BAB 3 LANDASAN TEORI. peramalan, jenis-jenis peramalan, langkah-langkah peramalan, pemilihan teknik dan

Transkripsi

1 BAB 3 LANDASAN TEORI 3. Peramalan Pada sub bab ini akan dibahas mengenai pengerian peramalan, kegunaan meode peramalan, jenis-jenis peramalan, langkah-langkah peramalan, pemilihan eknik dan meode peramalan, pola daa dere berkala, meode Raa-raa Bergerak Tunggal, meode Box Jenkins, implemenasi sraegi pembenukan model, dan ukuran keepaan ramalan. 3.. Pengerian Peramalan Perkembangan yang pesa sekali akhir-akhir ini dalam eknik dan meode analisa, baik analisa ekonomi maupun analisa kegiaan usaha perusahaan, eruama di bidang pemasaran, produksi dan keuangan sanga era kaiannya dengan perkembangan eknik dan meode peramalan. Dalam melakukan analisa ekonomi aau analisa kegiaan usaha perusahaan, haruslah diperkirakan apa yang akan erjadi dalam bidang ekonomi aau dalam dunia usaha pada masa yang akan daang. Kegiaan unuk memperkirakan apa yang akan erjadi pada masa yang akan daang, dikenal dengan apa yang disebu dengan peramalan (forescaing). Peramalan adalah ingka perkiraan yang diharapkan unuk suau produk aau beberapa produk dalam periode waku erenu di masa yang akan daang. Dan dapa diarikan bahwa peramalan adalah suau aksiran yang ilmiah, meskipun akan erdapa sediki kesalahan (Biegel, 99, p9).

2 7 Peramalan (forecasing) merupakan prediksi nilai-nilai sebuah peubah berdasarkan kepada nilai yang dikeahui dari peubah ersebu aau peubah yang berhubungan. Meramal juga dapa didasarkan pada keahlian kepuusan (judgemen), yang pada gilirannya didasarkan pada daa hisoris dan pengalaman (Makridakis, 99, p59). Peramalan adalah ala/eknik unuk memprediksi dan memperkirakan suau nilai pada masa yang akan daing dengan memperhaikan daa aau informasi yang relevan, baik daa/informasi masa lalu maupun daa/informasi saa ini. Peramalan adalah perpaduan anara seni dan ilmu dalam memperkirakan keadaan di masa yang akan daang, dengan cara memproyeksikan daa masa lampau ke masa yang akan daang dengan menggunakan model maemaika maupun perkiraan yang subjekif (Heizer, 996, p47). 3.. Kegunaan Meode Peramalan Menuru Assauri (984, pp8-9), meode yang dipergunakan sanga besar manfaanya, apabila dikaikan dengan keadaan informasi aau daa yang dipunyai. Apabila dari daa yang lalu dikeahui adanya pola musiman, maka unuk peramalan sau ahun ke depan sebaiknya digunakan meode variasi musim. Sedangkan apabila dari daa yang lalu dikeahui adanya pola hubungan anara variabel-variabel yang saling mempengaruhi, maka sebaiknya dipergunakan meode sebab akiba aau korelasi. Sebagaimana dikeahui bahwa meode merupakan cara berpikir yang sisemais dan pragmais aas pemecahan suau masalah. Dengan dasar ini, maka meode peramalan merupakan cara memperkirakan apa yang akan erjadi pada masa depan secara sisemais dan pragmais, sehingga meode peramalan sanga berguna unuk dapa memperkirakan

3 8 secara sisemais dan pragmais aas dasar daa yang relevan pada masa yang lalu, dengan demikian meode peramalan diharapkan dapa memberikan objekifias yang lebih besar. Di samping iu, meode peramalan juga memberikan uruan pengerjaan dan pemecahan aas pendekaan suau masalah dalam peramalan, sehingga bila digunakan pendekaan yang sama aas permasalahan dalam suau kegiaan peramalan, maka akan didapa dasar pemikiran dan pemecahan yang sama, karena argumenasinya sama. Selain iu, meode peramalan memberikan cara pengerjaan yang eraur dan erarah, sehingga dengan demikian dapa dimungkinkannya penggunaan eknik-eknik penganalisaan yang lebih maju. Dengan penggunaan eknik-eknik ersebu, maka diharapkan dapa memberikan ingka kepercayaan aau keyakinan yang lebih besar, karena dapa diuji dan dibukikan penyimpangan aau deviasi yang erjadi secara ilmiah. Dari uraian di aas dapa disimpulkan bahwa meode peramalan sanga berguna, karena akan membanu dalam mengadakan pendekaan analisa erhadap ingkah laku aau pola dari daa yang lalu, sehingga dapa memberikan cara pemikiran, pengerjaan dan pemecahan yang sisemais dan pragmais, sera memberikan ingka keyakinan yang lebih besar aas keepaan hasil ramalan yang dibua aau yang disusun Jenis-jenis Peramalan Menuru Assauri (984, pp3-5), pada umumnya peramalan dapa dibedakan dari beberapa segi erganung dari cara melihanya. Apabila diliha dari sifa penyusunannya, maka peramalan dapa dibedakan aas dua macam, yaiu:

4 9. Peramalan yang subjekif, yaiu peramalan yang didasarkan aas perasaan aau inuisi dari orang yang menyusunnya. Pandangan aau judgemen dari orang yang menyusunnya sanga menenukan baik idaknya hasil ramalan ersebu.. Peramalan yang objekif, yaiu peramalan yang didasarkan aas daa yang relevan pada masa lalu, dengan menggunakan eknik-eknik dan meode-meode dalam penganalisaan daa ersebu. Di samping iu, jika diliha dari jangka waku ramalan yang disusun, maka peramalan dapa dibedakan aas dua macam, yaiu:. Peramalan jangka pendek, peramalan unuk jangka waku kurang dari iga bulan. Peramalan seperi ini diperlukan dalam penyusunan rencana ahunan, rencana kerja operasional, dan anggaran, conohnya penyusunan rencana produksi, rencana penjualan, rencana persediaan, anggaran produksi, anggaran pemasaran, dan anggaran perusahaan.. Peramalan jangka menengah, peramalan unuk jangka waku anara iga bulan sampai iga ahun. 3. Peramalan jangka panjang, peramalan unuk jangka waku lebih dari iga ahun. Berdasarkan sifa ramalan yang elah disusun, maka peramalan dapa dibedakan aas dua macam, yaiu:. Peramalan kualiaif, yaiu peramalan yang didasarkan aas daa kualiaif pada masa lalu, hasil peramalan yang dibua sanga erganung pada orang yang menyusunnya. Hal ini pening karena hasil peramalan ersebu dienukan berdasarkan pemikiran yang bersifa inuisi, judgemen aau pendapa, dan pengeahuan sera pengalaman dari penyusunnya. Biasanya peramalan secara kualiaif ini didasarkan aas hasil

5 0 penyelidikan aau didasarkan aas ciri-ciri normaive seperi decision marices aau decision rees.. Peramalan kuaniaif, yaiu peramalan yang didasarkan aas daa kuaniaif pada masa lalu, hasil peramalan yang dibua sanga erganung pada meode yang dipergunakan dalam peramalan ersebu. Peramalan kuaniaif hanya dapa digunakan apabila erdapa iga kondisi sebagai beriku : a. Adanya informasi enang keadaan yang lain. b. Informasi ersebu dapa dikuanifikasikan dalam benuk daa. c. Dapa diasumsikan bahwa pola yang lalu akan berkelanjuan pada masa yang akan daang Langkah-langkah Peramalan Menuru Assauri (984, p5), kualias aau muu dari hasil peramalan yang disusun, sanga dienukan oleh pelaksanaan penyusunnya. Peramalan yang baik adalah peramalan yang dilakukan dengan mengikui langkah-langkah penyusunan yang baik. Pada dasarnya ada iga langkah peramalan yang pening, yaiu:. Menganalisa daa yang lalu, berguna unuk pola yang erjadi pada masa yang lalu. Analisa ini dilakukan dengan cara membua abulasi dari daa yang lalu. Dengan abulasi daa, maka dapa dikeahui pola dari daa ersebu.. Menenukan meode yang dipergunakan, bahwa meode peramalan yang baik adalah meode yang memberikan hasil ramalan yang idak jauh berbeda dengan kenyaaan yang erjadi.

