PROSEDUR PEMBENTUKAN MODEL VARIASI KALENDER BERDASARKAN MODEL ARIMAX UNTUK PERAMALAN DATA DENGAN EFEK VARIASI KALENDER

Transkripsi

1 Seminar Nasional Saisika IX Insiu Teknologi Sepuluh Nopember, November PROSEDUR PEMBENTUKAN MODEL VARIASI KALENDER BERDASARKAN MODEL ARIMAX UNTUK PERAMALAN DATA DENGAN EFEK VARIASI KALENDER Suharono dan Alfonsus J. Endhara Dosen Jurusan Saisika, ITS, Surabaya Mahasiswa S Jurusan Saisika, ITS, Surabaya suharono@saisika.is.ac.id; alfonsus_je@yahoo.com ABSTRACT The objecive of his research is o develop Calendar Variaion Model based on ARIMAX model for forecasing ime series daa wih Islamic calendar effec. In some Islamic counries, he rade aciviies frequenly conain calendar variaion paern. I happens because he paern of people consumpion o cerain producs usually follows Lunar calendar, insead of following common solar calendar. Analyzing hese daa by using classical ime series mehods, i.e. Decomposiion mehod and ARIMA model, will yield spurious resuls, especially abou he seasonal paern and oulier daa. Firsly, his research focuses on he developmen of model building procedure o find he bes Calendar Variaion Model based on ARIMAX model. Two kinds of rend, i.e. deerminisic and sochasic rends, are examined in his ARIMAX modeling. The procedure conains hree main seps, i.e. modeling of calendar variaion effec only, modeling of he residual model of calendar variaion effec only, and he ARIMAX modeling adapively by combining of he calendar variaion effec and ARIMA model. Then, he procedures are applied for modeling and forecasing real ime series daa, i.e. he monhly sales of boy Moslem cloh in Indonesia. The resuls show ha Calendar Variaion Model based on ARIMAX model could explore precisely he effec of calendar variaion on ime series. Addiionally, his model also yields beer forecas compared o Decomposiion mehod and Seasonal ARIMA model. Keywords: ARIMAX, calendar variaion, lunar calendar, model building procedure. Pendahuluan Daa ekonomi dan bisnis seringkali dikumpulkan iap bulan, sehingga ermasuk daa dere waku bulanan. Secara umum, ada dua ipe efek kalender pada daa dere waku bulanan. Yang perama, banyaknya kegiaan ekonomi dapa berubah erganung pada hari dalam sau minggu. Karena banyaknya hari berbeda iap bulan aau ahun, pengamaan ini dapa dipengaruhi variasi kalender. Efek variasi seperi ini, eruama yang disebabkan oleh banyaknya hari ransaksi aau hari kerja iap bulan, dinamakan efek hari kerja (Hillmer, Bell, dan Tiao, ; Hillmer, ; Bell dan Hillmer, ). Selain variasi akiba perbedaan banyaknya hari

