KETAKSAMAAN INTEGRAL GRONWALL-BELLMAN UNTUK FUNGSI BERPANGKAT (Integral Inequalities of Gronwall-Bellman for Power Function)

Transkripsi

1 Jurnal Barkng Vol. 5 No. 2 Hal (2) KETAKSAMAAN INTEGRAL GRONWALL-BELLMAN UNTUK FUNGSI BERPANGKAT (Ingral Inualii of Gronwall-Bllman for Powr Funion) MONALISA ENGELLINE RIJOLY, HENRY JUNUS WATTIMANELA 2, RUDY WOLTER MATAKUPAN 3 Alumni Juruan Mamaika Fakula MIPA Univria Paimura 2, 3 Saf Juruan Mamaika Fakula MIPA Univria Paimura Jl. Ir. M. Puuhna, Kamu Unai, Poka-Amon mail: aliangll_ly@yahoo.om; waimanla@yahoo.om; rwmaakuan@yahoo.om ABSTRACT Ingral inualiy of Gronwall-Bllman i known a an ingral inualiy whih oni of diffrnial and ingral form. Ingral inualiy of Gronwall-Bllman involving vral funion ha om dfini ondiion hold and ingral valu of h funion. In addiion, h ingral inualiy of Gronwall-Bllman how ha if a funion i oundd o a rain ingral valu hn ha funion i alo oundd for h ohr ondiion, ha i h xonnial of ingral. Furhrmor, y adding om ifi ondiion h ingral inualiy of Gronwall-Bllman an xndd o h a of owr funion. Kywor: Ingral Inualii Of Gronwall-Bllman, Powr Funion PENDAHULUAN Dalam rkmangan ilmu Mamaika, kakamaan mmainkan ran yang anga ning, khuunya dalam idang analii. Banyak ori-ori nang kakamaan yang dikmangkan, dianaranya yang udah diknal adalah kakamaan giiga, kakamaan Cauhy-Shwarz, kakamaan Holdr dan kakamaan Minkowoki. Tori kakamaan lain yang uku ning adalah kakamaan ingral. Kakamaan ini mruakan alah au ori yang anga diuuhkan dalam udi ramaan difrnial karna daa digunakan unuk mylaikan maalah nilai aa ra daa mnganalii kini, kunggalan dan ailia dari olui ramaan difrnial ru. Salah au kakamaan ingral yang anga diknal adalah kakamaan ingral Gronwall-Bllman. Kakamaan ingral Gronwall-Bllman rdiri dari dua nuk yaiu nuk difrnial dan nuk ingral. Kdua nuk ini rama kali dirknalkan olh Thoma Hakon Gronwall ada ahun 99 dalam uliannya yang rjudul No On Th Drivaiv Wih R To A Paramr Of Th Soluion Of A Sym Of Diffrnial Euaion. Dalam uliannya Gronwall hanya mamu mmukikan nuk difrnial dangkan dangkan nuk ingralnya diiarkan ana uki. Kmudian ada ahun 943 nuk ingral (yang dirknalkan olh Gronwall) rhail diukikan olh Rihard Bllman. Olh karna krhailannya kakamaan ini dinan agai kakamaan ingral Gronwall- Bllman. Sara umum, kon kakamaan ingral Gronwall-Bllman mliakan raa fungi yang mmnuhi yara rnu dan nilai ingral dari fungifungi ru. Di ii lain, rnyaa dngan mnamahkan raa yara lagi kakamaan ingral Gronwall-Bllman daa dirlua unuk kau fungi rangka. Brdaarkan aaran di aa, dalam nliian ini akan diaha nang kakamaan ingral Gronwall- Bllman unuk fungi rangka. TINJAUAN PUSTAKA Pada ahun 99, T. H Gronwall mnmukan kon kakamaan ingral aa dang mmlajari krganungan im ramaan difrnial rhada aramr. Kakamaan ini kmudian diknal agai kakamaan ingral Gronwall. Slanjunya ada ahun 943 dalam ukunya yang rjudul Sailiy Thory of Diffrnial Euaion R. Bllman mnggunakan kakamaan Gronwall unuk mnyuun ifa-ifa kakamaan yang aru, yang diknal agai kakamaan ingral Gronwall-Bllman.

