Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Transkripsi

1 Sudarano Sudirham Sudi Mandiri Fungi dan Grafik Difrnial dan Ingral Sudarano Sudirham, Fungi dan Grafik, Difrnial dan Ingral Darublic

2 6 Pramaan Difrnial Ord Dua 6.. Pramaan Difrnial Linir Ord Dua Scara umum ramaan difrnial linir ord dua brbnuk d d a b c f 6. d d Pada ramaan difrnial ord au kia lah mliha bahwa olui oal rdiri dari dua komonn aiu olui homogn dan olui khuu. Hal ang ama uga radi ada ramaan difrnial ord dua ang dngan mudah daa diunukkan cara mamai ri halna ada ramaan ord rama. Prbdaan dari kdua macam ramaan ini rlak ada kondii awalna. Pada ramaan ord dua rdaa dua kondii awal dan kdua kondii awal ini haru dirakan ada dugaan olui oal. Dua kondii awal rbu adalah d dan ' 6. d Solui homogn. Solui homogn dirolh dari ramaan rangkaian dngan mmbrikan nilai nol ada rua kanan dari ramaan 4.5, hingga ramaan mnadi d d a b c 6.3 d d gar ramaan ini daa dinuhi, dan urunanna haru mmunai bnuk ama hingga daa diduga brbnuk fungi konnial a dngan nilai dan ang maih haru dinukan. alau olui dugaan ini dimaukkan k 6.3 akan dirolh : a b a b c aau c

3 Fungi idak bolh nol unuk mua nilai. ondii uga idak dirknankan karna hal iu akan brari a unuk luruh. Sauauna alan agar ramaan ini dinuhi adalah a b c 6.4 Pramaan ini adalah ramaan karakriik ramaan difrnial ord dua. Scara umum, ramaan karakriik ang brbnuk ramaan kwadra iu mmunai dua akar aiu: b± b 4ac, 6.5 a kar-akar ramaan ini mmunai iga kmungkinan nilai, aiu: dua akar riil brbda, dua akar ama, aau dua akar komlk konuga. onkuni dari maing-maing kmungkinan nilai akar ini rhada bnuk olui akan kia liha lbih lanu. Unuk mnara ini kia mliha cara umum bahwa ramaan karakriik mmunai dua akar. Dngan adana dua akar rbu maka kia mmunai dua olui homogn, aiu: a dan a 6.6 Jika a mruakan olui dan a uga mruakan olui, maka umlah kduana uga mruakan olui. Jadi olui homogn ang kia cari akan brbnuk onana olui oal. a 6.7 dan kia cari mlalui nraan kondii awal ada Solui huu. Sului khuu kia cari dari ramaan 6.. Solui khuu ini dinukan olh bnuk fungi maka, f. Cara mnduga bnuk olui khuu ama dngan aa ang kia laari ada ramaan ord au. ia umamakan olui khuu khuu. Solui Toal. Dngan olui khuu maka olui oal mnadi a Sudarano Sudirham, Fungi dan Grafik Difrnial dan Ingral

4 6.. Tiga mungkinan nuk Solui Sbagaimana dibukan, akar-akar ramaan karakriik ang brbnuk umum a b c daa mmunai iga kmungkinan nilai akar, aiu: a. Dua akar riil brbda,, ika {b 4ac } > ; b. Dua akar ama,, ika {b 4ac } c. Dua akar komlk konuga, ±, ika {b 4ac } <. Tiga kmungkinan nilai akar rbu akan mmbrikan iga kmungkinan bnuk olui ang akan kia liha briku ini, dngan conoh olui ada ramaan difrnial ana fungi maka. Dua kar aa rbda. alau kondii awal dan d/d kia rakan ada olui oal 6.8, kia akan mmrolh dua ramaan aiu dan ' ang akan mnnukan nilai dan. Jika kia bu 6.9 dan 6. maka kia rolh dan dari ini kia mmrolh dan dan hingga olui oal mnadi 6. riku ini kia liha uau conoh. Sri halna ada ramaan ord rama, ada ramaan ord dua ini kia uga mngarikan olui ramaan bagai olui oal. Hal ini didaari olh ngrian nang kondii awal, ang hana daa dirakan ada olui oal. Pramaan ang hana mmunai olui homogn kia fahami bagai ramaan dngan olui khuu ang brnilai nol. 6-3

