SISTEM BONUS-MALUS DENGAN SEBARAN FREKUENSI KLAIM ADALAH GEOMETRIK DAN SEBARAN UKURAN KLAIM ADALAH PARETO ANI AFRIANI

Transkripsi

1 SISTEM BONUS-MALUS DENGAN SEBARAN FREUENSI LAIM ADALAH GEOMETRI DAN SEBARAN UURAN LAIM ADALAH PARETO ANI AFRIANI DEPARTEMEN MATEMATIA FAULTAS MATEMATIA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 8

2 SISTEM BONUS-MALUS DENGAN SEBARAN FREUENSI LAIM ADALAH GEOMETRI DAN SEBARAN UURAN LAIM ADALAH PARETO ANI AFRIANI G5443 DEPARTEMEN MATEMATIA FAULTAS MATEMATIA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 8

3 ABSTRA ANI AFRIANI Si Bonu-Malu dngan Sbaran Fruni lai adalah Gori dan Sbaran Uuran lai adalah Paro Dibibing olh I GUSTI PUTU PURNABA dan I WAYAN MANGU Si Bonu-Malu adalah alah au i yang diawaran olh uau pruahaan aurani, yang dala prhiungan pri rionya brdaaran jarah lai dari iap pgang poli Si Bonu-Malu biaanya napan pri rio unu iap pgang poli hanya brdaaran banyanya lai yang diajuan anpa brganung dari uuran lai Dala arya uli ini, dijlaan dua jni i Bonu-Malu yang brbda yaiu i Bonu-Malu lai dan i Bonu-Malu opial Si Bonu-Malu lai napan prhiungan pri rio bagi iap pgang poli hanya brdaaran fruni lai yang diajuan Sdangan i Bonu-Malu opial napan prhiungan pri rio bagi iap pgang poli brdaaran fruni lai dan uuran lai dua i Bonu-Malu rbu dibandingan, dngan fruni lai dan uuran lai diauian aing-aing ilii baran gori dan Paro Rio yang dihadapi olh iap pgang poli brbda-bda hingga banyanya lai dan uuran lai yang aan diajuan iap pgang poli pun brbda-bda rugian yang dialai olh iap pgang poli diuur dngan fungi rugian uadrai Dicari baran porior dari parar fruni dan uuran lai, udian parar rbu diduga nggunaan pndaan Bay (olui Bay) Shingga dngan olui Bay diprolh prhiungan pri rio dngan dua i rbu Hail yang diprolh dala arya uli ini yaiu prbandingan nilai pri rio yang haru dibayaran olh iap pgang poli dngan dua i rbu Maa prhiungan pri rio dngan i Bonu-Malu yang diapan brdaaran fruni dan uuran lai lbih adil dibandingan dngan i Bonu-Malu yang diapan hanya brdaaran fruni lai

4 ABSTRACT ANI AFRIANI Bonu-Malu Sy wih Th Clai Frquncy Diribuion i a Goric and Th Clai Svriy Diribuion i a Paro Undr uprviion by I GUSTI PUTU PURNABA and I WAYAN MANGU Bonu-Malu y i on of y on h ar by a copany of inuranc, which in accoun of priu bad on h hiory clai fro ach policyholdr Bonu-Malu y uually aign ach policyholdr a priu bad on h nubr of hi/hr accidn irrpciv of hir iz Thi crip xplaind wo diffrn yp of Bonu-Malu y ha i h claical Bonu- Malu y and an opial Bonu-Malu y Th claical Bonu-Malu y undr which a priu i by aing ino accoun only h nubr of accidn ach policyholdr Whil an opial Bonu-Malu y undr which a priu i by aing ino accoun boh h frquncy and h vriy of h clai of ach policyholdr Boh of h Bonu-Malu y ar copard, wih h nubr and iz of h clai an inurd pron ar aud o follow rpcivly a goric and a Paro diribuion Th ri facd by ach policyholdr ar diffrn ach ohr o ha h nubr and iz of h clai o b xprincd of ach policyholdr ar alo diffrn Naural lo by ach policyholdr i aurd wih quadraic lo funcion I wa archd h porior diribuion fro vriy and frquncy clai parar, hn h parar i iad by uing h Bay approxiaion (Bay oluion) Wih Bay oluion, i wa obaind by h calculaion of priu wih boh of h y Th rul obaind in hi crip, ha i coparion of h ri priu valu o b paid by ach policyholdr wih boh of h y Hnc calculaion of h ri priu wih Bonu- Malu y which a ino accoun h nubr and iz of h clai i fairr copard o Bonu-Malu y wih only a ino accoun h nubr of clai

5 SISTEM BONUS-MALUS DENGAN SEBARAN FREUENSI LAIM ADALAH GEOMETRI DAN SEBARAN UURAN LAIM ADALAH PARETO Sripi bagai alah au yara unu prolh glar Sarjana Sain pada Faula Maaia dan Ilu Pngahuan Ala Iniu Pranian Bogor Olh : ANI AFRIANI G5443 DEPARTEMEN MATEMATIA FAULTAS MATEMATIA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 8

6 Judul : Si Bonu-Malu dngan Sbaran Fruni lai adalah Gori dan Sbaran Uuran lai adalah Paro Naa : Ani Afriani NRP : G5443 Mnyujui: Pbibing I, Pbibing II, DrIr I Gui Puu Purnaba, DEA NIP DrIr I Wayan Mangu, MSc NIP Mngahui: Dan Faula Maaia dan Ilu Pngahuan Ala Iniu Pranian Bogor Dr drh Hai, DEA NIP Tanggal Lulu:

7 PRAATA Puji yuur pnuli panjaan pada Allah SWT aa gala raha dan arunia-nya, pnuli dapa nylaian uga ahir yang brjudul Si Bonu-Malu dngan Sbaran Fruni lai adalah Gori dan Sbaran Uuran lai adalah Paro Shalawa ra ala naniaa rcurah pada Raulullah SAW bra luarga, ahaba dan uanya hingga ahir zaan Tuga ahir ini pnuli prbahan unu dua orang ua dan luruh luarga yang lalu nduung, nahai dan ndoaan pnuli dngan duungan yang luar biaa Ta lupa pnuli ngucapan riaaih pada piha-piha yang lah brian dorongan rhadap pnuli dala nylaian uga ahir ini, yaiu : dua don pbibing pnuli, bapa I Gui Puu Purnaba dan I Wayan Mangu aa banuan dan bibingannya hingga pnuli apu nylaian uga ahir ini Bapa Effndi Syahril yang lah njadi don pnguji pnuli aa idang 3 Unu aah, bapa, a gugu dan h ari, h pipi, d aya, dan a oni, a ap dan nur, juga luarga bar aah dan bapa, yang lah brian aih ayang, naha, duungan, ra doanya 4 Pria yang lalu ada, nduung dan ndoaan pnuli dala iuai apapun, aaih aa galanya 5 Sahaba-ahaba pnuli di arawang, rno, rana, dilah, nunu, y, aa doa dan braaan ia laa ini, oga iada ahir 6 Bua an-an di ini, d-d, ayu, liay, ay, d, widya, aaih aa doa, uppor dan ua pngalaan braa alian, dngan alian pnuli blajar banya hal 7 Tan-an aaia angaan 4, ii, firi, pnny, yang lah njadi pbaha pnuli pada aa inar, ba iul aaih caaannya, ui, rofah yang dg-dgan barng wau inar, ci, roa, nny, va, ndi, uwi, iyan, dian, nn, ao, lia, jannah, nyi-nyi, hai, nyon, rinzul, b ifa, ia, b arya, ri, ria, qurnz, ahar, ia, yni, coco, frdo, adji, racil, dia, iboy, udin, gra, chubby, zali, yaya, idri, oo, azid, iin, riyadi, cui, ain, dni, yo, hndri, braaan laa uliah jadi nangan indah, ia upul lagi anggal 8 Dbr 8 8 Sluruh don aaia IPB, pnuli apu nylaian uga ahir ini aa gala ilu yang lah dibrian, dan pada af dan TU aaia IPB, bu ui, bu ad, a dni, bu arii, a yono, dan lain-lain, aa banuan yang lah dibrian pada pnuli 9 Sua crw Iana, riza, nana, dian, ayu, dinda, iffa, firi, nida dan lain-lain aar pa pnuli rnung dngan lapopnya yang nani ngrjaan uga ahirnya hingga lai Sua aa dan adi la pnuli Maaia IPB, h wali, h ayang, unu rncy, gandron, h ia, dan h ifni aaih aa uga ahirnya yang dii banya banu pnuli dala hal bahaan aaupun arinya, dan ua aa dan adi la aaia yang lain Juga unu ua piha yang banu pnuli, yang ida bia pnuli buan au prau, aaih banya unu uanya Pnuli nyadari bahwa uga ahir ini aih jauh dari purnaan Soga uga ahir ini dapa branfaa bagi pnuli huunya dan bagi piha lain uunya yang buuhan Bogor, Januari 8 Ani Afriani

8 RIWAYAT HIDUP Pnuli dilahiran di arawang, 7 April 987 dari paangan DrH Ading Safruddin, MM dan Hj Badriah, AMaPd bagai ana pa dari pa braudara Pada ahun 998 pnuli nylaian pndidian olah daar di SD Nagaari XII arawang, yang dala ahun yang aa pnuli juga nylaian olah agaa di Al-Iryad al-ilaiyah arawang udian pnuli lanjuan pndidiannya Solah Lanju Tinga Praa di SLTPN I arawang Pada ahun pnuli aui pndidian Solah Mnngah Aa di SMAN I arawang Slah lulu SMU pada ahun 4, pnuli lanjuan uliah di Iniu Pranian Bogor lalui jalur Ujian Sli Mau Iniu Pranian Bogor (USMI) di Dparn Maaia, Faula Maaia dan Ilu Pngahuan Ala IPB Slaa ngiui giaan pruliahan, pnuli aif pada bbrapa giaan ahaiwaan yaiu pnuli prnah njadi anggoa hipro Gugu Mahaiwa Maaia IPB priod 5-6 bagai anggoa divii wirauahaan Pnuli juga aif bagai paniia pada bbrapa acara -acara anara lain Try Ou Guaia ahun 5 dan 6, Plaihan Sofwar MATLAB dan Mahaica 6, Wlco Crony Mahaic 6 dan 7, Maaia Ria 6 dan 7, dan bbrapa giaan ahaiwaan aaia lainnya

9 DAFTAR ISI Halaan DAFTAR ISI vii DAFTAR TABEL viii DAFTAR GAMBAR viii DAFTAR LAMPIRAN viii PENDAHULUAN Laar Blaang Tujuan LANDASAN TEORI Ruang Conoh, jadian dan Pluang Pubah Aca dan Sbarannya Nilai Harapan3 Lilihood3 Pndaan Bay 4 DESRIPSI MASALAH4 Si Bonu-Malu lai4 Si Bonu-Malu Opial 6 PEMBAHASAN DAN APLIASI8 Si Bonu-Malu lai8 Si Bonu-Malu Opial 8 SIMPULAN DAFTAR PUSTAA vii

10 DAFTAR TABEL Halaan Tabl Si Bonu-Malu brdaaran oponn fruni lai 8 Tabl Si Bonu-Malu brdaaran oponn fruni dan uuran lai (Toal uuran lai bar 5) 9 Tabl 3 Si Bonu-Malu brdaaran oponn fruni dan uuran lai (Toal uuran lai bar ) 9 DAFTAR GAMBAR Halaan Gabar Grafi fungi paan pluang baran invr-gaa 7 DAFTAR LAMPIRAN Halaan Lapiran Fungi paan pluang dari baran gori Lapiran Prhiungan pri i Bonu-Malu lai dngan pndaan Bay 4 Lapiran 3 Maxiu Lilihood Eiaion (MLE) 6 Lapiran 4 Sbaran invr-gaa 7 Lapiran 5 Fungi paan pluang dari baran Paro 8 Lapiran 6 Prhiungan pri i Bonu-Malu opial dngan pndaan Bay Lapiran 7 Bui nilai harapan dari baran gaa 3 Lapiran 8 Bui nilai harapan dari baran invr-gaa 5 Lapiran 9 Bui olui Bay dngan fungi rugian uadrai 7 viii