6 3. Memproyeksi daa yang lalu dengan menggunakan meode yang dipergunakan, dan memperimbangkan adanya beberapa fakor perubahannya Pemilihan Teknik dan Meode Peramalan Menuru Assauri (984, pp-4), fakor uama yang mempengaruhi pemilihan eknis peramalan adalah idenifikasi dan pemahaman akan pola daa hisoris. Seringkali, pola daa ersebu merupakan karakerisik inheren dari kegiaan yang sedang dielii. Hubungan anar daa dengan jangka waku semakin jelas jika eramai bahwa pola rend adalah merupakan kecenderungan jangka panjang. Sedangkan variasi musiman menunjukkan pola daa yang berulang dalam sau ahun. Teknik regresi cocok unuk hampir semua pola yang dapa diidenifikasi, sedangkan eknik ooregresif lebih epa dierapkan unuk daa runu waku yang mempunyai iik balik (urning poins). Dalam mengevaluasi eknik-eknik yang dikaikan dengan pola daa, bisa saja dierapkan lebih dari sau eknik unuk daa yang sama. Misalnya, eknik-eknik erenu mungkin lebih akura dalam memprediksi iik balik, sedangkan lainnya erbuki lebih handal dalam peramalan pola perubahan yang sabil. Bisa juga erjadi beberapa model meramalkan erlalu inggi (overesimae) aau erlalu rendah (underesimae) dalam siuasi erenu. Selain iu, mungkin juga erjadi bahwa prediksi jangka pendek dari suau model lebih baik dari model lain yang memiliki prediksi jangka panjang yang lebih akura. Pemilihan eknik peramalan juga berhubungan dengan ingka akurasi yang diinginkan, walaupun suli unuk menyakinkan ingka akurasi ersebu sebelum mengevaluasi hasil kerja secara seksama. Misalnya, dalam banyak siuasi suau perkiraan

7 kasar enang pola rend masa daang mampu memberikan proyeksi-proyeksi yang akura. Unuk memilih eknik peramalan yang epa secara benar, seorang peramal harus mampu unuk:. Mendefinisikan sifa dari masalah yang akan diramalkan.. Menjelaskan sifa daa/pola daa yang akan digunakan. 3. Menjelaskan kelebihan dan keerbaasan eknik peramalan yang akan digunakan. 4. Menenukan beberapa krieria di mana pemilihan kepuusan dapa dibua. Fakor uama yang mempengaruhi pemilihan eknik peramalan adalah idenifikasi dan pemahaman akan pola daa hisoris. Jika pola-pola ersebu dikeahui, maka eknikeknik yang mampu digunakan secara efekif dipilih. Teknik pemilihan meode dapa diliha pada Tabel 3.. Jenis-jenis pola daa besera eknik peramalan yang sesuai:. Teknik peramalan unuk daa yang sasioner Suau daa runu waku yang bersifa sasioner, merupakan suau daa berkala yang nilai raa-raanya idak berubah sepanjang waku. Siuasi seperi iu muncul keika pola perminaan yang mempengaruhi daa ersebu relaif sabil. Dalam benuk yang paling sederhana, peramalan suau daa runu waku yang saioner memerlukan daa hisoris dari runu waku ersebu unuk menduga nilai raa-raanya, yang kemudian menjadi peramalan unuk nilai-nilai masa daang. Teknik-eknik yang lebih canggih memberikan hasil dugaan yang diperbaharui (updaing) jika suau informasi baru ersedia. Teknik-eknik ini sanga berguna jika dugaan awal idak dapa dipercaya aau jika sabilias dari nilai raa-raa diragukan. Selain iu, eknik-eknik

8 3 updaing memberikan deraja kepekaan erhadap perubahan dalam srukur yang mendasari daa runu waku ersebu. Teknik-eknik peramalan sasioner digunakan dalam keadaan-keadaan beriku ini: a. Jika kekuaan-kekuaan yang menghasilkan suau daa runu waku elah mensabilkan dan lingkungan di mana daa ersebu berada relaif idak berubah. Misalnya jumlah penjualan suau produk aau jasa dalam ahap kejenuhan dari siklus hidupnya aau jumlah penjualan yang disebabkan oleh suau usaha yang relaif eap. b. Jika suau model yang sanga sederhana yang diperlukan karena keerbaasan daa aau unuk memudahkan penjelasan aau implemenasi. Misalnya keika suau perusahaan aau organisasi baru berkembang dan memiliki daa hisoris yang sanga sediki. c. Jika sabilias dapa diperoleh dengan membua koreksi sederhana erhadap fakor-fakor seperi perumbuhan penduduk aau inflasi. Misalnya perubahan pendapaan menjadi pendapaan perkapia. d. Jika suau daa runu waku dapa diransformasikan menjadi suau runu waku yang sabil. Misalnya penransformasian suau serial daa dengan melogarimakannya, akar, aau selisih. e. Jika daa runu waku ersebu merupakan sehimpunan kesalahan dari suau eknik peramalan yang dianggap memadai.

9 4 Beberapa eknik yang sebaiknya diperimbangkan keika meramalkan daa runu waku yang sasioner adalah model sederhana, meode raa-raa sederhana, raa-raa bergerak, pemulusan eksponensial sederhana, dan meode Box-Jenkins.. Teknik peramalan unuk daa rend Suau daa runu waku yang bersifa rend didefinisikan sebagai suau derean yang mengandung komponen jangka panjang yang menunjukan perumbuhan aau penurunan dalam daa ersebu sepanjang suau periode waku jangka panjang. Dengan kaa lain, suau daa runu waku dikaakan mempunyai rend jika nilai harapannya berubah sepanjang waku sehingga daa ersebu diharapkan unuk menaik aau menurun selama periode di mana peramalan diinginkan. Biasanya daa runu waku ekonomis mengandung suau rend. Teknik-eknik peramalan unuk daa yang mengandung rend digunakan dalam keadaan beriku ini: a. Jika kenaikan produkivikas dan eknologi baru cenderung mengubah gaya hidup. Misalnya perminaan akan komponen-komponen elekronik akan meningka dengan semakin berkembanganya indusri kompuer, aau perminaan erhadap jasa kerea api menurun dengan semakin berkembangnya eknologi jasa angkuan udara. b. Jika perumbuhan penduduk meningka perminaan akan barang dan jasa. Misalnya penerimaan dari barang-barang konsumsi, perminaan akan konsumsi energi, dan penggunaan bahan baku. c. Jika daya beli rupiah mempengaruhi variabel-variabel ekonomi karena erjadi inflasi. Misalnya gaji, biaya produksi, dan penggunaan bahan baku.

