PERAMALAN JUMLAH PENUMPANG PADA PT

Transkripsi

1 PERAMALAN JUMLAH PENUMPANG PADA PT. ANGKASA PURA I (PERSERO) KANTOR CABANG BANDAR UDARA INTERNASIONAL ADISUTJIPTO YOGYAKARTA DENGAN METODE WINTER S EXPONENTIAL SMOOTHING DAN SEASONAL ARIMA SKRIPSI Diajukan Kepada Fakulas Maemaika dan Ilmu Pengeahuan Alam Universias Negeri Yogyakara unuk memenuhi sebagian persyaraan guna memperoleh gelar Sarjana Sains Oleh: Asin Nurhayai Munawaroh PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2010

2

3

4

5 MOTTO Berdoalah kamu kepada Rabb-mu dengan berendah diri dan suara yang lembu. Sesungguhnya Allah idak menyukai orang orang yang melampaui baas. (QS. Al Mu min: 60) Kaakanlah: "Ya Allah, berilah aku hidayah dan lancarkan perkaraku." (HR. Muslim) Janganlah kamu bersikap lemah dan janganlah (pula) kamu bersedih hai. (QS. Ali Imran: 139) Karena sesungguhnya seelah kesulian iu ada kemudahan. (QS. Al Insyirah: 5) Cukuplah Allah menjadi Penolong kami dan Allah adalah sebaik baiknya Pelindung. (QS. Ali Imran: 173) Do wha you love and love wha you do. v

6 PERSEMBAHAN Karya kecil ini kupersembahkan unuk : Bapak, Ibu, dan adik adikku ercina aas doa, perhaian, dan kasih sayang yang berlimpah. Budhe Lah, Budhe Prapi, Bulek Hayak, Bulek Endang, dan seluruh keluarga besarku yang elah memberikan banyak sekali suppor. Pakdhe Jum, Budhe Sari, Mbak Lani, Lilis, & si kecil Farrel makasih bua keceriaan, kebersamaan, doa, dan moivasinya. You are my second family. Sahaba sahaba baikku (Mbak Indra dan Arli) makasih bua doa, dukungan, dan kebersamaannya. Temen emen Cah_Ndableg (Ma NR 06) aas kebersamaannya. vi

7 PERAMALAN JUMLAH PENUMPANG PADA PT. ANGKASA PURA I (PERSERO) KANTOR CABANG BANDAR UDARA INTERNASIONAL ADISUTJIPTO YOGYAKARTA DENGAN METODE WINTER S EXPONENTIAL SMOOTHING DAN SEASONAL ARIMA Oleh: Asin Nurhayai Munawaroh ABSTRAK Peneliian ini berujuan unuk mengeahui model peramalan jumlah kedaangan dan keberangkaan penumpang domesik pada PT. Angkasa Pura I (Persero) Kanor Cabang Bandar Udara Inernasional Adisujipo Yogyakara dengan meode Winer s Exponenial Smoohing dan Seasonal Auoregressive Inegraed Moving Average (ARIMA) sera mengeahui perbandingan hasil peramalan dengan kedua meode ersebu. Meode Winer s Exponenial Smoohing digunakan unuk mengaasi pola musiman pada daa. Meode ini dibagi menjadi dua model, yaiu model adiif dan muliplikaif. Perhiungan dengan model adiif dilakukan jika plo daa asli menunjukkan flukuasi musim yang relaif sabil, sedangkan model muliplikaif digunakan jika plo daa asli menunjukkan flukuasi musim yang bervariasi. Sedangkan meode Seasonal ARIMA merupakan meode ARIMA yang digunakan unuk menyelesaikan ime series musiman. Daa jumlah kedaangan dan keberangkaan penumpang domesik ahun merupakan daa yang mengandung pola musiman dengan flukuasi musim yang bervariasi sehingga meode Winer s Exponenial Smoohing model muliplikaif dan Seasonal ARIMA dapa digunakan. Peramalan dengan meode Winer s Exponenial Smoohing model muliplikaif menghasilkan 0, 4, 0, 2, 0, 2, model peramalan ˆ Y p L pt S dengan nilai Mean Squared Deviaion (MSD) p unuk jumlah kedaangan penumpang domesik dan 0, 4, 0, 2, 0, 4, ˆ model peramalan Y p L pt S dengan nilai MSD unuk 12 p jumlah keberangkaan penumpang domesik. Peramalan dengan meode Seasonal ARIMA menghasilkan model peramalan ARIMA(1,1,0)(2,1,0) 12 dengan nilai MSD 0, unuk jumlah kedaangan penumpang domesik dan ARIMA(1,1,0)(1,1,0) 12 dengan nilai MSD 0,01401 unuk jumlah keberangkaan penumpang domesik. Peramalan jumlah kedaangan dan keberangkaan penumpang domesik lebih epa menggunakan meode Seasonal ARIMA karena masing masing menghasilkan nilai MSD yang lebih kecil daripada nilai MSD yang dihasilkan pada meode Winer s Exponenial Smoohing. Hasil peramalan jumlah kedaangan dan keberangkaan penumpang domesik pada ahun 2010 mengalami peningkaan. Peningkaan yang signifikan erjadi pada bulan Desember, yaiu mencapai penumpang unuk kedaangan penumpang domesik dan penumpang unuk keberangkaan penumpang domesik. vii

8 KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjakan kehadira Tuhan Yang Maha Esa yang elah melimpahkan rahma dan hidayah Nya sehingga skripsi ini dapa erselesaikan. Skripsi dengan judul "Peramalan Jumlah Penumpang pada PT. Angkasa Pura I (Persero) Kanor Cabang Bandar Udara Inernasional Adisujipo Yogyakara dengan Meode Winer s Exponenial Smoohing dan Seasonal ARIMA" ini disusun dalam rangka memenuhi salah sau persyaraan guna memperoleh gelar Sarjana Sains. Penulis menyadari bahwa penyusunan skripsi ini dapa erlaksana dengan baik karena dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena iu, pada kesempaan ini penulis mengucapkan erima kasih kepada : 1. Bapak Dr. Ariswan sebagai Dekan FMIPA UNY yang elah memberi kesempaan kepada penulis unuk menyelesaikan sudi. 2. Bapak Dr. Harono sebagai Kajurdik Maemaika dan Ibu Amini Dhoruri, M.Si sebagai Kaprodi Maemaika yang elah memberikan kelancaran pelayanan akademik. 3. Ibu Himmawai Puji Lesari, M.Si sebagai Penaseha Akademik yang elah memberikan arahan dan moivasi. 4. Ibu Dr. Dhoriva Urwaul Wusqa sebagai dosen pembimbing yang elah meluangkan waku dan pemikiran unuk memberikan bimbingan sera pengarahan selama penyusunan skripsi ini. viii

9 5. Ibu Elly Arliani, M.Si sebagai penguji uama, ibu Reno Subeki, M.Sc sebagai penguji pendamping, dan ibu Kismianini, M.Si sebagai sekrearis penguji yang elah memberi arahan dan masukan. 6. Seluruh dosen Jurusan Pendidikan Maemaika yang elah memberikan ilmu yang bermanfaa. 7. Bapak Agus Adriyano sebagai General Manager dan Bapak Drs. Praseyo sebagai Assisan Manager Personalia dan Umum PT. Angkasa Pura I (Persero) Kanor Cabang Bandar Udara Inernasional Yogyakara yang elah memberikan kesempaan kepada penulis unuk melakukan peneliian dan banyak membanu penulis selama melakukan peneliian. 8. Karyawan dan karyawai PT. Angkasa Pura I (Persero) Kanor Cabang Bandar Udara Inernasional Yogyakara aas semua banuan dan kerjasama selama penulis melakukan peneliian. 9. Semua pihak yang idak dapa penulis sebukan sau persau yang elah memberikan banuan baik maeriil maupun spiriual sehingga penyusunan skripsi ini dapa erselesaikan dengan baik. Dengan kerendahan hai penulis sadar bahwa dalam penyusunan skripsi ini masih erdapa kekurangan. Oleh karena iu, saran dan kriik dari semua pihak yang sifanya membangun sanga penulis harapkan demi kesempurnaan skripsi ini. Yogyakara, 11 Mei 2010 Penulis Asin Nurhayai Munawaroh ix

