Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral

Transkripsi

1 Sudi Mandiri Fungi dan Grafik Difrnial dan Ingral olh Sudarano Sudirham i

2 Hak cia ada nuli, SUDIRHM, SUDRYTNO Fungi dan Grafik, Difrnial dan Ingral Olh: Sudaramo Sudirham Darublic, andung fdg- dii Juli h:// lama o: anaakan D-3, andung, 435. Fax: (6 ( 5347 Sudarano Sudirham, Fungi dan Grafik, Difrnial dan Ingral

3 5.. Pngrian 5 Pramaan Difrnial (Ord Sau Pramaan difrnial adalah uau ramaan di mana rdaa au aau lbih urunan fungi. Pramaan dufrnial diklaifikaikan bagai:. Mnuru ni aau i: ada ramaan difrnial biaa dan ramaan difrnial arial. Jni ang kdua idak kia laari di buku ini, karna kia hana mninau fungi dngan au ubah bba.. Mnuru ord: ord ramaan difrnial adalah ord ringgi 3 d urunan fungi ang ada dalam ramaan. adalah ord 3 dx d d iga; adalah ord dua; adalah ord au. dx dx 3. Mnuru draa: draa uau ramaan difrnial adalah angka ringgi dari urunan fungi ord ringgi. 5 3 d d x Sbagai conoh: adalah ramaan 3 dx dx x difrnial biaa, ord iga, draa dua. Dalam buku ini kia hana akan mmbaha ramaan difrnial biaa, ord au dan ord dua, draa au. 5.. Solui Suau fungi f(x dikaakan mruakan olui uau ramaan difrnial ika ramaan rbu a rnuhi dngan diganikanna dan urunanna dalam ramaan rbu olh f(x dan urunanna. ia ambil au conoh: 3

4 x d k adalah olui dari ramaan karna urunan x d k adalah x k, dan ika ini kia maukkan dalam x x ramaan akan kia rolh k k Pramaan rnuhi. Pada conoh di aa kia liha bahwa ramaan difrnial ord au mmunai olui ang mlibakan au aan mbarang aiu k. Pada umumna uau ramaan ord n akan mmiliki olui ang mngandung n aan mbarang. Pada ramaan difrnial ord dua ang akan kia baha di bab brikuna, kia akan mnmukan olui dngan dua aan mbarang. Nilai dari aan ini dinukan olh kondii awal Pramaan Difrnial Ord Sau Dngan Pubah Yang Daa Diiahkan Solui uau ramaan difrnial bia dirolh aabila ubah-ubah daa diiahkan; ada miahan ubah ini kia mngumulkan mua dngan d dan mua x dngan dx. Jika hal ini bia dilakukan maka ramaan rbu daa kia ulikan dalam bnuk f ( d g( x dx (5. abila kia lakukan ingrai kia akan mndaakan olui umum dngan au aan mbarang, aiu ia ambil dua conoh. f d g( x dx ( (5.. d x d. Pramaan ini daa kia ulikan dx dx hingga kia daakan ramaan dngan ubah riah hingga x d dx x dan aau d x dx x x 4 Sudarano Sudirham, Fungi dan Grafik, Difrnial dan Ingral

5 d. dx x. Pmiahan ubah akan mmbrikan bnuk dx dx d dan x d x hingga ln x aau ln x 5.4. Pramaan Difrnial Homogn Ord Sau Suau ramaan dibu homogn ika ia daa diulikan dalam bnuk d F dx x (5.3 Pramaan dmikian ini daa dicahkan dngan mmbua ubah bba baru v x Dngan ubah baru ini maka d dv vx dan v x dx dx Pramaan (4. mnadi dv v x F(v (5.4 dx ang kmudian daa dicari oluina mlalui miahan ubah. dx dv x v F( v (5.5 Solui ramaan alina dirolh dngan mngganikan v dngan /x lah ramaan rakhir ini dicahkan. ia ambil conoh: ( x dx xd Pramaan ini daa kia uli x ( dx xd aau x 5