10 5 d. Jika penerimaan pasar meningka. Misalnya periode perumbuhan sau siklus hidup dari suau produk. Teknik-eknik peramalan yang digunakan unuk peramalan daa runu waku yang mengandung rend ini adalah raa-raa bergerak linear, pemulusan eksponensial linear dari Brown, pemulusan ekponensial dari Hol, pemulusan ekponensial kuadra dari Brown, regresi sederhana, model Gomperz, kurva perumbuhan, model-model eksponensial. 3. Teknik peramalan unuk daa musiman Suau daa runu waku yang bersifa musiman didefinisikan sebagai suau daa runu waku yang mempunyai pola perubahan yang berulang secara ahunan. Mengembangkan suau eknik peramalan musiman biasanya memerlukan pemilihan meode perkalian dan perambahan dan kemudian menduga indeks musiman dari daa ersebu. Indeks ini kemudian digunakan unuk memasukkan sifa musiman dari peramalan aau unuk menghilangkan pengaruh seperi iu dari nilai-nilai yang diamai. Teknik-eknik peramalan unuk daa musiman digunakan dalam keadaan beriku ini: a. Jika cuaca mempengaruhi variabel yang dielii, misalnya: konsumsi lisrik, kegiaan musim kemarau dan musim hujan, pakaian, dan musim anam peranian. b. Jika kalender ahunan mempengaruhi varibel yang dielii. Misalnya penjualan eceran dipengaruhi oleh musim liburan, kalender sekolah, dan hari-hari besar lainnya.

11 6 Teknik-eknik yang sebaiknya diperhaikan keika meramalkan daa runun waku yang bersifa musiman adalah meode Dekomposisi klasik, Cencus II, pemulusan eksponensial dari Winer, regresi berganda runu waku, dan meode Box- Jenkins. 4. Teknik peramalan unuk daa yang bersifa siklis Pengaruh siklis didefinisikan sebagai flukuasi seperi gelombang di sekiar garis rend. Pola siklis cenderung unuk berulang seiap dua, iga ahun aau lebih. Pola siklis suli unuk dibua modelnya karena polanya idak sabil. Turun naiknya flukuasi di sekiar rend jarang sekali berulang pada inerval waku yang eap, dan besarnya flukuasi juga selalu berubah. Meode dekomposisi bisa diperluas unuk menganalisis daa siklis, maka penganalisaan komponen siklis dari suau daa runu waku seringkali memerlukan emuan ak sengaja aau indikaor-indikaor ekonomi. Teknik-eknik peramalan unuk daa siklis digunakan dalam keadaan beriku ini: a. Jika siklus dunia usaha mempengaruhi variabel yang dielii. Misalnya fakor perekonomian, pasar, dan persaingan. b. Jika erjadi pergesaran selera. Misalnya fashions, musik, dan makanan. c. Jika erjadi perubahan jumlah penduduk. Misalnya perang, kelaparan, epidemi,dan bencana alam. d. Jika erjadi perubahan siklus hidup suau produk. Misalnya pengenalan, perumbuhan, kemaangan, kejenuhan pasar, dan kemudian penurunan.

12 7 Teknik-eknik yang sebaiknya diperhaian keika meramalkan daa runu waku yang bersifa siklis adalah meode Dekomposisi klasik, indikaor-indikaor ekonomi, model-model ekonomerik, regresi berganda, dan meode Box-Jenkins. Tabel 3. Pemilihan Teknik Peramalan Meode Pola Daa Jangka Waku Model Jumlah Daa Minimum Sederhana Saioner Pendek Time Series Musiman Trend Raa-raa sederhana Sasioner Pendek Time Series 30 Raa-raa bergerak Saioner Pendek Time Series 4-0 Pemulusan Saioner Pendek Time Series eksponensial Regresi sederhana Trend Menengah Kausal 0 Regresi berganda Musiman Menengah Kausal 0 * variabel (Regresi Ridge) Siklis Dekomposisi klasik Musiman Pendek Time Series 5*panjang musiman Model Trend Trend Menengah Time Series 0 Eksponensial Panjang Box-Jenkins Saioner Pendek Time Series 4 Trend Siklis Musiman Model Ekonomeri Siklis Pendek Kausal 30 Regresi Berganda Runu Waku Trend Musiman Menengah Panjang Kausal 6*panjang musiman 3..6 Pola Daa Dere Berkala Menuru Assauri (984, pp45-47), langkah pening dalam memilih suau meode dere berkala yang epa adalah dengan memperimbangkan jenis pola daa, sehingga dapa dienukan meode yang paling epa dengan pola ersebu unuk diuji. Menuru

13 8 Makridakis (999, pp-), ada empa pola daa yang dapa diramalkan unuk peramalan daa yang akan daang, yaiu:. Pola Horizonal (H) aau Saionary Pola ini erjadi jika nilai daa berflukuasi di sekiar nilai raa-raa yang konsan. Dengan demikian dapa dikaakan pola ini sebagai saionary pada raa-raa hiungnya (means). Conoh pola jenis adalah bila suau produk mempunyai jumlah penjualan yang idak menaik dan idak menurun selama beberapa periode. Conoh pola ini dapa diliha pada Gambar 3.. Waku/ periode Gambar 3. Pola Horizonal / Sasionary (Assauri, 984, p46). Pola Musiman(S) aau Seasonal Pola ini erjadi bila suau dere waku dipengaruhi oleh fakor musiman (misalnya kuaralan, bulanan, mingguan dan harian). Conohnya penjualan buku ulis

14 9 lebih inggi pada waku awal sekolah dibandingkan pada hari-hari biasanya. Conoh pola ini dapa diliha pada Gambar 3.. Waku/ periode Gambar 3. Pola Musiman / Seasonal (Assauri, 984, p46) 3. Pola Siklus (C) aau Cyclical Pola ini erjadi bila daanya dipengaruhi oleh flukuasi ekonomi jangka panjang seperi yang berhubungan dengan siklus bisnis. Conoh: ada beberapa produk yang penjualannya menunjukkan pola siklus, seperi mobil sedan, besi baja, dan peralaan bengkel. Conoh pola ini dapa diliha pada Gambar 3.3.

15 30 Waku/ periode Gambar 3.3 Pola Siklis / Cyclical (Assauri, 984, p47) 4. Pola Trend (T) Pola ini erjadi bila erdapa kenaikan aau penurunan dari daa pengamaan unuk jangka panjang. Pola ini erliha pada penjualan produk dari banyak perusahaan. Conoh pola ini dapa diliha pada Gambar 3.4.

16 3 Waku/ periode Gambar 3.4 Pola Trend (Assauri, 984, p47) 3..7 Meode Raa-raa Bergerak Tunggal Menuru Makridakis (999, p0), meode ini banyak digunakan unuk menenukan rend dari suau dere waku. Dengan menggunakan meode ini, dere berkala dari daa asli diubah menjadi dere raa-raa bergerak yang lebih mulus dan idak erganung pada osilasi sehingga lebih memungkinkan unuk menunjukkan rend dasar aau siklus dalam pola daa sepanjang waku. Teknik Raa-raa Bergerak Tunggal dalam dere waku erdiri dari pengambilan suau kumpulan nilai-nilai yang diamaii, mendapakan raa-raa dari nilai ini, dan kemudian menggunakan nilai raa-raa ersebu sebagai ramalan unuk periode yang akan daang. Angka realisasi dari pengamaan yang lalu ermasuk dalam nilai raa-raa yang harus dispesifikasikan pada saa permulaan peramalan dilakukan.

