(T.9) PENAKSIRAN MODEL GARCH DENGAN METODE BOUNDED M-ESTIMATES

Transkripsi

1 PROSIDING ISSN : Seminar Nasional Saisika November 0 Vol, November 0 (T.9) PENAKSIRAN MODEL GARCH DENGAN METODE BOUNDED M-ESTIMATES Yahya Ubaid ), Budi Nurani R. ), Mulyana K. 3) )Mahasiswa Program Magiser Saisika Terapan Universias Padjadjaran )Saf Pengajar Jurusan Maemaika FMIPA Univerisas Padjadjaran 3)Saf Pengajar Saisika Jurusan FMIPA Universias Padjadjaran Jl. Ir. H. Juanda 4 Bandung ) ya.ubaid@gmail.com ) bnurani@gmail.com, 3) mulyanakanaan@yahoo.co.id Absrak Asumsi yang harus dipenuhi dalam membenuk model dere waku adalah sasionerias baik dari raa-raa aaupun variansinya. Terdapa daa dere waku yang suli diperoleh kesasioneran pada variansi seperi daa dere waku finansial (indeks harga saham, ingka suku bunga, inflasi aau kurs maa uang), dengan kaa lain variansinya idak konsan (heeroskedasisias). Model dere waku yang mengakomodasi heeroskedasisias adalah model ARCH (Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy). Pengembangan dari model ARCH adalah model GARCH (Generalized Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy). Meode penaksiran model GARCH yang biasa digunakan adalah Maximum Likelihood Esimaes. Meode ini didasarkan pada normal likelihood yang sanga sensiif erhadap adanya oulier, sehingga hasil penaksiran menjadi idak konsisen keika ada oulier. Unuk mengaasi hal ersebu diperlukan penaksir robus yang mampu memberikan hasil penaksiran yang konsisen. Meode Bounded M-Esimaes merupakan meode penaksiran model GARCH yang robus erhadap adanya oulier. Kaa Kunci: GARCH, oulier, Bounded M-Esimaes.. PENDAHULUAN Salah sau asumsi dalam dere waku adalah adanya auokorelasi, misalnya korelasi anara variabel waku sekarang dengan waku sebelumnya. Model dere waku yang sering digunakan anara lain Auoregressive (AR), Moving Average (MA), Auoregressive Moving Average (ARMA) dan Auoregressive Inegraeed Moving Average (ARIMA). Asumsi yang harus erpenuhi dalam membenuk model di aas adalah sasioner baik dari raa-raa aaupun variansinya. Mensasionerkan raa-raa bisa didapakan dengan mendiferensikan daa dere waku, Teapi unuk mensasionerkan variansi suli didapakan, karena keika daa dere waku didiferensi dan diperoleh sasioner pada raa-raa, daa ersebu menjadi lebih idak sasioner pada variansi. seperi daa dere waku finansial (indeks harga saham, ingka suku bunga, inflasi aau kurs maa uang) yang umumnya memiliki variansi yang idak konsan (heeroscedasiciy). Jurusan Saisika-FMIPA-Unpad 0 83

2 PROSIDING ISSN : Seminar Nasional Saisika November 0 Vol, November 0 Unuk menanggulangi keadaan ersebu maka diperlukan sebuah meode lain yang dapa digunakan sesuai dengan karakerisik yang dimiliki oleh daa dere waku finansial. Salah sau model dere waku yang mengakomodasi heeroskedasisias adalah model Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy (ARCH) yang diperkenalkan oleh Engle pada ahun 98. Menuru Engle, penggunaan meode ARCH pada daa dere waku yang mengalami heeroskedasisias berperan pening dalam meningkakan efisiensi. Pada model ini, variansi error daa dere waku sekarang hanya dipengaruhi oleh error dari variabel yang dielii pada waku sebelumnya. Kemudian, pada ahun 986, Tim Bollerslev mengembangkan meode ARCH dengan meode yang disebu Generalized Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy (GARCH). Model ini dianggap memberikan hasil yang lebih singka dan efekif daripada model ARCH karena dapa mengurangi keerganungan sejumlah besar lag error masa lalu. Pada model ini variansi error waku sekarang idak hanya dipengaruhi oleh error masa lalu eapi juga dipengaruhi oleh variansi error masa lalu. Model heeroskedasisias dere waku (ARCH/GARCH) biasanya diaksir dengan maximum likelihood (ML) yang diasumsikan bahwa disribusi dari sau pengamaan bersyara masa lalu adalah normal. Penaksiran ersebu didasarkan pada normal likelihood sanga sensiif erhadap kehadiran beberapa oulier. Jenis oulier yang elah dipelajari dalam dere waku anara lain addiive oulier dan innovaion oulier. Keberadaan oulier mempunyai pengaruh besar erhadap penaksiran-ml. Unuk mengaasi hal ersebu diperlukan penaksir robus yang mampu memberikan hasil penaksiran yang konsisen. Muler dan Yohai (007) mengenalkan penaksiran robus pada model GARCH dengan meode BM-esimaes (Bounded M-esimaes).. KERANGKA KONSEPTUAL. Model ARCH Engle (98) mengusulkan suau model unuk variansi idak konsan (heeroskedasisas) yang erganung pada nilai-nilai masa lalu, aau dikenal sebagai model Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy (ARCH), yang didefinisikan sebagai Z () ~ N (0, ) () 0 (3) Jurusan Saisika-FMIPA-Unpad 0 84

