PROSES AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL HETEROSCEDASTICITY DENGAN DUGAAN VARIANSI INFLASI INDONESIA

Transkripsi

1 PROSES AUOREGRESSIVE CONDIIONAL HEEROSCEDASICIY DENGAN DUGAAN VARIANSI INFLASI INDONESIA Rianiai Monica, Suyono, dan Vera Maya Sani Jurusan Maemaika FMIPA UNJ Absrak Model-model runun waku konvensional, seperi model-model ARIMA, mengasumsikan bahwa variansi dari gala adalah konsan. Namun, pada kenyaaannya dalam daa keuangan, conohnya daa inflasi, variansi galanya berubah dari waku ke waku. Fenomena ersebu disebu sebagai heeroskedasisias. Model auoregressive condiional heeroscedasiciy (ARCH) seperi yang diperkenalkan oleh Engle (198) mengakomodasikan fenomena ini. Model ARCH adalah model variansi dari suau runun waku. ujuan dari penulisan ini adalah unuk memperkenalkan model auoregressive condiional heeroscedasiciy (ARCH). eori ARCH kemudian diaplikasikan unuk menganalisis daa inflasi Indonesia mulai dari Januari 003 sampai Nopember 015. Daa diperoleh dari sius Bank Indonesia. Kaa kunci: ARIMA, heeroskedasisias, ARCH, inflasi. I. Pendahuluan A. Laar Belakang Auoregresi adalah suau model yang dikembangkan unuk menganalisis daa runun waku (ime series). Pada awalnya model yang biasa digunakan unuk memodelkan suau daa runun waku adalah model ARIMA (Auoregressive Inegraed Moving Average). Model ini mengasumsikan bahwa nilai variansi gala dari daa runun waku adalah konsan (bersifa homokedasisias). Namun pada kenyaaannya, banyak diemukan daa runun waku yang memiliki masalah variansi gala idak konsan, eruama pada daa runun waku finansial, kondisi ini dinamakan heeroskedasisias. Heeroskedasisias disebabkan oleh volailias daa yang inggi, dimana adanya flukuasi yang cukup ajam pada daa di periode waku erenu namun sabil pada periode waku yang lain. Masalah ini menyebabkan model ARIMA idak lagi sesuai digunakan unuk memodelkan pergerakannya, karena melanggar asumsi variansi konsan. Diperlukan suau model baru yang epa unuk mengalisis daa runun waku yang bersifa heeroskedasisias. Salah sau model runun waku yang digunakan unuk daa yang bersifa heeroskedasisias adalah model Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy (ARCH) (Engle, 198). Kelebihan penggunaan model ARCH dibandingkan model runun waku yang lain yaiu model ini mampu menduga variansi bersyara melalui daa gala pada model raaan. Sehingga sifa heeroskedasisias pada daa idak lagi menjadi masalah, melainkan dapa menjadi informasi ambahan unuk memperoleh model yang lebih epa. Salah sau conoh daa runun waku yang bersifa heeroskedasisias adalah daa ingka inflasi Indonesia, jadi model ARCH akan lebih epa jika diaplikasikan dalam memodelkan pergerakan variansinya yang idak konsan. B. Perumusan Masalah 1. Bagaimana pembenukan model variansi dari daa runun waku yang bersifa heeroskedasisias?. Bagaimana model variansi ingka inflasi Indonesia? C. Pembaasan Masalah 1. Pembahasan dalam skripsi ini dibaasi pada proses runun waku ARCH(p) dengan orde p hanya sampai orde perama.. Analisis pada ingka inflasi Indonesia hanya sampai pembenukkan model variansinya saja. 43