2 kerja, beberapa fesival aau hari libur, seperi Paskah dan Tahun Baru Imlek dibua berdasarkan kalender bulan dan anggal hari libur ersebu berubah sekiar bulan dalam kalender masehi iap ahunnya. Karena hari libur dapa sanga mempengaruhi akivias perdagangan dan pola konsumen, pengamaan dere wakunya dapa beragam erganung di bulan apa erdapa hari libur yang mengikui sysem kalender bulan. Efek kalender demikian disebu sebagai efek hari libur (Liu, ). Kalender Hijriyah, yang ermasuk kalender bulan berdasarkan bulan dalam ahun dengan aau hari, digunakan di banyak negara Islam dan digunakan unuk menenukan hari besar Islam. Indonesia sebagai negara yang mayorias penduduknya beragama Islam, juga menggunakan kalender Hijriyah unuk menenukan hari besar Islam, misalnya hari besar Idul Firi. Variasi kalender muncul dengan adanya hari besar Islam ini. Efek-efek variasi kalender dapa dikeahui dari banyaknya perdagangan sekiar hari besar Idul Firi, anara lain sebelum, selama, dan/aau sesudah Idul Firi. Sebagai conoh, dalam makalah ini penjualan baju muslim pria di sebuah koa di Indonesia. Analisis dere waku unuk daa yang memiliki pola variasi kalender memerlukan penanganan khusus. Liu () mempelajari efek variasi hari libur dengan idenifikasi dan esimasi model ARIMA dan menyarankan suau modifikasi model ARIMA dengan menyerakan informasi hari libur sebagai variabel inpu deerminisik. Analisis dere waku umum, seperi meode dekomposisi dan model ARIMA dapa memberikan hasil yang idak benar, eruama mengenai pola musiman dan munculnya pencilan. Beberapa peneliian enang analysis dere waku unuk daa yang mengandung pola variasi kalender elah dilakukan. Liu () melakukan idenifikasi model dere waku unuk daa yang memiliki pola variasi kalender. Dalam peneliiannya, Liu menggunakan model ARIMAdan ambahan variabel efek variasi kalender. Holden, Thompson, dan Ruangri () melakukan peneliian enang variasi kalender pada harga saham harian di Thai Sock Marke. Holden dkk. menggunakan beberapa model, anara lain regresi linier, General Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy (GARCH), dan Threshold Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy (TARCH). Keiga model ini dibandingkan dengan keiga model yang sama, namun diberi ambahan variabel efek variasi kalender. Holden dkk. menunjukkan bahwa model-model dengan ambahan variabel efek variasi kalender memberikan hasil yang lebih baik daripada model-model anpa ambahan variabel. Dalam makalah ini, dikemukakan suau prosedur unuk membenuk model khusus unuk daa yang mengandung pola variasi kalender. Model yang dikembangkan adalah model ARIMAX.. Landasan Teori Pada bagian ini akan dierangkan beberapa eori dan meode yang digunakan dalam peneliian ini, yaiu meode analisis dere waku yang umum, anara lain

3 meode dekomposisi dan model ARIMA musiman, dan yang berkaian dengan pengembangan prosedur baru unuk pembenukan model variasi kalender, yaiu model ARIMAX... Meode Dekomposisi Pada bagian ini dijelaskan meode dekomposisi adiif. Dasar meode dekomposisi adalah memisahkan komponen musiman dari komponen lainnya dari suau dere daa. Model dekomposisi adiif diulis sebagai beriku (liha Bowerman dan O Connel, ). dengan y = pengamaan ke- T = komponen rend ke- S = komponen musiman ke- C = komponen siklik ke- I = komponen irregular ke-.. Model ARIMA Musiman y T S C I () Model ARIMA musiman merupakan model dere waku linier yang cukup fleksibel dan dapa digunakan dalam pemodelan beragam ipe musiman sebaik model dere waku non-musiman. Model ARIMA musiman dapa diulis secara maemais dengan (liha Wei, ; Box, Jenkins, dan Reisel, ; Cryer dan Chan, ): dengan S d S D S p B ) P( B )( B) ( B ) y q( B) Q( B ) (, () (B) B B pb ( S S S PS P B ) = B B PB (B) B B qb ( S S S QS Q B ) = B B QB, p = p q = q dan S adalah periode musiman, B adalah operaor backshif, dan adalah dere noise dengan mean nol dan varians yang konsan. Box dan Jenkins () mengenalkan suau prosedur pembenukan model ARIMA musiman yang efekif berdasarkan srukur auokorelasi suau dere waku... Model ARIMAX unuk Variasi Kalender Model ARIMA adalah model yang umum digunakan dalam peramalan daa. Model ARIMAX ialah model ARIMA yang diberi ambahan variabel predikor (liha Cryer dan Chan, ). Dalam peneliian ini, ambahan variabel predikornya berupa variabel dummy yang berujuan unuk mewakili efek variasi kalender.