3 PROSIDING ISSN : Seminar Nasional Saisika November 0 Vol, November 0 dengan Z ~ (0,) (whie noise), dan posif. Model di aas disebu sebagai model ARCH(). Fungsi unuk variasi waku adalah,,... himpunan informasi yang ersedia pada waku -., yang merupakan Fungsi variansi pada persamaan (.3) dapa digeneralisasi unuk orde lebih dari sau, sehingga diperoleh persamaan 0... p p (4) Persamaan (4) dikenal sebagai model ARCH dengan orde p, dan α 0, α,..., α p adalah parameer yang idak dikeahui. Unuk mendapakan model regresi ARCH, raaan dari diasumsikan sebagai kombinasi linier dari variabel lag, ermasuk himpunan informasi pada waku - yaiu E( ) = Y β (Engle,98). Sehingga secara formal model regresi ARCH dapa diuliskan sebagai: ~ N ( Y, ) 0.. p p Y aau Y (5) Berdasarkan benuk model regresi ARCH di aas, misal model raaan dari merupakan model AR, maka diperoleh model AR()-ARCH(), yaiu: Z h 0 dengan 0 0 dan 0. (6). Model GARCH Pada dasarnya model ARCH dengan GARCH adalah sama yang membedakan adalah model GARCH idak hanya erganung pada kuadra error waku sebelumnya eapi juga erganung pada variansi waku sebelumnya. Sedangkan model ARCH hanya erganung pada kuadra error waku sebelumnya. Model GARCH(p,q) dinyaakan sebagai (Bollerslev, 986): ~ N(0, h ) dengan Jurusan Saisika-FMIPA-Unpad 0 85

4 PROSIDING ISSN : Seminar Nasional Saisika November 0 Vol, November 0 h... h h p q i i ih i i i di mana,α 0 > 0, α i 0 unuk i =,..., p dan β i 0 unuk i =,..., p. Unuk lebih sederhana dimisalkan proses GARCH(,) h z, z i. i. d N(0,) (8) h 0 h (9) (7) dengan α 0 > 0, α 0 dan β 0.3 Oulier Dere Waku Oulier menyebabkan hasil daa menjadi idak reliable dan valid. Oulier pada dere waku anara lain (Wei, 990):. Addiive Oulier (AO) AO merupakan kejadian yang mempengaruhi suau dere waku pada sau iik waku saja. Kesalahan dalam pencaaan merupakan salah sau conoh AO. Model AO dinyaakan dengan: VU ( B) a ( B) VU (0) dengan U, 0, T T adalah variabel indikaor yang menunjukkan ada aau idaknya oulier pada waku T.. Innovaional Oulier (IO) Model IO dinyaakan sebagai beriku: ( B) VU ( B) ( B) ( B) a VU ( B) ( B) ( B) ( a VU ) ( B) () Jurusan Saisika-FMIPA-Unpad 0 86

5 PROSIDING ISSN : Seminar Nasional Saisika November 0 Vol, November 0 IO mempengaruhi seluruh observasi, +,... melewai waku T sepanjang memori dari sisem yang diberikan oleh θ(b)/ (B). 3. PENAKSIRAN MODEL GARCH dengan METODE BM-ESTIMATES Muler dan Yohai (007), mengusulkan penaksiran model GARCH dengan meode BM- Esimees sebagai beriku : Misalkan dere ε,..., ε T mengikui proses GARCH(,) seperi pada persamaan (8) dan (9). Pada persamaan (8), dimisalkan y = log(ε ) dan w = log(z ), maka diperoleh y w log h Jika kepadaan f dari z simeris sekias nol, maka kepadaan dari w adalah g yang diuliskan sebagai beriku: g( w) f ( e ) e w / w/ () keika f mengikui disribusi N(0,), maka g = g 0 dimana ( w e w ) g0( w) e (3) Dengan nilai parameer ˆ a, a, b, didefinisikan unuk semua seperi 0 pada persamaan (9). Benuk Maximum Likelihood esimaes didasarkan pada ε adalah memaksimalkan persamaan di bawah ini: T T log h ( ) (4) h ( ) dan jika y = log(ε ), persamaan di aas dapa diuliskan sebagai T e y log h ( ) log h ( ) Memaksimalkan persamaan (4) sama dengan memaksimalkan T (5) L ( ) log g y log h ( ) 0, T 0 dengan fungsi g 0 seperi pada persamaan (3). Memaksimalkan persamaan (5) seara dengan meminimalkan Jurusan Saisika-FMIPA-Unpad 0 87