10 DAFTAR ISI Hal HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... ii HALAMAN PERNYATAAN... iii HALAMAN PENGESAHAN... iv MOTTO... v HALAMAN PERSEMBAHAN... vi ABSTRAK... vii KATA PENGANTAR... viii DAFTAR ISI... x DAFTAR TABEL... xiii DAFTAR GAMBAR... xvii DAFTAR LAMPIRAN... xviii BAB I PENDAHULUAN... 1 A. Laar Belakang Masalah... 1 B. Pembaasan Masalah... 3 C. Rumusan Masalah... 4 D. Tujuan Peneliian... 4 E. Manfaa Peneliian... 5 x

11 BAB II KAJIAN PUSTAKA... 7 A. Peramalan (Forecasing)... 7 B. Analisis Time Series... 9 C. Sasionerias D. Proses Whie Noise E. Uji Normalias Residu F. Seasonalias (Musiman) G. Meode Smoohing H. Meode Hol s Exponenial Smoohing I. Meode Winer s Exponenial Smoohing J. Meode Seasonal ARIMA Model Auoregressive (AR) Model Moving Average (MA) Model Auoregressive Moving Average (ARMA) Model Auoregressive Inegraed Moving Average (ARIMA) Model Seasonal ARIMA K. Keepaan Meode Peramalan BAB III PEMBAHASAN A. Meode Winer s Exponenial Smoohing Jumlah Kedaangan Penumpang Domesik Jumlah Keberangkaan Penumpang Domesik B. Meode Seasonal ARIMA xi

12 1. Jumlah Kedaangan Penumpang Domesik Jumlah Keberangkaan Penumpang Domesik C. Perbandingan Hasil Peramalan dengan Menggunakan Meode Winer s Exponenial Smoohing dan Seasonal ARIMA BAB IV PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xii

13 DAFTAR TABEL Hal Tabel 1. Pola ACF dan PACF Tidak musiman Tabel 2. Pola ACF dan PACF Musiman dengan s Periode Per Musim Tabel 3. Hasil Peramalan Jumlah Kedaangan Penumpang Domesik dengan Meode Winer s Exponenial Smoohing Tahun Tabel 4. Hasil Peramalan Jumlah Keberangkaan Penumpang Domesik dengan Meode Winer s Exponenial Smoohing Tahun Tabel 5. Kemungkinan Model Peramalan Jumlah Kedaangan Jumlah Penumpang Domesik di Bandar Udara Inernasional Adisujipo 52 Tabel 6. Hasil Peramalan Jumlah Kedaangan Penumpang Domesik dengan Meode Seasonal ARIMA Tahun Tabel 7. Kemungkinan Model Peramalan Jumlah Keberangkaan Jumlah Penumpang Domesik di Bandar Udara Inernasional Adisujipo 57 Tabel 8. Hasil Peramalan Jumlah Keberangkaan Penumpang Domesik dengan Meode Seasonal ARIMA Tahun Tabel 9. Nilai Mean Squared Deviaion (MSD) xiii

14 DAFTAR GAMBAR Hal Gambar 1. Conoh plo daa sasioner dalam raa raa dan varians Gambar 2. Conoh plo daa nonsasioner dalam raa raa Gambar 3. Conoh plo daa sasioner dalam varians Gambar 4. Conoh grafik normal probabiliy plo unuk residu berdisribusi normal Gambar 5. Conoh grafik fungsi auokorelasi unuk daa yang dipengaruhi pola rend Gambar 6. Conoh grafik fungsi auokorelasi unuk daa yang dipengaruhi pola musiman bulanan Gambar 7. Conoh plo daa asli model adiif Gambar 8. Conoh plo daa asli model muliplikaif Gambar 9. Pola ACF dan PACF model AR(1) Gambar 10. Pola ACF dan PACF model MA(1) Gambar 11. Pola ACF dan PACF model ARMA(1,1) Gambar 12. Time series plo jumlah kedaangan penumpang domesik di Bandar Udara Inernasional Adisujipo Gambar 13. Time series plo jumlah keberangkaan penumpang domesik di Bandar Udara Inernasional Adisujipo Gambar 14. Grafik ACF jumlah kedaangan penumpang domesik di Bandar Udara Inernasional Adisujipo xiv

15 Gambar 15. Grafik PACF jumlah kedaangan penumpang domesik di Bandar Udara Inernasional Adisujipo Gambar 16. Grafik ACF jumlah keberangkaan penumpang domesik di Bandar Udara Inernasional Adisujipo Gambar 17. Grafik PACF jumlah keberangkaan penumpang domesik di Bandar Udara Inernasional Adisujipo Gambar 18. Grafik peramalan jumlah kedaangan penumpang domesik dengan meode Winer s Exponenial Smoohing Gambar 19. Grafik ACF residu jumlah kedaangan penumpang domesik di Bandar Udara Inernasional Adisujipo Gambar 20. Grafik peramalan jumlah keberangkaan penumpang domesik dengan meode Winer s Exponenial Smoohing Gambar 21. Grafik ACF residu jumlah keberangkaan penumpang domesik di Bandar Udara Inernasional Adisujipo Gambar 22. Plo daa jumlah kedaangan penumpang domesik di Bandar Udara Inernasional Adisujipo seelah dilogarimakan dan dilakukan differencing perama idak musiman dan musiman Gambar 23. Grafik ACF jumlah kedaangan penumpang domesik di Bandar Udara Inernasional Adisujipo seelah dilogarimakan dan dilakukan differencing perama idak musiman dan musiman Gambar 24. Grafik PACF jumlah kedaangan penumpang domesik di Bandar Udara Inernasional Adisujipo seelah dilogarimakan xv

16 dan dilakukan differencing perama idak musiman dan musiman Gambar 25. Hasil analisis daa jumlah kedaangan penumpang domesik di Bandar Udara Inernasional Adisujipo dengan meode Seasonal ARIMA Gambar 26. Grafik ACF residu jumlah kedaangan penumpang domesik di Bandar Udara Inernasional Adisujipo yang elah dilogarimakan Gambar 27. Grafik Normal Probabiliy Plo residu daa jumlah kedaangan penumpang domesik di Bandar Udara Inernasional Adisujipo yang elah dilogarimakan Gambar 28. Plo daa jumlah keberangkaan penumpang domesik di Bandar Udara Inernasional Adisujipo seelah dilogarimakan dan dilakukan differencing perama idak musiman dan musiman Gambar 29. Grafik ACF jumlah keberangkaan penumpang domesik di Bandar Udara Inernasional Adisujipo seelah dilogarimakan dan dilakukan differencing perama idak musiman dan musiman Gambar 30. Grafik PACF jumlah keberangkaan penumpang domesik di Bandar Udara Inernasional Adisujipo seelah dilogarimakan dan dilakukan differencing perama idak musiman dan musiman xvi

17 Gambar 31. Hasil analisis daa jumlah keberangkaan penumpang domesik di Bandar Udara Inernasional Adisujipo dengan meode Seasonal ARIMA Gambar 32. Grafik ACF residu jumlah keberangkaan penumpang domesik di Bandar Udara Inernasional Adisujipo yang elah dilogarimakan Gambar 33. Grafik Normal Probabiliy Plo residu daa jumlah keberangkaan penumpang domesik di Bandar Udara Inernasional Adisujipo yang elah dilogarimakan xvii