17 3 Nilai raa-raa bergerak yang baru dengan memasukkan nilai daa pengamaan yang baru dan mengeluarkan nilai daa pengamaan yang paling erdahulu, kemudian dipergunakan sebagai ramalan unuk periode yang beriku. Dua hal yang eksrim dari perhiungan raa-raa bergerak, yaiu bila banyaknya daa yang dimasukkan dalam perhiungan ersebu aau N, maka dalam hal ini daa pengamaan yang paling akhir akan dipergunakan sebagai nilai ramalan unuk periode yang berikunya. Sedangkan bila banyaknya daa yang dimasukkan dalam perhiungan ersebu adalah Nn aau seluruh daa pengamaan yang ada, maka dalam hal seperi ini raa-raalah yang akan dipergunakan sebagai nilai ramalan. Raa-raa merupakan angka perkiraan yang paling baik, bila daa bersifa acakan dengan jumlah N yang cukup besar. Pengaruh dari jumlah N yang besar erdapa pada penggunaan garis lurus sebagai angka perkiraan, dimana flukuasi yang disebabkan variasi acakan akan dilicinkan (smoohing). Jumlah N yang kecil dapa dipergunakan bila pola dengan flukuasi acakan yang kecil dalam daanya. Sedangkan penggunaan raa-raa bergerak unuk suau jumlah daa aau n yang kecil, akan memungkinkan hasil ramalan yang diperoleh mengikui pola dari daa yang erdapa. Secara aljabar, eknik peramalan dengan meode Raa-raa Bergerak Tunggal dapa dinyaakan dengan formula yang sederhana sebagai beriku : F ( X X X ) N... N / Aau (3.) F X N i N (3.) Dimana adalah nilai yang paling akhir dan adalah periode berikunya, unuk periode mana suau ramalan dibua.

18 33 F ramalan unuk periode yang beriku,. X nilai amaan/ sebenarnya dari variabel iu pada periode, -, -,...,,,... N Jumlah amaan yang dipergunakan dalam menghiung Raa-raa Bergerak. Ada beberapa pedoman yang dapa membanu dalam pengambilan kepuusan penggunaan meode Raa-raa Bergerak yang epa, yaiu :. Dari opini peramal erhadap rend dari variabel yang diramalkan, jika variabel ersebu agak sais aau eap, dengan nilai-nilai yang acakan, maka dengan raa-raa bergerak dari sejumlah besar pengamaan mungkin akan menghasilkan nilai ramalan yang lebih baik aau epa, karena penyimpangan aau kesalahan ramalannya adalah kecil. Jika erdapa flukuasi daa yang cukup besar, maka jumlah pengamaan yang digunakan akan menghasilkan reaksi aau pengaruh yang lebih besar erhadap perubahan daa. Raa-raa bergerak dengan jumlah pengamaan yang sediki akan memberikan ramalan erbaik, bila perubahan daa yang erdapa adalah karena fakorfakor yang fundamenal aau mendasar, bukan karena unsur-unsuryang acakan (random elemens).. Keepaan (accuracy) dari ramalan yang dibua dengan bermacam-macam raa-raa bergerak, keepaan mana dapa dihiung oleh penyusun ramalan. Meode ramalan raa-raa bergerak yang menghasilkan keidakepaan yang erkecillah yang sebaiknya dipilih. Kesalahan ramalan yang diunjukkan adalah nilai absolu dari kesalahan. Kemudian nilai kesalahan ramalan iu dipangka-duakan (squared error).

19 Meode Box Jenkins Menuru Assauri (984, p6), meode peramalan yang sanga sering dipergunakan dalam ekonomi dan dunia usaha (business) adalah dere waku (ime series), dimana sejumlah amaan diambil selama beberapa periode dan digunakan sebagai dasar dalam penyusunan suau ramalan unuk beberapa periode di masa depan yang diinginkan. Seluruh meode peramalan menekankan kepada usaha unuk mengaasi keadaan yang erdapa pada daa hisoris yang diamai, dengan menggunakan asumsi bahwa pola dasar yang diunjukkan oleh daa hisoris ersebu, adalah dengan pola acakan aau randomness. Meode peramalan diekankan unuk mengisolasikan pola dasar sedapa mungkin dan menggunakan hasil isolasi ersebu sebagai dasar unuk meramalkan periode mendaang. Teapi dari sekian banyak meode peramalan jangka pendek, meode Box Jenkins merupakan meode peramalan yang memiliki kemampuan unuk dapa mengaasi kerumian dere waku dan variasi lainnya Konsep Dasar Meode Box Jenkins Menuru Assauri (984, pp6-8), meode Box Jenkins adalah suau meode yang sanga epa unuk menangani aau mengaasi kerumian dere waku dan siuasi peramalan lainnya. Kerumian iu erjadi karena erdapanya variasi dari pola daa yang ada. Oleh karena iu diperlukan pendekaan unuk meramalkan daa dengan pola yang rumi ersebu dengan menggunakan beberapa auran yang relaif baik. Disamping iu meode ini dapa dipergunakan unuk meramalkan daa hisoris dengan kondisi yang suli dimergeri pengaruhnya erhadap daa secara eknis. Oleh karena iu perlu dikeahui dan dimengeri beberapa dasar enang eknik pengaplikasian meode ini.

20 35 Dalam meode Box Jenkins idak dibuuhkan adanya asumsi enang suau pola yang eap, yang agak berbeda dengan meode-meode lainnya. Pendekaan Box Jenkins ini mulai dengan mengadakan asumsi adanya pola percobaan yang disesuaikan dengan daa hisoris, sehingga kesalahan akan dapa diminimalisasikan. Selanjunya pendekaan Box Jenkins ini memberikan informasi secara eksplisi unuk memungkinkan dapa memikirkan aau memuuskan apakah pola yang secara enaif diasumsikan ersebu adalah epa aau benar unuk keadaan aau siuasi yang elah erjadi. Jika hal ini elah dilakukan, maka peramalan dapa langsung disusun dan jika idak sesuai pola yang diasumsikan, maka pendekaan Box Jenkins memberikan lebih jauh anda-anda unuk mengidenifikasikan pola yang benar. Unuk menggambarkan pendekaan meodologi peramalan Box Jenkins, maka George Box dan Gwilyn Jenkins elah mengembangkan suau diagram skema yang dapa diliha pada Gambar 3.5. Pendekaan ini membagi masalah peramalan dalam iga ahap yang didasarkan pada posulasi aas kelas yang umum dari model-model peramalan. Pada ahap perama, suau model erenu dapa dimasukkan secara enaive sebagai meode peramalan yang sanga cocok unuk keadaan yang diidenifikasi. Tahap kedua, menduga parameer dalam model yang dimasukkan. Tahap keiga, mencocokan model ersebu unuk daa hisoris yang ersedia dan melakukan suau pengecekan unuk menenukan apakah model ersebu sudah cukup epa. Jika idak epa, maka pendekaan ini kembali ke ahap perama dan suau model alernaif diidenifikasi. Bila suau model yang sudah cukup epa, hendaknya diisolasikan dan ahap keiga dilakukan, yaiu penyusunan ramalan unuk beberapa periode yang akan daang. Dalam rangka ini perlu dikeahui unsur-unsur yang pening unuk dapa mengaplikasikan pendekaan Box Jenkins.

21 36 Posulasi suau kelas yang umum dari model-model Idenifikasi model yang dapa dimasukkan secara enaif ahap Pengesimasian parameer dalam model yang Dimasukkan secara enaif ahap idak Pengecekan diagnosika meode iu cukup epa ahap 3 Menggunakan model-model unuk peramalan Gambar 3.5 Diagram Arus unuk sraegi Pembenukan Model Box-Jenkins Auokorelasi Menuru Assauri (984, pp9-3), auokorelasi dianara nilai-nilai yang beruru-uru dari daa merupakan suau ala penenu aau kunci dari idenifikasi pola dasar yang menggambarkan daa iu. Seperi elah dikeahui bahwa konsep korelasi di anara dua variabel menyaakan asosiasi aau hubungan dianara dua variabel. Nilai korelasi menunjukkan apa yang elah erjadi aas salah sau variabel, erdapa perubahan dalam variabel lainnya.

