Pemodelan Data Runtun Waktu : Kasus Data Tingkat Pengangguran di Amerika Serikat pada Tahun

Transkripsi

1 Pemodelan Daa Runun Waku : Kasus Daa Tingka Pengangguran di Amerika Serika pada Tahun Adi Seiawan Program Sudi Maemaika, Fakulas Sains dan Maemaika Universias Krisen Saya Wacana, Jl. Diponegoro 5-60 Salaiga 507 Absrak Daa yang diperoleh dari pengamaan aas suau fenomena selama waku erenu merupakan daa yang banyak dijumpai. Dalam makalah ini, dijelaskan enang bagaimana memodelkan daa runun waku, melakukan diagnosi dan pemilihan ulang model sampai diperoleh model sesuai yang diharapkan sera menggunakan model ersebu unuk memprediksi daa pada waku yang akan daang. Pemodelan yang digambarkan masih erbaas pada daa yang dapa dimodelkan dengan menggunakan model ARIMA. Unuk peneliian selanjunya dapa digunakan daa yang lain aau daa yang idak bisa digunakan model ARIMA. Kaa kunci : daa runun waku, pemodelan, diagnosis, prediksi. Pendahuluan Daa yang diperoleh dari pengamaan aas suau fenomena selama waku erenu merupakan daa yang banyak dijumpai. Dalam bisnis dan ekonomi, kia mengamai laju ingka suku bunga mingguan, harga saham pada penuupan hari, indeks harga bulanan, penjualan ahunan dan sebagainya. Dalam bidang meeorologi, kia mengamai inggi rendah emperaur, indeks kekeringan dan kecepaan angin iap jam. Tujuan dari analisis runun waku secara umum adalah unuk mengeri aau memodelkan mekanisme sokasik yang muncul pada derean aau runun pengamaan dan unuk memprediksi aau meramalkan nilai yang akan daang dari runun waku berdasarkan pada sejarah dari runun waku ersebu. Dalam makalah ini, dijelaskan enang bagaimana memodelkan daa runun waku, melakukan diagnosi dan pemilihan ulang model sampai diperoleh model sesuai yang diharapkan sera menggunakan model ersebu unuk memprediksi daa pada waku yang akan daang. Kasus digunakan unuk menggambarkan bagaimana daa digunakan dalam menjelaskan langkahlangkah pemodelan daa runun waku.. Dasar Teori Dasar eori yang digunakan dalam makalah ini sebagian besar diambil dari pusaka Cryer (986) sedangkan pusaka Cryer dan Chan (008) digunakan unuk memperkaya bahan acuan.

2 Penemuan model yang sesuai unuk runun waku merupakan ugas yang idak ringan. Kia akan mengembangkan suau sraegi pembangunan model seperi yang disarankan oleh Box dan Jenkins (976). Terdapa iga langkah uama dalam prosedur ini, masing-masing dapa digunakan beberapa kali :. Idenifikasi aau spesifikasi model. Model fiing 3. Model diagnosis Dalam idenifikasi model, kelas dari model runun waku dipilih yang mungkin sesuai unuk daa runun waku yang diberikan. Dalam langkah ini kia meliha pada diagram dari runun waku dan menghiung banyak saisik berdasarkan daa dan juga menggunakan daerah subyek dari mana daa muncul, seperi ekonomi, fisika, kimia aau biologi. Seharusnya diekankan bahwa model yang dipilih pada hal ini adalah enaif dan harus diubah dalam analisis kemudian. Dalam pemilihan model, kia akan berusaha unuk eap menggunakan prinsip parsimoni yaiu bahwa model seharusnya menggunakan banyak parameer sekecil mungkin yang sesuai unuk model. Alber Einsein seperi yang dikuip oleh Parzen (98) menyaakan bahwa segala sesuau seharusnya dibua sesederhana mungkin eapi idak sepele. Model akan menggunakan sau aau lebih parameer yang nilainya harus diesimasi dari dere pengamaan. Model fiing erdiri dari penenuan esimasi yang mungkin dan erbaik dari parameer yang idak dikeahui dalam model yang diberikan. Kia akan memperhaikan krieria seperi jumlah kuadra erkecil dan MLE unuk esimasi. Model diagnosis melakukan analisis kualias model yang elah diidenifikasi dan diesimasi. Seberapa baik model sesuai dengan daa? Apakah anggapan dari model dipenuhi secara beralasan? Jika idak ada kesesuaian model diemukan, model dapa dianggap lengkap dan model dapa digunakan unuk meramal nilai dere yang akan daang. Sebaliknya kia dapa memilih model lain sehingga sesuai dengan daa dan kia kembali mengidenifikasi. Dalam cara ini kia mengulangi langkah sampai model yang dapa dierima diperoleh.

