PENAKSIRAN PARAMETER MODEL VECTOR AUTOREGRESSIVE INTEGRATED (VARI) DENGAN METODE MLE DAN PENERAPANNYA PADA DATA INDEKS HARGA KONSUMEN

Transkripsi

1 IndoMS Journal on Saisics Vol., No. (04), Page 7-37 PENAKSIRAN PARAMETER MODEL VECTOR AUTOREGRESSIVE INTEGRATED (VARI) DENGAN METODE MLE DAN PENERAPANNYA PADA DATA INDEKS HARGA KONSUMEN Dinda Ariska Wulandari, Nurul Gusriani, Budi Nurani Ruchjana 3 Jurusan Maemaika FMIPA Universias Padjadjaran Jl. Raya Bandung Sumedang KM Jainangor Sumedang dinda.awe@gmail.com, gusriani99@gmail.com, budinr@unpad.ac.id Absrac Vecor Auoregressive Inegraed (VARI) models is ime series mulivariae models affeced by he variable iself and he oher variables in previous period wih daa no saionary. Sages in VARI models includes differencing, idenificaion, saionary, parameer esimaion, diagnosic esing, and forecasing. In his research, assuming normally disribued error, esimaion parameers VARI model can be done by he Maximum Likelihood Esimaion (MLE) mehod by maximizing ln likelihood funcion. The daa used are he Consumer Price Index (CPI) in Bandung, Bekasi, and Depok in period July June 03. From he resuls of analysis, he obained model is VARI(,), which means VAR model order one and experience firs difference. The applicaion of VARI(,) model wih MLE mehod on CPI Bandung, Bekasi, and Depok, shows ha each locaion is correlaed o each oher and produce a small enough value of MAPE. CPI forecasing resuls for Bandung, Bekasi, and Depok for he nex wo monhs has increased wih minimum error in CPI Bandung. Keywords : ime series, VARI, MLE, CPI, MAPE, forecasing. Absrak Model Vecor Auoregressive Inegraed (VARI) adalah model dere waku mulivaria yang dipengaruhi oleh variabel iu sendiri dan variabel lain pada periode sebelumnya dengan daa idak sasioner. Tahapan dalam model VARI melipui differencing, idenifikasi, sasionerias, esimasi parameer, uji diagnosik, dan peramalan. Pada peneliian ini, dengan asumsi gala berdisribusi normal, esimasi parameer model VARI dapa menggunakan meode Maximum Likelihood Esimaion (MLE) dengan memaksimumkan fungsi ln likelihood. Daa yang digunakan adalah Indeks Harga Konsumen (IHK) di Koa Bandung, Bekasi, dan Depok pada periode Juli 008 Juni 03. Dari hasil analisis daa diperoleh model VARI(,), arinya model VAR orde sau dan proses differencing perama. Penerapan model VARI(,) dengan meode MLE pada daa IHK Koa Bandung, Bekasi, dan Depok, menunjukkan seiap lokasi saling berkorelasi dan menghasilkan nilai MAPE yang cukup kecil. Hasil peramalan IHK 00 Mahemaics Subjec Classificaion: 6M0, 6P5. 7

2 8 Dinda Ariska Wulandari, Nurul Gusriani, Budi Nurani Ruchjana Koa Bandung, Bekasi, dan Depok unuk dua bulan mendaang mengalami peningkaan dengan gala minimum pada IHK Koa Bandung. Kaa kunci : dere waku, VARI, MLE, IHK, MAPE, peramalan.. Pendahuluan Salah sau sekor ekonomi yang dianggap pening unuk mewujudkan pembangunan dalam bidang ekonomi yang berujuan meningkakan pendapaan masyaraka adalah Indeks Harga Konsumen (IHK). IHK adalah angka indeks yang menggambarkan perubahan harga barang dan jasa yang dikonsumsi oleh masyaraka pada suau periode waku yang elah dieapkan [3]. Daa IHK bersifa flukuaif arinya daa mengandung rend sehingga membenuk model dere waku. Salah sau model yang digunakan dalam dere waku univaria yaiu model Auoregressive (AR). Model AR adalah suau model dere waku yang menggambarkan pengamaan suau variabel yang dipengaruhi variabel iu sendiri pada periode sebelumnya pada daa sasioner. Unuk daa yang idak sasioner aau mengikui pola rend dilakukan differencing, yaiu mengurangi nilai daa pada suau periode dengan nilai daa periode sebelumnya. Unuk memodelkan daa dere waku univaria berupa daa differencing digunakan model Auoregressive Inegraed (ARI). Unuk daa dere waku mulivaria digunakan model Vecor Auoregressive Inegraed (VARI). Model VARI merupakan suau sisem persamaan yang saling berhubungan dengan variabel-variabel sebelumnya unuk mengukur daa idak sasioner. Penaksiran parameer VARI yang sudah dilakukan adalah dengan meode Ordinary Leas Squares (OLS). Berdasarkan asumsi gala pada model VARI berdisribusi normal, esimasi parameer dapa dilakukan dengan meode Maximum Likelihood Esimaion (MLE). Yang menarik bagi penelii yaiu, bagaimana menaksir parameer VARI dengan meode MLE dan penerapannya pada daa IHK yang berpola rend ersebu. Pada peneliian ini dilakukan penaksiran esimasi model VARI dengan meode MLE, sera penerapannya dalam peramalan IHK di Koa Bandung, Bekasi, dan Depok. Keiga koa ersebu merupakan koa dengan populasi erbesar di Provinsi Jawa Bara.. Meode. Daa Dere Waku (Time Series) Daa dere waku merupakan proses sokasik yaiu rangkaian daa yang berupa nilai pengamaan selama kurun waku erenu. Proses sokasik adalah barisan variabel acak yang diberi uruan aau indeks Z 0,,, 3,, dengan Z adalah variabel acak unuk seiap waku dan merupakan ahun, bulan, minggu, hari, aau waku lainnya erganung siuasi []. Menuru Makridakis (99), langkah pening dalam memilih suau meode dere waku (ime series) yang epa adalah dengan memperimbangkan jenis pola daa sehingga meode