11 PENDAHULUAN Laar Blaang Aurani rupaan arana bagi para pgang poli dala nganiipai adanya rugian cara finanial yang aan dihadapi aiba uau jadian yang ida diharapan Brbagai jni i diawaran olh pruahaan aurani, alah aunya adalah i Bonu-Malu Si Bonu-Malu rupaan i yang dala pbayaran pri rionya diuaian dngan jarah dari lai iap pgang poli Bonu biaanya rupaan poongan pri rio yang dibrian apabila ida rjadi lai, dangan alu rupaan pnabahan pri rio yang dibrian apabila uau yang diauranian rupaan uau lai arya uli ini rupaan ronrui dari Mh dan Sayan (5) yang baha ngnai dua i Bonu-Malu yaiu i Bonu-Malu lai dan i Bonu-Malu opial dua i Bonu- Malu rbu ilii prbdaan yang cuup ndaar Si Bonu-Malu lai rupaan i yang dala prhiungan pri rionya hanya brdaaran banyanya lai yang dibua olh iap pgang poli Dala i Bonu-Malu ini, bai pgang poli aurani yang ngalai rugian cil aaupun bar aan prolh bban pri yang aa Si Bonu-Malu opial rupaan i yang dala prhiungan pri rionya brdaaran dua hal yaiu banyanya lai yang dibua (fruni) dan uuran lai dari iap pgang poli Si Bonu-Malu diaaan opial jia oal julah bonu aa dngan oal julah alu dan jia iap pgang poli bayaran pri rio yang proporional dngan rio yang dihadapi Tujuan Tujuan pnulian arya uli ini adalah: Mplajari pnghiungan pri rio yang haru dibayaran olh iap pgang poli aurani dngan dua i Bonu-Malu rbu Mplajari prbandingan i Bonu- Malu lai dan i Bonu-Malu opial, dngan fruni lai ilii baran gori dan uuran lai ilii baran Paro Ruang conoh, jadian dan Pluang LANDASAN TEORI Dfinii (Prcobaan aca) Dala uau prcobaan ringali diprluan pngulangan yang dilauan dala ondii yang aa Sua unginan hail yang aan uncul adalah diahui, api hail pada prcobaan briunya ida dapa diduga dngan pa Prcobaan aca ini dibu prcobaan aca [Hogg dan Craig, 995] Dfinii (Ruang conoh dan jadian) Hipunan dari ua unginan hail dari uau prcobaan aca dibu ruang conoh, dinoaian dngan Ω Suau jadian A adalah hipunan bagian dari Ω [Gri dan Sirzar,99] Dfinii 3 (Mdan-σ ) Mdan-σ adalah uau hipunan F yang anggoanya rdiri aa hipunan bagian dari ruang conoh Ω, yang nuhi ondii briu : F, Jia A F aa c A F, 3 Jia AA, F aa, Ai F i [Gri dan Sirzar,99] Dfinii 4 (Uuran Pluang) Mialan F adalah dan-σ dari ruang conoh Ω Uuran pluang adalah uau fungi P : F, pada ( Ω,F ) yang nuhi :

12 P( ) P( ), Ω, Jia AA,, F adalah hipunan yang aling lpa yaiu A i A j unu iap paangan i j, aa P Ai P( Ai) i i [Gri dan Sirzar,99] Pubah Aca dan Sbarannya Dfinii 5 (Pubah Aca) Mialan F adalah dan-σ dari ruang conoh Ω Suau pubah aca X adalah uau fungi X : Ω dngan ifa { ω Ω: X ( ω) x} F unu iap x [Gri dan Sirzar,99] Dfinii 6 (Pubah Aca Dir) Pubah aca X diaaan dir jia nilainya hanya pada hipunan bagian yang rhiung dari [Gri dan Sirzar,99] Caaan : Suau hipunan bilangan C dibu rhiung jia C rdiri aa bilangan rhingga aau anggoa C dapa diorpondnian - dngan bilangan bula poiif Dfinii 7 (Fungi Maa Pluang) Fungi aa pluang dari pubah aca dir X adalah fungi p :, yang dibrian olh : px ( x) P( X x) [Gri dan Sirzar,99] Dfinii 8 (Sbaran Poion) Suau pubah aca X diaaan nybar Poion dngan parar λ, jia ilii fungi aa pluang : x ( ; ) λ λ px x λ, x,,, dngan λ > x! [Hogg dan Craig, 995] Dfinii 9 (Sbaran Gori) Suau pubah aca X diaaan nybar gori dngan parar, jia ilii fungi aa pluang : ( x ) ( ) px ;, dngan x,,, dan < < [Hogg dan Craig, 995] x Dfinii (Sbaran Bino Ngaif) Suau pubah aca X diaaan nybar bino ngaif dngan parar r dan p, jia ilii fungi aa pluang : x r x r px ( x; p) p ( p), r dngan < p<, x r, r +, r+, x ( x )! r ( x r)!( r )! [Ghahraani, 5] Dfinii (Fungi Sbaran) Mialan X adalah uau pubah aca dngan ruang A Fungi baran dari pubah aca X dinyaaan bagai, F x P X x X ( ) ( ) [Hogg dan Craig, 995] Dfinii (Pubah Aca oninu) Pubah aca X diaaan oninu jia ada fungi f X ( x ) hingga fungi baran F x P X x dapa dinyaaan bagai X ( ) ( ) X x ( ) ( ) F x f u du, x R, dngan f :, ) adalah fungi yang ringralan Fungi f dibu fungi paan pluang dari X X [Gri dan Sirzar,99] Dfinii 3 (Sbaran Eponnial) Suau pubah aca X diaaan nybar ponnial dngan parar, jia X ilii fungi paan pluang : x fx ( x; ), x> dan > [Ghahraani, 5] Dfinii 4 (Sbaran Gaa) Suau pubah aca X diaaan nybar gaa dngan parar α dan β, dinoaian gaa ( α, β ), jia ilii fungi paan pluang : x α β x g x x ε dngan α, α y Γ ( α ) y dy ( ; αβ, ), α Γ( α) β > β > dan ( ), X Γ α > diana [Hogg dan Craig, 995] +