3 Karena perhiungan yang harus dilakukan unuk seiap langkah dalam pembangunan model cukup bera maka dipercayakan pada pake program yang dapa digunakan. Dalam hal ini digunakan pake program R yang dapa digunakan unuk mengolah daa runun waku. Model ARMA Model ARMA (auoregressive moving average) dengan orde p dan q dan disingka dengan ARMA(p,q) mempunyai benuk umum : Z = φ Z + φ Z φ Z + a θ a θ a... θ a p p q q. Misalkan diinginkan unuk mendiskusikannya sebagai kasus khusus yang perama yaiu ARMA(,). Model ARMA(,) Persamaan yang dimaksud dapa diuliskan sebagai Z = φ Z + a θ a () Unuk menurunkan ipe persamaan Yule-Walker, kia mencaa bahwa E [ a Z ] φ = σ = E[ a ( Z + a θ a )] dan E[ a σ. Z ] = E[ a ( φ Z + a θ a )] = φσ θ σ = ( φ θ ) Jika kia mengalikan persamaan () dengan Z -k dan mengambil nilai harapannya, kia akan mempunyai kovariansi pada lag 0 aau variansi dari Z yaiu γ 0 = φ γ + [ θ ( φ θ )] σ, k = 0 Selanjunya kovariansi pada lag dan kovariansi pada lag k dengan k beruru-uru adalah γ = φ γ θ σ, k 0 = 3

4 γ = φ, k. k γ k Dengan menyelesaikan dua persamaan perama maka akan diperoleh γ 0 ( θ φ + θ ) = φ σ dan kemudian menyelesaikan rekursi sederhana akan memberikan γ k ( θ φ ) ( φ θ ) k = φ σ, k θ φ + θ aau ρ k ( θ φ )( φ θ ) k = φ, k θ φ + θ. Perlu dicaa bahwa fungsi auokorelasi meluruh secara eksponensial sebagaimana lag k naik. Fakor penurunan adalah eapi peluruhan mulai dari nilai awal yang juga erganung pada θ. Hal ini berenangan dengan auokorelasi AR() yang juga meluruh dengan fakor peluruhan sebesar φ eapi selalu dari nilai awal ρ 0 =. Sebagai conoh, jika φ = 0.8 dan θ = 0.4 maka ρ = 0,53, ρ = 0,48, ρ 3 = dan seerusnya. Beberapa ukuran unuk ρ k adalah mungkin erganung pada anda ρ dan anda dari φ. Benuk linear umum dari model dapa diperoleh. Kia menemukan yaiu Z = a + ( φ θ ) j = φ j a j j ψ = ( φ θ ) φ j, j Kia seharusnya menyebukan syara sasioner yaiu φ < aau ekuivalen dengan akar dari persamaan karakerisik AR φ x = 0 harus melampaui sauan dalam nilai mulaknya. 4

5 Unuk model ARMA(p,q), kia menyaakan kenyaaan beriku anpa buki : dengan syara a idak erganung pada Z -, Z -,... penyelesaian sasioner {Z } memenuhi persamaan 4.35 ada jika dan hanya jika akar dari persamaan karakerisik AR φ(x) = 0 semua melampaui sauan dalam modulus. Secara deail unuk pemilihan model, esimasi parameer, diagnosis dan prediksi daa unuk waku mendaang dapa digunakan pusaka Cryer (986) dan pusaka Cryer dan Chan (008). 3. Meode Peneliian Dalam makalah ini, digunakan daa ingka pengangguran kuaralan dari ahun 948 kuaral I sampai dengan ahun 978 kuaral I di Amerika Serika seperi yang ada pada Cryer (986). Spesifikasi model dari daa ersebu dilakukan unuk memilih model yang erbaik. Selanjunya dilakukan diagnosis, dan apabila dalam diagnosis ernyaa model yang erpilih belum sesuai dengan asumsi yang digunakan maka dilakukan spesifikasi model dan diagnosis model sampai diperoleh model yang memenuhi asumsi yang disyarakan. Akhirnya, dengan menggunakan model erpilih dapa dilakukan peramalan unuk waku yang akan daang. 4. Hasil dan Pembahasan Berdasarkan daa ingka pengangguran yang elah dijelaskan di aas maka diperoleh plo daa runun waku pada Gambar. Terliha bahwa idak erdapa rend naik dalam daa ersebu. Fungsi auokorelasi dan fungsi auokorelasi parsial digunakan dalam pemilihan model dan dinyaakan pada Gambar. Gambar bagian aas menyaakan fungsi auokorelasi sampai lag 0 sedangkan bagian bawah menyaakan fungsi auokorelasi parsial sampai lag 0. Terliha bahwa fungsi auokorelasi makin lama makin kecil sedangkan fungsi auokorelasi parsial yang bernilai di aas garis biru adalah lag dan lag. Dalam hal ini, karena daanya mempunyai panjang n = maka garis biru adalah garis dengan persamaan y = / = 0,8 dan y = - / = - 0,8. Hal iu berari kia memilih spesifikasi model AR() sebagai pilihan perama. 5

