KARAKTERISTIK UMUR PRODUK PADA MODEL WEIBULL. Sudarno Staf Pengajar Program Studi Statistika FMIPA UNDIP

Transkripsi

1 Karakerisik Umur Produk (Sudarno) KARAKTERISTIK UMUR PRODUK PADA MODEL WEIBULL Sudarno Saf Pengajar Program Sudi Saisika FMIPA UNDIP Absrac Long life of produc can reflec is qualiy. Generally, good producs have long life. There are funcions ha relaionship wih life as reliabiliy funcion, hazard rae funcion, mean ime o failure, and mean residual life. In his wriing hose funcions be used o produc which has he failure ime of a componen is disribued Weibull. The reliabiliy funcion is exponenial funcion. For value θ is consan, he reliabiliy value is decrease funcion, if γ is greaher wih respec o ime. Meanwhile hazard rae funcion could be monoone increase funcion, consan funcion, monoone decrease funcion, if doing by simulaion wih shape parameer by one. Really, he mean ime o failure produc hang on Weibull disribuion parameers. Bu he mean residual life is reciprocal wih respec o is reliabiliy. Keywords: Weibull Model, Reliabiliy and Hazard Rae Funcions, Mean Time o Failure, Mean Residual Life.. Pendahuluan Suau produk yang baik enunya harus memperhaikan kharakerisik muunya. Hal-hal yang berhubungan dengan muu dapa berupa umur aau reliabilias. Makin lama kemampuan hidup dari produk, dapa dikaakan bahwa muunya semakin bagus. Peluang suau produk unuk dapa hidup lebih dari waku yang elah dienukan disebu reliabilias [,3]. Seiap produk diharapkan mempunyai reliabilias yang inggi, agar produk ersebu disukai oleh konsumen. Reliabilias berguna pula unuk menenukan waku garansi. Dengan adanya waku garansi baik produsen maupun konsumen sama-sama unung. Unuk menggambarkan inensias peluang bahwa umur produk akan gagal pada waku erenu, merupakan ingka risiko pada waku ersebu. Nilai ini merupakan ramburambu unuk mengeahui ingka bahaya aau kerugian yang mungkin muncul [6]. Umur produk merupakan lamanya produk ersebu mampu berfungsi sampai iba waku kegagalannya. Sedangkan sisa umur produk merupakan lamanya produk masih berfungsi seelah waku erenu. Reliabilias, umur dan sisa umur produk adalah saling berhubungan. Sehingga dapa dikaakan bahwa mereka merupakan ukuran reliabilias produk []. Ukuran-ukuran ini menyaakan kemampuan berfungsinya produk dari awal hingga muncul kegagalannya. Tujuan dari pembahasan ini adalah ingin mengeahui fungsi reliabilias dan ingka risiko suau produk. Selain iu, akan menaksir umur dan sisa umur produk, jika jumlah kegagalannya diasumsikan berdisribusi Weibull.. Model Disribusi Weibull Model ini banyak dipergunakan unuk sebaran fungsinya berupa fungsi idak linier erhadap waku. Fungsi pada peluang dari model disribusi Weibull adalah f ( e, () dengan parameer θ dan γ adalah bernilai posiif. Parameer θ merupakan parameer skala merupakan karakerisik umur, yang menggambarkan sifa umur produk. Sedangkan parameer γ merupakan parameer benuk, yang menggambarkan macam-macam benuk disribusinya, jika nilainya bervariabel.

2 Media Saisika, Vol., No., Desember 9: - Jika nilai γ dilakukan simulasi pada fungsi pada peluang Weibull, maka akan didapa disribusi seperi pada Tabel beriku. Tabel. Hasil Simulasi Nilai erhadap Disribusi γ f ( Disribusi e e 3,4397,4397 3,4397 e 3,4397 Selanjunya, fungsi disribusi kumulaif Weibull diberikan dengan: e d e Fungsi reliabilias Weibull adalah, Eksponensial Rayleigh Normal [] R( e, (3) Beriku ini disajikan plo dari fungsi reliabilias Weibull unuk bermacam-macam nilai γ (aau g), unuk suau θ diambil konsan. () Gambar. Plo Fungsi Reliabilias Weibull erhadap Waku Berdasarkan Gambar, diperoleh kesimpulan bahwa unuk nilai θ konsan, fungsi reliabiliasnya adalah makin kecil, jika nilai γ makin besar erhadap waku. Dapa pula dikaakan bahwa fungsi reliabilias Weibull kurang sensiive unuk nilai γ yang besar, dimana nilai θ dianggap konsan. Juga, fungsi ingka risiko Weibull diberikan dengan 6