18 DAFTAR LAMPIRAN Hal Lampiran 1 Sura Ijin Peneliian Lampiran 2 Sura Balasan dari PT. Angkasa Pura I (Persero) Kanor Cabang Bandar Udara Inernasional Adisujipo Yogyakara Lampiran 3 Jumlah Kedaangan Penumpang Domesik di Bandar Udara Inernasional Adisujipo Yogyakara Tahun Lampiran 4 Jumlah Keberangkaan Penumpang Domesik di Bandar Udara Inernasional Adisujipo Yogyakara Tahun Lampiran 5 Hasil Pemulusan Daa Jumlah Kedaangan Penumpang Domesik di Bandar Udara Inernasional Adisujipo Yogyakara Lampiran 6 Hasil Pemulusan Daa Jumlah Keberangkaan Penumpang Domesik di Bandar Udara Inernasional Adisujipo Yogyakara Lampiran 7 Oupu Residu Daa Jumlah Kedaangan Penumpang Domesik di Bandar Udara Inernasional Adisujipo Yogyakara dengan model ARIMA(0,1,1)(0,0,1) Lampiran 8 Oupu Residu Daa Jumlah Keberangkaan Penumpang Domesik di Bandar Udara Inernasional Adisujipo Yogyakara dengan model ARIMA(0,1,1)(0,0,1) xviii

19 BAB I PENDAHULUAN A. Laar Belakang Masalah Pada era globalisasi, perkembangan zaman maju dengan pesa, salah saunya dalam bidang ransporasi. Seiring dengan berambahnya jumlah penduduk, maka kebuuhan akan ala ransporasi juga meningka karena ala ransporasi merupakan sarana pening bagi penduduk unuk melakukan akiviasnya. Salah sau ala ransporasi udara, yaiu pesawa erbang merupakan salah sau sarana yang dapa digunakan penduduk unuk menunjang akiviasnya, baik dalam hal bisnis maupun pariwisaa. PT. Angkasa Pura I (Persero) Kanor Cabang Bandar Udara Inernasional Adisujipo Yogyakara merupakan perusahaan penyedia jasa ransporasi udara di Yogyakara. Sejak sausnya diingkakan menjadi bandar udara inernasional pada ahun 2004, jumlah penumpang pesawa erbang di Bandar Udara Inernasional Adisujipo Yogyakara mengalami peningkaan. Oleh karena iu, peramalan enang jumlah penumpang menjadi hal yang pening bagi perusahaan karena dengan mengeahui prediksi jumlah penumpang di masa yang akan daang perusahaan dapa mempersiapkan fasilias fasilias unuk menganisipasi kenaikan jumlah penumpang, seperi menyiapkan penerbangan eksra, ruang unggu yang lebih nyaman, dan empa parkir yang lebih luas. 1

20 2 Daa jumlah penumpang merupakan daa runun waku (ime series) yang dikumpulkan seiap ahun unuk mengeahui peningkaan jumlah penumpang di Bandar Udara Inernasional Adisujipo Yogyakara. Sebagaimana dikeahui, daa ime series adalah daa yang dikumpulkan, dicaa, aau diamai berdasarkan uruan waku. Daa ime series ersebu dapa digunakan unuk membua peramalan dan naninya hasil peramalan dapa digunakan sebagai bahan perimbangan dalam pengambilan kebijakan perusahaan. Unuk menenukan meode peramalan pada daa ime series perlu dikeahui pola dari daa ersebu sehingga peramalan dengan meode yang sesuai dengan pola daa dapa dilakukan. Pola daa dapa dibedakan menjadi empa jenis, yaiu pola musiman, siklis, rend, dan irregular (Hanke dan Wichern, 2005: 158). Pola musiman merupakan flukuasi dari daa yang erjadi secara periodik dalam kurun waku sau ahun, seperi riwulan, kuaralan, bulanan, mingguan, aau harian. Pola siklis merupakan flukuasi dari daa unuk waku yang lebih dari sau ahun. Pola ini suli dideeksi dan idak dapa dipisahkan dari pola rend. Pola rend merupakan kecenderungan arah daa dalam jangka panjang, dapa berupa kenaikan maupun penurunan. Sedangkan pola irregular merupakan kejadian yang idak erduga dan bersifa acak, eapi kemunculannya dapa mempengaruhi flukuasi daa ime series (Sanoso, 2009: 9-10). Dalam rangka meramalkan jumlah penumpang di Bandar Udara Inernasional Adisujipo Yogyakara, akan dibandingkan dua meode peramalan, yaiu Winer s Exponenial Smoohing dan Seasonal Auoregressive Inegraed

21 3 Moving Average (ARIMA). Meode Winer s Exponenial Smoohing digunakan keika daa menunjukkan pola rend dan musiman. Meode ini serupa dengan meode Hol s Exponenial Smoohing dengan sau persamaan ambahan unuk mengaasi pola musiman (Makridakis, 1999: 97). Sedangkan meode Seasonal ARIMA digunakan apabila daa menunjukkan pola musiman. Berdasarkan daa yang diperoleh, jumlah penumpang pesawa erbang di Bandar Udara Inernasional Adisujipo Yogyakara menunjukkan pola musiman sehingga meode Winer s Exponenial Smoohing dan Seasonal ARIMA dapa digunakan unuk meramalkan jumlah penumpang di masa yang akan daang. Seperi dikeahui bahwa idak ada meode peramalan yang dapa dengan epa meramalkan keadaan daa di masa yang akan daang. Oleh karena iu, seiap meode peramalan pasi menghasilkan kesalahan. Jika ingka kesalahan yang dihasilkan semakin kecil, maka hasil peramalan akan semakin mendekai epa. Ala ukur yang digunakan unuk menghiung kesalahan prediksi, anara lain Mean Squared Deviaion (MSD), Mean Absolue Deviaion (MAD), dan Mean Absolue Percenage Error (MAPE). B. Pembaasan Masalah Dalam penulisan ini penulis hanya membaasi pada penerapan meode Winer s Exponenial Smoohing dan Seasonal ARIMA, sera perbandingan keduanya unuk peramalan jumlah kedaangan dan keberangkaan penumpang domesik pada PT. Angkasa Pura I (Persero) Kanor Cabang Bandar Udara

22 4 Inernasional Adisujipo Yogyakara dengan Mean Squared Deviaion (MSD) sebagai pembandingnya. C. Rumusan Masalah Berdasarkan laar belakang di aas, maka dapa dirumuskan permasalahan sebagai beriku: 1. Bagaimana model peramalan jumlah kedaangan dan keberangkaan penumpang domesik pada PT. Angkasa Pura I (Persero) Kanor Cabang Bandar Udara Inernasional Adisujipo Yogyakara dengan meode Winer s Exponenial Smoohing? 2. Bagaimana model peramalan jumlah kedaangan dan keberangkaan penumpang domesik pada PT. Angkasa Pura I (Persero) Kanor Cabang Bandar Udara Inernasional Adisujipo Yogyakara dengan meode Seasonal ARIMA? 3. Bagaimana perbandingan hasil peramalan jumlah kedaangan dan keberangkaan penumpang domesik di PT. Angkasa Pura I (Persero) Kanor Cabang Bandar Udara Inernasional Adisujipo Yogyakara dengan menggunakan meode Winer s Exponenial Smoohing dan Seasonal ARIMA berdasarkan nilai MSD? D. Tujuan Peneliian Tujuan dari penulisan dan peneliian ini, anara lain:

23 5 1. Mengeahui model peramalan jumlah kedaangan dan keberangkaan penumpang domesik pada PT. Angkasa Pura I (Persero) Kanor Cabang Bandar Udara Inernasional Adisujipo Yogyakara dengan meode Winer s Exponenial Smoohing. 2. Mengeahui model peramalan jumlah kedaangan dan keberangkaan penumpang domesik pada PT. Angkasa Pura I (Persero) Kanor Cabang Bandar Udara Inernasional Adisujipo Yogyakara dengan meode Seasonal ARIMA. 3. Mengeahui perbandingan hasil peramalan jumlah kedaangan dan keberangkaan penumpang domesik di PT. Angkasa Pura I (Persero) Kanor Cabang Bandar Udara Inernasional Adisujipo Yogyakara dengan menggunakan meode Winer s Exponenial Smoohing dan Seasonal ARIMA berdasarkan nilai MSD. E. Manfaa Peneliian Hasil dari peneliian ini diharapkan dapa memberikan manfaa, anara lain: 1. Dapa membanu PT. Angkasa Pura I (Persero) Kanor Cabang Bandar Udara Inernasional Adisujipo Yogyakara dalam meramalkan jumlah kedaangan dan keberangkaan penumpang domesik unuk periode ke depan. 2. Dengan mengeahui nilai peramalan jumlah kedaangan dan keberangkaan penumpang domesik, dapa diperhiungkan besarnya pendapaan PT.