2 Barkng Vol. 5 No.2 Hal 5 24 (2) Drumi Bainov dan Pavl Simonov (99) dalam ukunya yang rjudul Ingral Inualii and Aliaion mngkaji ulang kakamaan ingral Gronwall-Bllman hingga lih drhana dan mudah dimngri. Drumi dan Pavl juga mmaha alikai dari kakamaan Gronwall-Bllman dalam ramaan difrnial. Kmudian H. El-Owady, A. Raga dan A. Adldaim (999) dalam jurnalnya yang rjudul On Som Nw Ingral Inualii of Gronwall-Bllman y mnyuun ifa-ifa kakamaan yang aru khuunya unuk fungi rangka. Dngan mnggunakan dua umr uama di aa dan didukung olh raa liraur yang lain, nlii mnoa mnyuun nliian nang Kakamaan Ingral Gronwall-Bllman Unuk Fungi Brangka dngan haraan daa mudah dimngri. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada agian ini akan diaha raa orma yang mmrlihakan ifa-ifa dari kakamaan ingral Gronwall-Bllman dan dilanjukan dngan mmaha rluaan dari kakamaan ini unuk fungi rangka.. Kakamaan Ingral Gronwall-Bllman Torma. riku ini mruakan nuk ingral yang dirknalkan olh Gronwall dan rhail diukikan olh Bllman. Torma ini anga ning dan juga mnjadi daar dalam ngmangan kakamaan ingral Gronwall-Bllman. Torma.. Mialkan u : dan :. Mialkan juga u dan adalah fungi koninu yang non ngaif unuk dimana. Jika a adalah konana dan rlaku, u a u () u a x, (2) Buki : i. Jika a dirolh u dari Pramaan () daa a u, Mialkan Pramaan (3) daa diuli agai u a u (3) Slanjunya kalikan dirolh u a u 6 rhada kdua rua d ln a u d Ingralkan kdua rua dari k dirolh d ln d a u d ln a u ln ln a u ln a ln ln a u a a u a a u x a x a x x ln a u a u a Brdaarkan Pramaan () dan hail di aa dirolh u a x, ii. Jika a unuk ia rlaku u u Dngan mnggunakan hail Bagian i. dirolh u x Slanjunya jika dirolh u. Slanjunya dalam mahaan ini ia fungi yang dirikan mruakan fungi rnilai riil. Sifa riku ini mmrlihakan akia yang ia dirolh dari Torma. di aa jika rdaa dua konana dalam kakamaan. Rijoly, Waimanla, Maakuan

3 Barkng Vol. 5 No.2 Hal 5 24 (2) Akia.2. Mialkan u dan adalah fungi non ngaif unuk dimana. Jika a dan adalah konana, ra rlaku, u a u (4) a u u a x, (5) ln ln a u Buki : Dari Pramaan (4) daa dirolh u a u u a u u a u Mialkan w u dirolh w a w Brdaarkan Torma.. dirolh Karna w u w a x hingga ruki u a x aau u a x x u a Torma.3. riku ini mruakan nuk difrnial yang dirknalkan dan diukikan olh Gronwall. Sama ri Torma.. di aa, orma ini anga ning dalam ngmangan kakamaan ingral Gronwall-Bllman. Torma.3. Mialkan dan dimana dan v rdifrniai unuk. Jika rlaku f adalah fungi koninu unuk adalah fungi yang v ' v f, (6) dan v a, dimana a konana (7) v a x Buki : Mialkan f x d 7 (8) dari Pramaan (6) daa dirolh v ' v f ' x v v d f x d v ' x d v x d x x f x d d v d f d Ingralkan kdua rua dari k dirolh d x v d v x d f x d f x d x x v d v d x x v v d x v v d f x d f x d f x d Rijoly, Waimanla, Maakuan

4 Barkng Vol. 5 No.2 Hal 5 24 (2) Karna v a ruki x x v a f d Torma.4. Mialkan dan koninu ada J, dan rlaku u adalah fungi non ngaif yang dimana,. Jika a,, (9) u a u J () u a x,, J Buki : Nilai mulak ada Pramaan (9) akan mnjamin u rnilai non ngaif, hingga dngan Torma.. Torma.4. ruki. Torma.5. Mialkan a, dan ada J, dimana, dan fungi non ngaif ada J. Jika rlaku, u adalah fungi koninu adalah u a u J () u Buki : a (2) a x d, J Mialkan v u, u a v dan jla ahwa v. Slanjunya v ' u a v, Mialkan ahwa f a v' v f. v a J Dngan mnggunakan Torma.3. dirolh x v v d f x d x v d x v a x d Karna u a v ruki a d 8 u a a x d Brdaarkan Torma.5 daa dirolh raa akia yang drlihakan dalam ifa-ifa riku ini. Akia.6. Mialkan jika dalam Torma.5. fungi mruakan fungi idak urun dalam J, rlaku Buki : Karna u a x, J a juga a juga mruakan fungi idak urun dalam J Pramaan (2) daa diuli agai u a a x d x a d d x a d a x d x x a d d a x x d x a d a x d aau daa diuli u a x, J Akia.7. Mialkan dan J, dimana,. u adalah fungi koninu ada Rijoly, Waimanla, Maakuan