13 3 Dfinii 5 (Sbaran Invr-Gaa) Suau pubah aca X diaaan nybar invr-gaa dngan parar dan, jia ilii fungi paan pluang : x gx ( x;, ), + x Γ( ) dngan >, > dan x > [Hogg dan lugan, 984] Dfinii 6 (Sbaran Paro) Suau pubah aca X diaaan nybar Paro dngan parar x dan α, jia ilii fungi paan pluang : α ( ;, ) ( ) ( α + f x α x x α x ), x x, α > X [Bowr al, 997] Dfinii 7 (Fungi Sbaran Braa Dua Pubah Aca) Fungi baran braa dua pubah aca X dan Y rupaan uau fungi F : [,] yang didfiniian olh F ( xy, ) PX ( xy, y) XY [Gri dan Sirzar, 99] Dfinii 8 (Fungi paan Pluang Braa dan Marjinal) Mialan X dan Y adalah pubah aca oninu, aa fungi paan pluang braa dari X dan Y adalah FXY ( xy, ) fxy ( x, y) xy dan fungi paan pluang arjinal dari pubah aca Y adalah f ( y) f ( x, y) dx Y XY [Gri dan Sirzar, 99] Dfinii 9 (Fungi paan Pluang Bryara) Mialan X dan Y adalah pubah aca oninu dngan fungi paan pluang arginal fy ( y ) > Fungi paan pluang bryara dari X dngan yara Y yadalah f XY ( xy, ) fxy ( x y) f y Y ( ) [Gri dan Sirzar, 99] Nilai Harapan Dfinii (Nilai Harapan) Jia X adalah pubah aca dir dngan fungi aa pluang px ( x ), aa nilai harapan dari X, dinoaian dngan E( X ), adalah E X x p x, ( ) ( ) aalan julah di aa onvrgn ula Jia X adalah pubah aca oninu dngan fungi paan pluang f X ( x ), aa nilai harapan dari X adalah E X x f x dx, x X ( ) ( ) aalan ingral di aa onvrgn ula X [Hogg dan Craig, 995] Dfinii (Nilai Harapan Bryara) Mialan X dan Y adalah pubah aca oninu dan f XY ( x y ) adalah fungi paan pluang bryara dari X dngan yara Y y Nilai harapan dari X dngan yara Y y adalah Lilihood EX [ Y y] xf ( x ydx ) XY [Hogg dan Craig, 995] Dfinii (Fungi Lilihood) Mialan X, X,, X n adalah conoh aca dari uau baran dngan fungi paan pluang f ( x; ), dngan x rupaan raliai dari pubah aca X Fungi paan pluang braa dari X, X,, X n (fungi lilihood) adalah : L( x; ) f ( x; ) f ( x; ) f ( x n ; ) Fungi unginan aiu rupaan aiu dari fungi lilihood [Hogg dan Craig, 995] Dfinii 3 (Maxiu Lilihood Eiaion) Mialan X, X, X n adalah conoh aca bruuran n dari uau baran dngan fungi paan pluang f ( x; ) Pnduga unginan aiu bagi dinoaian dngan ˆ, adalah f ( X,, X n ) yang

14 4 aiuan fungi lilihood L( X,, ; Xn ) [Hogg dan Craig, 995] Pndaan Bay Dfinii 4 (Sbaran Prior) Suau pubah aca X yang ilii fungi paan pluang braa yang dilabangan dngan (,, n ) f x x dan fungi arjinal u( ), dinaaan baran prior [Arnold,99] Dfinii 5 (Sbaran Porior) Mialan pubah aca X ilii baran prior dngan fungi paan pluang braa (,, n ) f x x dan ilii fungi paan pluang arjinal u( ) Fungi paan pluang gabungan dari ( X, ) dilabangan dngan U( x x x ),,, n dinaaan fungi paan pluang dari baran porior, dan dinyaaan dngan : (,,, n ) U x x x (,,, n ) ( ) (,,, n ) ( ) f x x x u f x x x u d [Arnold,99] Dfinii 6 (Fungi rugian) Mialan X adalah uau pubah aca dngan parar dan pnduga pararnya δ ( ) Fungi rugian (lo funcion) dari parar rbu adalah : L X;, X, dan L X; jia X δ ( ) ( ) Fungi rugian uadrai rupaan fungi rugian dngan alahan uadra dari parar rbu yang dinyaaan dngan : L X; δ ( ) X δ( ) [Bain dan Englhard, 993] Dfinii 7 (Fungi Rio) Fungi rio adalah nilai harapan dari fungi rugian, yang dinyaaan bagai briu : RX ( ) E L( X; ) [Bain dan Englhard, 993] Dfinii 8 (Solui Bay) Mialan adalah uau parar dngan pnduga pararnya ˆ, dngan fungi rugian L, ˆ dan nilai harapan dari fungi rugian rbu E L(, ˆ ), diaaan olui Bay jia pnduga parar ˆ iniuan ( ˆ E L, ˆ ) Y y L, ( y) d [Hogg dan Craig, 995] Solui Bay ini rganung dari fungi rugiannya, hingga : Jia digunaan fungi rugian uadrai (, ˆ) ˆ ( ) ( ) E L Y y y d, aa dngan olui Bay : ˆ E y ( ) Jia digunaan fungi rugian ula (, ˆ ˆ ) ( ) E L Y y y d, aa dngan olui Bay : ˆ d f y ( ) DESRIPSI MASALAH Sorang yang njadi pgang poli uau pruahaan aurani diharuan bayar pri rio aa lai yang dibua, pnapan barnya pri rio dihiung brdaaran i yang digunaan olh pruahaan aurani rbu Salah au jni i yang digunaan olh uau pruahaan aurani adalah i Bonu- Malu Trdapa dua jni i Bonu-Malu yaiu i Bonu-Malu lai dan i Bonu-Malu opial dua jni i rbu brbda, arna hal yang aan pngaruhi prhiungan pri rio iap pgang poli brbda pula Siap pgang poli diharuan bayar pri rio brdaaran jarah dari lai pgang poli rbu Si Bonu-Malu lai Dala i Bonu-Malu lai, prhiungan pri rio yang haru dibayaran olh iap pgang poli aurani hanya brganung pada fruni lai Fruni lai yang diajuan olh iap pgang poli aurani brbda-bda