22 37 Tingka korelasi ini diukur dengan koefisien korelasi yang besarnya bervariasi dianara dan -. Suau nilai koefisien yang mendekai menunjukkan kuanya hubungan posiif dianara dua variabel iu. Ini berari bahwa bila nilai dari salah variabel meningka aau berambah, maka nilai pada variabel lainnya juga cenderung berambah. Demikian pula halnya dengan nilai koefisien korelasi yang mendekai -, menunjukkan berambahnya nilai salah sau variabel akan mengakibakan urunnya aau kurangnya nilai dari variabel lainnya. Suau nilai koefisien korelasi nol menunjukkan bahwa kedua variabel secara saisik adalah bebas, idak erganung sau dengan lainnya, sehingga idak ada perubahan dalam sau variabel, bila variabel lainnya berubah. Suau koefisien auokorelasi adalah sama dengan suau koefisien korelasi hanya bedanya bahwa koefisien ini menggambarkan asosiasi aau hubungan anara nilai-nilai dari variabel yang sama, eapi pada periode waku yang berbeda. Auokorelasi memberikan informasi yang pening enang susunan aau srukur daa dan polanya. Dalam suau kumpulan daa acakan aau random yang lengkap, auokorelasi dianara nilai-nilai yang beruru-uru akan mendekai aau sama dengan nol, sedangkan nilai-nilai daa dari ciri yang musiman dan aau siklus akan mempunyai auokorelasi yang kua. Sebagai conoh, informasi yang menunjukkan suau hubungan yang posiif dianara emperaur seiap dua belas bulan beruru-uru, merupakan informasi yang diperoleh dengan perhiungan auokorelasi yang dapa dipergunakan dalam pendekaan Box Jenkins unuk mengidenifikasikan model peramalan yang opimal. Dengan mengeahui nilai koefisien auokorelasi dapa dikeahui ciri, pola dan jenis daa, sehingga dapa memenuhi maksud unuk menidenifikasikan suau model enaif aau percobaan yang dapa disesuaikan dengan daa.

23 38 Menuru Makridarkis (999, p ), auokorelasi unuk ime lag,,3,4,...k dapa dicarikan dan dinoasikan r k, sebagai beriku : r k nk ( )( k ) n ( ) (3.3) Dengan koefisien auokorelasi dari daa acak mempunyai sebaran penarikan conoh yang mendekai kurva normal dengan nilai engah nol dan gala sandar / n Koefisien Auokorelasi Parsial Didalam analisis regresi, apabila variabel idak bebas diregresikan kepada variabel-variabel bebas X dan X maka akan imbul peranyaan sejauh mana variabel X mampu menerangkan keadaan apabila mula-mula X dipisahkan (parialled ou). Ini berari meregresikan kepada X dan menghiung gala nilai sisa (residual errors), kemudian meregresikan lagi nilai sisa ersebu kepada X. Didalam analisis dere berkala berlaku konsep yang sama. Auokorelasi parsial digunakan unuk mengukur ingka keeraan (associaion) anara dan i-k, apabila pengaruh dari ime lag,, 3,..., dan seerusnya sampai k- dianggap erpisah. Sau-saunya ujuan di dalam analisis dere berkala adalah membanu meneapkan model Box Jenkins yang epa unuk peramalan, kenyaaannya, mereka memang dibenuk hanya unuk ujuan ini. Koefisien auokorelasi parsial berorde m didefinisikan sebagai koefisien auokorelasi erakhir dari model AR(m). Sebagai conoh, persamaan-persamaan masing-masing digunakan unuk meneapkan AR(), AR(), AR(3),...AR(m). Koefisien

24 39 m yang erakhir pada masing-masing persamaan merupakan koefisien auokorelasi parsial. Ini berari noasi,, 3,... parsial yang perama unuk dere berkala ersebu. m, dan m adalah m buah koefisien korelasi ε (3.4) ε (3.5) 3 3 ε (3.6) m m... ε (3.7) m m m m... ε (3.8) Dari persamaan-persamaan ini dapa dicari nilai-nilai,, 3,... m, dan m. Perhiungan yang diperlukan akan memakan banyak waku. Oleh karena iu lebih memuaskan unuk memperoleh aksiran,, 3,... m, dan m berdasarkan pada koefisien auokorelasi. Penaksiran ersebu dapa dilakukan dengan meode di bawah ini. Apabila ruas kiri dan kanan persamaan 3.4 dikalikan dengan -, hasilnya adalah ε (3.9) Dengan mengambil nilai harapan pada persamaan 3.9 akan menghasilkan : E ) E( ) E( ε ) (3.0) ( ang dapa diulis ulang sebagai : γ (3.) γ 0 karena berdasarkan definisi E ( ) γ, E ( ) γ 0, dan E( ε ) 0. Apabila kedua ruas persamaan 3. dibagi γ 0, hasilnya adalah ρ (3.)

25 40 karena ρ ( γ ) merupakan cara unuk meneapkan auokorelasi perama. Jadi γ 0 ρ ini berari bahwa auokorelasi parsial yang perama adalah sama dengan auokorelasi perama dan kedua-duanya diaksir di dalam sampel dengan r secara γ umum, karena ρ ( k k ), maka operasi yang erliha pada persamaan 3.9 sampai 3. γ 0 dapa diperluas sebagai beriku. Kalikan kedua ruas persamaan 3.0 dengan -k, hiung nilai harapan dan bagilah dengan γ 0, sehingga menghasilkan sekumpulan persamaan simulan (disebu persamaan ule-walker), yang dapa dipakai unuk mencari nilai-nilai,, 3,... m, dan m. Nilai-nilai ini dapa digunakan sebagi penduga nilai-nilai auokorelasi parsial sampai m ime lag. Unuk mendapakan jawaban persamaanpersamaan ersebu erdapa prosedur penaksiran rekursif. Dari persamaan 3.5, dapa dihiung, unuk dengan menggunakan persamaan 3.6, dan seerusnya. Jika adalah nyaa berbeda dari nol secara saisik, sedangkan idak, maka prosesnya adalah AR(). Perhiungan nilai-nilai,, 3,... m, dan m dari persamaan-persamaan 3.4, 3.5, 3.6, 3.8 membuuhkan banyak waku. Terdapa kemungkinan lain unuk memperoleh nilai dugaan dengan menggunakan persamaan beriku : ρ... ρ Dimana: ρ ρ k k (3.3) ρ auokorelasi ime lag ke,..., k parameer AR / Auokorelasi parsial