3 Penaksiran Parameer Model Vecor Auoregressive Inegraed (Vari)... 9 yang paling epa dengan pola daa ersebu dapa diuji. Pola daa dapa dibedakan menjadi empa, yaiu Pola Horisonal, Pola Musiman, Pola Siklis, dan Pola Trend [].. Differencing Salah sau cara unuk mensasionerkan daa adalah dengan differencing. Meode ini dilakukan dengan cara mengurangi nilai daa pada suau periode dengan nilai daa periode sebelumnya. Differencing perama (firs difference) dari suau daa dere waku Z dapa didefinisikan dengan persamaan beriku []: Z B Z Z Z ().3 Fungsi Auokovarian, Fungsi Auokorelasi (ACF), dan Fungsi Auokorelasi Parsial (PACF) Proses sasioner Z dengan EZ dan Var Z E Z konsan sera Cov Z, Z fungsi pada waku k, maka fungsi auokovarian Z dan Z adalah k k dan fungsi auokorelasi anara Z dan Jika Z parsial (PACF) anara Z dan E Z Z () k k k Z k, Z Z k Z Var Z Cov,. (3) k Var k adalah dere waku yang berdisribusi normal, maka fungsi auokorelasi Z kyaiu [4]: Z ˆ ˆ Z Z k Z k ˆ Var ˆ Cov ), ( P k Var Z Z Z k Z k. (4).4 Penaksiran Model Auoregressive (ARI) dengan Meode MLE Jika daa dere waku mengandung rend, maka salah sau cara mensasionerkannya adalah dengan differencing. Daa yang merupakan model AR orde dan mengalami proses differencing perama unuk menghasilkan daa yang sasioner, akan menjadi model ARI(,), yaiu: Y Y a (5) iid dengan, ~ 0, beriku: a N dan Y Z Z, sehingga persamaan (5) dapa diulis sebagai iid Z Z Z Z a, a ~ N 0,. Model dikaakan sasioner jika akar-akar polinom ( B) ( B) 0 erleak di luar lingkaran sauan aau dinyaakan dengan [4]. Dengan asumsi gala berdisribusi normal,