15 5 hingga nilai harapan dari banyanya lai yang diajuan pun brbda-bda Mialan pada aurani obil yang ilii porofolio yang brbda (hrogn), iap pgang poli ilii rio daar yang ida aa aa jadian yang dialainya Willo (993) nybuan bahwa baran Poion capuran brian hail yang bai unu daa fruni lai ia porofolionya brifa hrogn Maa pada arya uli ini digunaan baran Poion capuran bagai baran dari fruni lai yang diajuan olh iap pgang poli rbu yaiu baran gori Parar dari fruni lai dilabangan dngan λ yang ilii baran Poion dan parar λ rbu nybar ponnial, hingga fruni lai unu iap pgang poli rupaan baran gori Diauian banyanya lai yang diajuan dinyaaan dngan yang nybar Poion dngan parar λ () λ λ P ( λ),,,, dan λ >,! dngan λ nyaaan prbdaan rio yang ndaari aa lai dari iap pgang poli rbu Auian λ nybar ponnial dngan parar, aa fungi paan pluangnya adalah : () u( λ) λ, λ > dan > udian baran a bryara dari yang rupaan baran gori dngan parar + (diuraian pada Lapiran ) adalah : (3) P ( ) P ( λ) u( λ) dλ λ λ λ!! λ( + )! ( + ) Γ + +! ( + )! ( + ) λ u du + + d λ λ dλ ( ) (!) ( ) P ( + ) +, + + dngan,,, dan < < Mialan i nyaaan banyanya lai dari iap pgang poli dala ahun i, dngan i,,,, Toal banyanya lai yang rjadi dala ahun adalah i i Maa oal banyanya lai dala ahun nybar Poion dngan parar λ : λ i i (4) P (,,, λ )! Unu nduga parar dari fruni lai rbu, digunaan pndaan Bay dngan quadraic lo funcion (fungi rugian uadrai) Dngan fungi paan pluang braa dari upulan lai pgang poli dala ahun,,,,, dan fungi paan pluang dari λ aa diprolh baran porior dari parar fruni lai rbu yaiu : ( λ,,, ) (,,, λ) ( λ) U P u λ λ λ λ( + ) λ Jia A λ( + ) λ dλ ( + ) dngan, + A, A adalah onan Γ ( + ) (nilai A diprolh dngan prhiungan pada Lapiran ), aa + ( + ) λ( + ) (5) U( λ,,, ) λ, λ> Γ ( + ) U ( λ,,, ) gaa +, ( + ) Mnghiung aau nguur rugian dari uau yang diauranian nggunaan fungi rugian uadrai (liha pada Lapiran ) Mialan pnduga parar λ aau banyanya lai pada ahun + adalah ˆ λ + Fungi rugian dari pnduga parar iu adalah L( λλ, ˆ + ) Pnduga ˆ λ + yang aan

16 6 iniuan nilai harapan dari fungi rugian rbu ( E L( λλ, ˆ + ) ) arna nggunaan fungi rugian uadrai yaiu (, ˆ ) ( ˆ ) + + L λ λ λ λ, aa dngan olui Bay, ˆ λ + aa dngan nilai harapan dari banyanya lai yang rjadi pada iap pgang poli dngan jarah lai,,, (dibuian pada Lapiran 9) : ˆ λ E λ + ( ) + (6) + + λ, dngan λ λ + Nilai harapan dari baran gaa dibuian pada Lapiran 7 Nilai λ diprolh dngan nggunaan Maxiu Lilihood Eiaion (MLE) (dijlaan pada Lapiran 3) Jia diauian pri rio awal pada aa dinyaaan dngan p, aa pri rio yang haru dibayaran olh iap pgang poli aurani pada ahun +, adalah : + (7) pri + p λ + Dari praaan rbu dapa diliha bahwa pri rio yang haru dibayaran pada ahun + hanya brganung pada banyanya lai (fruni) yang diajuan iap pgang poli Si Bonu-Malu opial Dala i Bonu-Malu opial, prhiungan pri rio yang haru dibayaran olh iap pgang poli aurani, lain brdaaran fruni lai, api juga brdaaran uuran lai Uuran lai dilabangan dngan diauian ilii baran ponnial dan parar rbu rupaan nilai dari pubah aca yang ilii baran invr-gaa, aa uuran lai ili baran Paro Diauian uuran lai dinyaaan dngan x Unu iap pgang poli, x nybar ponnial dngan parar, fungi paan pluangnya adalah : (8) ( ) x f x, > Sbaran dari adalah invr-gaa dngan parar dan, fungi paan pluangnya adalah : (9) g ( ), > + Γ( ) [Hogg and lugan, 984] Fungi paan pluang dari baran invr gaa rupaan invr dari fungi paan pluang baran gaa, yang lah dibuian pada Lapiran 4 Nilai harapan dari raa-raa uuran lai (dibuian pada Lapiran 8) adalah : () E ( ) [Frango dan Vrono, ] Sbaran a bryara dari x yang rupaan baran Paro dngan fungi paan pluangnya (diuraian pada Lapiran 5), adalah : ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x g d x + Γ ( x+ ) d + Γ() Γ () x + ( ) ( ) ( + ) ( ) d u du x+ x+, x> Mialan x i dinoaian bagai uuran dari lai iap pgang poli dala ahun i, i,,,, Toal uuran lai yang rjadi unu iap pgang poli dala ahun adalah X x Maa baran oal uuran lai nybar ponnial dngan parar : () (,,, ) i i x f x x x

17 7 Mnghiung aau nguur rugian dari a yang diauranian nggunaan fungi rugian uadrai Digunaan pndaan Bay dngan quadraic lo funcion (fungi rugian uadrai) unu nduga parar dari uuran lai rbu Dngan fungi paan pluang braa dari oal uuran lai iap pgang poli dngan lai apai ahun, x, x,, x, dan fungi paan pluang dari aa diprolh baran porior dari parar uuran lai rbu : (,,, ) (,,, ) ( ) g x x x f x x x g Jia x i i x + i + + i x + i + + i x + i + + i A dngan, x + i + + i d A x + Γ + ( ) ( + ), + aa, diprolh baran porior dari uuran lai rbu, yaiu : (3) g( x x x ) ( ++ ) x + x +,,,, > Γ ( + ) x + g ( x, x,, x) invr- gaa +, x + arna nggunaan fungi rugian uadrai yaiu L(, ˆ ) ( ˆ ) + +, aa dngan olui Bay, pnduga parar aau uuran lai pada ahun + dilabangan dngan ˆ + aa dngan nilai harapan dari julah uuran lai x, x,, x dala ahun diduga bagai : x + (4) ˆ E ( + X ) + (liha pada Lapiran 6) Jia pri rio diapan ida hanya brganung pada banyanya lai,,,,, api juga brganung pada uuran lai yaiu x,,, x x, aa pri rio yang haru dibayaran olh iap pgang poli pada ahun +, adalah : x + + (5) priu + + +

