PERBANDINGAN ANTARA TAPIS KALMAN DAN TAPIS EKSPONENSIAL PADA SENSOR ACCELEROMETER DAN SENSOR GYROSCOPE

Transkripsi

1 Sminar Naional nologi Informai & Komuniai rapan 20 (Smanti 20) ISBN PERBANDINGAN ANARA APIS KALMAN DAN APIS EKSPONENSIAL PADA SENSOR ACCELEROMEER DAN SENSOR GYROSCOPE Wahudi dan Wahu Widada 2 Juruan ni Eltro Faulta ni Univrita Dipongoro Jln. Prof. Sodarto, S mbalang Smarang wahuditinom@ahoo.com 2 Lmbaga Pnrbangan dan Antaria Naional (LAPAN) Jln. Raa Lapan, Rumpin, Bogor w_widada@ahoo.com ABSRAK Suatu tapi ang bai adalah ang dapat mnghilangan drau dari uatu iarat, hingga informai ang ada pada iarat trbut dapat digunaan. api alman mrupaan alah atu tapi ang dapat digunaan untu mngatai prmaalahan tapi linar, dimana uatu itm ang mnggunaan tapi Kalman haru dapat diajian dalam dua pramaan, aitu pramaan tat dan pramaan luaran. Prhitungan timai pada tapi Kalman mrupaan olui dngan mminimalan rata-rata dari uadrat galat. api ponnial mrupaan tapi rurif linar ang drhana. Prancangan tapi ponnial dilauan dngan mnntuan uatu nilai ontanta, cara matmati prhitungan tapi ini lbih drhana dibandingan dngan tapi Kalman. Pada maalah ini dibandingan inrja tapi Kalman dan tapi ponnial trhadap iarat luaran nor acclromtr dan grocop. Kluaran nor trbut diimulaian bagai iarat inuoida ang ditambahan drau aca ang brditribui normal. ail ang diamati adalah mampuan dua tapi dalam mnghilangan drau, aitu dngan mlihat nilai root man quar (RMS) dari galat pada luaran tapi jia dibandingan dngan pada aat itm dibri mauan iarat inuoida murni (tanpa drau) dan pngaruh watu cupli (ampling). ail ang diprolh adalah bahwa main cil nilai watu cupli, dua tapi mmpunai RMS galat ang main cil, namum RMS galat ang dihailan dari tapi Kalman lbih cil jia dibandingan dngan ang dihailan tapi ponnail. Kataunci: Kalman, Eponnial, Acclromtr, Grocop, RMS. PENDAULUAN Sbagian bar iarat luaran uatu nor mngandung drau, hingga untu mndapatan iarat ang dihndai, luaran nor haru ditapi. Kluaran nor acclromtr brupa tgangan ang banding dngan prcpatan gra nor (mv/g), dngan g adalah prcpatan gravitai bumi. Intgral ali trhadap luaran nor didapatan data cpatan, dan intgral dua ali trhadap luaran nor diprolh data jara. Kluaran nor grocop brupa tgangan ang banding dngan cpatan udut (mv/ o /), hingga dngan mlauan intgral ali trhadap iarat luaran nor didapatan data udut. Suatu tapi ang bai haru dapat mnghilangan drau ang mnrtai iarat, hingga informai ang ada pada iarat dapat dipro lbih lanjut. api Kalman mulai dinal bana orang itar tahun 960 [2], tia R.E. Kalman mmpubliaian maalahna ang mrupalan olui rcuriv tntang maalah tapi pada pro ang linar. Suatu pro ang mnggunaan tapi Kalman untu mnapi drau haru dapat diajian dalam dua pramaan, aitu pramaan tat (proc) dan pramaan luaran. Maingmaing pramaan mmpunai drau dan dua drau aling bba, hingga tida ada orlai ilang antara dua drau. Mtod ang dilauan pada prhitungan