4 30 Dinda Ariska Wulandari, Nurul Gusriani, Budi Nurani Ruchjana maka parameer model ARI(,) dapa diesimasi dengan menggunakan meode MLE dengan cara memaksimukan fungsi ln likelihood, sehingga dihasilkan penaksiran meode MLE unuk model ARI(,), yaiu: ˆ T T YY Y. (6).5 Model Vecor Auoregressive Inegraed (VARI) Model Vecor Auoregressive Inegraed (VARI) merupakan pengembangan dari model Auoregressive Inegraed (ARI) yang dipengaruhi oleh variabel iu sendiri dan variabel lain pada periode sebelumnya dengan daa idak sasioner. Jika daa mengalami proses differencing perama unuk menghasilkan daa yang sasioner, maka benuk model VAR() menjadi model VARI(,) dengan persamaan sebagai beriku: aau, dengan, Y Z Z. iid Φ, ~ 0, (7) Y Y a a N Y Φ Y a NN N T N T N T.6 Mean Absolue Percenage Error (MAPE) Mean Absolue Percenage Error (MAPE) merupakan persenase dari raa-raa mulak gala pada iap periode dibagi dengan nilai akual pada periode ersebu. MAPE mengindikasi seberapa besar persenase gala unuk mengeahui keepaan dugaan model. MAPE dapa dihiung dengan rumus sebagai beriku []: n Z ˆ Z MAPE 00% (8) n Z dengan Z ˆ merupakan daa ramalan pada periode dan n periode waku..7 Tahapan Penaksiran Parameer Model VARI dengan Meode MLE Tahapan-ahapan dalam menaksir parameer VARI sebagai beriku:. Mengubah model VARI ke dalam benuk model linier.. Mencari fungsi likelihood model VARI dari fungsi kepadaan peluang gabungan gala. 3. Menransformasikan fungsi likelihood ke dalam fungsi ln likelihood. 4. Mencari urunan perama dari fungsi ln likelihood erhadap parameer. 5. Maksimumkan urunan fungsi ln likelihood unuk memperoleh nilai parameer ˆ.

5 Penaksiran Parameer Model Vecor Auoregressive Inegraed (Vari) Daa Peneliian Daa yang digunakan dalam peneliian ini adalah daa sekunder, yaiu daa Indeks Harga Konsumen (IHK) di Koa Bandung, Bekasi, dan Depok secara bulanan yang bersumber dari websie Badan Pusa Saisik. Unuk menenukan model, digunakan daa pada periode Juli 008 Juni 03, sedangkan unuk peramalan, digunakan daa periode Juli Agusus Variabel Peneliian Variabel-variabel yang digunakan dalam peneliian ini yaiu: Z = IHK Koa Bandung, Z, = IHK Koa Bekasi Z 3, = IHK Koa Depok Y, = Daa Differencing IHK Koa Bandung Y, = Daa Differencing IHK Koa Bekasi Y 3, = Daa Differencing IHK Koa Depok..0 Tahapan Analisis Daa. Daa Tiga Lokasi, daa yang digunakan adalah daa IHK di Koa Bandung, Bekasi, dan Depok periode Juli 008 Juni 03 yang sudah dipusakan, selanjunya, membua analisis saisik deskripif dan grafik unuk masing-masing daa yang elah dipusakan.. Kesasioneran Daa, daa dikaakan idak sasioner jika daa mengandung rend sera pada plo ACF dan PACF meluruh sanga perlahan. Jika daa idak sasioner perlu dilakukan proses differencing. 3. Idenifikasi Model ARI(,), dikaakan model ARI(,) jika pada plo ACF menurun secara eksponensial menuju nol dan plo PACF erpoong pada lag. 4. Kesasioneran Model ARI(,), model dikaakan sasioner apabila aau. 5. Esimasi Model VARI(,), jika unuk keiga lokasi diidenifikasi model AR(,) dan model ersebu sudah sasioner, maka dapa dibenuk model VARI(,). 6. Penaksiran Parameer Model VARI(,), dengan asumsi gala berdisribusi normal, aksiran parameer model VARI(,) diperoleh menggunakan meode MLE. 7. Perhiungan MAPE, unuk mengeahui apakah model VARI(,) dengan meode MLE sudah baik dan cocok unuk digunakan pada daa IHK Koa Bandung, Bekasi, dan Depok, diunjukkan pada perhiungan Mean Absolue Percenage Error (MAPE) yang minimum. 8. Peramalan, seelah didapa model yang sesuai, maka ahapan selanjunya adalah peramalan jangka pendek pada daa IHK Koa Bandung, Bekasi, dan Depok periode Juli Agusus 03.

6 3 Dinda Ariska Wulandari, Nurul Gusriani, Budi Nurani Ruchjana 3 Hasil dan Pembahasan 3. Penaksiran Parameer Model VARI dengan Meode MLE Asumsi gala pada model VARI(,) berdisribusi normal, sehingga parameer model VARI(,) dapa diesimasi menggunakan meode MLE dengan cara memaksimukan fungsi ln likelihood. Misal, unuk lokasi N 3 dan waku T 3, maka model VARI(,) menjadi: Y Φ Y a dapa diulis dalam benuk: Y, Y Y Y ,, 3, a, Y 3 0 0, Y Y Y 0 a,, 3,, Y 3, Y Y Y a,, 3, 3, Y Y Y Y 0 0 0,3,, 3, a,3. 3 Y Y Y Y,3,, 3, a,3 Y ,3 Y Y Y a,, 3, 3, y X Persamaan di aas disederhanakan dengan persamaan linier, yaiu: yx (9) sehingga fungsi likelihoodnya yaiu: Fungsi ln likelihood menjadi, Persamaan () diurunkan erhadap, y X y X n L, e. (0) n L y X y X ln, ln. () ln L, y X X Memaksimumkan fungsi likelihood pada persamaan (), maka: y X X 0 y X X X 0. ()