6 PROSIDING ISSN : Seminar Nasional Saisika November 0 Vol, November 0 dengan T M ( ) y log h ( ) (6) 0, T 0 T log( g ) (7) 0 0 dan g 0 seperi pada persamaan (3). Dengan cara yang sama, maka penaksiran maximum likelihood unuk model GARCH(,) sesuai unuk kepadaan simeris f yaiu diperoleh dengan meminimalkan persamaan di bawah ini: T M ( ) y log h ( ) (8) T T dengan ρ = -log(g) dan g seperi pada persamaan (). Meminimalkan persamaan (8) merupakan benuk M-esimaes model GARCH dapa diuliskan sebagai ˆ arg min ( ) (9) M T Salah sau alasan penaksiran-ml kurang robus adalah ρ 0 idak dibaasi. Sehingga suau oulier kemungkinan mempunyai pengaruh idak erbaas pada M 0,T pada persamaan (6). M- esimaes dengan ρ dibaasi lebih robus daripada ML-esimaes, eapi oulier yang besar masih mempunyai pengaruh erhadap penaksirannya. Penyebabnya adalah penaksiran ini memerlukan penghiungan nilai h ( ) menggunakan persamaan (9), sehingga oulier yang besar pada waku dapa mempengaruhi semua h ( ) ' dengan >. Sehingga unuk mendapakan robusness yaiu dengan memodifikasi M-esimaes unuk model GARCH, dengan memasukkan mekanisme yang membaasi penyebaran pengaruh oulier pada penaksiran h ( ). Maka dalam penghiungan M-esimaes h ( ) diuliskan sebagai h, k ( ) a0 ah, k ( ) rk b h, k ( ) h, k ( ) (0) dengan ε = 0 unuk 0 dan u jika u k rk ( u) k jika u k () Jurusan Saisika-FMIPA-Unpad 0 88

7 PROSIDING ISSN : Seminar Nasional Saisika November 0 Vol, November 0 Jika k besar, maka, k oulier pada waku pada h h akan mendekai h ( ). Namun pengaruh penyebaran sau, k dengan > prakis hilang seelah beberapa periode. Karena iu, jika ε mengikui model GARCH eapi berisi oulier, maka M-esimaes menggunakan variansi bersyara pada persamaan (0) akan lebih baik. Beriku modefikasi dari M-esimaes. Misalkan ˆ didefinisikan persamaan (9) dan ˆ didefinisikan sebagai ˆ arg min M Tk ( ) dengan M ( ) y log h ( ) () T Tk, k T Keika proses adalah sebuah proses GARCH sempurna diamai anpa oulier variansi bersyara diberikan persamaan (9), maka menaksir menggunakan ˆ, umumnya lebih baik daripada ˆ. Dalam kasus ini proses di aas erdapa oulier, ˆ asimoik bias, sehingga M ˆ ˆ T M Tk. Keika ˆ kemungkinan lebih baik, sehingga M ˆ ˆ T MTk. Maka didefinisikan BM-esimaes sebagai Tk Tk ˆ ˆ ˆ B jika M M ˆ jika M ˆ M ˆ T T (3) dibaasi. Nilai ρ pada BM-esimaes ini adalah ρ = m(ρ 0), dimana m adalah fungsi nondecreasing Jurusan Saisika-FMIPA-Unpad 0 89