26 4 Sesudah mengeri apakah auokorelasi parsial iu dan bagaimana cara memperolehnya, maka selanjunya akan dibahas mengenai cara pemakaiannya unuk meneapkan model Box Jenkins yang epa. Apabila proses yang mendasari diperolehnya rangkaian (series) adalah model AR(), maka harus dimengeri bahwa secara nyaa akan berbeda dari nol, sedangkan, 3,... m, dan m idak akan berbeda nyaa secara saisika. Apabila proses pembangki yang sebenarnya adalah AR(), maka hanya dan, yang akan berbeda nyaa, sedangkan nilai-nilai aksiran lainnya idak akan signifikan. Hal ini berlaku unuk proses-proses AR yang berorde lebih inggi. Dengan kaa lain, karena cara pembenukan,, 3,... m, dan m, maka koefisien yang akan berbeda nyaa dari nol hanya sampai pada orde proses AR yang digunakan unuk membangkikan daa. Di dalam idenifikasi model, kemudian diasumsikan bahwa apabila hanya erdapa dua auokorelasi parsial yang berbeda nyaa dari nol, maka generaing prosesnya berorde dua dan orde dari model peramalannya adalah AR(). Apabila pada p auokorelasi parsial yang signifikan, maka orde yang diambil haruslah AR(p) Apabila proses pembenukan daanya adalah MA bukannya AR, maka auokorelasi parsial idak akan menunjukkan orde proses MA ersebu, karena nilai ersebu dibenuk unuk mencocokkan proses AR. Kenyaaannya, nilai ersebu menunjukkan suau keerganungan dari sau lag ke lag berikunya yang membuanya menyerupai cara auokorelasi unuk proses AR. Auokorelasi parsial akan menurun mendekai nol secara eksponensial. Unuk ujuan idenifikasi, apabila auokorelasi parsial idak memperlihakan penurunan nilai secara acak sesudah p ime lag, melainkan

27 4 menurun sampai nol secara eksponensial, hal ini diasumsikan habwa generaing prosess yang sebenarnya adalah MA. Sebagai ringkasan, apabila hanya erdapa p auokorelasi parsial yang signifikansinya berbeda dari nol, maka diasumsikan bahwa proses ersebu adalah AR(p). Jika auokorelasi parsial menurun mendekai nol secara eksponensial, proses ersebu diasumsikan sebagai proses MA. Tabel 3. Pola Auokorelasi dan Auokorelasi Parsial MA(q) AR(p) ARMA(p,q) Auokorelasi Dipoong seelah proses orde ke q Menghilang Menghilang Auokorelasi parsial Menghilang Dipoong seelah proses orde ke p Menghilang Angka dari auoregresi dan raa-raa bergerak (orde p dan q) pada model ARMA dienukan dari pola sampel auokorelasi dan auokorelasi parsial dan nilai dari krieria seleksi model. Pola auokorelasi dan auokorelasi parsial dapa diliha pada Tabel 3.. Pada prakeknya, nilai p dan q masing-masing jarang melebihi dua Jenis-jenis Model Box Jenkins Menuru Assauri (984, p3), pada umumnya ada dua model dari meode Box Jenkins, yaiu model linear unuk dere yang sais (ARMA) dan model linear unuk dere yang idak sais (ARIMA).

28 Model ARMA (Auoregressive-Moving Average) Menuru Assauri (984, pp3-4), bagi dere daa yang eap sais (sasionary), meode Box Jenkins memposulasikan iga kelas yang umum dari model-model yang dapa dipergunakan, eruama unuk menggambarkan jenis aau pola dari daa waku. Keiga model ersebu adalah :. Model Auoregressive (AR) Model Auoregressive (AR) adalah suau persamaan dengan benuk umum : p p ε (3.4) Dimana : variabel respon (erika) pada waku,, 3,, p variabel respon pada masing-masing selang waku -, -,..., -p. Nilai berperan sebagai variabel bebas. ε Gala pada saa yang mewakili dampak variabelvariabel yang idak dijelaskan oleh model.asumsi mengenai gala adalah sama dengan asumsi model regresi sandar. Dalam meode ini, variabel bebasnya adalah variabel yang sama (auo variable), eapi pada periode-periode sebelumnya(-, -, -3,..., -p). Sedangkan ε adalah unsur kesalahan aau residual yang menunjukkan persiiwa acakan aau random evens yang idak dapa diuraikan aau dijelaskan oleh model. Model Auoregressive (AR) pada persamaan 3.4 adalah sama dengan persamaan regresi. Perbedaannya adalah bahwa pada model Auoregressive, variabel bebas adalah nilai yang lalu dari variabel yang diramalkan (dependen variable). Perbedaan lainnya adalah parameer regresi, diesimasikan dengan menggunakan

29 44 meode leas squares yang linear, sedangkan parameer Auoregressive diperoleh dengan menggunakan meode leas Squares yang nonlinear. Model Auoregressive (AR) erdapa dalam beberapa benuk, erganung pada deraja susunan (order) dari p. Bila p, benuknya menjadi model Auoregressive dengan susunan perama aau AR(). Dalam benuk umum, model ini diuliskan sebagai AR(p), sehingga sebelum model AR dapa dipergunakan maka susunan (order) p ersebu harus dispesifikasikan. Nilai yang berlaku unuk p dapa diperoleh dengan menyelidiki nilai koefisien auokorelasi parsial. Model AR akan lebih mudah dimergeri dengan menyelidiki benuk maemaisnya. Dalam prakiknya, dua kasus yang akan paling sering dihadapi adalah apabila p dan p, yaiu beruru-uru unuk model AR() dan AR(). a. Model AR() Berdasarkan model AR umum : ε (3.5) ε, bila disubiusikan kedalam persamaan 3.5 akan diperoleh: ( ε ) ε (3.6) bila subiusi ini dilanjukan dari unuk amaan perama, maka akan menghasilkan persamaan benuk umum, yaiu : h h h ε h... ε (3.7) dimana : variabel yang diramalkan (dependen variabel) h variabel bebas

30 45 h lag waku (,,3...,p periode) perama lan y linear yang erbaik, y,..., yh dihiung menggunakan kaidah-ranai peramalan (law of ieraed projecions) ) ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( μ μ μ μ μ μ μ μ μ h h h Perhiungan kesalahan peramalan dapa diperoleh dengan h h h h h h h h h ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε Perhiungan ragam (variance) kesalahan peramalan diperoleh dengan ) ( σ ε Var (3.8) ) ( )... ( ) var( ) ( ) ( ) var( σ σ ε σ σ ε h h h b. Model AR(p) L ε μ ) )( ( (3.9)

31 46 p p L L L... ) ( (3.0) unuk p ε (3.) unuk p 3 ε 3 3 (3.) AR(p) dalam benuk sae space : p p p ε. Model Moving Average (MA) Seperi yang dijelaskan sebelumnya, model Auoregressive merupakan model yang hampir sama dengan benuk muliple regression. Model Auoregressive pada awalnya idak dapa menangani seluruh derean daa. Oleh sebab iu, pendekaan Box Jenkins memperimbangkan dua kelas yang lain unuk menangani masalah ersebu. Salah saunya adalah model Moving Average. Model Moving Average (MA) memberikan hasil ramalan berdasarkan aas kombinasi linear dari kesalahankesalahan yang lalu. Hal ini berbeda dengan model Auoregressive (AR) yang menyaakan bahwa sebagai fungsi linear dari p nilai-nilai sebenarnya dari pada masa-masa sebelumnya. Benuk umum dari model Moving Average (MA) adalah q q ε θ ε θ ε θ ε... (3.3) dimana : ε kesalahan (error) aau residual

32 47 ε, ε, ε 3,, ε q nilai-nilai erdahulu dari kesalahan (error) Nilai parameer θ, θ, θ 3,, θ p dari MA harus diduga. Dugaan ini dilakukan dengan sisem coba-coba aau rial and error, seperi pada model AR. Dalam hal ini nilai-nilai θ yang berbeda-beda dicoba, sehingga diperoleh θ yang menghasilkan kuadra raa-raa kesalahan (MSE) yang minimal. θ harus jauh di dalam jarak nilai ( θ < ). Perbedaan model ini dengan model Auoregressive adalah model Moving Average menyerakan variabel idak bebas yang diramalkan erganung pada nilainilai sebelumnya dari unsur kesalahan (error erm), yaiu ε, ε, ε 3,, ε q, dan bukan dipengaruhi oleh variabel iu sendiri.dengan kaa lain, dalam model ini harus diperhaikan auokorelasi dianara nilai beruru-uru dari residual aau kesalahan (error). Nilai-nilai θ, θ, θ 3,, θ p idak perlu dijumlahkan menjadi sau, dan juga nilai θ idak bergerak (moving) dengan adanya pengamaan baru seperi pada perhiungan raa-raa bergerak (Moving Average). a. MA() aau Moving Average dengan susunan perama Model MA() merupakan model yang hampir sama dengan meode exponensial smoohing. Benuk umum model MA() adalah σ ε θ ε (3.4) Dengan cara lain dapalah dinyaakan : bila ε θε θ ε maka ε θε (3.5)