6 ( dx d hingga d ( / x F( / x x x dx ( / x ang mruakan bnuk ramaan homogn. Pubah baru v /x mmbrikan vx dan dan mmbua ramaan mnadi dv v v x aau dx v Dari ini kia daakan dv dx ( 3v / v x d dx v dv x dx dv v 3v x v dx v v dx vdv aau x 3v ia haru mncari olui ramaan ini unuk mndaakan v bagai fungi x. ia rlu ngalaman unuk ini. ia ahu bahwa d(ln x. ia coba hiung dx x d ln( 3x d ln( 3x d( 3x (6x dx d( 3x dx 3x mbali k ramaan kia. Dari rcobaan rhiungan di aa kia daakan olui dari dx vdv x 3v adalah ln x ln( 3v ln aau 3 3 3ln x ln( 3v ln 3 hingga x ( 3v Dalam x dan olui ini adalah ( 3( / x aau ( x 3 3 x x 6 Sudarano Sudirham, Fungi dan Grafik, Difrnial dan Ingral

7 5.5. Pramaan Difrnial Linir Ord Sau Dalam ramaan difrnial linir, mua uku brdraa au aau nol. Dalam mnnukan draa ini kia haru mmrhiungkan angka dari ubah dan urunanna; mial (d/dx adalah brdraa dua karna dan d/dx maing-maing brangka au dan haru kia umlahkan unuk mnnukan draa dari (d/dx. Pramaan difrnial ord au ang uga linir daa kia ulikan dalam bnuk d P Q (5.6 dx dngan P dan Q mruakan fungi x aau aan. Pramaan difrnial bnuk inilah lanuna akan kia baha dan kia akan mmbaai ada iuai dimana P adalah uau aan. Hal ini kia lakukan karna kia akan langung mliha manfaaan raki dngan conoh ang radi ada analii rangkaian lirik. Dalam analii rangkaian lirik, ubah fii ri gangan dan aru mruakan fungi waku. Olh karna iu ramaan difrnial ang akan kia inau kia ulikan cara umum bagai d a b f ( (5.7 Pramaan difrnial linir ord au ri ini biaa kia mui ada riiwa ranin (aau riiwa ralihan dalam rangkaian lirik. Cara ang akan kia gunakan unuk mncari olui adalah cara ndugaan. Pubah adalah kluaran rangkaian (aau biaa dibu anggaan rangkaian ang daa brua gangan aauun aru dangkan nilai a dan b dinukan olh nilai-nilai lmn ang mmbnuk rangkaian. Fungi f( adalah maukan ada rangkaian ang daa brua gangan aauun aru dan dibu fungi maka aau fungi nggrak. Pramaan difrnial ri (5.7 mmunai olui oal ang mruakan umlah dari olui khuu dan olui homogn. Solui khuu adalah fungi ang daa mmnuhi ramaan (5.7 dangkan olui homogn adalah fungi ang daa mmnuhi ramaan homogn d a b (5.8 7