4 Model ARIMA musiman yang pada umumnya diulis seperi pada Persamaan (), juga dapa diulis sebagai beriku y p ( B) P q( B) S ( B )( S ( B ) d B) ( Q B S ) D. () Oleh karena iu, model ARIMA musiman dengan ambahan variabel dummy adalah y V ( B) ( B ) S, q Q V,... Vs, S d p( B) P( B )( B) ( S D B ). () Prosedur yang digunakan unuk membenuk model ARIMAX yang efekif dan sesuai unuk peramalan daa yang mengandung pola variasi kalender dijelaskan sebagai beriku: a. Pemodelan respon dan variabel dummy efek variasi kalender, unuk mendapakan residual w, yaiu y V, V,... pvp, w () dengan V p, adalah variabel dummy unuk efek variasi kalender ke-p. Banyaknya efek variasi kalender dapa diidenifikasi berdasarkan plo dere waku. b. Residual w dimodelkan dengan model ARIMA dengan menggunakan prosedur Box-Jenkins. c. Orde model ARIMA yang diperoleh dari langkah sebelumnya digunakan unuk memodelkan daa sebenarnya dengan ambahan variabel dummy efek variasi kalender sebagai inpu. d. Pengujian signifikansi parameer dan cek diagnose, hingga semua parameer bernilai signifikan dan residual memenuhi asumsi whie noise.. Meodologi Peneliian Daa bulanan penjualan baju muslim pria dari perusahaan garmen di suau koa di Indonesia digunakan sebagai sudi kasus. Diambil daa pada uari hingga Desember. Daa delapan ahun perama digunakan sebagai daa insample dan daa ahun erakhir sebagai daa ou-sample. Analisis diawali dengan mengaplikasikan prosedur baru pada daa kasus. Selanjunya, dilakukan perbandingan RMSE daa ou-sample anara model yang diperoleh dengan prosedur baru dan model dere waku umum, anara lain meode dekomposisi dan model ARIMA musiman. Perbandingan ini dilakukan unuk memperoleh model erbaik unuk peramalan daa bulanan penjualan baju muslim pria berdasarkan kebaikan ramalan pada daa ou-sample.

5 Z. Hasil Analisis Empiris Daa penjualan bulanan baju muslim pria diunjukkan dengan Gambar. Plo dere waku pada Gambar menunjukkan bahwa erdapa pola variasi kalender pada daa. Variasi kalender ini merupakan efek perayaan Idul Firi iap ahun. Oleh karena iu, ambahan erenu diperlukan dalam model umum, misalnya model ARIMAX. Dalam bagian ini, hasil pemodelan dengan model ARIMAX akan diunjukkan dan dibandingkan dengan model dere waku umum, yaiu meode dekomposisi adiif dan model ARIMA. Time Series Plo of Boy MoslemCloh Sales Monh Year Gambar. Plo dere waku daa bulanan penjualan baju muslim pria.. Model ARIMAX Pada langkah awal, model regresi linier dibenuk anara respon y dan variabel efek variasi kalender sebagai predikor unuk mendapakan residual. Model regresi linier yang erbenuk adalah y V V V w. () Residual model pada Persamaan () digambarkan pada Gambar. Residual ini digunakan sebagai paokan penenuan orde model ARIMA yang mungkin. Plo ACF dan PACF residual diunjukkan pada Gambar. Karena residual memiliki pola musiman dan ACF cenderung membenuk pola urun lamba pada lag-lag musiman, differencing orde musiman dierapkan pada residual. Residual yang sudah di-differencing dengan orde musiman menghasilkan ACF dan PACF seperi pada Gambar. Berdasarkan Gambar, ada pasang orde model ARIMA yang diprediksi sebagai model ARIMA yang sesuai unuk daa residual, yaiu (,,)(,,), (,,)(,,), (,,)(,,), dan (,,)(,,). Hasil pengujian signifikansi parameer dan cek diagnose menyaakan hanya dari pasang orde model ARIMA saja memenuhi asumsi, yaiu ARIMA(,,)(,,) and (,,)(,,).