24 6 Angkasa Pura I (Persero) Kanor Cabang Bandar Udara Inernasional Adisujipo Yogyakara unuk periode ke depan. 3. Dapa membanu PT. Angkasa Pura I (Persero) Kanor Cabang Bandar Udara Inernasional Adisujipo Yogyakara dalam pengambilan kebijakan unuk mengaasi peningkaan jumlah penumpang.

25 BAB II KAJIAN PUSTAKA BAB ini berisi penjelasan enang pengerian peramalan (forecasing), analisis ime series, sasionerias, proses whie noise, uji normalias residu, seasonalias (musiman), meode smoohing, meode Hol s Exponenial Smoohing, meode Winer s Exponenial Smoohing, meode Seasonal ARIMA, dan keepaan meode peramalan. A. Peramalan (Forecasing) Peramalan (forecasing) dilakukan hampir semua orang, baik iu pemerinah, pengusaha, maupun orang awam. Masalah yang diramalkan pun bervariasi, seperi perkiraan curah hujan, kemungkinan pemenang dalam pilkada, skor perandingan, aau ingka inflasi. Definisi dari peramalan adalah memperkirakan besarnya aau jumlah sesuau pada waku yang akan daang berdasarkan daa pada masa lampau yang dianalisis secara alamiah khususnya menggunakan meode saisika (Sudjana, 1989: 254). Peramalan biasanya dilakukan unuk mengurangi keidakpasian erhadap sesuau yang akan erjadi di masa yang akan daang. Suau usaha unuk mengurangi keidakpasian ersebu dilakukan dengan menggunakan meode peramalan. Menuru Makridakis (1999: 8), meode peramalan dibagi ke dalam dua kaegori uama, yaiu meode kualiaif dan meode kuaniaif. Meode kualiaif dilakukan apabila daa masa lalu idak sehingga peramalan 7

26 8 idak bisa dilakukan. Dalam meode kualiaif, pendapa pendapa dari para ahli akan menjadi perimbangan dalam pengambilan kepuusan sebagai hasil dari peramalan yang elah dilakukan. Namun, apabila daa masa lalu ersedia, peramalan dengan meode kuaniaif akan lebih efekif digunakan dibandingkan dengan meode kualiaif. Menuru Sanoso (2009: 37), peramalan dengan meode kuaniaif dapa dibagi menjadi dua bagian, yaiu ime series model dan causal model. Time series model didasarkan pada daa yang dikumpulkan, dicaa, aau diamai berdasarkan uruan waku dan peramalannya dilakukan berdasarkan pola erenu dari daa. Ada empa pola daa yang menjadi dasar peramalan dengan model ini, yaiu pola musiman, siklis, rend, dan irregular. Pola musiman merupakan flukuasi dari daa yang erjadi secara periodik dalam kurun waku sau ahun, seperi riwulan, kuaralan, bulanan, mingguan, aau harian. Pola siklis merupakan flukuasi dari daa unuk waku yang lebih dari sau ahun. Pola ini suli dideeksi dan idak dapa dipisahkan dari pola rend. Pola rend merupakan kecenderungan arah daa dalam jangka panjang, dapa berupa kenaikan maupun penurunan. Sedangkan pola irregular merupakan kejadian yang idak erduga dan bersifa acak, eapi kemunculannya dapa mempengaruhi flukuasi daa ime series. Meode peramalan yang ermasuk dalam ime series model, anara lain moving averages, exponenial smoohing, dan Box Jenkins (ARIMA). Causal model didasarkan pada hubungan sebab akiba dan peramalan dilakukan dengan dugaan adanya hubungan anar variabel yang sau dengan yang lain. Pada model ini dikembangkan mana

27 9 variabel dependen dan mana variabel independen, kemudian dilanjukan dengan membua sebuah model dan peramalan dilakukan berdasarkan model ersebu. Tahapan aau langkah langkah unuk melakukan peramalan, anara lain: 1. Menenukan masalah yang akan dianalisis (perumusan masalah) dan mengumpulkan daa yang dibuuhkan dalam proses analisis ersebu. 2. Menyiapkan daa sehingga daa dapa diproses dengan benar. 3. Meneapkan meode peramalan yang sesuai dengan daa yang elah disiapkan. 4. Menerapkan meode yang sudah dieapkan dan melakukan prediksi pada daa unuk beberapa waku depan. 5. Mengevaluasi hasil peramalan. B. Analisis Time Series Analisis ime series dikenalkan oleh George E. P. Box dan Gwilym M. Jenkins pada ahun 1970 melalui bukunya yang berjudul Time Series Analysis: Forecasing and Conrol (Iriawan dan Asui, 2006: 341). Analisis ime series merupakan meode peramalan kuaniaif unuk menenukan pola daa pada masa lampau yang dikumpulkan berdasarkan uruan waku, yang disebu daa ime series. Beberapa konsep yang berkaian dengan analisis ime series adalah Auocorrelaion Funcion (ACF) aau fungsi auokorelasi dan Parial

28 10 Auocorrelaion Funcion (PACF) aau fungsi auokorelasi parsial. Auokorelasi merupakan korelasi aau hubungan anar daa pengamaan suau daa ime series. Menuru Makridakis (1999: 338), koefisien auokorelasi unuk lag k dari daa runun waku dinyaakan sebagai beriku: r nk 1 k k n Z Z Zk Z 1 Z Z 2 (2.1) dengan r k Z k = koefisien auokerelasi = nilai variabel Z pada waku Z = nilai variabel Z pada waku k Z = nilai raa raa variabel Z. Menuru Mulyana (2004: 8), karena rk merupakan fungsi aas k, maka hubungan koefisien auokorelasi dengan lagnya disebu dengan fungsi auokorelasi dan dinoasikan dengan k. Unuk mengeahui apakah koefisien auokorelasi signifikan aau idak, perlu dilakukan uji. Pengujian dapa dilakukan menggunakan saisik uji rk SE rk dengan SE rk 1 dengan hipoesis H0 n : 0 k (koefisien auokorelasi yang diperoleh idak signifikan) dan H : 0 1 k (koefisien auokorelasi yang diperoleh signifikan). Krieria kepuusan H0 diolak jika hi., n 1 2 Selain menggunakan uji ersebu, unuk mengeahui apakah koefisien auokorelasi yang diperoleh signifikan aau idak dapa diliha pada oupu MINITAB, yaiu grafik ACF. Jika pada grafik ACF idak ada lag (bar)