7 Penaksiran Parameer Model Vecor Auoregressive Inegraed (Vari) Dengan menghilangkan ranspose pada y X X X. (3), persamaan (3) menjadi: ˆ X X X y. (4) Maka aksiran MLE unuk model VARI(,) pada, N 3 dan T 3 menjadi: ˆΦ Y Y Y Y Taksiran MLE unuk model VARI(,) pada N lokasi dan waku T secara umum, yaiu: Φˆ dengan Y Z Z. Y Y Y Y NN (5) N N N T N T N N N N N T N T 3. Daa Tiga Lokasi Tabel. Saisik Deskripif Daa IHK Koa Bandung, Bekasi, dan Depok Lokasi Mean Sandar Deviasi N Bandung -5,03 x 0-4 6, Bekasi -9,47446 x 0-5 8, Depok, x 0-4 8, Penyebaran daa erhadap pusa daa (raa-raa) unuk nilai IHK Koa Bandung adalah 6,85707 sedangkan unuk IHK Koa Bekasi sebesar 8,354 dan IHK Koa Depok adalah 8,939. Berdasarkan grafik daa IHK Koa Bandung, Bekasi, dan Depok diperoleh bahwa daa mengandung rend sera fungsi ACF dan PACF yang meluruh sanga perlahan, maka dapa dikaakan bahwa daa IHK Koa Bandung, Bekasi, dan Depok belum sasioner sehingga dilakukan differencing. 3.3 Proses Differencing Tabel. Saisik Deskripif Daa IHK Koa Bandung, Bekasi, dan DepokDifferencing Perama Lokasi Mean Sandar Deviasi N Bandung 0, , Bekasi 0, , Depok 0, , Berdasarkan Tabel, penyebaran daa erhadap pusa daa (raa-raa) unuk nilai IHK differencing perama Koa Bandung adalah 0,500774, Koa Bekasi sebesar 0,76898 dan Koa Depok adalah 0, Daa hasil differencing lebih baik, yang diunjukkan oleh nilai sandar deviasi yang lebih kecil.

8 34 Dinda Ariska Wulandari, Nurul Gusriani, Budi Nurani Ruchjana IHK$Bandung.DiffLag Time Series Plo of Daa Gambar. Grafik IHK Koa Bandung Differencing Perama Time IHK$Bekasi.DiffLag - 0 Time Series Plo of Daa Gambar. Grafik IHK Koa Bekasi Differencing Perama Time IHK$Depok.DiffLag Time Series Plo of Daa Gambar 3. Grafik IHK Koa Depok Differencing Perama Seelah di differencing, dihasilkan grafik daa IHK di Koa Bandung, Bekasi, dan Depok menggunakan banuan sofware R... Pada Gambar, Gambar, dan Gambar 3, dapa diliha bahwa daa sudah cukup sabil. Oleh karena iu daa hasil differencing perama unuk IHK Koa Bandung, Bekasi, dan Depok sudah sasioner sehingga daa differencing perama bisa digunakan pada model ARI. 3.4 Idenifikasi Model ARI(,) Daa yang digunakan diidenifikasi menggunakan grafik ACF dan PACF dengan banuan sofware R.., yang diunjukkan pada gambar di bawah ini. Time Gambar 4. Grafik ACF dan PACF IHK Koa Bandung Differencing Perama

9 Penaksiran Parameer Model Vecor Auoregressive Inegraed (Vari) Gambar 5. Grafik ACF dan PACF IHK Koa Bekasi Differencing Perama Gambar 6. Grafik ACF dan PACF IHK Koa Depok Differencing Perama Pada Gambar 4, Gambar 5, dan Gambar 6, erliha bahwa pada grafik ACF dari lag ke- hingga seerusnya menurun secara eksponensial dan pada grafik PACF erliha bahwa lag ke- keluar dari garis barle sehingga dapa dikaakan bahwa daa signifikan pada lag ke-. Arinya daa unuk daa IHK Koa Bandung, Bekasi, dan Depok differencing perama dapa dimodelkan dengan menggunakan model ARI(,). 3.5 Kesasioneran Model ARI(,) Hasil esimasi model ARI(,) dengan meode MLE daa IHK, unuk Koa Bandung didapa nilai parameer ˆ 0, 595. Nilai parameer unuk Koa Bekasi yaiu ˆ 0, Nilai parameer unuk Koa Depok yaiu ˆ 0, 657. Dari keiga variabel, parameer ˆ memenuhi syara ˆ, dapa dikaakan bahwa model ARI(,) unuk keiga variabel sudah sasioner. 3.6 Esimasi Parameer Model VARI(,) dengan Meode MLE Menggunakan banun Microsof Office Excel 03, diperoleh nilai parameer unuk masing-masing lokasi, ˆ 0, 38, ˆ 0, 409, ˆ 0, , ˆ 0, 0338, ˆ 0, 499, ˆ 0, , ˆ 0, 379 3, ˆ 0, dan ˆ 0, Hasil yang diperoleh unuk model VARI(,) dengan meode MLE sebagai beriku: ˆ Y 0,38 Y 0,409 Y 0,0603 Y (6),,, 3, ˆ Y 0,0338 Y 0,499 Y 0,48064 Y (7),,, 3,