2 II. Landasan eori A. Runun Waku Suau runun waku (ime series) adalah himpunan observasi beruru yang dikumpulkan menuru uruan waku dalam suau renang waku erenu. Makridakis (1999) mengungkapkan bahwa langkah pening dalam memilih suau meode runun waku yang epa adalah dengan memperimbangkan jenis pola daanya. Pola daa dapa dibedakan menjadi empa, yaiu: 1. Pola Daa Horizonal: erjadi saa daa observasi berflukuasi di sekiar suau nilai konsan aau raaan yang membenuk garis horizonal.. Pola Daa rend: erjadi saa daa observasi mengalami kecenderungan naik aau urun selama periode jangka panjang. 3. Pola Daa Musiman: erjadi saa suau dere daa dipengaruhi oleh fakor musiman. 4. Pola Daa Siklis: erjadi saa dere daa dipengaruhi oleh flukuasi ekonomi jangka panjang seperi yang berhubungan dengan siklus bisnis. B. Proses Sokasik Proses sokasik adalah koleksi peubah acak {Z, ε} yang didefinisikan pada ruang probabilias (Ω, F, P), dimana menunjukkan suau himpunan yang beranggoakan iik-iik waku. Analisis runun waku merupakan realisasi dari proses sokasik. Beberapa sifa-sifa dari proses sokasik anara lain: 1. Nilai raaan dari prosesnya pada keseluruhan waku adalah: μ = E(Z ).. Fungsi auokovariansi anara Z dan Z s adalah: γ,s = Cov(Z, Z s ) = E((Z μ )(Z s μ s )) = E(Z Z s ) μ μ s. 3. Fungsi auokorelasi anara Z dan Z s adalah: ρ,s = Corr(Z, Z s ) = γ,s. γ, γ s,s 4. Fungsi auokorelasi parsial anara Z dan Z s adalah: 1 ρ 1 ρ ρ k ρ 1 ρ 1 1 ρ 1 ρ k 3 ρ ρ k ρ k 1 φ kk = Corr(Z, Z +k Z +1,, Z +k 1 ) = 1 ρ 1 ρ k 1 ρ k ρ 1 1 ρ k ρ k 3 ρ ρ 1 ρ k 3 ρ 1 ρ k ρ k 3 ρ 1 ρ k 1 ρ k 1 C. Sasionerias Sasionerias adalah asumsi umum yang digunakan dalam koneks runun waku. Ada jenis sasioner, yaiu: 1. Sasioner lemah, yaiu jika raaan dan variansi dari proses ersebu konsan.. Sasioner kua, yaiu jika fungsi disribusi kumulaif dari (Z 1, Z,, Z n ) sama dengan fungsi disribusi kumulaif dari (Z 1 k, Z k,, Z n k). D. Proses Whie Noise Proses whie noise adalah barisan peubah acak {a } yang independen dan berdisribusi normal dengan raaan konsan E(a ) = 0 dan variansi konsan Var(a ) = σ a. Proses whie noise memiliki fungsi auokovariansi: Cov(a, a k ) = { σ a, k = 0 0, k 0.dan fungsi auokorelasi: 1, k = 0 Corr(a, a k ) = { 0, k 0 44

3 E. Maximum Likelihood Esimaor (MLE) Misalkan X 1, X,, X n adalah peubah acak dengan fungsi peluang masing-masing f(x i ), i = 1,,, n. Maka langkah-langkah unuk menenukan penduga parameer dalam model dengan meode maximum likelihood adalah sebagai beriku: n i=1. 1. enukan fungsi likelihood: L(θ) = f(x 1, x,, x n ) = f(x i ). enukan fungsi log-likelihood: l = ln (L(θ)). 3. enukan urunan perama dari fungsi log-likelihood erhadap parameer θ. Maka penyelesaian dari persamaan ini merupakan esimaor maksimum likelihood unuk θ. F. Proses Auoregressive Dalam model runun waku auoregressive (AR), sebuah observasi (Z ) berkaian langsung dengan observasi-observasi sebelumnya (Z 1, Z,, Z p ). Benuk umum suau proses auoregressive dengan orde p adalah: Z = 1 Z 1 + Z + + p Z p + ε dimana ε ~N(0, σ ) dan ε idak berkorelasi dengan Z 1,, Z p. Grafik ACF dari AR(p) memiliki ciri-ciri menurun secara eksponensial menuju nol, sedangkan grafik PACF dari AR(p) mengalami cu off seelah lag ke-p. G. Proses Moving Average Dalam model runun waku moving avegare (MA), nilai sekarang suau proses dinyaakan sebagai jumlah erimbang nilai gala saa ini dan masa lalu sampai q sauan waku ke belakang. Benuk umum suau proses moving average dengan orde q adalah: Z = ε θ 1 ε 1 θ ε θ p ε q dimana ε ~N(0, σ ). Grafik ACF dari MA(q) memiliki ciri-ciri mengalami cu off seelah lag ke-q, sedangkan grafik PACF dari MA(q) menurun secara eksponensial menuju nol. H. Proses Auoregressive Moving Average Proses auoregressive moving average (ARMA) adalah gabungan dari proses auoregressive dan proses moving average. Proses {Z } dikaakan mengikui proses ARMA (p,q), jika memenuhi: Z = 1 Z p Z p + ε θ 1 ε 1 θ p ε q dimana ε adalah proses whie noise yang berdisribusi normal dengan raaan nol dan variansi σ ε. Raaan ak bersyara dari proses ARMA(p,q) adalah sama dengan nol. Sedangkan raaan bersyara dari proses ARMA(p,q) adalah 1 Z p Z p θ 1 ε 1 θ p ε q. Dan variansi bersyaranya sama dengan σ ε. Plo ACF dan PACF ARMA(p,q) memiliki ciri-ciri menurun secara eksponensial menuju nol, I. Esimasi Model ARMA(0,1) aau MA(1) Model dari runun waku {Z } yang mengikui proses MA(1) adalah sebagai beriku: Z = ε θ 1 ε 1 dimana ε adalah proses whie noise. Parameer dalam model MA(1) dapa diduga dengan menggunakan meode maximum likelihood. Di bawah asumsi normalias dan dengan diberikan asumsi ambahan ε 0 = 0, fungsi likelihood dari proses MA(1) adalah: L = f(z 1,, Z ε 0 = 0; θ) = 1 πσ exp ( ε ε σ ) ε =1 maka, fungsi log-likelihoodnya adalah: l = ln f(z 1,, Z ε 0 = 0; θ) = ln(π) ln(σ ε ) ε σ ε =1 45