8 Hal ini daa difahami karna ika f ( mmnuhi (5.7 dan fungi f ( mmnuhi (5.8, maka (f f akan mmnuhi (5.7 bab ( f f d d a b a b( f f df df df a bf a bf a bf Jadi (f f adalah olui dari (5.7, dan kia bu olui oal ang rdiri dari olui khuu f dari (5.7 dan olui homogn f dari (5.8. Priiwa Tranin. Sbagaimana lah dibukan, ramaan difrnial ri (4.7 diumai dalam riiwa ranin, aiu lang ralihan dari uau kadaan mana k kadaan mana ang lain.. Pralihan kia angga mulai radi ada dan riiwa ranin ang kia inau radi dalam kurun waku lah mulai radi rubahan aiu dalam kurun waku >. Saa lah mulai rubahan kia bri anda dan aa blum radi rubahan kia bri anda. Solui Homogn. Pramaan (5.8 mnaakan bahwa diambah dngan uau kofiin konan kali d/, ama dngan nol unuk mua nilai. Hal ini hana mungkin radi ika dan d/ brbnuk ama. Fungi ang urunanna mmunai bnuk ama dngan fungi iu ndiri adalah fungi konnial. Jadi kia daa mnduga bahwa olui dari (5.8 mmunai bnuk konnial. Jika olui dugaan ini kia maukkan k (5.8, kia rolh ( a b a b aau 8 Sudarano Sudirham, Fungi dan Grafik, Difrnial dan Ingral (5.9 Pubah idak mungkin brnilai nol unuk luruh dan uga idak bolh brnilai nol karna hal iu akan mmbua brnilai nol unuk luruh. Sau-auna cara agar ramaan (5.9 rnuhi adalah a b (5. Pramaan (5. ini dibu ramaan karakriik im ord rama. Pramaan ini hana mmunai au akar aiu (b/a. Jadi olui homogn ang kia cari adalah ( b / a a (5. Nilai maih haru kia nukan mlalui nraan uau raraan rnu ang kia bu kondii awal aiu kondii ada aa

9 lah mulaina rubahan kadaan. da kmungkinan bahwa lah mmunai nilai rnu ada hingga nilai harulah dmikian rua hingga nilai ada rbu daa dinuhi. kan ai kondii awal ini idak daa kia rakan ada olui homogn karna olui ini baru mruakan bagian dari olui. ondii awal haru kia rakan ada olui oal dan bukan hana unuk olui homogn aa. Olh karna iu kia haru mncari olui khuu lbih dulu agar olui oal daa kia rolh unuk kmudian mnrakan kondii awal. Solui khuu. Solui khuu dari (5.7 rganung dari bnuk fungi maka f(. Sri halna dngan olui homogn, kia daa mlakukan ndugaan ada olui khuu. nuk olui khuu harulah dmikian rua hingga ika dimaukkan k ramaan (5.7 maka rua kiri dan rua kanan ramaan iu akan brii bnuk fungi ang ama. Jika olui khuu kia bu, maka dan urunanna haru mmunai bnuk ama agar hal rbu rnuhi. Unuk brbagai bnuk f(, olui khuu dugaan adalah bagai briku. Jika f (, maka Jika f ( konan, maka konan Jika Jika α f ( konnial, maka α konnial f ( inω, aau f ( coω, maka c coω inω Prhaikan : c coω inω adalah bnuk umum fungi inu mauun coinu. Solui oal. Jika olui khuu kia bu, maka olui oal adalah a (5. Pada olui lngka inilah kia daa mnrakan kondii awal ang akan mmbrikan nilai. ondii wal. ondii awal adalah kondii ada awal radina rubahan aiu ada. Dalam mnurunkan ramaan difrnial ada riiwa ranin kia haru mmilih ubah ang dibu ubah 9

10 au. Pubah au haru mruakan fungi koninu. Nilai ubah ini, aa udah dan aa blum radi rubahan haru brnilai ama. Jika kondii awal ini kia bu ( maka ( ( (5.3 Jika kondii awal ini kia maukkan ada dugaan olui lngka (4. akan kia rolh nilai. ( ( ( ( (5.4 ( adalah nilai olui khuu ada. Nilai ( dan ( adalah rnu (aiu nilai ada. Jika kia bu ( ( (5.5 maka olui oal mnadi ( Solui Pada rbagai Fungi Pmaka Tana Fungi Pmaka, f(. Jika f( maka olui ang akan kia rolh hanalah olui homogn aa. Walauun dmikian, dalam mncari oluai kia akan mngangga bahwa fungi maka a ada, akan ai brnilai nol. Hal ini kia lakukan karna kondii awal haru dirakan ada olui oal, dangkan olui oal haru rdiri dari olui homogn dan olui khuu (walauun mungkin brnilai nol. ondii awal idak daa dirakan hana ada olui homogn aa aau olui khuu aa. Conoh: Dari uau analii rangkaian dirolh ramaan dv v unuk >. ondii awal adalah v( V. Pramaan karakriik : Dugaan olui homogn : Dugaan olui khuu: Dugaan olui oal v : v v v a (karna idak ada fungi maka Sudarano Sudirham, Fungi dan Grafik, Difrnial dan Ingral

