PENGEMBANGAN MODEL REGRESI DERET WAKTU UNTUK DATA YANG MENGANDUNG VARIASI KALENDER

Transkripsi

1 Seminar Nasional Saisika IX Insiu Teknologi Sepuluh Nopember, November PENGEMBANGAN MODEL REGRESI DERET WAKTU UNTUK DATA YANG MENGANDUNG VARIASI KALENDER Alfonsus. J. Endhara dan Suharono Mahasiswa S Jurusan Saisika, ITS, Surabaya Dosen Jurusan Saisika, ITS, Surabaya alfonsus_je@yahoo.com; suharono@saisika.is.ac.id ABSTRACT In many Islamic counries, he rades ofen have calendar variaion paern. This happens because he paern of people consumpion o cerain producs follows Lunar calendar, insead of following common solar calendar. The use of classical ime series model, i.e. Decomposiion mehod or Seasonal ARIMA model frequenly yield spurious resul, especially abou he seasonal paern and oulier daa. Calendar variaion effecs ofen make model idenificaion difficul, even in univariae ime series analysis. This paper presens he developmen of a comprehensive and easy-o-use mehod for modeling he ime series ha conain calendar variaion effec. Daa abou monhly sales of boy moslem cloh in Indonesia are used as case sudy. The model uses dummy regression and/or auoregressive approach. If he daa have rend, he regression use linear rend variable (). If he daa have seasonal paern, he soluion is he addiion of dummy seasonal variables or rigonomeric regression. The whie noise check of he residual is done by using Durbin Wason saisic and auocorrelaion funcion (ACF) plo. The auocorrelaed residual is solved by adding appropriae lags of response variable in he model. The addiion is done ieraively unil he residual saisfy he whie noise assumpion. The resul shows ha Calendar Variaion model developed by dummy regression is appropriae for evaluaing he effec of calendar variaion. Addiionally, he resul of forecas accuracy comparison shows ha his Calendar Variaion model is beer han Decomposiion and ARIMA models in forecasing monhly sales of boy moslem cloh. I is showed by he smalles RMSE of esing daa. Keywords: calendar variaion, Islamic calendar, ime series regression. Pendahuluan Sejak adanya sisem penanggalan yang mengikui sisem roasi bulan, idak sediki proses ransaksi perdagangan lokal maupun ekonomi global yang dipangaruhi oleh adanya sisem penanggalan demikian. Kalender Hijriyah,

2 sebagai salah sau conoh sisem penanggalan yang mengikui sisem roasi bulan, jelas berbeda dengan sisem penanggalan masehi yang mengikui sisem surya. Perbedaan inilah yang pada akhirnya menghasilkan daa perdagangan lokal maupun ekonomi global memiliki pola erenu. Pola erenu yang dimaksud sering disebu pola variasi kalender. Pola variasi kalender banyak erdapa pada daa yang dipengaruhi adanya hari libur yang erjadi pada bulan yang berbeda iap ahunnya(liu, ). Kalender Hijriyah, yang ermasuk kalender bulan berdasarkan bulan dalam ahun dengan aau hari, digunakan di cukup banyak negara Islam dan digunakan unuk menenukan hari besar Islam. Indonesia sebagai negara yang mayorias penduduknya beragama Islam, juga menggunakan kalender Hijriyah unuk menenukan hari besar Islam, misalnya hari besar Idul Firi. Variasi kalender muncul dengan adanya hari besar Islam ini. Efek-efek variasi kalender dapa dikeahui dari banyaknya perdagangan sekiar hari besar Idul Firi, anara lain sebelum, selama, dan/aau sesudah Idul Firi. Sebagai conoh, dalam makalah ini penjualan baju muslim pria di sebuah koa di Indonesia. Analisis dere waku unuk daa yang memiliki pola variasi kalender memerlukan penanganan khusus. Liu () mempelajari efek variasi hari libur dengan idenifikasi dan esimasi model ARIMA dan menyarankan suau modifikasi model ARIMA dengan menyerakan informasi hari libur sebagai variabel inpu deerminisik. Analisis dere waku umum, seperi meode dekomposisi dan model ARIMA dapa memberikan hasil yang idak benar, eruama mengenai pola musiman dan munculnya pencilan. Beberapa peneliian enang analysis dere waku unuk daa yang mengandung pola variasi kalender elah dilakukan. Liu () melakukan idenifikasi model dere waku unuk daa yang memiliki pola variasi kalender. Dalam peneliiannya, Liu menggunakan model ARIMAdan ambahan variabel efek variasi kalender. Holden, Thompson, dan Ruangri () melakukan peneliian enang variasi kalender pada harga saham harian di Thai Sock Marke. Holden dkk. menggunakan beberapa model, anara lain regresi linier, General Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy (GARCH), dan Threshold Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy (TARCH). Keiga model ini dibandingkan dengan keiga model yang sama, namun diberi ambahan variabel efek variasi kalender. Holden dkk. menunjukkan bahwa model-model dengan ambahan variabel efek variasi kalender memberikan hasil yang lebih baik daripada model-model anpa ambahan variabel. Dalam makalah ini, dikemukakan suau prosedur unuk membenuk model khusus unuk daa yang mengandung pola variasi kalender. Model yang dikembangkan adalah model regresi dere waku, anara lain model regresi dummy dan regresi rigonomeri.. Landasan Teori