4 Selanjunya unuk memperoleh penduga parameer θ, dapa dicari nilai maksimum dari fungsi loglikelihood dengan menyelesaikan persamaan l θ = 0. J. Runun Waku idak Sasioner Diperlukan suau ransformasi unuk mengubah daa runun waku yang bersifa idak sasioner menjadi sasioner, sehingga daa ersebu dapa kemudian dimodelkan dengan model-model sasioner yang elah dijelaskan pada pembahasan sebelumnya. ransformasi yang dapa digunakan adalah ransformasi diferensi, dengan rumus sebagai beriku: d Z = (1 B) d Z dimana d Z adalah selisih ke-d unuk suau runun waku Z dan B adalah operaor backward shif. K. Uji Augmened Dickey Fuller (ADF) Uji ADF aau uji akar uni digunakan unuk menguji kesasioneran daa runun waku. Pengujian dilakukan dengan mengecek ada idaknya akar uni dalam model runun waku, misal Z = Z 1 + ε. Hipoesis pengujian yang digunakan adalah: H 0 : = 1 (daa mengandung akar uni aau idak sasioner) H 1 : 1 (daa idak mengandung akar uni aau sasioner) dengan saisik uji: ADF = SE( ) dan krieria kepuusan H 0 diolak jika p value < α aau nilai saisik uji ADF kurang dari abel ADF. L. Uji ARCH-LM Uji ARCH-LM digunakan unuk menguji ada idaknya heeroskedasisias bersyara aau efek ARCH pada gala dari model runun waku. Misalkan ε = Z μ adalah gala dari model raaan, maka barisan ε digunakan unuk menguji keberadaan ARCH. Uji ini sama dengan uji saisik F pada umumnya unuk menguji α i = 0 (i = 1,, m) dalam regresi linear: ε = α 0 + α 1 ε α m ε m + a dimana = m + 1,, Hipoesis pengujian yang digunakan adalah: H 0 : α 1 = α 1 = = α 1 = 0 (idak erdapa efek ARCH) H 1 : α i 0, i = 1,,, m (erdapa efek ARCH) dengan saisik uji: (JK JKG)/m F = JKG/( m 1) dimana JK = =m+1 (ε ω ) dengan ω raaan sampel dari ε, dan JKG = =m+1 a dengan a adalah gala kuadra erkecil. M. Akaike Informaion Crierion (AIC) Akaike Informaion Crierion adalah krieria pemilihan model sebagai perluasan dari prinsip maximum likelihood. Nilai AIC didefinisikan dengan rumus: AIC = (loglikelihood) + N dimana loglikelihood adalah fungsi log likelihood dari esimasi parameer dan N adalah jumlah observasi. Model yang dipilih adalah model dengan nilai AIC erendah. 46