11 ondii awal : v( v( V. Pnraan kondii awal ada mmbrikan : Solui oal mnadi : v V dugaan olui oal Conoh: Pada kondii awal v( mnghailkan ramaan dv 3 v V, analii ranin Pramaan karakriik : 3 3 Dugaan olui homogn : Dugaan olui khuu : Dugaan olui oal: ondii awal : v( V 3 va v 3 v v Pnraan kondii awal mmbrikan: 3 Solui oal mnadi: v V Fungi Pmaka rbnuk nak Tangga. ia lah mmlaari bahwa fungi anak angga adalah fungi ang brnilai unuk < dan brnilai konan unuk >. Jadi ika kia hana mninau kadaan unuk > aa, maka fungi maka anak angga daa kia ulikan bagai f( (aan. Conoh: Suau analii rangkaian mmbrikan ramaan 3 dv v dngan kondii awal v( V. 3 3 Pramaan karakriik : / Dugaan olui homogn : va

12 arna f( konan, kia daa mnduga bahwa olui khuu akan brnilai konan uga karna urunanna akan nol hingga kdua rua ramaan rbu daa brii uau nilai konan. Dugaan olui khuu: Maukkan v v dugaan ini k ramaan : Dugaan olui oal : v V ondii awal : v( v(. v Pnraan kondii awal mmbrikan: Solui oal mnadi : v V Conoh: Pada kondii awal v( V, analii ranin mnghailkan ramaan dv 5 v Pramaan karakriik : 5 5 Dugaan olui homogn : Dugaan olui khuu: Dugaan olui lngka: ondii awal : 5 va v 5 v v v 4 v( V. Pnraan kondii awal mmbrikan: Tanggaan oal: v 4 9 V. Fungi Pmaka rbnuk Sinu. riku ini kia akan mncari olui ika fungi maka brbnuk inu. arna olui homogn idak rganung dari bnuk fungi maka, maka ncarian olui homogn dari ramaan ini ama ri aa ang kia liha ada conoh-conoh blumna. Jadi dalam hal ini rhaian kia lbih kia uukan ada ncarian olui khuu. Dngan ngrian bahwa kia hana mmandang kadian ada >, bnuk umum dari fungi inu ang muncul ada kia ulikan co( ω θ Sudarano Sudirham, Fungi dan Grafik, Difrnial dan Ingral

13 Mlalui rlai { coω coθ inω θ} co( ωθ in bnuk umum fungi inu daa kia ulikan bagai c dngan coω inω coθ c dan inθ Dngan bnuk umum ri di aa kia rhindar dari rhiungan udu faa θ, karna udu faa ini rcaku dalam kofiin c dan. ofiin c dan idak lalu ada. Jika udu faa θ maka dan ika θ 9 o maka c. Jika kia mmrlukan nilai udu faa θ dari fungi inu ang dinaakan dngan rnaaan umum, kia daa mnggunakan rlai an θ. c Turunan fungi inu akan brbnuk inu uga. Olh karna iu, numlahan inω dan urunanna akan brbnuk fungi inu uga. coω inω ; c d cω inω ω coω d cω coω ω ; inω Conoh: Pada kondii awal v( V uau analii ranin dv mnghailkan ramaan 5 vco Pramaan karakriik : 5 5 Dugaan olui homogn : v a 5 Fungi maka brbnuk inu. Solui khuu kia duga akan brbnuk inu uga. 3