8 PROSIDING ISSN : Seminar Nasional Saisika November 0 Vol, November 0 4. PEMBAHASAN Daa yang digunakan dalam makalah ini adalah inflasi indonesia selama 383 bulan periode Februari 979 sampai Desember 00, beriku adalah plo daanya: 4,00,00 0,00 8,00 6,00 4,00,00 0,00 -, Inflasi Indonesia Gambar 4. Plo Daa Inflasi Indonesia Februari 979 sampai Desember 00 (sumber: Badan Pusa Saisik) Pada plo daa di aas erliha bahwa daa ahun 998 dan akhir ahun 005 merupakan suau oulier yang merupakan jenis Addiive Oulier yaiu pada daa ke-9 dan ke-3. Dimana pada ahun ersebu erjadi kejadian luar biasa yaiu pada ahun 998 erjadinya krisis moneer di Indonesia dan ahun 005 adanya kebijakan kenaikan BBM. Asumsi yang harus dipenuhi dalam analisis dere waku adalah sasionerias, beriku hasil uji akar-akar uni dengan Augmened Dickey-Fuller es: Tabel 4. Hasil Uji Akar Uni Null Hypohesis: INFLASI has a uni roo Exogenous: Consan Lag Lengh: (Auomaic based on SIC, MALAG=6) -Saisic Prob. Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: % level % level % level MacKinnon (996) one-sided p-values. Dari hasil uji di aas erliha bahwa olak H 0 pada α = 0,05, yang arinya idak ada akarakar uni pada daa inflasi, sehingga daa dianggap sudah sasioner. Jurusan Saisika-FMIPA-Unpad 0 90

9 PROSIDING ISSN : Seminar Nasional Saisika November 0 Vol, November 0 Selanjunya adalah uji serial korelasi unuk meliha apakah perlu dibenuk model ARMA aau idak. Beriku adalah uji serial korelasi: Tabel 4. Hasil Uji Serial Korelasi Breusch-Godfrey Serial Correlaion LM Tes: F-saisic ObsR-squared Prob. F(,38) Prob. Chi-Square() Hasil uji di aas menujukkan bahwa pada α = 0,05 H 0 diolak, yang arinya erdapa serial korelasi. Sehingga perlu dibua model ARMA. Model ARMA yang perama yang dibua adalah ARMA(,0) aau diulis model AR(). Tabel 4.3 Taksiran Model AR() Coefficie Variable n Sd. Error -Saisic Prob. C AR() Terilha bahwa model AR() signifikan, dari model AR() diliha lagi serial korelasi unuk meliha apakah perlu dibua model ARMA yang lain. Di bawah ini uji serial korelasi dari model AR(). Tabel 4.4 Uji Serial Korelasi Model AR() Breusch-Godfrey Serial Correlaion LM Tes: F-saisic ObsR-squared Prob. F(,379) Prob. Chi-Square() Hasil uji menunjukkan idak ada serial korelasi (dengan α=0,05 H 0 idak diolak), arinya sudah idak ada serial korelasi seelah dibenuk model AR() sehingga idak perlu lagi dibua model ARMA yang lain. Dari model AR() di aas, diambil residualnya unuk dilakukan uji heeroskedasisias, beriku plo residual model AR() dan uji heeroskedasisias: Jurusan Saisika-FMIPA-Unpad 0 9

10 PROSIDING ISSN : Seminar Nasional Saisika November 0 Vol, November 0 0 RESIDUAL MODEL AR() Gambar 4. Plo Residual Model AR() Tabel 4.5 Heeroskedasiciy Tes: ARCH F-saisic ObsR-squared Prob. F(,380) Prob. Chi-Square() Dari hasil uji di aas menujukkan adanya heersokedasisias, maka di bua model GARCH, beriku hasil penaskiran model GARCH dengan meode Bounded M-Esimaes: BM = α 0 α β mu Arinya Variansi error dari model AR() dipengaruhi oleh kuadra error sau waku sebelumnya sebesar 0,5 dan variansi sau waku sebelumnya sebesar 0,40 dan konsana sebesar 0,3. 5. KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan di aas, dari daa inflasi indonesia bulan Februari 979 sampai Desember 00. Terbenuk model AR() yaiu ˆ , dan model heeroskedasisias dengan meode Bounded M-Esimaes adalah h 0,3 0, 5 0, 40h merupakan model GARCH(,), arinya variansi error dari model AR() dipengaruhi oleh kuadra error sau waku sebelumnya sebesar 0,5 dan variansi sau waku sebelumnya sebesar 0,40 dan konsana sebesar 0,3. Jurusan Saisika-FMIPA-Unpad 0 9

11 PROSIDING ISSN : Seminar Nasional Saisika November 0 Vol, November 0 6. DAFTAR PUSTAKA Bollerslev, T. (986). Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy. Journal of Economerics, 3, Engle, R. F. (98). Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy wih Esimaes of he Variance of UK Infaion. Economerica, 50, Muler, N. dan V. J. Yohai, (007). Robus Esimaes for GARCH Models. Journal of Saisical Planing and inference. Rosidi, A., Riduan, Sugiharo. (005), Meode Pengukuran Inflasi di Indonesia, Badan Pusa Saisik, Jakara. Wei, W.W.S. (990). Time Series Analysis: Univariae and Mulivariae Mehods, Canada: Addison Wesley Publishing Company. Jurusan Saisika-FMIPA-Unpad 0 93