6 Auocorrelaion Parial Auocorrelaion Auocorrelaion Parial Auocorrelaion w() Time Series Plo of Residual - - Index Gambar. Plo dere waku residual Persamaan () Auocorrelaion Funcion for w() (wih % significance limis for he auocorrelaions) Parial Auocorrelaion Funcion for w() (wih % significance limis for he parial auocorrelaions) Lag Lag Gambar. Plo ACF dan PACF residual Persamaan () Auocorrelaion Funcion for Differencing (wih % significance limis for he auocorrelaions) Parial Auocorrelaion Funcion for Differencing (wih % significance limis for he parial auocorrelaions) Lag Lag Gambar. Plo ACF dan PACF residual yang sudah di-differencing Berdasarkan dua pasang orde model yang memenuhi asumsi whie noise, model ARIMAX dikembangkan. Dengan menambahkan variabel dummy efek variasi kalender ke dalam model ARIMA, model ARIMAX dibenuk. Selain model ARIMAX ersebu, model dengan sebagai inpu mengganikan order differencing juga dibenuk. Parameer model yang dihasilkan idak selalu signifikan, sehingga perlu dilakukan updaing model. Model ARIMAX dengan parameer signifikan memenuhi asumsi whie noise adalah ARIMA(,,)(,, ) -V - anpa konsana, ARIMA(,,)(,,) -V - anpa konsana, ARIMA(,,)(,,) -, V, V -, V - dengan konsana, dan ARIMA(,,)-, V, V -, V - dengan konsana.

7 .. Perbandingan Meode Dekomposisi, Model ARIMA Musiman, dan Model yang Dikembangkan Model peramalan umum seperi meode dekomposisi dan model ARIMA juga digunakan pada daa kasus. Model-model ini kemudian akan dibandingkan dengan model ARIMAX yang diperoleh dengan prosedur yang dikembangkan. Perbandingan berdasarkan RMSE dirangkum dalam Tabel. Tabel rangkuman perbandingan RMSE ini menunjukkan bahwa model peramalan umum idak mampu memberikan hasil sebaik model ARIMAX. Hal ini diunjukkan dengan RMSE-nya yang lebih kecil daripada RMSE model ARIMAX. Tabel. Perbandingan akurasi ramalan anar model Model In-sample RMSE Ou-sample Dekomposisi Dekomposisi Adiif Dekomposisi Muliplikaif.... ARIMA Musiman ARIMA([],,)(,,) ARIMA(,,[])(,,) ARIMA(,,[])(,,) ARIMA([],,)(,,) ARIMAX ARIMA(,,)(,,) -V -, anpa konsana ARIMA(,,)(,,) -V -, anpa konsana ARIMA(,,)(,,) -, V, V -, V -, dengan konsana ARIMA(,,)-, V, V -, V -, dengan konsana Berdasarkan nilai RMSE, model ARIMAX memberikan hasil yang lebih baik daripada model-model peramalan lainnya. Berdasarkan RMSE daa insample, model erbaik adalah model ARIMA(,,)(,,) -, V, V -, V -, dengan konsana. Sedangkan berdasarkan RMSE daa ou-sample, model erbaik adalah model ARIMAX(,,)-, V, V -, V - dengan konsana. Plo dere waku pada Gambar (a-c) menunjukkan keepaan peramalan iap model (diambil model erbaik dari iap meode). Secara jelas erliha adanya perbedaan pada iap model. Pada Gambar (a), keepaan akurasi meode dekomposisi adiif diunjukkan. Prediksi model ini sanga buruk, eruama pada bulan saa diadakan Idul Firi seiap ahun. Gambar (b) menunjukkan perbandingan prediksi model ARIMA([],,)(,,). Model ini memberikan prediksi yang

