BAB III ARFIMA-FIGARCH. pendek (short memory) karena fungsi autokorelasi antara dan turun

Transkripsi

1 BAB III ARFIMA-FIGARCH 3. Time Series Memori Jangka Panjang Proses ARMA sering dinyaakan sebagai proses memori jangka pendek (shor memory) karena fungsi auokorelasi anara dan urun cepa secara eksponensial unuk k. Dalam kasus-kasus erenu, dapa saja erjadi fungsi auokorelasi urun lamba aau urun secara hiperbolik unuk lag semakin besar yang menunjukkan bahwa pengamaan yang jauh erpisah masih saling berhubungan. Kondisi ini dikaakan bahwa proses mempunyai memori jangka panjang aau erdapa keerganungan jangka panjang. Suau proses sasioner dengan fungsi auokorelasi ( ) dikaakan proses memori jangka panjang jika lim idak konvergen. (Hosking, 98). Cara yang biasa digunakan unuk membenuk model dari suau daa ime series memori jangka panjang adalah dengan menggunakan operaor differensi ( ) unuk d bilangan real, misalkan, 0,5< <0,5, jadi suau model ime series memori jangka panjang umumnya berbenuk ( ) (3.) Dimana adalah proses whie noise dengan varians. 0

2 3. Model ARFIMA Pemodelan ARFIMA dilakukan pada daa ime series non sasioner dimana fungsi auokorelasi urun lamba yang mendekai linear aau urun secara hiperbolik. Penanganan daa non sasioner ini dengan menggunakan model ARFIMA idak perlu dilakukan ahap diferencing aau penyelisihan seperi pada daa non sasioner dengan d bula. Karena dengan ransformasi (-B) d pada model ARFIMA dengan nilai d bernilai riil dapa menangani daa non sasioner. Dengan ransformasi iu dapa menangkap memori jangka panjang aau keerganungan jangka panjang sehingga dapa menghilangkan keidaksasioneran dan dapa menghilangkan rend daa. Misalkan Z adalah daa dengan sifa memori jangka panjang maka pemodelan erbaik adalah proses Fracional Inegraed ARMA yang juga dinamakan proses ARFIMA yang pada awalnya dikembangkan oleh Granger, (980). dimana Model ARFIMA (p,d,q) diberikan oleh: Φ( )( ) Θ( ) (3.) Φ( ) (3.3) Θ( ) (3.4) merupakan kumpulan observasi dari proses yang diamai, dan merupakan dere kesalahan sasioner.

3 3... Fracional Differencing Unuk suau nilai riil d, operaor diferensi fracional ( ) didefinisikan sebagai beriku: ( ) + Γ( + ) (3.5) Γ( )! Bila persamaan ersebu dijabarkan maka diperoleh, Unuk i, diperoleh ( ) ( )! Unuk i, diperoleh ( ) ( )! Unuk i3, diperoleh ( ) ( )! ( )! ( )!! ( )! ( )!! ( ) ( )! ( )!! ( )( ) dan seerusnya. Sedemikian sehingga diperoleh, d ( B) d + Γ( d + i) Γ( d) i! B i 3 db d( d) d( d)( d ) B 6 B K (3.6) Diunjukan oleh Granger dan Joyeux (980) sera Hosking (98) bahwa jika, 0,5< <0,5, Z adalah sasioner dan inverible dengan dan fak ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3.7) ( ),,, (3.8)

4 3 Misalkan k, maka diperoleh, Γ( d) Γ ( + d) ρ() Γ ( d) Γ ( + d) ( d )!( + d )! ( d )!( d )! ( d)!( d)! ( d )!( d)! ( d)!( d)( d )! ( d )!( d)( d)! d. ( d) Beberapa karakerisik dere fracionally inegraed unuk berbagai nilai d yaiu: a. Jika d 0, maka proses menunjukkan fungsi auokorelasi urun cepa secara eksponensial dengan proses ARMA. b. Jika d ϵ (0, 0.5), maka proses ARFIMA Z merupakan proses sasioner dengan fungsi auokorelasi dan fungsi auokorelasi parsial Z semua posiif yang menunjukkan urun lamba aau urun secara hiperbolik menuju nol dengan lag meningka. c. Jika d ϵ (-0.5, 0), maka proses ARFIMA Z merupakan proses sasioner dengan fungsi auokorelasi dan fungsi auokorelasi parsial Z semuanya negaif yang kelambaan monoon dan hiperbolik menuju nol dengan lag meningka. d. Jika d ϵ (0.5, ), maka proses ARFIMA Z merupakan proses idak sasioner. (Akink dan Cheng, 00)

5 Idenifikasi Model ARFIMA Pengidenifikasian model ARFIMA pada ahap awal dengan menggunakan plo daa ime series. Model-model ime series dapa diidenifikasi melalui pola dalam daa, yaiu: a. Plo daa ime series unuk meliha pola daa b. Plo fungsi auokorelasi dan plo fungsi auokorelasi parsial c. Transformasi Box-Cox unuk daa idak sasioner dalam varians. (Wei, 990) Pada daa yang erindikasi adanya keidaksasioneran dalam mean pada ARIMA dilakukan dengan differensi sebanyak d kali dengan d bernilai bula. Sedangkan pada pemodelan ARFIMA dapa menangkap indikasi keerganungan jangka panjang dengan nilai d erenu yang bernilai real Taksiran Parameer Model ARFIMA Fungsi auokovarians dari model ARMA sasioner dengan mean µ, ( )( ) (3.9) dan didefinisikan mariks kovarians dari disribusi bersama,,,. Σ (3.0) Benuk (3.0) disebu mariks Toepliz, yang dinoasikan dengan Τ(,,, ) dengan ~ (,Σ) (3.).