3 Pada bagian ini dijelaskan beberapa eori yang dierapkan, eruama meodemeode yang digunakan dalam analisis. Meode-meode yang dimaksud adalah meode dekomposisi, model ARIMA musiman, dan model regresi dere waku unuk daa yang mengandung variasi kalender... Dekomposisi Pada bagian ini dijelaskan meode dekomposisi adiif. Dasar meode dekomposisi adalah memisahkan komponen musiman dari komponen lainnya dari suau dere daa. Model dekomposisi adiif diulis sebagai beriku (liha Bowerman dan O Connel, ). dengan y = pengamaan ke- T = komponen rend ke- S = komponen musiman ke- C = komponen siklik ke- I = komponen irregular ke- y T S C I ().. Model ARIMA Musiman Model ARIMA musiman merupakan model dere waku linier yang cukup fleksibel dan dapa digunakan dalam pemodelan beragam ipe musiman sebaik model dere waku non-musiman. Model ARIMA musiman dapa diulis secara maemais dengan (liha Wei, ; Box, Jenkins, dan Reisel, ; Cryer dan Chan, ): dengan (B) S d S D S p B ) P( B )( B) ( B ) y q( B) Q( B ) (, () p p = S S B B P q q (B) = B B qb ( S S S ) B B Q ( S ) P B = B B pb QS Q B = B, dan S adalah periode musiman, B adalah operaor backshif, dan adalah dere noise dengan mean nol dan varians yang konsan. Box dan Jenkins () mengenalkan suau prosedur pembenukan model ARIMA musiman yang efekif berdasarkan srukur auokorelasi suau dere waku... Regresi Dere Waku unuk Variasi Kalender Model regresi dalam analisis dere waku memiliki benuk yang sama dengan model regresi linier. Dengan mengasumsikan bahwa variabel respon, y, unuk,,..., n dipengaruhi oleh variabel independen yang mungkin, dengan B PS

4 nilainya adalah pasi dan dikeahui, hubungan ini dapa diunjukkan sebagai model regresi linier (Shumway dan Soffer, ). Bila daa y memiliki pola ren, ren () digunakan sebagai predikor, dan dapa diulis sebagai beriku: y w () dengan w adalah residual, yang harus berupa dere noise dan memenuhi asumsi IIDN(, w ). Daa dengan pola musiman S,, S,,..., Ss,, dapa diulis secara maemais sebagai beriku: y S, S,... sss, w () dengan S,, S,,..., Ss, adalah variabel dummy yang mewakili pola musiman. Sebagai conoh, bila daa berbenuk daa bulanan, ada variabel dummy musiman, dummy mewakili bulan. Bila daa berbenuk kuaralan, ada variabel dummy, dummy mewakili kuaral. Selain dengan variabel dummy, model lain unuk daa yang memiliki pola musiman adalah regresi rigonomeri. Regresi rigonomeri unuk daa musiman yaiu y sin cos w s s () dengan S adalah periode musiman. Dengan cara yang sama, daa dengan variasi kalender dapa dimodelkan. Model regresi linier unuk daa yang mengandung variasi kalender adalah y V, V,... pvp, w () dengan V p, adalah variabel dummy unuk efek variasi kalender ke-p. Banyaknya efek variasi kalender dapa diidenifikasi berdasarkan plo dere waku. Residual w, diharapkan sebagai dere whie noise. Unuk menguji whie noise dapa digunakan saisik uji Ljung-Box. Jika w idak whie noise, lag dari y digunakan sebagai predikor ambahan. Penenuan lag yang sesuai yang dimasukkan sebagai predikor dilakukan berdasarkan plo ACF dan PACF residual ( w ). Dalam makalah ini, dikembangkan prosedur baru unuk membenuk suau model yang khusus digunakan bila daa memiliki pola variasi kalender, dengan asumsi daa memiliki pola rend an musiman. Prosedur yang dimaksud adalah sebagai beriku.. Penenuan variabel dummy unuk periode variasi kalender. Sebagai conoh:v adalah efek pada saa kejadian, V - adalah efek sebelum kejadian, V + adalah efek seelah kejadian, dan seerusnya. Penenuan ini dilakukan berdasarkan plo dere waku daa.. Penenuan ren deerminisik dan musiman.