5 III. Pembahasan A. ARCH(m) Model auoregressive condiional heeroscedasiciy menginerpreasikan bahwa variansi dari Z dipengaruhi oleh gala kuadra pada periode yang lalu. Model ARCH(m) didefinisikan sebagai beriku: ε = a α 0 + α 1 ε α m ε m dimana α 0 adalah kosana dan α i adalah parameer yang idak dikeahui dengan i = 1,,, m, yang memenuhi syara α 0 > 0 dan α i 0. Raaan bersyara dari proses ARCH(m) bernilai nol, maka raaan ak bersyara dari ARCH(m) juga bernilai nol. Variansi bersyara dari ARCH(m) adalah α 0 + α 1 ε α m ε m, sedangkan α variansi ak bersyara dari ARCH(m) adalah 0. Fungsi auokovariansi anara ε 1 α 1 α dan ε k pada m ARCH(m) adalah nol unuk k 1. eorema Unuk bilangan bula r, momen ke-r dari proses ARCH(1) dengan α 0 > 0, dan α 1 0 ada, jika dan hanya jika: r α r 1 (j 1) < 1 j=1 eorema Proses ARCH(m) dengan α 0 > 0, dan α 1, α, α m 0, adalah kovariansi yang sasioner jika dan hanya jika persamaan karakerisik yang erkai memiliki akar-akar di luar lingkaran sauan. Dimana variansi sasioner diberikan sebagai beriku: E(ε ) = m. 1 j=1 α j Parameer α 0, α 1,, α m dalam model ARCH(m) dapa diduga dengan meode maximum likelihood. Di bawah asumsi normalias, fungsi likelihood dari model ARCH(m) adalah: f(ε 1,, ε ; α) = f(ε 1,, ε m ; α) 1 πh exp [ ε h ] =m+1 karena benuk dari f(ε 1,, ε m ; α) sanga rumi, benuk ini biasanya dihilangkan dari fungsi likelihood, maka fungsi likelihood dari model ARCH(m) menjadi: f(ε m+1,, ε, ε m ; α) = 1 exp [ ε πh h ] α 0 =m+1 sebagai akibanya, fungsi log-likelihood dari model ARCH(m) adalah: l(ε m+1,, ε, ε m ; α) = [ 1 ln(h ) + 1 h ] =m+1 dimana h = α 0 + α 1 ε α m ε m. Selanjunya, unuk memperoleh penduga parameer α 0, α 1,, α m dapa dicari nilai maksimum dari fungsi log-likelihood dengan menyelesaikan persamaan l l l = 0, = 0,, = 0. α 0 α α m Unuk menenukan orde m dalam model ARCH(m) digunakan PACF dari runun ε, dengan meliha lag PACF yang signifikan. B. Analisis Daa ingka Inflasi Indonesia Daa erdiri aas 155 observasi bulanan dari ingka inflasi Indonesia selama periode Januari 003 sampai dengan Nopember 015. abel di bawah ini memberikan gambaran saisik dari daa yang akan digunakan. ε 47

6 Saisik Deskripif Daa Awal Mean Median Maximum Minimum Kurosis Prob. ADF Nilai 7,16 6,51 18,38,41 5,68 0,1576 Hasil dari uji Augmened Dickey Fuller (ADF) dalam abel 3.1 menunjukkan bahwa daa memiliki uni roo yang berari daa idak sasioner. Unuk memperoleh daa yang sasioner, dilakukan ransformasi diferensi perama pada daa, dengan rumus R = Z Z 1, dimana R adalah daa baru hasil ransformasi yang disbeu dengan daa reurn. Saisik Deskripif Daa Reurn Mean Median Maximum Minimum Kurosis Prob. ADF Nilai -0,046-0,07 8,83-8,6 34,41 0,01 Nilai probabilias dari uji ADF yang kurang dari α = 0,05, menunjukkan bahwa daa idak mengandung uni roo, sehingga dapa disimpulkan bahwa hasil ransformasi diferensi perama sudah menghasilkan proses sasioner pada daa. Jadi, daa yang akan digunakan unuk pembenukan model adalah daa reurn. Plo ACF dan PACF dari daa reurn diberikan pada gambar di bawah ini. Plo ACF dan PACF Daa Reurn Plo ACF dan PACF mengalami cu off seelah lag ke-1. Maka model yang sesuai dengan lag ke-1 adalah AR(1), MA(1), ARMA(1,1). Selanjunya, unuk memperoleh model erbaik, digunakan krieria pemilihan model Akaike Informaion Crieria (AIC). Model AR(1) MA(1) ARMA(1,1) AIC 493,19 49,05 493,51 Maka model raaan erbaik unuk daa reurn adalah model MA(1), karena memiliki nilai AIC erendah. Esimasi model MA(1) yang diperoleh adalah R = 0,08 + ε 0,31ε 1. Uji ARCH-LM pada runun gala MA(1) menghasilkan p value = 0,001 < 0,05 yang berari olak H 0, maka dapa disimpulkan bahwa erdapa efek ARCH pada gala. Selanjunya, unuk meneukan orde ARCH dapa digunakan PACF dari gala kuadra (ε ). 48