14 Dugaan olui khuu: v c co in Subiui olui khuu ini k ramaan mmbrikan: c in co 5c co 5 in co c 5 dan 5c c c 5c c 4 dan 8 Solui khuu: v 4co 8in 5 Dugaan olui oal : v 4co 8in ondii awal v(. Pnraan kondii awal : Jadi: v 4co 8in 4 V Conoh: abila kondii awal adalah v( V, bagaimanakah olui ada conoh blum ini? Solui oal lah dirolh; hana kondii awal ang brubah. 5 Solui oal : v 4 co 8in ondii awal v( Jadi : v 4 co 8 in 6 V Ringkaan. Solui oal rdiri dari olui khuu dan olui homogn. Solui homogn mruakan bagian ranin dngan konana waku ang dinukan olh aan-aan dalam ramaan, ang dalam hal rangkaian lirik dinukan olh nilai-nilai lmn rangkaian. Solui khuu mruakan olui ang rganung dari bnuk fungi maka, ang dalam hal rangkaian lirik dinukan olh maukan dari luar; olui khuu mruakan bagian mana aau kondii final. 4 Sudarano Sudirham, Fungi dan Grafik, Difrnial dan Ingral

15 τ ( / Solui khuu : dinukan olh fungi maka. mruakan komonn mana; a ada unuk. Solui homogn : idak dinukan olh fungi maka. mruakan komonn ranin; hilang ada ; udah daa diangga hilang ada 5τ. konana waku τ a/b ada (4. Soal-Soal:. Carilah olui ramaan difrnial briku. dv a. v, v( ; dv b. 5v, v( 5. Carilah olui ramaan difrnial briku. di a. 8i, i( ; di 4 b. i, i(,5 5

16 3. Carilah olui ramaan difrnial briku. dv a. v u(, v( ; dv b. v u(, v( 5 4. Carilah olui ramaan difrnial briku. di 4 a. i u(, i( ; di 4 b. i u(, i(, 5. Carilah olui ramaan difrnial briku. dv a. 5v co(5 u(, v( ; dv b. v co(5 u(, v( 5 6 Sudarano Sudirham, Fungi dan Grafik, Difrnial dan Ingral

17 6 Pramaan Difrnial ( (Ord Dua 6.. Pramaan Difrnial Linir Ord Dua Scara umum ramaan difrnial linir ord dua brbnuk d d a b c f ( (6. Pada ramaan difrnial ord au kia lah mliha bahwa olui oal rdiri dari dua komonn aiu olui homogn dan olui khuu. Hal ang ama uga radi ada ramaan difrnial ord dua ang dngan mudah daa diunukkan cara mamai ri halna ada ramaan ord rama. Prbdaan dari kdua macam ramaan ini rlak ada kondii awalna. Pada ramaan ord dua rdaa dua kondii awal dan kdua kondii awal ini haru dirakan ada dugaan olui oal. Dua kondii awal rbu adalah d ( ( dan ( '( (6. Solui homogn. Solui homogn dirolh dari ramaan rangkaian dngan mmbrikan nilai nol ada rua kanan dari ramaan (4.5, hingga ramaan mnadi d d a b c (6.3 gar ramaan ini daa dinuhi, dan urunanna haru mmunai bnuk ama hingga daa diduga brbnuk fungi konnial a dngan nilai dan ang maih haru dinukan. alau olui dugaan ini dimaukkan k (6.3 akan dirolh : ( a b a b c aau c (6.4 7