8 Daa Residual Daa Residual Daa Residual hampir bagus, kecuali karena adanya kesalahan prediksi yang cukup besar pada bulan Idul Firi ahun. Model ARIMAX, yaiu model yang dikembangkan pada peneliian ini, memberikan hasil yang jauh lebih baik dan prediksinya mendekai nilai akualnya (liha Gambar (c)). a Time Series Plo of Acual, Add. Decomposiion Variable Acual Add. Decomposiion Time Series Plo of Residual of Add. Decomposiion a - - Monh Year - Monh Year b Time Series Plo of Acual, ARIMA Variable Acual ARIMA Time Series Plo of Residual of ARIMA b - - Monh Year - Monh Year c Time Series Plo of Acual, ARIMAX Variable Acual ARIMAX Time Series Plo of Residual of ARIMAX c - - Monh Year - Monh Year Gambar. Plo dere waku (a) dekomposisi adiif, (b) ARIMA, dan (c) ARIMAX (gambar kiri) dan residualnya (gambar kanan) Plo residual di sisi kanan (liha Gambar (a-c)) juga menunjukkan keepaan peramalan iap model. Berdasarkan Gambar (a), efek variasi kalender masih jelas erliha. Dengan kaa lain, residual meode dekomposisi adiif idak acak, melainkan memiliki pola erenu. Keacakan residual merupakan asumsi yang wajib dipenuhi, sehingga disimpulkan bahwa meode dekomposisi idak dapa diaplikasikan unuk daa yang mengandung pola variasi kalender. Pada Gambar (b) erliha adanya residual bernilai eksrem, aau residual pencilan, yang disebabkan kesalahan prediksi. Hal ini merupakan akiba idak mengikuserakan efek variasi kalender dalam model. Gambar (c) menunjukkan residual yang sudah acak. Oleh karena iu, model yang dikembangkan dengan prosedur baru sanga efekif dalam peramalan daa yang mengandung pola variasi kalender.

9 Model erbaik yang dipilih unuk peramalan daa penjualan bulanan baju muslim pria adalah ARIMAX(,,)-, V, V -, V - dengan konsana, karena memiliki RMSE ou-sample yang erkecil. Model ARIMAX ini diulis secara maemais dengan y ˆ.. V. V y. () V... Kesimpulan Penanganan khusus diperlukan dalam peramalan daa yang mengandung pola variasi kalender. Hal ini dibukikan dengan penggunaan model peramalan umum, anara lain meode dekomposisi dan model ARIMA musiman, yang menghasilkan ramalan yang buruk. Model yang dikembangkan, yaiu model ARIMAX, menghasilkan ramalan yang lebih akura, baik berdasarkan RMSE insample maupun ou-sample. Model ARIMAX(,,)-, V, V -, V - dengan konsana merupakan model erbaik unuk peramalan daa bulanan penjualan baju muslim pria dalam peneliian ini. Dalam model ini, variabel ren dan variabel dummy yang mewakili efek hari raya Idul Firi digunakan sebagai inpu. Model ini menghasilkan RMSE ou-sample sebesar,. DAFTAR PUSTAKA Bell, W.R., and Hillmer, S.C.. Modeling Time Series wih Calendar Variaion. Journal of he American Saisical Associaion,, -. Bowerman, B.L., and O Connel, D.. Forecasing and Time Series: An Applied Approach, rd Ediion. California: Duxbury Press. Box, G.E.P., and Jenkins, G.M.. Time Series Analysis: Forecasing and Conrol. San Fransisco: Holden-Day, Revised edn. Box, G.E.P., Jenkins, G.M., and Reinsel, G.C.. Time Series Analysis, Forecasing and Conrol, rd Ediion. Prenice Hall, Englewood Cliffs. Cryer, J.D., and Chan, K.S.. Time Series Analysis. Wih Applicaion in R, nd Ediion. Springer. Hanke, J.E., and Wichern, D.W.. Business Forecasing. NJ: Prenice Hall, Englewood Cliffs. Hillmer, S.C., Bell, W.R., and Tiao, G.C.. Modeling Consideraions in he Adjusmen of Economic Time Series. Proceedings of he Conference of Applied Time Series Analysis of Economic Daa. Ed. Arnold Zelner. U.S. Deparmen of Commerce, Bureau of he Census, -. Hillmer, S.C.. Forecasing Time Series wih Trading Day Variaion. Journal of Forecasing,, -.

10 Holden, K., Thompson, J., and Ruangri, Y.. The Asian crisis and calendar effecs on sock reurns in Thailand. European Journal of Operaional Research,,. Liu, L.M.. Analysis of Time Series wih Calendar Effecs. Managemen Science,, -. Liu, L.M.. Idenificaion of Time Series Models in he Presence of Calendar Variaion. Inernaional Journal of Forecasing,, -. Shumway, R.H., and Soffer, D.S.. Time Series Analysis and Is Applicaions wih R Examples, nd Ediion. Springer Wei, W.W.S.. Time Series Analysis: Univariae and Mulivariae Mehods. Addison-Wesley Publishing Co., USA.