5 Conoh: Dari analii ranin uau rangkaian lirik dirolh ramaan d v 3 dv 6 8,5 4 v d d dngan kondii awal v 5 V dan dv/d 3 6 Pramaan karkriik : 8,5 4 3 akar - akar :, 45± 4,5 4 5, 8 dua akar riil brbda. Dugaan olui oal: ondii awal : 5 8 v olui homogn nol a. v v 5 V 5 5 dv b. 5 d Solui oal: v 6 V hana rdiri dari olui homogn. Dua kar aa Sama ar. dua akar ang ama bar rbu daa kia ulikan bagai dan ; dngan 6. Dngan dmikian maka olui oal daa kia uli bagai 6.3 alau kondii awal rama kia rakan, kia akan mmrolh Jika kondii awal kdua d/d kia rakan, kia rolh 6-4 Sudarano Sudirham, Fungi dan Grafik Difrnial dan Ingral

6 6-5 Dari kdua ramaan ini kia daakan 6.4 Solui oal mnadi 6.5.a arna lim lim maka olui oal daa kia uli [ ] 6.5.b Solui oal ri dinaakan olh 6.5.b mruakan bnuk khuu ang dirolh ika ramaan karakriik mmunai dua akar ama bar. dan mmunai nilai rnu ang diakan olh kondii awal. Dngan dmikian kia daa mnulikan 6.5.b bagai [ ] b a 6.5.c dngan nilai a ang dinukan olh kondii awal, dan nilai b dinukan olh kondii awal dan. Dalam rangkaian lirik, nilai rganung dari lmn-lmn ang mmbnuk rangkaian dan idak ada kaianna dngan kondii awal. Dngan kaa lain, ika kia mngahui bahwa ramaan karakriik rangkaian mmunai akar-akar ang ama bar akar kmbar maka bnuk anggaan rangkaian akan ri ang diunukkan olh 6.5.c.

7 Conoh: Pada kondii awal v 5 V dan dv/d, analii ranin rangkaian lirik mmbrikan ramaan d v 3 dv v d d 6 Pramaan karakriik : 4 4 Di ini olui oal 6 6, ± 4 4 rdaa dua akar ama bar; olh karna iu akar - akar : v v Jadi : v akan brbnuk :, karna v. a b likai kondii awal rama ada olui oal ini mmbrikan v 5 a. dv likai kondii awal kdua d dv mmbrikan b a b d dv b a d 5 3 V a b b a 3 kar-kar omlk onuga. ia blum mmbaha bilangan komlk di buku ini. ia baru mmandang fungi-fungi ang mmiliki nilai bilangan naa. Namun agar mbahaan mnadi lngka, briku ini dibrikan oluina. Dua akar komlk konuga daa diulikan bagai Solui oal dari iuai ini adalah dan likaikan kondii awal ang rama,, Sudarano Sudirham, Fungi dan Grafik Difrnial dan Ingral

8 6-7 likai kondii awal ang kdua, d dv, d d d d ia akan mmrolh d d / / Solui oal mnadi in co / / 6.7 dan mmunai nilai rnu ang diakan olh kondii awal dangkan dan mmiliki nilai rnu dalam rangkaian lirik dinukan olh nilai lmn rangkaian. Dngan dmikian olui oal daa kia ulikan bagai b a in co 6.8

9 dngan a dan b ang maih haru dinukan mlalui nraan kondii awal. Ini adalah bnuk olui oal khuu unuk ramaan difrnial ang mmiliki ramaan karakriik dngan dua akar komlk konuga. Pramaan 6.8 mnunukkan bahwa bila ramaan karakriik mmbrikan dua akar komlk konuga, maka olui ramaan difrnial ord dua akan rdiri dari olui khuu diambah fungi inu ang rdam. Soal-Soal:. Carilah olui ramaan difrnial briku. d v dv dv a. 7 v ; v, 5 d d d d v dv dv b. 4 4v ; v, d d d d v dv dv c. 4 5v ; v, 5 d d d. Carilah olui ramaan difrnial briku. d v dv dv a. 4v u ; v 5, 5 d d d d v dv dv b. 5v u ; v 5, d d d d v dv dv c. 8 5v u ; v 5, d d d 3. Carilah olui ramaan difrnial briku. d v dv dv a. 6 8v [co ] u, v, d d d d v dv dv b. 6 9v [co ] u, v, d d d d v dv dv c. v [co ] u, v, d d d 6-8 Sudarano Sudirham, Fungi dan Grafik Difrnial dan Ingral