29 11 yang melebihi garis baas signifikansi (garis puus puus), maka koefisien auokorelasi yang diperoleh signifikan aau idak erjadi korelasi anar lag. Auokorelasi parsial merupakan korelasi anara Z dan Z k dengan mengabaikan keidakbebasan Z 1, Z2,, Zk 1. Menuru Wei (2006: 11), auokorelasi parsial Z dan Z k dapa diurunkan dari model regresi linear, dengan variabel dependen Z dan variabel independen Z, 1 Z 2,, k k k dan Z, yaiu Z Z Z Z a (2.2) k k1 k 1 k 2 k 2 kk k dengan ki merupakan parameer regresi ke-i unuk i 1, 2,, k dan a k merupakan residu dengan raa raa nol dan idak berkorelasi dengan Z k j Z unuk j 1, 2,, k. Dengan mengalikan k j pada kedua ruas persamaan (2.2) dan menghiung nilai harapannya (expeced value), diperoleh k j k k 1 k j k k 2 k j k1 kk k j k2 k j k E Z Z E Z Z E Z Z E Z Z E Z e (2.3) j k1 j1 k 2 j2 kk jk dan (2.4) j k1 j1 k 2 j2 kk jk. Unuk j 1, 2,, k, diperoleh sisem persamaan beriku 1 k1 0 k 2 1 kk k 1 2 k1 1 k 2 0 kk k 2. k k1 k 1 k 2 k 2 kk 0 (2.5)

30 12 Dengan menggunakan auran Cramer, beruru uru unuk k 1, 2,, diperoleh kk k k 3 2 k 1 k 2 k 3 1 k k 2 k k 3 k 2 k 1 k 2 k (2.6) Karena kk merupakan fungsi aas k, maka kk disebu fungsi auokorelasi parsial. C. Sasionerias Sasionerias berari bahwa idak erdapa perubahan yang drasis pada daa. Flukuasi daa berada di sekiar suau nilai raa raa yang konsan, idak

31 daa daa 13 erganung pada waku dan varians dari flukuasi ersebu (Makridakis, 1999: 351). Benuk visual dari plo daa ime series sering kali cukup meyakinkan para forecaser bahwa daa ersebu sasioner aau nonsasioner. Daa ime series dikaakan sasioner dalam raa raa jika raa raanya eap (idak erdapa pola rend). Gambar 1 merupakan conoh plo daa ime series yang sasioner dalam raa raa dan varians. Gambar 2 menunjukkan plo daa ime series yang nonsasioner dalam raa raa. 0 waku Gambar 1. Conoh plo daa sasioner dalam raa raa dan varians 0 waku Gambar 2. Conoh plo daa nonsasioner dalam raaraa Daa ime series dikaaan sasioner dalam varians jika flukuasi daanya eap aau konsan (horizonal sepanjang sumbu waku), seperi pada Gambar 3.

32 14 0daa waku Gambar 3. Conoh plo daa sasioner dalam varians Unuk mensasionerkan daa nonsasioner dalam raa raa dapa dilakukan proses differencing (pembedaan). Operaor shif mundur (backward shif) sanga epa unuk menggambarkan proses differencing (Makridakis, 1999: 383). Penggunaan backward shif adalah sebagai beriku BZ (2.7) Z 1 dengan Z = nilai variabel Z pada waku Z 1 = nilai variabel Z pada waku 1 B = backward shif. Noasi B yang dipasang pada Z mempunyai pengaruh menggeser daa sau waku belakang. Sebagai conoh, jika suau daa ime series nonsasioner, maka daa ersebu dapa dibua mendekai sasioner dengan melakukan differencing orde perama dari daa. Rumus unuk differencing orde perama, yaiu ' Z Z Z 1 (2.8) dengan ' Z = nilai variabel Z pada waku seelah differencing. menjadi Dengan menggunakan backward shif, persamaan (2.8) dapa diulis

33 15 Z Z BZ (2.9) ' ' aau Z 1 B Z. (2.10) Differencing perama pada persamaan (2.10) dinyaakan oleh 1 B. Differencing orde kedua, yaiu differencing perama dari differencing perama sebelumnya. Jika differencing orde kedua harus dihiung, maka '' ' ' Z Z Z 1 Z Z Z Z Z 2Z Z B B Z 1 B Z. (2.11) Differencing orde kedua pada persamaan (2.11) dinoasikan oleh 1 B 2. Secara umum jika erdapa differencing orde ke d unuk mencapai sasionerias, maka dapa dinoasikan dengan d 1 B, d 1. (2.12) Sedangkan unuk mensasionerkan daa nonsasioner dalam varians dapa dilakukan ransformasi. Pendekaan uama unuk memperoleh sasionerias dalam varians adalah melalui suau ransformasi logarima aau ransformasi kemampuan daa (Makridakis, 1995: 401). Jika daa elah sasioner seelah dilakukan ransformasi, maka ahap selanjunya dapa dilakukan.

34 16 D. Proses Whie Noise Suau proses a disebu proses whie noise jika erdapa sebuah barisan variabel random yang idak berkorelasi dengan raa raa konsan 0 0, variansi konsan Var a 2, dan Cova a E a a, 0 k k unuk k 0 (Wei, 2006: 15). Sesuai dengan definisi ersebu, proses whie noise adalah sasioner dengan fungsi auokovarians 2 a, k 0, k 0, k 0, (2.13) fungsi auokorelasi k dan fungsi auokorelasi parsial 1, k 0, 0, k 0, (2.14) k 1, k 0, 0, k 0. (2.15) Dasar dari proses whie noise adalah nilai fungsi auokorelasi dan fungsi auokorelasi parsial dari residu mendekai nol. Unuk mengeahui apakah residu memenuhi proses whie noise aau idak, perlu dilakukan uji, salah saunya dengan Uji Ljung Box. Pengujian dapa dilakukan dengan saisik uji Q nn 2 m k 1 2 rk n k dengan hipoesis H0 1 k : 0 (residu memenuhi proses whie noise) dan H : 0, 1 i unuk i 1, 2, k (residu idak memenuhi proses whie noise). Krieria kepuusan H0 diolak jika 2 Q,k p q dengan p dan q adalah orde dari

35 17 ARMA(p,q) dan k adalah ime lag. Residu memenuhi proses whie noise jika residu bersifa random dan berdisribusi normal. Residu bersifa random jika pada grafik ACF residu idak ada lag (bar) yang melebihi garis baas signifikansi (garis puus puus). E. Uji Normalias Residu Uji normalias residu dilakukan unuk mengeahui apakah residu berdisribusi normal aau idak. Pengujian dapa dilakukan dengan analisis grafik normal probabiliy plo. Jika residu berdisribusi normal, maka residu akan berada disekiar garis diagonal, seperi pada Gambar 4. Sebaliknya, jika residu idak berdisribusi normal, maka residu akan menyebar Normal Probabiliy Plo (response is Kedaangan) 99 Percen Residual Gambar 4. Conoh grafik normal probabiliy plo unuk residu berdisribusi normal F. Seasonalias (Musiman) Pola musiman merupakan pola yang berulang ulang dalam selang waku yang eap dan umumnya idak lebih dari sau ahun. Apabila dalam

36 18 daa hanya erdapa pola musiman, adanya fakor musim dapa diliha dari grafik fungsi auokorelasinya aau dari perbedaan lag auokorelasinya. Namun, jika daa idak hanya dipengaruhi pola musiman, eapi juga dipengaruhi pola rend, maka pola musiman idah mudah unuk diidenifikasi. Auocorrelaion Auocorrelaion Funcion for SALES (wih 5% significance limis for he auocorrelaions) Lag Gambar 5. Conoh grafik fungsi auokorelasi unuk daa yang dipengaruhi pola rend (Sanoso, 2009: 174) Auocorrelaion Auocorrelaion Funcion for Sales (wih 5% significance limis for he auocorrelaions) Lag Gambar 6. Conoh grafik fungsi auokorelasi unuk daa yang dipengaruhi pola musiman bulanan (Hanke dan Wichern, 2005: 415) Apabila pola rend lebih kua dibandingkan dengan pola musiman, maka auokorelasi dari daa asli akan membenuk garis, seperi pada Gambar 5. Sedangkan, jika daa dipengaruhi pola musiman, maka koefisien auokorelasi