5 Z Tren : Musiman : - dengan regresi dummy, - dengan regresi rigonomeri, S S... psp sin cos p p. Esiimasi model variasi kalender dan pola lainnya secara simulan. y V V V S S... p S p N. Uji apakah N sudah whie noise aau belum. Jika belum, diambahkan lag daa respon yang signifikan (orde auoregresif) berdasarkan plo ACF dan PACF.. Esimasi ulang parameer efek variasi kalender, pola lainnya (rend an musiman), dan lag yang sesuai secara simulan. y V V V S S... dengan y y... k y harus berupa dere noise. k. Meodologi Peneliian Peneliian ini menggunakan daa bulanan penjualan baju muslim pria dari perusahaan garmen di Indonesia. Daa yang diambil adalah daa pada uari hingga Desember. Daa delapan ahun perama digunakan sebagai daa in-sample dan daa sisanya sebagai daa ou-sample. Analisis diawali dengan mengaplikasikan prosedur baru pada daa kasus. Model yang diperoleh dengan prosedur baru dibandingkan dengan model dere waku umum, yaiu meode dekomposisi dan model ARIMA musiman, berdasarkan RMSE daa ou-sample.. Hasil Analisis Empiris Daa penjualan bulanan baju muslim pria diunjukkan dengan Gambar. Plo dere waku pada Gambar menunjukkan bahwa erdapa pola variasi kalender pada daa. Variasi kalender ini merupakan efek perayaan Idul Firi iap p S p Time Series Plo of Boy MoslemCloh Sales Monh Year

6 Gambar. Plo dere waku daa bulanan penjualan baju muslim pria ahun. Oleh karena iu, ambahan erenu diperlukan dalam model umum, misalnya model regresi dere waku. Dalam bagian ini, hasil pemodelan dengan model regresi dere waku akan diunjukkan dan dibandingkan dengan model dere waku umum, yaiu meode dekomposisi adiif dan model ARIMA... Model Regresi Dere Waku unuk Daa Variasi Kalender Prosedur baru dengan model regresi dere waku diawali dengan penenuan variabel dummy yang mewakili efek variasi kalender. Penenuan ini dilakukan berdasarkan plo dere waku. Dalam kasus ini, variabel dummy yang mewakili efek variasi kalender adalah variabel bulan sebelum Idul Firi, bulan sebelum Idul Firi, dan pada bulan erdapa Idul Firi. Parameer model regresi linier diesimasi dengan meode Ordinary Leas Square (OLS) dan model yang diperoleh adalah y V V V w, () dengan V adalah variabel dummy unuk daa pada bulan Idul Firi, V adalah variabel dummy unuk daa bulan sebelum bulan Idul Firi, dan V adalah variabel dummy unuk daa bulan sebelum Idul Firi. Semua parameer model pada persamaan () signifikan namun residualnya idak whie noise. Hal ini disebabkan adanya pola ren dan musiman pada daa. Oleh karena iu, model diperbarui dengan menambahkan variabel dummy yang mewakili ren dan musiman. Penambahan variabel dummy ini mengubah model pada persamaan () menjadi seperi pada persamaan (). yˆ V V V. M M M M M M M M M M M M () dengan adalah ren, M adalah variabel dummy unuk bulan uari, M adalah variabel dummy unuk bulan Februari, dan seerusnya. Residual model belum whie noise, diunjukkan dengan plo ACF dan PACF pada Gambar. Gambar menunjukkan bahwa ACF dan PACF cus off seelah lag. Oleh karena iu, y, diambahkan ke dalam model sebagai predikor. Sehingga model menjadi: yˆ V V V. M M M M M M M M M M M M. y () Residual model sudah memenuhi asumsi whie noise dan RMSE in-sample model persamaan () sebesar,.

7 Auocorrelaion Parial Auocorrelaion Auocorrelaion Funcion for Model Residual I (wih % significance limis for he auocorrelaions) Parial Auocorrelaion Funcion for Model Residual I (wih % significance limis for he parial auocorrelaions) Lag Lag Gambar. Plo ACF and PACF residual model I Pendekaan lain unuk menunjukkan pola musiman dalam model adalah dengan regresi rigonomeri. Model regresi rigonomeri unuk kasus ini adalah: ˆ y V V V. sin cos. () Residual model ini idak memenuhi asumsi whie noise, sehingga diambahkan lag yang signifikan, yaiu y. Model regresi rigonomeri akhir adalah ˆ y V V V. sin cos. y () Residual model ini memenuhi asumsi whie noise dan RMSE daa in-sample sebesar.... Perbandingan Meode Dekomposisi, Model ARIMA Musiman, dan Model yang Dikembangkan Meode dere waku umum, anara lain meode dekomposisi dan ARIMA musiman juga diaplikasikan pada daa penjualan baju muslim pria. Model-model ini dbandingkan dengan model yang dikembangkan dengan prosedur baru. Perbandingan ini diringkas berdasarkan RMSE dan diunjukkan pada Tabel. Tabel menunjukkan bahwa model yang dikembangkan menghasilkan ramalan yang lebih akura daripada meode dekomposisi dan model ARIMA musiman. Hal ini dapa diliha dari nilai RMSE keiga model. Berdasarkan RMSE in-sample, model regresi dere waku yang dikembangkan, yaiu model regresi dummy menghasilkan prediksi yang lebih akura daripada model lainnya. Berdasarkan RMSE ou-sample, model regresi rigonomeri yang dikembangkan menghasilkan ramalan yang lebih akura daripada model-model lainnya. Secara visual, penilaian kebaikan model dapa diliha dari kedekaan nilai ramalan dan nilai akualnya. Plo dere waku pada Gambar (a-c) menunjukkan akurasi ramalan iap model. Terliha pada Gambar (a-c) bahwa model umum menghasilkan nilai ramalan yang lebih jauh dari nilai akualnya daripada nilai ramalan yang dihasilkan model yang dikembangkan dengan prosedur baru.