10 36 Dinda Ariska Wulandari, Nurul Gusriani, Budi Nurani Ruchjana ˆ Y 0,379 Y 0,863 Y 0,8067 Y. (8) 3,,, 3, Hasil persamaan (6), (7), dan (8), menyaakan bahwa model VARI(,) dengan meode MLE unuk daa IHK Koa Bandung, Bekasi, dan Depok membenuk model VAR(). 3.7 Peramalan Selanjunya dilakukan perhiungan Mean Absolue Percenage Error pada masingmasing lokasi unuk mengeahui model yang sudah disimasi sudah layak aau belum unuk digunakan. Tabel 3. Mean Absolue Percenage Error Lokasi MAPE (%) Bandung 6,708 Bekasi 8,05083 Depok 7,887 Dapa diliha nilai gala unuk lokasi Bandung sebesar 6,708% dari nilai akual, Bekasi sebesar 8,05083%, dan 7,887%, sehingga model VARI(,) dengan meode MLE sudah layak digunakan unuk peramalan, karena memberikan nilai MAPE yang cukup kecil. Tabel 4. Hasil Peramalan IHK Koa Bandung, Bekasi, dan Depok Tahun 03 Lokasi Bulan Juli 03 Bulan Agusus 03 Akual Taksiran Gala Akual Taksiran Gala Bandung 37,56 34,49 3,07 39,46 35,5 4, Bekasi 44,44 40,9 4,5 46,94 4,6 5,68 Depok 46,7 4,47 4,8 47,8 4,53 5,8 Berdasarkan Tabel 4 erliha hasil peramalan IHK Koa Bandung, Bekasi, dan Depok unuk dua bulan kedepan pada periode Juli Agusus 03 mengalami peningkaan, namun mengalami penurunan dari daa akualnya, dengan nilai gala erkecil pada IHK Koa Bandung 4. Simpulan Berdasarkan uraian dan analisis daa yang elah dilakukan, maka disimpulkan bahwa:. Daa dere waku univaria berupa daa differencing menggunakan model ARI. Jika model ARI pada iga lokasi digabungkan, maka menjadi model VARI. Dengan asumsi gala berdisribusi normal, penaksiran parameer model VARI dapa dilakukan menggunakan meode MLE yaiu memaksimumkan urunan fungsi ln likelihood.. Daa IHK Koa Bandung, Bekasi, dan Depok mengandung rend, sehingga model yang sesuai yaiu VARI(,) karena seiap daa melalui proses differencing peramadan merupakan model ARI(,). Model VARI(,) yang diperoleh dapa dinyaakan sebagai model VAR(). Model VARI(,) dengan meode MLE pada daa IHK Koa Bandung, Bekasi, dan Depok menghasilkan nilai MAPE yang cukup kecil, dengan hasil peramalan unuk dua bulan mendaang periode Juli Agusus 03 mengalami peningkaan dan nilai gala erkecil erdapa pada daa IHK Koa Bandung.

11 Penaksiran Parameer Model Vecor Auoregressive Inegraed (Vari) Dafar Pusaka [] Cryer, J.D. dan Chan, K Time Series Analysis; Wih Applicaions in R. New York: Springer. [] Makridakis, S., Wheelwrigh, S.C., dan McGee, V.E. 99. Meode dan Aplikasi Peramalan. Jakara: Erlangga. [3] Mankiw, N.G Makroekonomi. Jakara: Erlangga. [4] Wei, W.W.S Time Series Analysis; Univariae and Mulivariae Mehods. Deparmen of Saisics Temple Universiy: Addison-Wesley Publishing Company. [5] hp:// (diakses pada anggal 0 Sepember 03)

12 38 Dinda Ariska Wulandari, Nurul Gusriani, Budi Nurani Ruchjana