37 19 pada lag musiman berbeda nyaa dari nol (bar melebihi garis puus puus), seperi pada Gambar 6. G. Meode Smoohing Suau daa runun waku yang mengandung pola rend, pola musiman, aau mengandung pola rend dan musiman sekaligus, maka meode raa raa sederhana idak dapa digunakan unuk menggambarkan pola daa ersebu. Peramalan pada daa ersebu dapa dilakukan dengan meode smoohing. Smoohing adalah mengambil raa raa dari nilai nilai pada beberapa ahun unuk menaksir nilai pada suau ahun (Subagyo, 1986: 7). Meode smoohing diklasifikasikan menjadi dua kelompok, yaiu meode peraaan dan meode pemulusan eksponensial (exponenial smoohing) (Makridakis, 1999: 63). Sesuai dengan pengerian konvensional enang nilai raa raa, meode peraaan merupakan pemboboan yang sama erhadap nilai nilai observasi. Meode meode yang ermasuk ke dalam kelompok meode peraaan, anara lain: 1. Raa raa sederhana dari semua daa masa lalu. 2. Raa raa bergerak unggal (single moving average) dari n nilai observasi yang erakhir. 3. Raa raa bergerak ganda (double moving average) aau raa raa bergerak dari raa raa bergerak, yang akhirnya menjadi raa raa yang berbobo idak sama dan dapa digunakan dalam meode peramalan yang disebu raa raa bergerak linear (linear moving average).

38 20 4. Raa raa bergerak dengan orde yang lebih inggi, eapi meode ini jarang digunakan dalam peramalan prakis. Apabila daa dipengaruhi oleh pola rend maupun musiman, meode peraaan idak dapa digunakan unuk peramalan. Peramalan pada daa yang dipengaruhi pola rend maupun musiman dilakukan dengan menggunakan meode exponenial smoohing. Meode exponenial smoohing menggunakan bobo yang berbeda unuk daa masa lalu dan bobo ersebu mempunyai ciri menurun secara eksponensial. Meode dalam kelompok ini memerlukan adanya penenuan parameer erenu dan nilai dari parameer erleak anara 0 dan 1 (Makridakis, 1999: 63). Meode yang ermasuk dalam meode exponenial smoohing, anara lain: 1. Pemulusan eksponensial unggal (single exponenial smoohing). Meode ini dibagi menjadi dua, yaiu: a. Pemulusan eksponensial unggal dengan sau parameer b. Pemulusan eksponensial unggal dengan pendekaan adapif 2. Pemulusan eksponensial ganda (double exponenial smoohing) digunakan unuk menangani pola rend pada daa. Meode ini dibagi menjadi dua, yaiu: a. Meode linear sau parameer dari Brown menggunakan parameer yang sama unuk dua pemulusan eksponensial yang digunakan. Meode ini menggunakan rumus pemulusan berganda secara langsung, yaiu pemulusan anara pola rend dan pola lainnya dilakukan secara bersama sama dengan hanya menggunakan sau parameer.

39 21 b. Meode dua parameer dari Hol menggunakan dua parameer berbeda unuk dua pemulusan eksponensial yang digunakan. Meode ini memuluskan pola rend secara erpisah dengan menggunakan parameer yang berbeda dari parameer yang digunakan pada daa asli. 3. Pemulusan eksponensial ripel (riple exponenial smoohing) digunakan unuk menangani pola rend dan pola musiman pada daa. Meode ini dibagi menjadi dua, yaiu: a. Meode kuadraik sau parameer dari Brown pendekaan dasarnya adalah memasukkan ingka pemulusan ambahan dan pada peramalannya diberlakukan persamaan kuadraik. b. Meode rend dan musiman iga parameer dari Winer merupakan perluasan dari meode dua parameer dari Hol dengan ambahan sau persamaan unuk mengaasi pola musiman pada daa. 4. Pemulusan eksponensial klasifikasi Pegels mengacu pada pemulusan eksponensial dengan rend muliplikaif dan musiman muliplikaif. H. Meode Hol s Exponenial Smoohing Meode Hol s exponenial smoohing aau meode pumulusan eksponensial dua parameer dari Hol dipopulerkan pada ahun 1957 (Sanoso, 2009: 100). Meode ini digunakan jika daa dipengaruhi pola rend dan daa nonsasioner. Hol s exponenial smoohing memuluskan pola rend dengan parameer yang berbeda dengan parameer yang digunakan pada daa asli.

40 22 Menuru Hanke dan Wichern (2005: 121), ada iga persamaan yang digunakan dalam meode ini, yaiu: 1. Pemulusan eksponensial daa asli 1 L Y L 1 T 1 (2.16) 2. Pemulusan pola rend 1 T L L T (2.17) Ramalan p periode ke depan Yˆ p L pt (2.18) dengan L Y = nilai pemulusan eksponensial pada waku = daa observasi pada waku ke T = nilai pemulusan rend pada waku = konsana pemulusan unuk daa asli 0 = konsana pemulusan unuk pola rend 0 Yˆ p p = nilai peramalan unuk p periode ke depan = jumlah periode ke depan yang akan diramalkan I. Meode Winer s Exponenial Smoohing Hol s exponenial smoohing epa digunakan jika daa hanya dipengaruhi pola rend. Namun, jika daa idak hanya dipengaruhi pola rend, eapi juga pola musiman, maka Hol s exponenial smoohing idak epa digunakan unuk melakukan peramalan karena idak dapa mendeeksi adanya pola musiman. Oleh karena iu, Winer menyempurnakan Hol s exponenial smoohing dengan menambahkan sau parameer unuk mengaasi pola musiman pada daa. Meode ini dibagi menjadi dua model, yaiu model adiif dan muliplikaif. Perhiungan dengan model adiif dilakukan jika plo daa

41 23 asli menunjukkan flukuasi musim yang relaif sabil, sedangkan model muliplikaif digunakan jika plo daa asli menunjukkan flukuasi musim yang bervariasi. daa waku Gambar 7. Conoh plo daa asli model adiif (Hanke dan Wichern, 2005: 160) daa waku Gambar 8. Conoh plo daa asli model muliplikaif (Hanke dan Wichern, 2005: 160) Persamaan persamaan yang digunakan dalam model adiif, yaiu: 1. Pemulusan eksponensial daa asli 1 L Y S L T (2.19) s Pemulusan pola rend 1 T L L T (2.20) 1 1

42 24 3. Pemulusan pola musiman 1 S Y L Ss (2.21) 4. Ramalan p periode ke depan depan Y L pt S (2.22) ˆ p s p dengan S = nilai pemulusan musiman pada waku = konsana pemulusan unuk pola musiman 0 s = periode musiman Menuru Hanke dan Wichern (2005: 126), ada empa persamaan yang digunakan dalam model muliplikaif, yaiu: 1. Pemulusan eksponensial daa asli Y L 1 L T (2.23) 1 1 Ss 2. Pemulusan pola rend 1 T L L T (2.24) Pemulusan pola musiman S Y 1 Ss (2.25) L 4. Ramalan p periode ke depan Y ˆ L pt S. (2.26) p s p J. Meode Seasonal ARIMA Meode Seasonal Auoregressive Inegraed Moving Average (ARIMA) merupakan meode ARIMA yang digunakan unuk menyelesaikan ime series musiman. Meode ini erdiri dari dua bagian, yaiu bagian idak musiman dan

43 25 bagian musiman. Bagian idak musiman dari meode ini adalah model ARIMA. Model ARIMA erdiri dari model auoregressive dan model moving average. 1. Model Auoregressive (AR) Model AR adalah model yang menggambarkan bahwa variabel dependen dipengaruhi oleh variabel dependen iu sendiri pada periode sebelumnya. Menuru Wei (2006: 33), model AR orde ke-p aau AR(p) secara umum dapa diuliskan sebagai beriku: Z Z Z a (2.27) 1 1 p p dengan Z = nilai variabel dependen pada waku Z,, 1 Z p = nilai variabel dependen pada ime-lag 1,, p,, 1 p = koefisien auoregressive a = nilai residu pada waku. Persamaan (2.27) dapa diulis dalam benuk dengan p 1B 2B pb Z a aau p p B 1 B B B. p B Z a (2.28) p Unuk menemukan fungsi auokorelasinya, persamaan (2.28) dikalikan dengan, hasilnya Z k Z Z Z Z Z Z Z a (2.29) k 1 k 1 p k p k.