6 Tingka Pengangguran(dalamprosen) Tahun 948: - 978: Gambar. Tingka Pengangguran di Amerika Serika 948: 978: Fungsi auokorelasi sampai lag 0 ACF Lag Fungsi auokorelasi sampai lag 0 Parial ACF Lag Gambar. Grafik fungsi auokorelasi (aas) dan fungsi auokorlasi parsial (bawah) sampai lag ke 0 6

7 Dengan memilih model AR() unuk daa ersebu, selanjunya dilakukan esimasi parameer dari model AR() yaiu Z + = ϕ + φ Z + φ Z a dengan a saling bebas, mempunyai mean 0 dan variansi σ. Dengan menggunakan pake program R diperoleh esimasi dari parameer φ adalah,5456 dengan sandard error esimasi 0,0684 dan esimasi dari parameer φ adalah -0,6430 dengan sandard error esimasi 0,0689 sera esimasi inercepnya adalah 5,086 dengan sandard error esimasi 0,385. Terliha bahwa nilai mulak dari rasio anara esimasi dan sandard errornya beruru-uru adalah,5965, 9,334 dan 5,47. Hal iu berari bahwa koefisien dalam model AR() ersebu pening aau harus ada. Akibanya diperoleh model AR() sebagai beriku : Z = 5,086 +,5456 Z 0, 643 Z + a. Berdasarkan oupu pake program R juga diperoleh esimasi yaiu 0,9 dan AIC (Aikike Informaion Crieria) bernilai 07,04. Dengan menggunakan model erpilih maka dilakukan diagnosis dari residunya. Gambar 3 memperlihakan hasil diagnosi dari residu. Terliha bahwa residu ersandard (sandardized residuals) nilainya berkisar anara -3 sampai 3 sehingga cukup realisis unuk menganggap bahwa residu ersandard berdisribusi normal. Apabila residu ersandard dilakukan uji Kolmogorov-Smirnov maka akan diperoleh nilai-p yaiu 0,0754 sehingga idak ada alasan unuk menolak normalias dari residu ersandard. Di samping iu auokorelasi dari residu sampai lag 0 mempunyai nilai dianara garis biru sehingga cukup beralasan bahwa residu memenuhi asumsi kesaling-bebasan. Hal iu juga didukung oleh nilai-p dari saisik Ljung-Box yang idak ada yang lebih kecil dari ingka signifikansi 5 %. 7

8 Sandardized Residuals Time ACF of Residuals ACF Lag p values for Ljung-Box saisic p value lag Gambar 3. Grafik hasil diagnosis residu Dengan menggunakan model erpilih AR() dengan inercep, selanjunya model digunakan unuk memprediksi ingka pengangguran 8 kuaral mendaang sehingga diperoleh prediksi besera nilai sandard error-nya yang dinyaakan dalam Tabel. Hasil prediksi ersebu juga dapa dinyaakan dalam plo besera dengan baas prediksinya dengan koefisien kepercayaan 95 % pada Gambar 4. Terliha bahwa makin jauh dari daa realnya makin lebar baas prediksinya. Tabel. Tabel hasil prediksi berdasarkan model AR() 978: 978:3 978:4 979: 979: 979:3 979:4 980: Prediksi 5,8 5,50 5,5 5,08 4,96 4,90 4,88 4,89 S.E. 0,36 0,66 0,9,0,3,30,35,37 8

9 Tingka Pengangguran (dalam prosen) & prediksinya Tahun 948: - 978: Gambar 3. Grafik ingka pengangguran di Amerika Serika pada ahun 948: sampai 978: dan prediksinya dari 978: sampai 980:. 5. Kesimpulan Dalam makalah di aas elah dijelaskan bagaimana memodelkan daa runun waku. Pemodelan yang digambarkan masih erbaas pada daa yang dapa dimodelkan dengan menggunakan model ARIMA. Unuk peneliian selanjunya dapa digunakan daa yang lain aau daa yang idak bisa digunakan model ARIMA. 9

10 6. Dafar Pusaka Cryer, J. D., 986, Time Series Analysis, PWS-Ken Publishing Company, Boson. Cryer, J. D. dan Kung-Sik Chan, 008, Time Series Analysis wih Applicaion in R, Springer, New York. 0