dngan mngunaan tapi Kalman adalah mminimalan rrata uadrat galat, hingga aan dihailan nilai prhitungan ang optimal. api ponnial mrupaan tapi rurif drhana, tapi ini dapat mngantian tapi Kalman dan mmbutuhan watu prhitungan ang lbih cpat [3,8]. Slain mntapi drau, prancangan pada tapi Kalman juga mlauan pro pngintgralan, hingga luaran tapi alman untu pro pada acclromtr brupa informai cpatan dan jara, dang luaran tapi untu pro grocop brupa udut. ida prti tapi Kalman, pro pada tapi ponnial hana mlauan pnapian, hingga untu mndapatan informai jara pada nor acclromtr diprluan intgral dua ali dan untu

2 Sminar Naional nologi Informai & Komuniai rapan 20 (Smanti 20) ISBN mndapatan informai udut pada nor grocop diprluan intgral atu ali. Pada maalah ini, diajian prbandingan inrja tapi Kalman dan ponnial ang pro intgralna mnggunaan mtod trapiodal ord 2 (mtod Rung Kutta). 2. APIS KALMAN DAN APIS EKSPONENSIAL api Kalman mrupaan alah atu olui optimal dalam mnapi data dari iarat pada uatu pro ang linar. api Kalman digunaan pada pro ang dapat dinataan dalam bntu pramaan tat linar bagai briut [7]. A B u w () dngan paramtr : = vtor adaan (n) pada aat watu t,r n u = vtor ontrol (l) pada aat watu t,ur l A = matri tranii (nn) ang mmtaan + B = matri ontrol (nl) ang mmtaan u + w = vtor drau pro (n) dngan covarianc Q Drau pada pro diaumian bagai pro random brditribui normal. w N0 Q p, Nilai matri Q dapat dihitung dngan mnggunaan pramaan bagai briut [,4]. Q S E w w (2) w Fungi G mrupaan fungi alih ang mnghubungan antara iarat mauan u dngan luaran tat. Dari pramaan () trlihat bahwa tat blum bia diobrvai, hingga untu mlauan obrvai diprluan modl pnguuran ang mmtaan tat luaran ang dapat diobrvai. v (3) dngan = vtor ang diobrvai (n) pada aat watu t,r n = matri pnguuran (nn) ang mmtaan pada aat watu t v = vtor drau pnguuran (n) dngan covarianc R Drau pada pnguuran diaumian bagai pro random brditribui normal. p v N0, R (4) Diaumian pula bahwa pro random w dan pro random v adalah aling bba, hingga nilai crocorrlation adalah nol. E untu mua i dan. (5) 0 w i v Pada adaan bnarna, nilai A dan B pada pramaan (), nilai Q pada pramaan (2), nilai R pada pramaan (4), dan nilai pada pramaan (3) bia lalu brubah, ttapi dalam hal ini bahwa nilai trbut diaumian ontan. Jia ˆ R galat timai priori dan potriori adalah n adalah timai priori dan ˆ R n mnjadi timai potriori, maa ˆ a priori timat rror (6) ˆ a potriori timat rror Nilai covarianc dari galat timai priori dan potriori dibrian pada pramaan (7) dan pramaan (8). (7) P E P E (8) Nilai timai tat ˆ pada tapi Kalman ditntuan dari timai potriori ˆ rta lih antara pnguuran bnarna dan timai pnguuran ˆ. ˆ ˆ ˆ (9) K Sliih nilai antara pnguuran bnarna dan timai pnguuran ˆ dibut bagai ridual atau pnguuran innovation. Jia nilai ridual adalah nol, maa hal itu mnunjuan bahwa hail timai ama dngan hail pnguuran. Nilai K adalah fator gain pada tapi Kalman.