44 26 Jika memasukkan nilai harapan (expeced value) pada kedua ruas persamaan (2.29) dan diasumsikan erdapa sasionerias, maka persamaan ersebu akan menjadi k k p k p k E Z Z E Z Z E Z Z E Z a (2.30) 1 1. Karena nilai residu a bersifa random dan idak berkorelasi dengan, maka E Z ka adalah nol unuk 0 k, maka persamaan (2.30) Z k akan menjadi k 0. (2.31) k 1 k 1 p k p, Jika kedua ruas pada persamaan (2.31) dibagi dengan 0, maka diperoleh k 1 k 1 p k p 0 0 aau k 0. (2.32) k 1 k 1 p k p, Jika k 1 k 1 pk p unuk k 0, maka dapa diliha bahwa keika k p pada kolom erakhir mariks pembilang dari kk pada persamaan (2.6) dapa diulis sebagai kombinasi linear dari kolom sebelumnya pada mariks yang sama. Oleh karena iu, fungsi auokorelasi parsial kk akan erpuus seelah lag p. Sebagai conoh, model AR dengan orde 1 aau AR(1) dapa diulis Z Z a 1 1 aau

45 27 11B Z a Agar proses sasioner, maka akar dari 1 B 0 harus erleak di luar 1 lingkaran sauan dan proses ini sasioner jika 1 1. Fungsi auokovariansnya adalah k, 1 k 1 k 1. sehingga fungsi auokorelasinya adalah k 1. k k, 1 k 1 1 Fungsi auokorelasi parsial dari proses AR(1) adalah kk, 1 1 k 1, 0, k 2. beriku ini Pola ACF dan PACF model AR(1) diunjukkan oleh Gambar a. ACF b. PACF Gambar 9. Pola ACF dan PACF model AR(1) (Suharono, 2005: 37)

46 28 2. Model Moving Average (MA) Secara umum model MA orde ke-q aau MA(q) dapa diulis sebagai beriku: Z a a a (2.33) 1 1 q q dengan Z = nilai variabel dependen pada waku a, a,, a = nilai residu pada waku, 1,, q 1 q,, 1 q = koefisien Moving Average. Persamaan (2.33) dapa diulis dalam benuk dengan 2 Z 1 B B B a 2 q 1 2 q 1 2 aau q q B 1 B B B. q Z B a (2.34) q Karena q, maka proses MA berhingga selalu sasioner. hasilnya Apabila kedua ruas pada persamaan (2.33) dikalikan dengan, k q q k k q k q Z k Z Z a a a a a a (2.35) Jika memasukkan nilai harapan (expeced value) pada kedua ruas persamaan (2.35), maka persamaan ersebu akan menjadi k 1 1 q q a 1a 1 a E Z Z E a a a k k q k q

47 29 k E aa k 1aa k 1 qaa k q a a a a a a k 1 1 k 1 1 q 1 k q 2 a a a a a a (2.36) q q k q 1 q k 1 q q k q. Nilai harapan pada persamaan (2.36) erganung pada nilai k. Jika k 0, maka persamaan (2.36) menjadi 2 2 q q q (2.37) 0 E a a 0 E 1 a 1a 0 1 E a a 0. Seluruh suku yang lain pada persamaan (2.36) hilang karena Jadi, persamaan (2.37) menjadi 0 E a a unuk i 0 i dan 2 E aa i e unuk i a 1 a q a 1. (2.38) q a Persamaan (2.38) merupakan varians dari proses model MA(q). Jika k 1, maka persamaan (2.36) menjadi q q q q E a a E a a E a a e 1 2 e q1 q e 2 q q e Secara umum unuk k k, persamaan (2.36) menjadi 2 (2.39) k k 1 k 1 q k q e. sehingga fungsi auokovarians dari proses MA(q) adalah

48 30 k 2 k k qkq e 1 1, k 1, 2,, q, 0, k q. (2.40) Dengan membagi persamaan (2.40) dengan persamaan (2.38), maka fungsi auokorelasinya adalah k 1 k 1 qkq, k 1 q 0, k 1, 2,, q, k q. (2.41) Fungsi auukorelasi parsial dari bagian akhir proses umum MA(q) merupakan pemulusan eksponensial dan/aau gelombang sinus erganung 2 q dari akar akar 1 B B B q PACF akan berisi gelombang sinus jika akar akarnya berupa bilangan kompleks. Sebagai conoh, model MA(1) dinyaakan sebagai beriku Z a 1a 1 1 1B a. Fungsi auokovarians dari model ini adalah k a, 2 1 a, 0, k 0, k 1, k 1. Fungsi auokorelasinya adalah 1, 2 k 1, 1 k 1 k 1. 0, dan fungsi auokorelasi parsialnya adalah

49 Secara umum, PACF unuk model MA(1) adalah 1. kk 1 1 k k 1 1, unuk k 1. beriku ini Pola ACF dan PACF model MA(1) diunjukkan oleh Gambar a. ACF b. PACF Gambar 10. Pola ACF dan PACF model MA(1) (Suharono, 2005: 50) 3. Model Auoregressive Moving Average (ARMA) MA(q), yaiu Model ARMA(p,q) merupakan kombinasi dari model AR(p) dan

50 32 Z Z Z a a a (2.42) 1 1 p p 1 1 q q. Persamaan (2.42) dapa diulis dalam benuk hasilnya 2 p 2 q B B B Z B B B a (2.43) p q aau B Z B a. (2.44) p q Apabila kedua ruas pada persamaan (2.42) dikalikan dengan, Z k Z kz 1Z kz 1 pz kz p Z ka 1Z ka 1 Z a (2.45). q k q Jika memasukkan nilai harapan (expeced value) pada kedua ruas persamaan (2.45), maka persamaan ersebu akan menjadi Karena E Z a 0 E Z a E Z a k 1 k 1 p k p k 1 k 1 E Z a. (2.46) k i q k q unuk k i, maka k q 1 k 1 k 1 p k p, (2.47) dan fungsi auokorelasinya adalah k q k 1 k 1 p k p, 1. (2.48) Karena proses ARMA merupakan kasus khusus dari proses MA, maka fungs auokorelasi parsialnya juga merupakan pemulusan eksponensial dan/aau gelombang sinus erganung dari akar akar 2 q 11B 2B qb 0.