18 PEMBAHASAN DAN APLIASI Si Bonu-Malu lai Mialan pada uau pruahaan aurani obil, banyanya lai diauian nybar gori, dipilih parar bar,5 Dala prhiungan pri rio ini digunaan N Priu Principl (Prinip Pri Brih) Auian pri rio yang haru dibayaran iap pgang poli ara pada ahun praa Mialan pri rio pada ahun adalah Jia pgang poli ngajuan au lai ( ) di ahun praa, aa pri rio yang haru + dibayaran adalah +, 5 Sorang pgang poli yang ngajuan lai ( ) di ahun -3 ( 3), pri rio yang haru dibayaran olh pgang + poli adalah 88 Jia pgang + 3, 5 poli ida ngajuan lai aa ali laa ahun yang diapan aa ia aan ndapa bonu yang cuup inggi Sdangan jia iap pgang poli udah ngajuan banya lai di ahun praa aa ia aan ndapa alu yang anga inggi Tabl briu dapa diliha prhiungan pri rio dala 7 ahun dngan variai lai,,,5 nggunaan praaan (7) dngan ofwar Microof Excl Tabl Si Bonu-Malu brdaaran oponn fruni lai Tahun Banyanya lai Dari abl di aa dapa diliha, bonu aan didapaan pada ahun praa olh orang pgang poli yang ida ngajuan lai, pgang poli rbu aan ndapa bonu 44% dari pri rio awal Sdangan jia pgang poli ngajuan au lai pada ahun praa aa pgang poli haru bayar alu bar % dari pri rio awal Si Bonu-Malu opial Mialan pada pruahaan aurani obil pri di apliai blunya, ia gunaan i Bonu-Malu yang dala prhiungan pri rionya brdaaran dua oponn yaiu oponn fruni dan uuran lai Pri rio yang haru dibayaran olh iap pgang poli dngan i Bonu-Malu opial dihiung dngan nggunaan praaan (5) Spri pada apliai yang blunya, fruni lai nybar gori dngan parar, dipilih nilainya bar,5 Dari abl di aa juga dapa diliha bahwa pgang poli yang ida ngajuan lai aa ali laa 7 ahun aa ia aan ndapa bonu bar 85% dari pri rio awal udian alu yang inggi aan diprolh, jia pgang poli ngajuan 5 ali lai aa ahun praa Ia haru bayar pri rio iga ali lipa lbih dari pri rio awal Toal uuran lai diauian nybar Paro, dngan parar dan dari baran rbu dipilih bar 495 dan,5 Toal uuran lai dipilih bar 5 dan, diabil dua oal uuran lai yang brbda unu bandingan f dari oal uuran lai rhadap pri rio yang haru dibayaran olh iap pgang poli Dngan uuran lai 5, jia orang pgang poli ngajuan au lai di ahun praa, aa ia haru bayar pri rio bar 64889

19 9 (liha Tabl ), jadi ia ndapaan alu dari pruahaan aurani rbu Sdangan jia oal uuran lai, orang pgang poli ngajuan au lai pada ahun praa, ia haru bayar pri rio bar (liha Tabl 3), ia bayar alu yang lbih inggi Pada Tabl dan 3, dapa diliha prhiungan pri rio dari bbrapa conoh au pgang poli dngan variai lai,,,,,5, dan oal uuran lai bar 5 dan, apai ahun -7 nggunaan praaan (5) dngan ofwar Microof Excl Tabl Si Bonu-Malu brdaaran oponn fruni dan uuran lai (Toal uuran lai bar 5) Tahun Banyanya lai T Tabl 3 Si Bonu-Malu brdaaran oponn fruni dan uuran lai (Toal uuran lai bar ) Tahun Banyanya lai T Dari dua abl di aa dapa diliha bahwa bagi orang pgang poli yang ilii oal uuran lai 5, jia ngajuan au lai pada ahun praa aa ia aan bayar pri rio yang lbih inggi dari pri rio awal Sdangan bagi orang pgang poli yang ilii oal uuran lai bar, jia ia ngajuan au lai pada ahun praa aa ia haru bayar pri rio yang jauh lbih inggi dari pri rio awal dua pgang poli yang ilii oal uuran lai yang brbda aan aaaa ndapa bonu dari pruahaan aurani rbu, apabila pgang poli ida ngajuan lai aa ali laa 7 ahun Olh arna iu pri rio yang haru dibayaran olh iap pgang poli brbda-bda brganung pada banyanya lai dan oal uuran lai dari iap pgang poli aurani rbu

