pnlaian MNA () () adalah Conoh Slaian MNA, 5 Pnlaian S S Y Y Y Y Y

10 + Sarang, Juga, dngan mnggunaan dompoii pcahan parial (liha Apndi B), D C B A dan G F E Kia prolh,, A D, E G dan, 8 8 E F F E A D C B D C B A D C D C Karna iu,

11 ! Conoh riu mnggamaran ahwa mod pmaan aplac maih ap dapa digunaan mipun nilai awalna pada uah iri lain dari = Conoh Slaian MNA Pnlaian () (4) Kia inga ahwa mula-mula MNA iu dapa dipcahan dngan mmua pruahan dari puah, jadi ia mmprolh maalah ang padan dngan nilai awal ang dirian pada Tapi, ia juga dapa mngrjaan cara langung agai riu, Y Y Y Y Conoh 4 Slaian MNA x x (5) x 4 x x x (), x x (7)

12 Pnlaian Dngan mngamil pmaan aplac unu Pramaan (5), ia dapaan X x X 4X (8) Dngan mngamil pmaan aplac dari Pramaan () ia dapaan X x X X (9) Dngan mnggunaan ara awal (7), ia dapa mnulian mali Pramaan (8) dan (9) agai riu : X 4X () ( X X Sim (9) mrupaan im linar unu X mnghailan Jadi, aau X X x x x x 5 5 coh 5inh coh inh, X, Pnlaian Sumr Bacaan: Sanoo, Widiari (998) Pramaan Difrnial Biaa Dngan Pnrapan Modrn dii Jaara: Erlangga