3 Karakerisik Umur Produk (Sudarno) f ( Jika dilakukan simulasi secara umum erhadap nilai γ dengan θ dianggap konsan pada fungsi ingka risiko Weibull didapa kepuusan fungsi seperi pada Tabel beriku ini. h ( (4) Tabel. Hubungan anara dengan Fungsi γ Fungsi Lebih dari Monoon naik Sama dengan Konsan Kurang dari Monoon urun Di bawah ini diampilkan plo dari fungsi ingka risiko Weibull unuk suau θ konsan dengan bermacam-macam nilai γ (aau g). Gambar. Plo Fungsi Tingka Risiko Weibull erhadap Waku Menuru Gambar, unuk nilai θ konsan dapa dikaakan bahwa pada γ =, maka h() merupakan fungsi konsan. Sedangkan pada γ lebih dari, nilai awal h(γ) lebih kecil dari h() eapi akhirnya lebih besar darinya, yang mana makin besar nilai γ nilai fungsi h(γ) akan cepa besar. Sebaliknya, pada γ kurang dari, nilai awal h(γ) lebih besar dari h() eapi akhirnya lebih kecil darinya, yang mana makin kecil nilai γ nilai fungsi h(γ) akan cepa mengecil. Misalkan suau produk diasumsikan bahwa waku kegagalannya adalah berdisribusi Weibull dengan parameer θ = dan γ =. Maka reliabilias unuk waku, sesudah adalah ( ) R e,. Sehingga unuk =, ahun didapa R(,) =,969. Sedangkan ingka risiko pada waku adalah ahun ingka risikonya adalah,3 kegagalan per ahun. 4 h(,, pada =, 7

4 Media Saisika, Vol., No., Desember 9: - 3. Raaan Waku Gagal dan Raaan Sisa Umur 3.. Raaan Waku Gagal Salah sau ukuran reliabilias produk adalah mengeahui raaan waku gagal. Raaan waku gagal merupakan aksiran waku anar dua kegagalan yang beruruan pada produk yang sekali pakai. Misal erdapa n produk yang sekali pakai dan diamai kapan waku kegagalannya. Andaikan waku kegagalannya masing-masing dinyaakan dengan,,, n. Taksiran raaan waku gagal adalah n i n i. Karena i merupakan variabel acak, maka secara umum variabel acak ini dapa digani dengan variabel acak T, yang menyaakan waku kegagalan. Sehingga aksiran nilainya dapa dinyaakan dengan E[T] f ( d. () Telah dikeahui bahwa R( dan () menjadi E[T] d dr( f (. Sehingga Persamaan d d dr( R( d, (6) karena R( ) = dan R() =. Selanjunya menenukan raaan waku gagal unuk disribusi Weibull. Berdasarkan Persamaan (3) dan (6), maka E[T] e Dengan mensubsiusi d. (7) x, maka Persamaan (7) menjadi x x E[T] e x dx e x dx. (8) yang dapa dipergunakan unuk meneukan umur produk. Sedangkan ragam waku gagal dari disribusi Weibull yaiu Var[T] (9) dengan (n) merupakan fungsi gamma, yaiu n x ( n) x e dx dan x n e x / n dx ( n). Misal suau produk diasumsikan bahwa waku kegagalannya adalah berdisribusi Weibull dengan parameer θ = dan γ =. Maka aksiran umur produk dapa dicari menggunakan raaan waku gagal, yaiu, (,) =,6 ahun. Ragamnya adalah,4 (,4) (, ) =,79. Oleh karena iu simpangan bakunya adalah,83 ahun. 3.. Raaan Sisa Umur Ukuran karakerisik reliabilias dari produk yang lain adalah fungsi raaan sisa umur L(. Fungsi ini didefinisikan sebagai beriku: L ( E[ T T ],. () 8