20 SIMPULAN arya uli ini lah bandingan i Bonu-Malu lai dan i Bonu- Malu opial, yang biaa digunaan bbrapa pruahaan aurani pri pruahaan aurani obil dua i Bonu-Malu ini ilii daar prhiungan pri yang brbda Dapa diliha dari apliainya, i Bonu-Malu lai ini bia diaaan ida adil arna prhiungan pri rio dari iap pgang poli ida brganung pada uuran lai iap pgang poli Sdangan pruahaan aurani dngan i Bonu- Malu opial cuup adil arna pri rio yang haru dibayaran olh pgang poli aurani proporional dngan rio yang dihadapi Pri rio yang haru dibayaran olh iap pgang poli dngan rugian yang cil dan bar adalah brbda Si Bonu-Malu ini brganung pada fruni dan oal uuran lai dari iap pgang poli rbu Olh arna iu, bban pri yang haru dibayaran olh iap pgang poli dngan i Bonu-Malu opial lbih adil dibandingan i Bonu-Malu lai DAFTAR PUSTAA Arnold, S F 99 Mahaical Saiic Prnic Hall, Inc Nw Jry Bain, L J dan M Englhard 99 Inroducion o Probabiliy and Mahaical Saiic Ed - PWS-ENT publihing Copany, Boon Bowr, N L Jr al 997 Acuarial Mahaic Th ociy of Acuari Schauburg Illinoi Frango, N E dan S D Vrono Dign of an Opial Bonu-Malu Sy wih a frquncy and a vriy coponn on an individual bai in Auoobil Inuranc ASTIN Bullin 3 - Ghahraani, S 5 Fundanal of Probabiliy Ed -3 Prnic Hall, Inc NwJry Gri, GR dan DR Sirzar 99 Probabiliy and Rando Proc Ed - Clarndon PrOxford Nw Yor Hogg, RV dan AT Craig 995 Inroducion o Mahaical Saiic Ed -5 Prnic Hall, Inc Nw Jry Hogg, RV dan SA lugan 984 Lo Diribuion John Willy & Son NwYor Mr, M dan Y Sayan 5 On a Bonu Malu Sy whr Th Clai Frquncy Diribuion i Gori and Th Clai Svriy Diribuion i Paro 75-8 Hacp Journal of Mahaic and Saiic Willo, G 993 Mixd Copound Diribuion ASTIN Bullin

21 LAMPIRAN

22 Lapiran Sbaran a bryara dari (banyanya lai) adalah dngan ngingralan praaan () dan (), hingga diprolh : P ( ) P( λ) u( λ) dλ! λ λ λ! λ λ λ d! λ λ( + ) d λ λ λ dλ u Dngan ialan u λ( + ) λ ( + ) du ( + ) d λ d λ ( + ) du aa : dan u du +!( + ) ( ) P Dngan ialan bali v u dv u du dw du w ( ) ia gunaan pngingralan parial unu praaan ini hingga diprolh: + + P u + u du!( ) + u du +!( ) Dilauan pngingralan parial dan diialan bali hingga diprolh : ( ) P( ) u + u du +!( + )!( ) ( ) u du + + udian dilauan pngingralan parial brulang apai diprolh : P( ) ( )( ) u + du +!( + ) [ ( )( )() + ]!( + )

23 3 ( + ) +! P( ) Γ ( + ) +!( + ), dngan,,, dan < < + + Maa yang dinyaaan bagai fruni lai dala i Bonu-Malu ini ilii baran gori dngan parar +

24 4 Lapiran ia gunaan pndaan Bay unu nduga parar dari i Bonu-Malu lai yaiu λ, dngan fungi ruur porior dari upulan fruni lai pgang poli dala ahun,,,,, aa diprolh baran porior dari parar fruni lai rbu : Sbaran awal (prior diribuion) : Fungi paan pluang braa dari oal fruni lai adalah (,,, ) λ λ P λ! i dan fungi paan pluang dari λ : u( λ) λ, λ > Sbaran ahir (porior diribuion) : U( λ,,, ) P(,,, λ) u( λ) λ λ λ λ( + ) λ Jia A λ( + ) λ( + ) A λ dλ λ( + ) A λ dλ λ dλ i u Dngan ialan u λ( + ) λ ( + ) du ( + ) dλ dλ du ( + ) aa : dan u du A ( + ) + Dngan ialan bali v u dv u du dw du w ia gunaan pngingralan parial unu praaan ini, aa : u u du A ( ) A ( ) u du + + Dilauan pngingralan parial dan diialan bali, aa : u ( ) u du + + A ( + )

25 5 ( ) u du + A ( + ) udian dilauan pngingralan parial brulang dari praaan di aa, aa : ( )( ) u + du + A ( + ) [ ( )( )() + ] A ( + ) Γ ( + ) + A ( + ) ( + ) A Γ ( + ) + Shingga diprolh, ( + ) (5) U( λ ) λ λ Γ ( + ) + λ( + ),,,, > U ( λ,,, ) gaa +, ( + ) Dngan nggunaan fungi rugian uadrai yaiu L( λ ˆ λ ) ( ˆ λ λ) Bay : (6) Maa ( λ ) ˆ λ + E λ, dngan λ λ +, diprolh olui, + + ˆ λ + + λ λ +, dngan λ

26 6 Lapiran 3 Pada arya uli ini digunaan Maxiu Lilihood Eiaion (MLE) unu nduga parar λ rhadap Maa pnduga parar λ rhadap adalah : λ ponnial ( ) n n λi λ i n i L( λ, ) i n ln ( L( λ, ) ) nln λi i ln ( L( λ, n )) n + λ i i Dngan MLE aa n + λ n i i n n λi i n λi i ( L( λ) ) ln, n λ Maa diprolh pnduga parar λ rhadap adalah : λ

27 7 Lapiran 4 Sbaran invr-gaa ilii fungi paan pluang yang rupaan invr dari fungi paan pluang baran gaa Bui : invr- gaa(, ) Jia invr- gaa( αβ, ) aa gaa( α, β ) Fungi paan pluang dari baran gaa : α g ( ) β (6) Γ α ( α) β Mial : Y h( ) udian ranforai praaan (6) nghailan : d gy ( y) g h ( y) g y dy ( ) ( ) α β y α Γ( α) β y α Γ( α) β y y Γ α α β ( ) α + ( α + ) β y β y y Maa ubiui bali α dngan, β dngan, dan y dngan Shingga diprolh fungi paan pluang dari invr- gaa(, ) adalah : ( + ) g( ) (7) + Γ( ) Γ( ) Invr-gaa Fungi paan Pluang rangan : α, β α, β α 3, β α 3, β 5

28 8 Lapiran 5 Sbaran a bryara dari x (uuran lai) adalah dngan ngingralan praaan (8) dan (9), hingga diprolh : ( ) ( ) ( ) f x f x g d ( x+ ) + Γ d + Γ() Γ () x ( x+ ) + ( ) d d ( x + ) Diialan u x+ du d d du ( x+ ) aa : ( x+ ) f ( x) du ( x+ ) Γ ( ) ( x+ ) + u du + ( x+ ) Γ( ) Dngan ialan bali v u dv u du dw du w ia gunaan pngingralan parial unu praaan ini, aa : f ( x) u + u du + ( x+ ) Γ( ) u du + ( x ) ( ) + Γ Dilauan pngingralan parial dan diialan bali, aa : ( ) f ( x) u + u du + ( x+ ) Γ( ) u du + ( x+ ) Γ( ) ( ) udian dilauan pngingralan parial brulang apai diprolh : f ( x) ( )( ) u + du + ( x+ ) Γ( )