6 5 Dengan kenormalan pada (3.) diperoleh fungsi kepadaan peluangnya yaiu, f ( Z, ) exp( ( ) ' ( )) Z µ Z µ π T (3.) dan dengan prosedur unuk menghiung auokovarian pada (3.0), maka loglikelihood dengan dapa diulis sebgai beriku: log,,, log( ) log Σ Σ (3.3) jika Σ pada persamaan (3.0), maka diperoleh log,,, log( ) log log( ) log log (3.4) diferensiasi log-likelihood pada persamaan (3.) diperoleh ( (,,, )) + ( ) (3.5) dengan menyamakan nol pada persamaan (3.5) diperoleh (log (,,, )) 0 + ( ) 0 ( ) (3.6)

7 Krieria Pemilihan Model ARFIMA Terbaik Unuk memilih model erbaik digunakan beberapa krieria pemilihan model, yaiu: a. Akaike s Informaion Crierion Unuk menilai suau kualias dari pemilihan model, Akaike pada ahun 973 memperkenalkan krieria informasi yang memperimbangkan banyaknya parameer. Krieria ersebu dinamakan AIC (Akaike s Informaion Crierion). Unuk menghiung nilai AIC digunakan: ln + (3.7) dimana, M : banyaknya parameer dalam model n : banyaknya observasi : esimasi dari Mean Squre Error Dengan krieria memilih nilai AIC yang paling kecil. b. Schwarz s Bayesian Crierion Pada ahun 978, Schwarz mengusulkan pemilihan model dengan Bayesian Crierion yang dinamakan SBC (Schwarz s Bayesian Crierion) yang dirumuskan sebagai beriku: ln + ln (3.8) dimana, M : banyaknya parameer dalam model n : banyaknya observasi : esimasi dari Mean Squre Error

8 7 Dengan krieria memilih nilai SBC yang paling kecil. c. Mean Square Error (MSE) SSE MSE ( n n ) p (3.9) dimana, SSE n i e i n : banyaknya observasi n p : banyaknya parameer yang diesimasi Pada ugas akhir ini, krieria yang digunakan unuk pemilihan model erbaik adalah meode AIC Peramalan Model ARFIMA Seperi pada pembahsan sebelumnya, misalkan Z ( Z, Z,..., Z T )' adalah nilai-nilai pengamaan seelah esimasi. Diasumsikan Z adalah sasioner dan d > -, maka prediksi linear erbaik dari Z T+h adalah ˆ T h [ ( )... ( )]{ [ (0),..., ( )]} ' Z + r T + h r h Τ r r T Z q Z (3.0) yang erdiri dari kebalikan fungsi auokovarian dikalikan dengan daa aslinya yang diboboi oleh korelasinya. Mean Square Error peramalan adalah ˆ MSE( ZT + h) σ a[ r(0) r ' q)]. (3.)

9 Model ARCH Model Auoregressive Condiional Heeroskedasic (ARCH) perama kali diperkenalkan oleh Engle (98) merupakan eknik pemodelan yang dilakukan apabila erdapa heeroskedasisias dalam varian residual, yaiu dengan memodelkan mean dan varian secara simulan sebagai suau dere waku. Model ARCH adalah suau kasus residual model ARIMA Box-Jenkins yang sudah memenuhi asumsi dasar whie noise, eapi dalam kuadra residualnya menunjukkan adanya perubahan varian. Dalam suau variabel random proses residual yang memiliki benuk a ε h, dimana ε adalah proses whie noise dengan mean nol dan variansi, maka mean 0, karena ( )0 dan varian bersyara sama dengan h, yaiu ( )h. Benuk umum model ARCH(p) adalah : h p a i i i ω + α. (3.) Dalam persamaan (3.), a sampai a p mempunyai efek langsung erhadap a sehingga varian bersyara idenik seperi proses AR orde p. Dengan menggunakan operaor lag aau backshif B pada waku, model ARCH(p) dapa diulis sebagai : h 0 + ( ) (3.3) dimana, ( ).