51 33 Sebagai conoh, model ARMA(1,1) dinyaakan sebagai beriku Z Z a a (2.49) Fungsi auokovarians diperoleh dengan mengalikan persamaan (2.49) dengan, Z k hasilnya Z Z Z Z Z a Z a k 1 k 1 k 1 k 1 dan nilai harapannya adalah (2.50). k 1 k 1 E Zka 1E Zka 1 Unuk k 0, persamaan (2.50) menjadi E Z a Jika E Z 2 a a, maka E Z a 1 Oleh karena iu, E Z a. 1 1 dapa dijabarkan sebagai beriku E Z a E Z a E a a E a 2 a a a. (2.51) Unuk k 1, persamaan (2.50) menjadi a. (2.52) Jika persamaan (2.52) disubsiusikan ke persamaan (2.51), maka a a 1 1 a 1 a a (2.53) Subsiusikan persamaan (2.53) ke persamaan (2.52) sehingga

52 a 1 a 11 1 a Unuk k 2, persamaan (2.50) menjadi k, 1 k 1 k 2. Oleh karena iu, fungsi auokorelasi dari model ARMA(1,1) adalah 1, k 1 k 1, a 11, k 0, k 1, k 2. Benuk umum fungsi auokorelasi parsial dari model ini cukup rumi sehingga idak diperlukan. Hal yang perlu dikeahui bahwa model ARMA(1,1) merupakan kasus khusus dari model MA(1). 11 beriku ini Pola ACF dan PACF model ARMA(1,1) diunjukkan oleh Gambar 1 0 dan dan 1 0 a. ACF b. PACF Gambar 11. Pola ACF dan PACF model ARMA(1,1) (Suharono, 2005: 60)

53 dan dan dan dan dan dan 1 0 ( 1 1 ) 0 ( 1 1 ) 0 ( 1 1 ) 0 ( 1 1 ) 0 a. ACF b. PACF Lanjuan Gambar 11. Pola ACF dan PACF model ARMA(1,1) (Suharono, 2005: 60 61) 4. Model Auoregressive Inegraed Moving Average (ARIMA) Model ARMA(p,q) pada persamaan (2.43), yaiu 2 p 2 q B B B Z B B B a p q

54 36 dapa juga diulis 2 p 2 q dengan B B B Z B B B a (2.54) p q 2 p B B pb p 1 1. (2.55) Dari persamaan (2.54), model AR(p) menjadi dan model MA(q) menjadi Dalam proses MA(q), p 1 2 p 0 1 B B B Z a (2.56) Z B B B a (2.57) 2 q q. Model ARIMA dilakukan pada daa sasioner aau daa yang didifferencing sehingga daa elah sasioner. Secara umum, model ARIMA dinoasikan sebagai beriku ARIMA(p,d,q) dengan p = orde model auoregressive q = orde model moving average d = banyaknya differencing. Model ini merupakan gabungan dari model ARMA(p,q) dan proses differencing, yaiu dengan 2 d B 1 B Z B a. (2.58) p 0 q B 1 B B B p 1 2 q B 1 B B B. dan 2 q 1 2 p q p

55 37 Parameer 0 mempunyai peran yang berbeda unuk d 0 dan d 0. Unuk d 0, daa asli elah sasioner dan seperi pada persamaan (2.55) bahwa 0 merupakan raa raa proses, yaiu p Sedangkan unuk d 1, daa asli nonsasioner dan 0 rend deerminisik yang biasanya dihilangkan. 5. Model Seasonal ARIMA 1. merupakan isilah Secara umum, model Seasonal ARIMA dinoasikan sebagai beriku ARIMA(p,d,q)(P,D,Q) s dengan (p,d,q) = bagian idak musiman dari model (P,D,Q) = bagian musiman dari model P = orde musiman unuk AR Q = orde musiman unuk MA D = banyaknya seasonal differencing s = jumlah periode per musim. Suau dere Z idak dikeahui periode variasi musiman dan idak musiman, benuk model ARIMA unuk dere iu adalah d B 1 B Z B b. (2.59) p q Jika erdapa b idak whie noise dengan korelasi anar periode musiman, maka fungsi auokorelasi unuk b js b b b j( s), 2 b adalah E b j 1, 2,3, (2.60) Unuk lebih mudah meliha korelasi anar periode, dapa direpresenasikan sebagai model ARIMA beriku s s D s 1 B B b B a (2.61) P Q

56 38 dengan 2 B 1 B B B P s s s Ps 1 2 P dan 2 B 1 B B B Q s s s Qs 1 2 Q s adalah persamaan polinomial dalam B. Jika akar akar dari polinomial polinomial ersebu berada di luar lingkaran uni dan a 0, maka proses ersebu adalah proses whie noise. Dengan mengkombinasikan persamaan (2.59) dan persamaan (2.61), diperoleh model Seasonal ARIMA, yaiu s d s D s 1 1 B B B B Z B B a (2.62) P p q Q dengan Z p q P Q B B B B Z, Z s s, d 0 la in n y a = fakor AR idak musiman = fakor MA idak musiman = fakor AR musiman = fakor MA musiman = raa raa Z. a a u D 0 Langkah langkah unuk melakukan peramalan dengan meode ARIMA adalah: 1. Melakukan proses idenifikasi model Pada proses idenifikasi model perama ama diuji apakah daa sasioner aau idak. Jika daa idak sasioner, maka dilakukan proses differencing, yaiu menenukan berapa nilai d. differencing perama, maka nilai d 1 Jika daa elah sasioner seelah dan seerusnya. Namun, jika daa elah sasioner anpa dilakukan differencing, maka nilai d 0. Seelah daa sasioner, maka dilakukan proses pemilihan model yang epa. Proses

57 39 ini disebu dengan idenifikasi model enaif. Proses pemilihan model yang epa dilakukan dengan mengidenifikasi orde AR dan MA pada grafik ACF dan PACF. Tabel 1. Pola ACF dan PACF Tidak Musiman No. Model ACF PACF 1. AR(p) dies down (menurun Cu off (erpuus) seelah secara eksponensial) lag p 2. MA(q) cu off (erpuus) seelah dies down (menurun lag q secara eksponensial) dies down (menurun dies down (menurun 3. ARMA(p,q) secara eksponensial) secara eksponensial) seelah lag (q p) seelah lag (p q) Tabel 2. Pola ACF dan PACF Musiman dengan s Periode Per Musim No. Model ACF PACF 1. AR(P) dies down (menurun cu off (erpuus) seelah secara eksponensial) lag Ps pada lag musiman 2. MA(Q) dies down (menurun cu off (erpuus) seelah secara eksponensial) lag Qs pada lag musiman dies down (urun cepa dies down (urun cepa 3. ARMA(P,Q) secara eksponensial) secara eksponensial) pada lag musiman pada lag musiman 2. Melakukan proses esimasi Proses esimasi merupakan proses pendugaan parameer unuk model ARIMA. Unuk mempermudah, proses esimasi biasanya dilakukan dengan program kompuer, salah saunya dengan program MINITAB. 3. Melakukan proses diagnosik Proses diagnosik, yaiu mengevaluasi model apakah elah memenuhi syara unuk digunakan. Evaluasi dilakukan dengan meliha apakah pada model erliha adanya auokorelasi dan residu sudah whie noise, yaiu

58 40 residu bersifa random dan berdisribusi normal. Unuk mengeahui apakah residu berifa random aau idak, dapa dilakukan uji korelasi residu dengan uji Ljung Box aau dapa diliha pada grafik ACF residu. Jika pada grafik ACF idak ada lag (bar) yang melebihi garis baas signifikansi (garis puus puus), maka residu bersifa random. Sedangkan unuk mengeahui apakah residu berdisribusi normal aau idak, dapa diliha pada grafik normal probabiliy plo residu. Jika residu mengikui garis diagonal, maka residu berdisribusi normal. 4. Menggunakan model unuk peramalan jika model memenuhi syara. K. Keepaan Penggunaan Meode Peramalan Penggunaan meode peramalan erganung pada pola daa yang akan dianalisis. Jika meode yang digunakan sudah dianggap benar unuk melakukan peramalan, maka pemilihan meode peramalan erbaik didasarkan pada ingka kesalahan prediksi (Sanoso, 2009: 40). Seperi dikeahui bahwa idak ada meode peramalan yang dapa dengan epa meramalkan keadaan daa di masa yang akan daang. Oleh karena iu, seiap meode peramalan pasi menghasilkan kesalahan. Jika ingka kesalahan yang dihasilkan semakin kecil, maka hasil peramalan akan semakin mendekai epa. anara lain: Ala ukur yang digunakan unuk menghiung kesalahan prediksi, 1. Mean Squared Deviaion (MSD) n 1 2 n 1 MSD Z Zˆ (2.63)