5 Barkng Vol. 5 No.2 Hal 5 24 (2) Jika adalah fungi non ngaif ada J dan a adalah konana ra rlaku, u a u J u a x, J Buki : Jla dngan mnggunakan Akia.6. Akia.8. Mialkan u adalah fungi koninu ada J, dimana,. Jika a dan adalah konana ra rlaku, u a u J, u a J Buki : Brdaarkan Akia.7 dirolh u a x a x a Akia.9. Mialkan a,, dan u adalah fungi koninu ada J, dimana,. Jika dan adalah fungi non ngaif ada J dan rlaku u a u (3) u u a x, J, (4) Buki : Dari Pramaan (3) daa dirolh, u a u u u a u Mialkan, A u a hail di aa daa diuli mnjadi u A u Karna, 9 A u a adalah fungi idak urun ada J rdaarkan Akia.6. dirolh u A x, J aau ruki ahwa u x u a unuk J, Sifa riku ini mruakan nymurnaan dari Akia.9. Torma.. Mialkan a,, dan koninu ada J, dimana,. Jika adalah fungi non ngaif ada J dan rlaku, u adalah fungi u a u J (5) a a a Buki : x d, J Mialkan v u (6) u a v dan jla ahwa v. Slanjunya v ' u a v v a Mialkan f a v' v f hingga rdaarkan Torma.3. dirolh x v v d x v d f x d x a d Rijoly, Waimanla, Maakuan

6 Barkng Vol. 5 No.2 Hal 5 24 (2) x Karna u a v v a d didaa u a x a d Akia.. Jika ada Torma. fungi urun rlaku x u a d Buki : a adalah fungi idak x d x u a a d x x d u a a d x d Dngan mnggunakan hail ada Akia.6 dirolh x u a d x d Akia.2. Jika ada Torma., fungi konana d rlaku u d x d a digani dngan x d, J Buki : Jla dngan mnggunakan Akia.. Akia.3. Mialkan u adalah fungi koninu unuk dimana. Jika, a, dan adalah konana dan rlaku, 2 u a u (7) u a, (8) Buki : u a x d x d a x x a a a a a a Shingga u a, Akia.4. Mialkan u adalah fungi koninu ada J, dimana,. Jika, a, dan adalah konana dan rlaku, u a u J u a, J Buki : Dngan mnggunakan Akia.3. dan diamil dirolh Rijoly, Waimanla, Maakuan

7 Barkng Vol. 5 No.2 Hal 5 24 (2) u a a a a hingga u a, J Torma.5. Mialkan u dan fungi koninu ada dangkan a dan J, dimana, fungi yang ringral Riman ada J. Mialkan juga dan adalah fungi non ngaif ada J. Jika, u a u J u a a Buki : x d, J Mialkan v u u a v dan jla ahwa v. Slanjunya v ' u a v v a Mialkan h dan f a v ' hv f (9) hingga rdaarkan Torma.3. dirolh v ax d, J u a v dirolh. Karna u a dimana J x a d 2 2. Kakamaan Ingral Gronwall-Bllman Unuk Fungi Brangka Dalam Bagian. lumnya lah dirlihakan ifa-ifa daar dari kakamaan ingral Gronwall- Bllman. Dalam agian ini akan dirlihakan raa ifa-ifa kakamaan ingral Gronwall-Bllman yang aru khuunya unuk fungi rangka. Torma 2. Mialkan u adalah fungi yang oiif dan koninu J. Mialkan juga adalah fungi non ada [, ) ngaif yang koninu ada J. Jika 2 dan a adalah konana oiif ra rlaku u a u, J () u a, J (2) dimana. Buki : Brdaarkan (), difrnialkan u rhada d d d u u u 2 d u a u Ingralkan kdua rua dari k ( 2) u d 2 u 2 u karna hingga daa diuli u u u u u Brdaarkan (), u a u a hingga u a Kdua rua dikalikan dngan, hingga dirolh u a Rijoly, Waimanla, Maakuan

8 Barkng Vol. 5 No.2 Hal 5 24 (2) kmudian kdua rua diangkakan, hingga u a dirolh Torma 2.2 Mialkan u dan koninu ada [, ) adalah fungi non ngaif yang J. Mialkan juga a adalah fungi oiif, monoon, idak urun dan koninu ada J. Jika 2 adalah konana dan rlaku u a u, J (3) u a a, J (4) dimana. Buki : Karna a adalah fungi oiif, monoon, dan idak urun Pramaan (3) daa diuli agai u u a a u u a a Karna hingga daa diuli u u a a u u a a a u u a a a Mialkan u m (5) a m a m, J Brdaarkan Torma 2. daa dirolh m a, J (6) u a, J a u a a, J Torma 2.3 Mialkan dan f J. Jika koninu ada [, ) 22 adalah fungi non ngaif yang ngaif yang rdifrniai dan mmnuhi v adalah fungi non v ' v f v, J (7) rlaku v x v f d dimana dan. Buki : Mialkan x z v ' z ' v v, v v f v v f v v f v aau z ' z f. Brdaarkan Torma.3 dirolh x z z Karna z f x d v v v x f x d v v x f x d (8) Rijoly, Waimanla, Maakuan