33 48 Persamaan 3.5 disubiusikan kedalam persamaan 3.4 maka diperoleh σ ε θ ( θ ε ) (3.6) Bila pensubiusian dilanjukan maka akhirnya persamaan 3.6 akan menjadi n n σ ε θ θ ε... θ ε n θ ε n (3.7) b. MA() aau Moving Average dengan susunan kedua Benuk umum model MA() adalah berbenuk : σ ε θ ε θ ε (3.8) c. MA(3) aau Moving Average dengan susunan keiga Benuk umum model MA() adalah berbenuk : σ ε θ ε θ ε θ ε (3.9) Model Auoregressive-Moving Average (ARMA) Meode Box Jenkins menggunakan prosedur yang prakis dan sederhana bagi penerapan model aau skema Auoregressive dan Moving Average dalam penyusunan ramalan. Sehingga dengan penggunaan gabungan kedua model iu, maka dapa diperimbangkan auokorelasi baik dianara nilai yang beruru-uru pada masa-masa sebelumnya dari variabel yang diramalkan, maupun dianara nilai yang beruru-uru dari residual aau kesalahan (errors) aas masing-masing periode yang lalu. Model Auorefressive-Moving Average (ARMA) adalah kelas khusus yang sanga kua dan baik dari eknik penyaringan linear, dengan mana suau daa masukan yang acak (random) disaring, sehingga hasilnya menunjukkan dere waku yang diamai dan yang diransformasi.

34 49 Kedua model ersebu, yakni model Auoregressive, AR(p) dan model Moving Average, MA(q), dapa digabungkan kedalam persamaan yang sama. Gabungan kedua kelas yang umum dari model Auoregressive Moving Average (ARMA). Misalnya model AR() dinyaakan sebagai ARMA(,0), dan suau model MA() dinyaakan sebagai model ARMA(0,). Model ARMA yang umum dalam susunan p dan q, aau ARMA(p,q) adalah ε θ ε θ ε... θ ε... p p q q (3.30) Persamaan 3.30 ini merupakan kombinasi dari persamaan-persamaan 3.4 dan 3.3. Model ARMA menggunakan kombinasi kedua parameer AR dan MA, sehingga menghasilkan model yang lebih lengkap dan komprehensip dalam memperoleh ramalan yang baik. Jadi keunungan dari suau model ARMA mencakup perbedaan model AR dan menggunakan kesalahan apa saja yang idak ercakup dalam suau persamaan MA, yang dicoba unuk disempurnakan unuk penyusunan ramalan. Dengan meode ini diharapkan idak ada lagi perbaikan yang mungkin dilakukan dengan penyesuaian model yang lebih epa, sehingga acakan (randomnes) iku diperimbangkan dalam penyusunan ramalan. a. Model Auoregressive-Moving Average susuan perama aau ARMA(,) Model Auoregressive-Moving Average susunan perama aau ARMA(,) merupakan kombinasi persamaan 3.5 dan 3.4. Benuk umum model ARMA(,) adalah ε θ ε (3.3)

35 50 b. Model Auoregressive-Moving Average ARMA(,) Model Auoregressive-Moving Average ARMA(,) merupakan kombinasi model-model AR() dan MA(), adalah ε θ ε (3.3) c. Model Auoregressive-Moving Average ARMA(,) Model Auoregressive-Moving Average ARMA(,) merupakan kombinasi model-model AR() dan MA(), adalah ε θ ε θ ε (3.33) 3..9 Maximun Likelihood Esimaors Menuru Mood (974, p), meode Maximun Likelihood merupakan eknik penurunan penduga(esimaor) yang paling erkenal. Menuru Mood (974, p79), Fungsi likelihood unuk variabel acak X...,, X, X n adalah sebagai beriku: L θ ) L( θ; x,..., x ) (3.34) ( n Jika θˆ [dimana ˆ θ ˆ( ϑ x, x,..., x ) adalah sebuah fungsi pengamaan n, x, x n ] adalah nilai dari θ dalam Φ yang memaksimalkan L (θ ) x...,, kemudian Θ ˆ ϑˆ( x,..., x ) adalah maximun likelihood esimaor dari θ. ˆ θ ˆ( ϑ x, x,..., x ) adalah n n maximun likelihood esimae dari θ unuk sampel x, x,..., x n. Jika, x, xn merupakan sampel acak dari beberapa kepekaan ( x; θ ) x..., f, sehingga fungsi likelihood sebagai beriku :

36 5 L θ ) f ( x ; θ ) f ( x ; θ )... f ( x ; ) (3.35) ( n θ Banyak fungsi likelihood memenuhi kondisi sandar. sehingga maximun likelihood esimaor adalah solusi dari persamaan : dl( θ ) 0 dθ (3.36) Jika fungsi likelihood mengandung parameer k, maka n L( θ, θ,..., θ k ) Π f ( xi ; θ, θ,..., θ k ) (3.37) i Kemudian maximun likelihood esimaors dai parameer θ...,, θ, θ k adalah variabel acak Θ ˆ ϑˆ ( x,..., x ), Θ ˆ ϑˆ ( x,..., x ),, Θ ˆ ϑˆ ( x,..., x ) dimana n n K K n θ...,, θ, θ k adalah nilai dalam Φ yang memaksimalkan L(, θ,..., θ k ) θ. Jika kondisi sandar pasi erpenuhi, ini dimana likelihood adalah sebuah maksimun adalah sebuah solusi dari persamaan-persamaan k : L( θ,..., θ k) 0 θ L( θ,..., θ k) 0 θ... L( θ,..., θ k) 0 θ k (3.38) 3..0 Implemenasi Sraegi Pembenukan Model Seperi yang diperagakan pada gambar 3.5, pendekaan Box Jenkins menggunakan sraegi pembenukan model ieraif yang erdiri dari pemilihan model awal

37 5 (idenifikasi model), pendugaan koefisien model (pendugaan parameer), dan penganalisaan residual (pemeriksaan model). Jika diperlukan, model awal dimodifikasi dan proses diulangi sampai didapa residual yang memberikan indikasi bahwa idak ada lagi modifikasi yang diperlukan. Sampai disini, model yang sesuai dapa digunakan unuk meramal. Kelas yang sanga umum dari suau model Auoregressive-Moving Average (ARMA) adalah:... θ ε... p p ε θε θ ε q q Persamaan diaas dapa epa aau sesuai unuk hampir semua dere waku yang sasis (sasionary). Menuru Assauri (984, p43), ahapan sraegi pembenukan model erinci sebagai beriku : Tahap : Idenifikasi Model Langkah perama idenifikasi model adalah penenuan apakah derenya sasioner, yaiu apakah dere waku muncul beragam disekiar ingka erenu. Teknik yang paling mudah unuk meliha kesasioneran daa adalah dengan membua plo daa anara waku dan nilai. Bila flukuasi daa berada di sekiar nilai raa-raa dengan besaran yang relaive idak berbeda, maka daa dapa disebu sasioner. Menuru Assauri (984, p78), langkah lain yang dapa dilakukan unuk lebih menyakinkan sasioneran daa yakni dengan membua plo auokorelasi, dimana nilainya menjadi nol seelah ime lags kedua dan keiga, sedangkan unuk dere waku yang idak memiliki kesasioneran, auokorelasinya berbeda dari nol unuk beberapa periode waku. Bila diunjukkan secara grafik, maka auokorelasi dari dere daa idak sais menggambarkan suau rend yang bergerak secara