8 Selain dengan gambar perbandingan akual dan prediksi, akurasi ramalan secara visual juga diunjukkan dengan plo residual (liha Gambar (a-c)). Dari plo residual ini dapa dimengeri bahwa keburukan meode dekomposisi dan model ARIMA musiman, khusus unuk daa dengan variasi kalender, erjadi karena efek variasi kalender idak diikuserakan di dalam model. Tabel. Perbandingan Akurasi Ramalan anar model Model In-sample RMSE Ou-sample Dekomposisi Dekomposisi Adiif Dekomposisi Muliplikaif.... ARIMA Musiman ARIMA([],,)(,,) ARIMA(,,[])(,,) ARIMA(,,[])(,,) ARIMA([],,)(,,) Regresi Dere Waku Regresi Dummy Regresi Trigonomeri..... Kesimpulan Secara umum, daa yang dipengaruhi oleh kalender bulan memerlukan perlakuan khusus. Penggunaan meode dekomposisi dan model ARIMA musiman akan menghasilkan hasil yang idak benar. Model yang dikembangkan, yaiu model regresi dere waku, baik model regresi dummy maupun regresi rigonomeri, menghasilkan ramalan yang lebih akura daripada hasil meode dekomposisi dan model ARIMA musiman. Pada kasus daa bulanan penjualan baju muslim pria ini model erbaik adalah model regresi rigonomeri yang dikembangkan dengan prosedur baru khusus unuk daa yang mengandung variasi

9 Daa Residual Daa Residual Daa Residual kalender. Model regresi rigonomeri ini menghasilkan nilai RMSE ou-sample sebesar,. a Time Series Plo of Acual, Add. Decomposiion Variable Acual Add. Decomposiion Time Series Plo of Residual of Add. Decomposiion a - - Monh Year - Monh Year b Time Series Plo of Acual, ARIMA Variable Acual ARIMA Time Series Plo of Residual of ARIMA b - - Monh Year - Monh Year c Time Series Plo of Acual, Trig. Regression Variable Acual Trig. Regression Time Series Plo of Residual of Trig. Regression c - - Monh Year - Monh Year Gambar. Plo dere waku (a)dekomposisi adiif, (b) ARIMA musiman, dan(c) Regresi dere waku (gambar kiri) dan residualnya (gambar kanan) DAFTAR PUSTAKA Bowerman, B.L., and O Connel, D.. Forecasing and Time Series: An Applied Approach, rd Ediion. California: Duxbury Press. Box, G.E.P., and Jenkins, G.M.. Time Series Analysis: Forecasing and Conrol. San Fransisco: Holden-Day, Revised edn. Box, G.E.P., Jenkins, G.M., and Reinsel, G.C.. Time Series Analysis, Forecasing and Conrol, rd Ediion. Prenice Hall, Englewood Cliffs.

10 Cryer, J.D., and Chan, K.S.. Time Series Analysis. Wih Applicaion in R, nd Ediion. Springer. Hanke, J.E., and Wichern, D.W.. Business Forecasing. NJ: Prenice Hall, Englewood Cliffs. Holden, K., Thompson, J., and Ruangri, Y.. The Asian crisis and calendar effecs on sock reurns in Thailand. European Journal of Operaional Research,,. Liu, L.M.. Analysis of Time Series wih Calendar Effecs. Managemen Science,, -. Liu, L.M.. Idenificaion of Time Series Models in he Presence of Calendar Variaion. Inernaional Journal of Forecasing,, -. Shumway, R.H., and Soffer, D.S.. Time Series Analysis and Is Applicaions wih R Examples, nd Ediion. Springer Wei, W.W.S.. Time Series Analysis: Univariae and Mulivariae Mehods. Addison-Wesley Publishing Co., USA.