18 Fungi idak bolh nol unuk mua nilai. ondii uga idak dirknankan karna hal iu akan brari a unuk luruh. Sauauna alan agar ramaan ini dinuhi adalah a b c (6.4 Pramaan ini adalah ramaan karakriik ramaan difrnial ord dua. Scara umum, ramaan karakriik ang brbnuk ramaan kwadra iu mmunai dua akar aiu: b± b 4ac, (6.5 a kar-akar ramaan ini mmunai iga kmungkinan nilai, aiu: dua akar riil brbda, dua akar ama, aau dua akar komlk konuga. onkuni dari maing-maing kmungkinan nilai akar ini rhada bnuk olui akan kia liha lbih lanu. Unuk mnara ini kia mliha cara umum bahwa ramaan karakriik mmunai dua akar. Dngan adana dua akar rbu maka kia mmunai dua olui homogn, aiu: a dan a (6.6 Jika a mruakan olui dan a uga mruakan olui, maka umlah kduana uga mruakan olui. Jadi olui homogn ang kia cari akan brbnuk onana olui oal. a (6.7 dan kia cari mlalui nraan kondii awal ada Solui huu. Sului khuu kia cari dari ramaan (6.. Solui khuu ini dinukan olh bnuk fungi maka, f(. Cara mnduga bnuk olui khuu ama dngan aa ang kia laari ada ramaan ord au. ia umamakan olui khuu khuu. Solui Toal. Dngan olui khuu maka olui oal mnadi a (6.8 8 Sudarano Sudirham, Fungi dan Grafik, Difrnial dan Ingral

19 6.. Tiga mungkinan nuk Solui Sbagaimana dibukan, akar-akar ramaan karakriik ang brbnuk umum a b c daa mmunai iga kmungkinan nilai akar, aiu: a. Dua akar riil brbda,, ika {b 4ac } > ; b. Dua akar ama,, ika {b 4ac } c. Dua akar komlk konuga, α ±, ika {b 4ac } <. Tiga kmungkinan nilai akar rbu akan mmbrikan iga kmungkinan bnuk olui ang akan kia liha briku ini, dngan conoh olui ada ramaan difrnial ana fungi maka. Dua kar aa rbda. alau kondii awal ( dan d/ ( kia rakan ada olui oal (6.8, kia akan mmrolh dua ramaan aiu ( ( dan '( ( ang akan mnnukan nilai dan. Jika kia bu (6.9 ( ( dan ( ( (6. maka kia rolh dan dari ini kia mmrolh dan dan hingga olui oal mnadi (6. riku ini kia liha uau conoh. Sri halna ada ramaan ord rama, ada ramaan ord dua ini kia uga mngarikan olui ramaan bagai olui oal. Hal ini didaari olh ngrian nang kondii awal, ang hana daa dirakan ada olui oal. Pramaan ang hana mmunai olui homogn kia fahami bagai ramaan dngan olui khuu ang brnilai nol. 9

20 Conoh: Dari analii ranin uau rangkaian lirik dirolh ramaan d v 3 dv 6 8,5 4 v dngan kondii awal v( 5 V dan dv/( 3 6 Pramaan karkriik : 8,5 4 3 akar - akar :, 45± (4,5 4 5, 8 ( dua akar riil brbda. Dugaan olui oal: ondii awal : 5 8 v (olui homogn nol a. v( v( 5 V 5 5 dv b. ( (5 5 5( Solui oal: v 6 V (hana rdiri dari olui homogn. Dua kar aa Sama ar. dua akar ang ama bar rbu daa kia ulikan bagai dan ; dngan (6. Dngan dmikian maka olui oal daa kia uli bagai ( (6.3 alau kondii awal rama ( kia rakan, kia akan mmrolh ( ( ( ( Jika kondii awal kdua d/ ( kia rakan, kia rolh Sudarano Sudirham, Fungi dan Grafik, Difrnial dan Ingral

21 ( ( ( ( ( ( Dari kdua ramaan ini kia daakan (6.4 Solui oal mnadi ( ( (6.5.a arna lim lim maka olui oal daa kia uli [ ] ( (6.5.b Solui oal ri dinaakan olh (6.5.b mruakan bnuk khuu ang dirolh ika ramaan karakriik mmunai dua akar ama bar. dan mmunai nilai rnu ang diakan olh kondii awal. Dngan dmikian kia daa mnulikan (6.5.b bagai [ ] b a (6.5.c dngan nilai a ang dinukan olh kondii awal, dan nilai b dinukan olh kondii awal dan. Dalam rangkaian lirik, nilai rganung dari lmn-lmn ang mmbnuk rangkaian dan idak ada kaianna dngan kondii awal. Dngan kaa lain, ika kia mngahui bahwa ramaan karakriik rangkaian mmunai akar-akar ang ama bar (akar kmbar maka bnuk anggaan rangkaian akan ri ang diunukkan olh (6.5.c.