10 Model GARCH Pengembangan model ARCH dinamakan Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy (GARCH) yang diperkenalkan oleh Bollerslev (986). Model GARCH (p,q) dapa diekspresikan sebagai beriku: h p q ω + α a + h i i β j j i j, (3.4) dimana ω 0, α 0, β 0 dan i j max( p, q) i ( α + β ) <. Dengan menggunakan i i operaor lag aau backshif B, model GARCH (p,q) dapa diulis sebagai: h + ( ) + ( )h, (3.5) dimana ( ) dan ( ). Proses sasioner erpenuhi keika α () + β () <. Proses ini dapa diulis sebagai benuk ARMA, sehingga benuk (3.5) dapa diulis sebagai: α β ω + β. (3.6) [ ( B) ( B)] a [ ( B)]( a h ) 3.5. Model IGARCH Jika polinomial [ α( B) β ( B)] memliki akar-akar di luar lingkaran sauan, maka Engle dan Bolleslev (986) mendefinisikan model IGARCH (p,q) sebagai ψ ω β ( B) ( B) a + [ ( B)]( a h ) ψ ω β β ( B) ( B) a + [ a h ( B) a + ( B) h ] ψ ω β β ( B) ( B) a + [ a ( ( B)) h ( ( B))] h ( β ( B)) ω + a ( β ( B)) ( B) ψ ( B) a ω + a [( β ( B)) ( B) ψ ( B)] h ( β ( B)) h ω β ( ( B)) + {[ ψ ( B)( B) β ( B)]( β ( B)) } a (3.7)

11 30 dimana ψ ( B) [ α( B) β( B)]( B) dan ini adalah orde {m-} Model FIGARCH Jika diambahkan d berupa bilangan real pada operaor diferensi perama, maka Bailei, Bollerslev dan Mikkelsen (996) memperkenalkan Fracionally Inegraed Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy (FIGARCH), dengan model, sebagai beriku: ψ ω β d ( B) ( B) a + [ ( B)]( a h ) ψ ω β β d ( B) ( B) a + [ a h ( B) a + ( B) h ] ψ ω β β d ( B) ( B) a + [ a ( ( B)) h ( ( B))] h ( β ( B)) ω + a ( β ( B)) ψ ( B)( B) a d d ω + a [( β ( B)) ψ ( B)( B) ] h ( β ( B)) h ω( β ( B)) d + {[ ψ ( B)( B) β ( B)]( β ( B)) } a (3.8) dimana, 0<d<, ψ ( B) [ α( B) β( B)]( B) dan ini adalah orde {p-} Idenifikasi dan Pengujian Model FIGARCH Fungsi auokorelasi dan fungsi auokorelasi parsial yang berasal dari residual model ARFIMA, perlu dilakukan pengujian unuk mendeeksi adanya auokorelasi. Unuk mengujinya digunakan uji Ljung-Box Q. Tahap pengujian ersebu adalah: a. Perumusan Hipoesis H0 ρ ρ ρ3 K ρ k : 0 H : minimal ada sau ρi 0, i,, K, k (erdapa proses FIGARCH)

12 3 b. Saisik uji Q ˆ ρ K i k T( T + ) χ( K p q) i ( T K) (3.9) c. Krieria Pengujian Tolak H 0 jika Q > χ. k α ;( K p q) Taksiran Parameer Model FIGARCH Pendekaan yang paling umum unuk menaksir model ARCH dengan mengasumsikan adanya kenormalan dalam prosesnya. Dengan asumsi ersebu, Maximum Likelihood Esimaion (MLE) unuk parameer proses FIGARCH yang didasarkan pada sample { a, a, K, a T } diperoleh dengan memaksimumkan fungsi beriku: (3.30) T log Q( θ; a, a,..., at ) log( π ) (log h + a h ) dimana θ ( ω, d, β,..., β p, ψ,..., ψ q ). Model ARCH () ekivalen dengan model GARCH (p,q) dengan p, dan q 0 yang memiliki persamaan h α0 + αa. Esimasi parameer α 0 dan α dapa diperoleh dari derivaive fungsi loglikelihood masing-masing yaiu, log L dan α 0 log L α T T log L a α 0 αa 0 α0 + α0 + αa T T T log L a a a α0 αa 0 α + [ α0 + αa ] (3.3)

13 3 Sedangkan model IGARCH (,) ekivalen dengan model FIGARCH (p,d,q) dengan p, d 0 dan q yang memiliki persamaan h α + α a + β h. Esimasi parameer α 0, α, dan β dapa diperoleh dari 0 urunan fungsi log-likelihood log L log L, dan α α 0 log L masing-masing, yaiu β T T log L β a ( β) 0 α0 α0 + αa α0 + αa T T T log L a a ( β) a ( β) α0 αa 0 α + α 0 + αa T log L + β ( β) T a α + α a 0 0 (3.3) (Lauren dan Peer, 00) Peramalan Model FIGARCH Unuk kasus GARCH (p,q), peramalan opimal h-ahap dari varian bersyara, yaiu h ˆ + h diberikan oleh p q ˆ ˆ ˆ ω + αi + h i + β j + h i (3.33). h a h Dengan cara yang sama, dapa diperoleh peramalan h langkah ke depan varian bersyara dari FIGARCH. (Lauren dan Peer, 00)