3 Sminar Naional nologi Informai & Komuniai rapan 20 (Smanti 20) ISBN Pada tapi Kalman dipilih nilai K hingga timai potriori adalah optimal atau mmpunai galat ang minimum. Nilai P minimum diprolh jia nilai K dapat mndiaan timai ang mmpunai covarianc minimum. Pnlaian untu mndapatan P minimum adalah bagai briut. P E Variabl aca E I K I K I K v K K v I K K vv K P (0) v dan adalah aling bba, hingga pramaan covarianc dari galat timai potriori adalah P I K P I K K R K () Nilai K optimum dapat diprolh dngan mminimalan pramaan () hingga didapat d P 0 dk P 2K P R 0 2 (2) Dari pramaan (2) dapat dicari gain tapi Kalman P R K P (3) Dari pramaan (3) didapat bahwa jia covarianc dari galat pnguuran R mndati nol, maa nilai dan jia covarianc dari galat timai a priori P mndati nol, maa nilai K = 0. Nilai K covarianc dari galat timai potriori ang optimal adalah P I K P (4) Langah priori tapi mlibatan timai priori ˆ dan covarianc dari galat timai priori P. Karna tida ada nilai orlaina dngan drau ang lain w, maa nilai timai priori dibrian pada pramaan (5) ang diprolh dngan mnghilangan drau w dari pramaan (), ˆ A ˆ Bu (5) Etimai priori ditntuan dngan mnataan Nilai covarianc dari galat P A B u w A ˆ B u A P A Q (6) api ponnial mrupaan tapi linar rurif drhana. Iarat analog luaran nor diubah mnjadi digital dan bagai mauan dari tapi ponnial ord atu bagai briut. ( n) ( ). ( n). ( n) (7) Iarat mauan tapi adalah (n) dan iarat luaranna adalah (n), paramtr brnilai anatara 0 dan (0< <). Bila drau bana maa nilai paramtr ang optimal adalah mndati atu, jia balina maa nilai lbih bai dat nol. Pnntuan paramtr ini dapat cara langung dicari uai dngan ondii iarat. api digital ini mmpunai mampuan ang ama dngan analog tapi RC atu utub. Pramaan tapi ponnial ord dua dapat ditulian bagai briut. 2 ( n) ( )( n. ( n) ). ( n2) (8) anda [2] mnunjuan iarat luaran tapi ponnial ord 2. Scara umum pro diata jia dilauan brulang-ulang aan mnjadi tapi ponnial ord bana dan dapat dituli mnjadi pramaan briut. M [ M ] ). ( ). n ( nm ) (9) ( n) ( Scara umum dngan analogi dari pramaan lowpa filtr dngan tahanan dan apaitor pada pnntuan cutoff fruni, paramtr dapat ditntuan dngan pramaan briut [8].

4 Sminar Naional nologi Informai & Komuniai rapan 20 (Smanti 20) ISBN fc ( 2. ) f Di ini f c adalah fruni cut off dan f adalah fruni ampling. (20) 3. PERANCANGAN Kluaran nor grocop adalah brupa tgangan ang mnataan baran cpatan udut. Bar udut dari luaran nor dapat dihitung dngan cara mngintgralan, hingga hubungan antara iarat cpatan udut dan luaran udut diprlihatan pada Gambar [5]. u Kcpatan udut (luaran grocop) q udut Gambar : ubungan antara iarat cpatan udut dan udut Iarat mauan (u) adalah cpatan udut dan luaran (q) adalah udut. Iarat cpatan udut dicupli dngan priod cupli. ubungan antara cpatan udut dan udut dalam tranformai Laplac diprlihatan pada pramaan briut. u( ) q ( ) (2) q ( ) u (22) Pramaan (22) diubah mbali awaan watu, hingga mnjadi : dq ( t) ut (23) dt Pramaan (23) diubah dalam bntu dirit, hingga mnjadi: q q u q q u (24) Drau pada iarat cpatan udut ( w ) adalah variabl aca, maa pramaan (24) dapat