22 Conoh: Pada kondii awal v( 5 V dan dv/(, analii ranin rangkaian lirik mmbrikan ramaan d v 3 dv v 6 Pramaan karakriik : 4 4 Di ini olui oal 6 6, ± 4 4 rdaa dua akar ama bar; olh karna iu akar - akar : v v Jadi : v akan brbnuk : ( (, karna v. a b likai kondii awal rama ada olui oal ini mmbrikan v( 5 a. dv likai kondii awal kdua ( dv mmbrikan b ( a b dv ( b a ( 5 3 V a b b a 3 kar-kar omlk onuga. ia blum mmbaha bilangan komlk di buku ini. ia baru mmandang fungi-fungi ang mmiliki nilai bilangan naa. Namun agar mbahaan mnadi lngka, briku ini dibrikan oluina. Dua akar komlk konuga daa diulikan bagai Solui oal dari iuai ini adalah α dan α ( α ( α α ( likaikan kondii awal ang rama, (, (6.6 Sudarano Sudirham, Fungi dan Grafik, Difrnial dan Ingral

23 3 ( ( ( ( ( likai kondii awal ang kdua, ( ( dv, ( ( d d α α α ia akan mmrolh ( ( ( ( ( ( ( ( ( d α α ( ( α α / ( / ( α α Solui oal mnadi α α α α α α α in ( co ( / ( / ( (6.7 dan mmunai nilai rnu ang diakan olh kondii awal dangkan α dan mmiliki nilai rnu (dalam rangkaian lirik dinukan olh nilai lmn rangkaian. Dngan dmikian olui oal daa kia ulikan bagai ( b a α in co (6.8

24 dngan a dan b ang maih haru dinukan mlalui nraan kondii awal. Ini adalah bnuk olui oal khuu unuk ramaan difrnial ang mmiliki ramaan karakriik dngan dua akar komlk konuga. Pramaan (6.8 mnunukkan bahwa bila ramaan karakriik mmbrikan dua akar komlk konuga, maka olui ramaan difrnial ord dua akan rdiri dari olui khuu diambah fungi inu ang rdam. Soal-Soal:. Carilah olui ramaan difrnial briku. d v dv dv a. 7 v ; v(, ( 5 d v dv dv b. 4 4v ; v(, ( d v dv dv c. 4 5v ; v(, ( 5. Carilah olui ramaan difrnial briku. d v dv dv( a. 4v u( ; v( 5, 5 d v dv dv( b. 5v u( ; v( 5, d v dv dv( c. 8 5v u( ; v( 5, 3. Carilah olui ramaan difrnial briku. d v dv dv a. 6 8v [co ] u(, v(, ( d v dv dv b. 6 9v [co ] u(, v(, ( d v dv dv c. v [co ] u(, v(, ( 4 Sudarano Sudirham, Fungi dan Grafik, Difrnial dan Ingral

25 Rfrni. Caaan-caaan nuli dalam kuliah mamaika di Iniu Tknologi andung, ahun , bagai bahan uama ulian dalam buku ini.. Gorg Thoma, Calculu nd nalic Gomr, addion Wl, 956, buku gangan dalam mngikui kuliah mamaika di IT, ahun Sudarano Sudirham: nalii Rangkaian Lirik, Pnrbi IT, ISN ,. 4. Sudarano Sudirham: nalii Rangkaian Elkrik, -book,. 5. Sudarano Sudirham, Mngnal Sifa Marial, -book,. 5