5 Karakerisik Umur Produk (Sudarno) Maka fungsi raaan sisa umur adalah aksiran sisa umur, T, yang diberikan produk yang elah hidup sampai waku. Jika fungsi densias peluang bersyara unuk sembarang waku adalah f ( ) ft T ( ),. () R( Maka ekspekasi bersyara dari fungsi yang diberikan dalam Persamaan () adalah f ( ) E[ T T ] ft T ( ) d d. () R( Berdasarkan Persamaan (), (), dan (), diperoleh raaan sisa umur beriku ini f ( ) L( ( d f d R R ( ), (3) ( ) ( ) karena R( f ( ) d. Andaikan suau produk dianggap bahwa waku kegagalannya adalah berdisribusi Weibull dengan parameer θ = dan γ =. Maka akan mempunyai fungsi densias 4, peluang f (, e,. Sehingga didapa fungsi disribusi kumulaifnya, e. Karena R(, maka reliabilias unuk waku sesudah adalah, 4 R( e. Sedangkan ingka risiko pada waku adalah h(,. Jika produk elah hidup selama, ahun aau 8 bulan, maka diperoleh R(,) =,969. Sehingga raaan sisa umur produk ersebu adalah,, L(,) e d,,897 ahun. (4),969, Jadi aksiran sisa umur produk ersebu adalah kira-kira,7 bulan lagi baru mai. Gambar unuk sebaran fungsi dari karakerisik produk pembahasan di aas, diberikan di bawah ini. Gambar 3. Plo Fungsi Reliabilias, Disribusi dan Tingka Risiko Weibull erhadap Waku Menuru Gambar 3, unuk parameer θ dan γ konsan dapa disimpulkan bahwa unuk perubahan waku yang semakin besar, fungsi reliabiliasnya nilainya akan semakin 9

6 Media Saisika, Vol., No., Desember 9: - kecil, pada kira-kira 3, ahun reliabiliasnya sudah bernilai nol. Sedangkan pada fungsi disribusi dan ingka risiko dengan berambahnya waku, nilainya akan semakin berambah besar. Seelah lebih dari seengah ahun baru muncul resiko kegagalan. 4. Kesimpulan Model Weibull dapa dipergunakan unuk memprediksi waku kegagalan yang sebarannya bercorak idak linier. Dengan melakukan simulasi unuk nilai parameer benuk erenu, dapa dihasilkan disribusi eksponensial, Rayleigh, aau bahkan normal. Unuk niliai θ konsan, fungsi reliabiliasnya adalah makin kecil, jika nilai γ makin besar erhadap waku. Teapi, pada γ =, maka fungsi ingka risikonya merupakan fungsi konsan. Sedangkan pada γ lebih dari, fungsi ingka risikonya merupakan fungsi monoon naik dan pada γ kurang dari, fungsi ingka risikonya merupakan fungsi monoon urun. Raaan waku gagal adalah berganung pada parameernya. Sedangkan raaan sisa umur berbanding erbalik erhadap reliabiliasnya. DAFTAR PUSTAKA. Elsayed, E.A., Reliabiliy Engineering, Addison Wesley Longman, Inc., Massachuses, Makino, T., Mean Hazard Rae and Is Applicaion o he Normal Approximaion of he Weibull Disribuion, Naval Research Logisics Quarerly, Mira, A., Fundamenals of Qualiy Conrol and Improvemen, Macmillan Publishing Company, Moore, H., MATLAB for Engineers, Pearson Prenice Hall, Inc., New Jersey, 7.. Ross, S.M., Inroducion o Probabiliy Models, Sixh Ediion, Academic Press, New York, Ross, S.M., Sochasic Processes, Second Ediion, John Wiley & Sons, Inc., New York, 996.