29 9 f x x ( ) [ ( )( )( ) ] + ( + ) Γ( ) ( + )! Γ ( + ) + ( x+ ) Γ( ) x ( + ), x> dngan,,, Maa x yang dinyaaan bagai uuran lai dala i Bonu-Malu ini ilii baran Paro dngan parar dan

30 Lapiran 6 Digunaan pndaan Bay unu nduga alah au parar dari i Bonu-Malu opial yaiu, dngan fungi ruur porior dari uuran lai iap pgang poli apai ahun dngan lai,,,, x x x, aa diprolh baran porior dari parar uuran lai rbu : Sbaran awal (prior diribuion) Fungi paan pluang braa dari oal uuran lai adalah : ( ),,, i i x f x x x dan fungi paan pluang dari adalah: ( ) ( ) g + Γ Sbaran ahir (porior diribuion) : ( ) ( ) ( ),,,,,, i i i i x x g x x x f x x x g i i x Jia i i i i i i x x x A d A d d A Dngan ialan : x x u u + + dan x du d d du x + +

31 aa : u A u x + x + u A x + x + u ( + + ) u du + + ( + ) u ( + ) x + u du A ( + + ) du Dngan nggunaan ingral parial, diialan : + ( ) + v u dv u + du dw du w aa : ( ) + ( + ) u ( + ) x + u + ( + ) u du A ( + ) u + x ( ) u du + + A Dilauan pngingralan parial dan diialan bali, aa : ( + ) ( ) ( ) ( + 3 x ) + + u + u du A + ( ) + ( + 3) x + ( + )( + ) u + u du A udian dilauan pngingralan parial brulang apai diprolh : ( + ) x + ( + )( + ) u + du A ( ) ( + ) x + ( + )( + )( ) A ( + ) x + ( +! ) A ( + ) x + Γ + A A x + Γ + ( + ) ( )

32 Shingga diprolh, x + x + (3) g( x, x,, x ), > ( ++ ) Γ ( + ) x + g ( x, x,, x) invr- gaa +, x + Dngan nggunaan fungi rugian uadrai yaiu L( ˆ ) ( ˆ ) Bay : ˆ (4) E ( ) + x + X +, diprolh olui, + + Maa ˆ x + + +

33 3 Lapiran 7 Suau pubah aca X ilii baran gaa dngan parar α dan β,dngan α a dan β, aa nilai harapan dari pubah aca rbu adalah : EX ( ) a Bui : X gaaa, Fungi paan pluang dari baran rbu adalah : a a x x f ( x), a >, > dan Γ ( a) > Γ Maa, ( a) ( ) ( ) E X xf x dx a a x a Γ x x Γ ( a) ( a) a x x dx dx Diialan x ; d dx dx d a E X d Γ ( ) ( a) Γ ( a) a a d Dngan ialan bali : a a u du a d dv d v Gunaan pngingralan parial unu praaan rbu : a a E( X) + a d Γ( a) a a d Γ( a) Dilauan pngingralan parial dan diialan bali hingga diprolh : a a E ( X) a + ( a ) d Γ( a) a aa ( ) d Γ( a)

34 4 udian dilauan pngingralan parial brulang apai diprolh : E ( X) a( a )( a ) + d Γ( a) [ aa ( )( a )() ] Γ a ( ) ( a) a! Γ ( a + ) Γ a Trbui EX ( ) a

35 5 Lapiran 8 Suau pubah aca X ilii baran invr-gaa dngan parar dari pubah aca rbu adalah : E( X) dan, nilai harapan Bui : ( ) X invr- gaa, Fungi paan pluang dari baran rbu adalah : x g( x), x > + x Γ( ) Maa, ( ) ( ) E X Γ xg x dx x x + x Γ ( ) x ( ) x dx dx x x Diialan ( ) ( ) ( ) x d dx dx d d x ( ) E X dd Γ d Γ( ) Dngan ialan bali : ( ) ( ) 3 u du d dv d v Gunaan pngingralan parial unu praaan rbu : ( ) + Γ( ) 3 E X d ( ) ( ) d Γ 3 Dilauan pngingralan parial dan diialan bali hingga diprolh : ( ) ( ) ( ) 3 4 E X + ( 3) d Γ

36 6 E ( X) d Γ ( ) ( ) 4 ( 3) udian dilauan pngingralan parial brulang apai diprolh : Γ ( 3)( 4)( ) Γ ( ) ( )( )( ) 3 4 E ( X) + d ( ) ( ) (! ) Γ( ) Γ( ) Trbui E( X)

37 7 Lapiran 9 Jia ia nggunaan quadraic lo funcion (fungi rugian uadrai), pnduga parar aan iniuan nilai harapan dari fungi rugian rbu Maa dngan olui Bay, pnduga pararnya aa dngan nilai harapan dari baran porior parar rbu Bui : Mialan uau pubah aca Y rupaan baran porior dngan parar dan nilai pnduga parr adalah δ ( y) Jia fungi rugian uadrai dinyaaan : (9) L, δ( y) δ( y), aa nilai harapan dari fungi rugian uadrai adalah : (9) E{ L, δ( y) Y y} E δ( y) Y y {, ( ) } E{ δ( y) Y y} E{ δ ( y) +δ ( y) Y y} E L δ y Y y { } E Y y ( y) E Y y E ( y) Y y δ + δ arna δ ( y) yang aan iniuan nilai harapan dari fungi rugian uadrai aa E L( ( y), ) dngan urunan fungi : δ, δ( y) { E Y y ( y) E Y y E ( y) Y y } δ ( y) E( Y y) E( ( y) Y y) E( ( y) Y y) E( Y y) ( y) E( Y y) Trbui δ + δ + δ δ δ Shingga diprolh pnduga parar rbu aa dngan nilai harapan dari baran porior parar rbu