7 Plo PACF dari Gala Kuadra Plo PACF dari gala kuadra melewai garis signifikan pada lag 1, maka orde ARCH unuk gala dalam mode MA(1) adalah ARCH(1), dengan esimasi model sebagai beriku: ε = a 0, ,1783ε 7 + 0,11557ε 1 Dengan melakukan uji ARCH-LM pada runun gala dari model ARCH(1), diperoleh nilai p value = 0,998 < 0,05, maka dapa disimpulkan bahwa sudah idak erdapa efek ARCH dalam gala model ARCH(1). IV. Penuup A. Kesimpulan 1. Runun waku heeroskedasisias idak dapa hanya dimodelkan dengan model ARIMA biasa. Model yang dapa mengakomodasikan runun waku yang bersifa heeroskedasisias adalah model ARCH. Model ARCH(m) adalah sebagai beriku: ε = a h, m h = h + α i ε 1. Model ARCH dapa dierapkan pada daa inflasi Indonesia periode Januari 003 sampai dengan Nopember 015, karena daa bersifa heeroskedasisias bersyara. Dari analisis yang dilakukan erhadap daa ersebu, dapa disimpulkan bahwa daa reurn inflasi Indonesia memiliki model raaan MA(1) sebagai beriku: R = 0,08 + ε 0,31ε 1 dengan gala mengikui proses ARCH(1): 1/ ε = a h dimana a ~WN(0,1), dan model volailiasnya: h = 0, ,1783ε 7 + 0,1157ε 1 B. Saran Disarankan unuk peneliian selanjunya membahas enang model-model perluasan ARCH, sehingga dapa memperoleh informasi yang lebih lengkap dalam menganalisis daa finansial. i=1 49

8 Dafar Pusaka Anon, Howard dan Chris Rorres Elemenary Linear Algebra. Edisi ke-8. New York: John Wiley & sons, Inc. Bera, Anil K, M.L. Higgins ARCH Models: Properies, Esimaion and esing. Journal of Economics Surveys Vol.7 No.4. Bozdogan, Hamparsum Akaike's Informaion Crierion and Recen Developmens in Informaion Complexiy. Journal of Mahemahical Psychology vol 44 page Engle, R.F Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy wih Esimaes of he Variance of Unied Kingdom Inflaion. Journal of Economerica vol 50 No.4 page Granger, C.W.J., dan A. Anderson An Inroducion o Bilinear ime-series Models. Goingen: Vandenhoeck and Ruprech. Lo, Michael S Generalized Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy ime Series Models. hesis. Burnaby: Deparmen of Saisics and Acuarial Science, Simon Fraser Universiy. Makridakis Meode dan Aplikasi Peramalan. Edisi. Jakara: Binarupa Aksara. Purcell, E.J., D. Varberg dan Seven E.R Kalkulus. Edisi 8, jilid. Jakara: Erlangga. Purnomo, Kurano Esimasi Underground Economy Periode Melalui Pendekaan Moneer. Universias erbuka. Soejoei, Zanzawi Analisis Runun Waku. Jakara: Karunia Jakara Universias erbuka. say, R.S. 00. Analysis of Financial ime Series. New York: John Wiley & sons, Inc. Walpole, R.E. dan Raymond H.M Ilmu Peluang dan Saisika unuk Insinyur dan Ilmuwan. Edisi ke-4. Bandung: IB. Wei, William W.S ime Series Analysis: Univariae and Mulivariae Mehods. Edisi ke-. New York: Pearson Educaion, Inc. 50