9 Barkng Vol. 5 No.2 Hal 5 24 (2) v x f x d d v x x d f x d v x x f x d x v f x d hingga dirolh v x v f x d Pangkakan kdua rua ramaan di aa dngan dirolh v x v f x d x aau daa diuli v x Torma 2.4 Mialkan v f d x v f d x u, dan adalah fungi non ngaif yang koninu ada J [, ). Jika a adalah konana non ngaif dan unuk rlaku u a u u d dimana J, u a k x d dimana (9) 23 () k a x d dan () Buki : Difrniaikan u rhada ada Pramaan (9) dirolh u ' u u, J (2) Mialkan v u u, J Pramaan (2) mnjadi u v (3) ' Slanjunya jla ahwa v u a Difrniaikan v rhada dirolh v' u u ' u a u v u Karna u v v' v v v v v aau v v v (4) ' Dari Pramaan (4) dan rdaarkan Torma 2.3 unuk J dirolh v x v x d x a x d k x Dimana J Rijoly, Waimanla, Maakuan

10 Barkng Vol. 5 No.2 Hal 5 24 (2) hingga k a d Slanjunya, uiuikan hail di aa k Pramaan (3) dirolh x. u ' k x (5) Ingralkan Pramaan (5) dari k rhada kdua rua hingga dirolh d u k x d u k x d u u k x d u a u u d k x d u a k x d u a k x d aau u a k x d, J 24 kakamaan ingral ru mnghailkan raa ifa aru khuunya unuk fungi rangka. DAFTAR PUSTAKA Bainov, Drumi. & Simonov, Pavl. (99). Ingral Inuualii And Aliaion, Kluwr Aadmi Pulihr, USA. Choy, Sung Kyu. Kang, Bowon. & Koo, Namji. (27). On Inualii Of Gronwall Ty, hlm , Darmn of Mahmai Chungnam Univriy Dajon , Ruli of Kora. Ngoro ST. & Haraha, B. (25). Eniklodia Mamaika, Ghalia, Bogor Slaan. Ogunua, Jam Addayo. (2). On An Inualiy Of Gronwall, hlm. 6, Darmn Of Mahmaial Sin, Univriy Of Agriulur, Aokua, Nigria. Owaidy, H. El, Raga, A. & Adldaim, A. (999). On Som Nw Ingral Inualii Of Gronwall Bllman Ty, hlm , Darmn of Mahmai, Fauly of Sin, AL-Azhar Univriy, Nar Ciy. Purll, Edwin J. dkk. (23). Kalkulu Jilid Edii Kdlaan, Erlangga, Jakara. Riyano, M. Zaki. 28. Pnganar Analii Ral I., Yogyakara. h:// d=cceqfjab&url=h%3a%2f%2fwww.mi. d%2fjournal%2fdm%2fvxi2%2far4.df&r=j &=ingral%2inualiy&i=eflzt7odi7vqp I- PWkBw&ug=AFQjCNGX8Hm4ZnSkNQGC MufHXUzw&ad=rja.8 Mi 2, Pkl WIT h://n.wikidia.org/wiki/minkowki_inualiy. 2 Mi 2, Pkl. 2. WIT KESIMPULAN Brdaarkan mahaan, daa dirolh raa kimulan agai riku :. Kakamaan ingral Gronwall-Bllman mruakan alah au ori kakamaan yang rdiri dari raa ifa, dimana ifa-ifa ru mliakan raa fungi yang didfiniikan agai fungi rnu dan nilai ingral dari fungi-fungi ru. Dalam hal ini jika fungi-fungi ru raa rhada nilai ingral rnu fungi ru juga raa ada kondii lain, yakni rhada konnial dari ingral ru. 2. Sifa daar dari kakamaan ingral Gronwall- Bllman hanya mliakan dua fungi yang didfiniikan agai fungi rnu dan au konana. Sifa daar ru kmudian daa dikmangkan dngan mliakan lih dari dua fungi ra raa konana yang raa ada inrval rnu. Di ii lain, dngan mnamahkan raa yara lagi yaiu angka dari uau fungi aau konana, Rijoly, Waimanla, Maakuan