ditulian bagai briut q q u w Didfiniian vtor tat brupa udut q Dari pramaan () dan pramaan (24) dapat ditulian uatu pramaan pro linir untu tat dan pnguuran luaran adalah u w (25) v (26) Covarianc dari drau pro dapat dihitung dngan mnggunaan pramaan(2) dan dngan mmprhatian pada Gambar, dngan tat q dan. Kluaran nor acclromtr adalah brupa tgangan ang mnataan baran prcpatan. Bar cpatan dari luaran nor dapat dihitung dngan cara mngintgralan dan bar jara dapat dihitung dngan cara mngintgralan ali lagi, hingga hubungan antara iarat prcpatan, iarat cpatan, dan iarat poii diprlihatan pada Gambar 2 [6]. u v Prcpatan (luaran acclromtr) cpatan poii (jara) Gambar 2: ubungan antara iarat prcpatan, cpatan, dan poii

5 Sminar Naional nologi Informai & Komuniai rapan 20 (Smanti 20) ISBN Iarat mauan (u) adalah prcpatan dan luaran () adalah poii(jara). Iarat prcpatan dan cpatan dicupli dngan priod cupli. ubungan antara cpatan dan prcpatan dalam tranformai Laplac diprlihatan pada pramaan (27). u( ) v( ) (27) v( ) u (28) Pramaan (28) diubah mbali awaan watu, hingga mnjadi : dv( t) ut (29) dt Pramaan (29) diubah dalam bntu dirit, hingga mnjadi: v v u v v u (30) ubungan antara cpatan dan poii dalam tranformai Laplac adalah v( ) ( ) (3) Pramaan dirit untu jara () dapat diprolh dngan cara ang ama dngan pada aat mncari pramaan dirit untu cpatan, hingga diprolh 2 v u (32) Didfiniian vtor tat ang trdiri dari jara dan cpatan v Pramaan pro linar untu tat dan pnguuran luaran adalah 0 2 v 0 2 u w (34) Covarianc dari drau pro dapat dihitung dngan mnggunaan pramaan (2) dan dngan mmprhatian pada Gambar 2, dngan tat 2 v dan tat. Iarat luaran nor acclromtr dan grocop ditapi dngan mnggunaan pramaan (7) dan (8). Iarat luaran tapi dari luaran nor grocop diintgralan atu ali untu mndapatan data udut, dangan iarat tapi dari luaran nor acclromtr diintgralan dua ali untu mndapatan data poii. 4. ASIL DAN PEMBAASAN Pngujian dilauan dngan mmbrian mauan cpatan udut (luaran nor grocop) dan mauan prcpatan (luaran nor acclromtr) brupa iarat inuoida ang dibri drau aca dngan ditribui normal. Pngujian dilauan dngan bbrapa watu cupli (ampling) aitu 0,, 0,0 dan 0,00. Karna tiap ali pngujian hailna brbda (mauan drau dibangitan cara aca), maa maing-maing pngujian dilauan bana 0 ali. Pmbahaan dilauan trhadap nilai man quar rror (MSE) ang trjadi dari iarat hail timai luaran tapi Kalman dan nilai bnarna. Pada Gambar 3 diprlihatan hail imulai untu mauan brupa nor acclromtr dngan watu cupli 0,00, dang pada abl diprlihatan hail pngujian untu mua watu cupli, maing-maing bana 0 ali. (33)

6 Sminar Naional nologi Informai & Komuniai rapan 20 (Smanti 20) ISBN a. Poii bnarna b. Nilai galat c. Nilai RMS Gambar 3: ail untu mauan nor acclromtr dngan = 0,00 Pada Gambar 3.a trlihat bahwa hail timai poii dngan mnggunaan tapi Kalman (hijau) lbih mndati dngan nilai bnarna (biru), hal ini juga bia dilihat pada Gambar 3.b bahwa galat hail tapi ponnial cndrung lbih bar. Pada Gambar 3.c, dapat dilihat bahwa RMS galat hail timai tapi Kalman lbih cil. abl : ail prbandingan nilai RMS pada nor acclromtr No api Kalman api Eponnial = 0, = 0,0 = 0,00 = 0, = 0,0 = 0, Rata-rata Pada abl dapat dilihat bahwa pada watu cupli ang ama, RMS hail timai dngan tapi Kalman lbih cil jia dibandingan dngan mnggunaan tapi ponnial. Pada dua tapi, mngcilna watu cupli diiuti dngan mngcilna nilai RMS, hingga untu mningatan inrja tapi diprluan watu cupli ang cuup cil. Diamping itu, mngcilna watu cupli dari 0,0 mnjadi 0,00 mnbaban RMS turun dari 0,3025 mnjadi 0,0996 atau itar 32% pada tapi Kalman, dangan pada tapi ponnial hana mnbaban turun dari 0,857 mnjadi 0, atau itar 3%. Pada Gambar 4 diprlihatan hail imulai untu mauan brupa nor acclromtr dngan watu cupli 0,00, dang pada abl 2 diprlihatan hail pngujian untu mua watu cupli, maing-maing bana 0 ali. a. Sudut bnarna b. Nilai galat c. Nilai RMS Gambar 4: ail prbandingan dua tapi dngan mauan grocop untu = 0,00 Pada Gambar 4.a trlihat bahwa hail timai udut dngan mnggunaan tapi Kalman (hijau) lbih mndati (hampir ama) dngan nilai bnarna (biru), hal ini juga bia dilihat pada Gambar 4.b bahwa galat hail tapi ponnial cndrung lbih bar, dang galat pada tapi Kalman brada diitar nol. Pada Gambar 4.c, dapat dilihat bahwa RMS galat hail timai tapi Kalman lbih cil.

7 Sminar Naional nologi Informai & Komuniai rapan 20 (Smanti 20) ISBN abl 2: ail prbandingan nilai RMS pada nor grocop No api Kalman api Eponnial = 0, = 0,0 = 0,00 = 0, = 0,0 = 0, Rata-rata Pada abl 2 dapat dilihat bahwa pada watu cupli ang ama, RMS hail timai dngan tapi Kalman lbih cil jia dibandingan dngan mnggunaan tapi ponnial. Pada dua tapi, mngcilna watu cupli diiuti dngan mngcilna nilai RMS, hingga untu mningatan inrja tapi diprluan watu cupli ang cuup cil. 5. PENUUP Dari hail pngujian pada iarat nor acclromtr dan nor grocop dngan brbagai prubahan watu cupli, diimpulan bahwa mngcilna watu cupli diiuti dngan mngcilna nilai RMS galat pada tapi Kalman dan tapi ponnial, hingga prlu diuahaan agar watu cupli cil mngin. Pada mua watu cupli, inrja tapi Kalman lbih bai jia dibandingan dngan tapi ponnial, hal ini diprlihatan dari nilai RMS galat tapi Kalman ang lbih cil jia dibandingan dngan tapi ponnial. DAFAR PUSAKA [] Brown, Robrt Grovr, Introduction to Random Signal and Applid Kalman filtring, John Will & Son, third dition, Canada, 997. [2] Kalman, RE, A nw a proach to linar filtring and prdiction problm, ranaction of th ASME -Journal of baic nginring, ri D,82, 34-45,960. [3] LaViola Jr, Joph J., Doubl Eponntial Smoothing: An Altrnativ to Kalman, Filtr-Bad Prdictiv racing, Eurographic Worhop on Virtual Environmnt, [4] Simon, Dan, Kalman Filtring, Embddd Stm Programing, pp.72-79, 200. [5] Wahudi, Adhi Suanto, Saongo Pramono adi, Wahu Widada, Simulai Filtr Kalman untu Etimai Sudut dngan Mggunaan Snor Grocop, Jurnal ni, UNDIP, [6] Wahudi, Adhi Suanto, Saongo Pramono adi, Wahu Widada, Simulai Filtr Kalman untu Etimai Poii dngan Mggunaan Snor Acclromtr, Jurnal chno Scinc, UDINUS, [7] Wlch, Grg and Gar Bihop, An Introduction to h Kalman Filtr, [8] Widada, Wahu, Apliai digital ponntial filtring untu mbddd nor paload rot, Proiding Smiloa nologi Simulai dan Komputai rta Apliai, 2005