38 53 diagonal dari kanan ke kiri jika jumlah ime lags berambah. Besarnya nilai koefisien auokorelasi unuk ime lags berbeda-beda. Menuru Assauri (984, p77), koefisien auokorelasi mempunyai disribusi sampling, yang dapa dengan kurva normal dimana raa-raa adalah nol, dan kesalahan sandar (sandar error) adalah / n. Unuk mengeahui nilai koefisien auokorelasi idak berbeda nyaa dari nol yakni dengan memberikan baas-baas keyakinan aas dan bawah, dimana akan idak berbeda dari nol bila erleak di dalam baas-baas α ( Sd) ρ Z ( Sd) Z k α Dimana : Z adalah nilai abel Z dari kurva normal α adalah ingka kepercayaan yang diperlukan dalam menenukan nilai Z ρ k adalah koefisien korelasi ke k Jika erliha bahwa daa idak sasioner maka dere waku dapa dikonversikan menjadi dere sasioner melalui differencing. Maka model ARIMA pun digunakan dalam pemodelan peramalan ini. Apabila daa menunjukkan kesasioneran, maka langsung menggunakan model ARMA dalam pemodelan peramalan ini. Dalam hal ini, selanjunya menenukan ingka p dan q dari model ARMA yang akan dipergunakan dengan cara menyelidiki dan menggambarkan perilaku koefisien auokorelasi eoriis dan parial auokorelasi. Pengidenifikasian susunan dari suau proses AR dapa dilakukan dengan menyelidiki parial auokorelasinya. Secara singka susunannya akan sama dengan jumlah auokorelasi secara saisik nyaa berbeda dari nol. Parial auokorelasi sampai

39 54 dengan p ime lag, akan nyaa berbeda dari nol, sedangkan yang lainnya akan mendekai nol. Jadi baasnya adalah p akan menjadi susunan dari proses AR. Dalam proses Moving Average (MA) nilai X yang berbeda-beda merupakan fakor yang dipengaruhi aau erganung dari fakor-fakor lainnya, karena iu suau jumlah yang idak erbaas dari unsur akan dibuuhkan unuk menyesuaikan model AR dalam daa MA. Unuk daa MA, nilai-nilai parameer parial auokorelasi akan mulai dengan nilai-nilai yang lebih besar dan kemudian besarnya akan mengecil aau menurun dengan berambahnya ime lag. Jadi parial auokorelasi dari suau proses MA idak mempunyai suau pembaas seelah p ime lag, seperi pada proses AR, akan eapi erus berkelanjuan dan lamba laun menurun menjadi nol. Karena iu ada suau penurunan eksponensial dalam parial auokorelasi dari nilai yang besar menjadi nilai yang lebih kecil, bila ime lag dari auokorelasi menjadi lebih panjang. Inga, apabila auokorelasi sampel menghilang ke arah nol secara eksponensial dan auokorelasi parsial sampel erpoong, modelnya akan memerlukan benuk Auoregresi. Jika auokorelasi sampel erpoong dan auokorelasi parsial menghilang, modelnya akan membuuhkan benuk raa-raa bergerak (Moving Average). Jika auokorelasi sampel dan auokorelasi parsial sampel menghilang, benuk Auoregresi dan raa-raa bergerak erindikasi. Dengan menghiung jumlah auokorelasi sampel dan auokorelasi parsial, orde dari bagian MA dan AR dapa dienukan. Menilai signifikansinya, kedua auokorelasi sampel dan auokorelasi parsial sampel biasanya dibandingkan dengan ±, dimana n adalah jumlah pengamaan dere waku. Baas n ini akan bekerja baik apabila n besar.

40 55 Jadi di dalam susunan (order) unuk peramalan dere waku, perama-ama harus dihiung auokorelasi dan auokorelasi parsial. Grafik dari kedua unsur harus diperiksa aau diselidiki secara hai-hai. Kadang-kadang pola dari auokorelasi dan auokorelasi parsial yang dihiung dapa dengan mudah diklasifikasikan sebagai salah sau benuk eoriis. Idenifikasi model lebih mudah dilakukan. Hal ini memerlukan beberapa asosiasi unuk mampu mendapakan pola dari auokorelasi aau lebih dari sau pola yang berlaku. Dengan beberapa kali penyeleksian akan memberikan pengalaman, sehingga idak lagi menjadi kesulian dalam memperimbangkannya. Tahap : Esimasi Model Seelah berhasil meneapkan idenifikasi model semenara, selanjunya parameer-parameer AR dan Ma harus dieapkan dengan cara yang erbaik. Misalnya penggasumsian model enaif adalah model ARMA(,), maka benuk maemaisnya adalah: X X e θe Unuk dapa menggunakan persamaan diaas, maka harus menduga nilai dan θ. Hal ini dapa dilakukan dengan dua cara yang mendasar yakni :. Dengan cara mencoba-coba.menguji beberapa nilai yang berbeda dan memilih sau nilai ersebu (aau sekumpulan nilai, apabila erdapa lebih dari sau parameer yang akan diaksir) yang meminimkan jumlah kuadra nilai sisa (sum of squared residuals).. Perbaikan ieraive. Memilih aksiran awal dan kemudian membiarkan program kompuer memperhalus penaksiran ersebu secara ieraive.

41 56 Meode erakhir lebih disukai dan elah ersedia algorima yang sanga kua yang ersedia di bagian pusa kompuer unuk melakukan hal ersebu. Salah sau meode ersebu yakni menggunakan Maximun Likelihood Esimaors. Pendekaan yang umum biasanya dimulai dengan nilai-nilai awal unuk dan θ dan kemudian dimodifikasikan dengan langkah-langkah unuk menyelidiki kesalahan kuadra raa-raa (MSE). Dengan demikian dimungkinkan arah dari perubahan dalam dan θ, akan menghasilkan kesalahan kuadra raa-raa (MSE) yang erkecil. Kemungkinan erjadi bahwa dan θ yang menghasilkan kesalahan kuadra raa-raa yang erkecil, akan diperoleh dan dipergunakan sebagai dugaan erakhir dari model. Prosedur pendugaan yang lain adalah dengan mencari kesalah kuadra raa-raa unuk seluruh kombinasi dan θ dan menspesifikasikan nilai-nilai parameer yang menghasilkan kesalahan kuadra raa-raa yang erkecil. Tahap 3 : Pemeriksaan Model Sebelum menggunakan model unuk peramalan, model hendaknya diperiksa kecukupannya. Jika model yang diperoleh adalah suau model yang cukup epa, maka perbedaan residual aau kesalahan anara nilai-nilai dere waku dan nilai-nilai dugaan dari model haruslah sanga kecil aau idak berari. Masing-masing auokorelasi residual rk (ε ) sebaiknya kecil dan umumnya berkisar anara ± dari nol. n Selanjunya dapa diperoleh koefisien auokorelasi dari residual aau kesalahan. Adanya pola dalam residual dapa dienukan dari hasil koefisien auokorelasi. Jika idak erdapa pola yang secara nyaa berbeda dari nol, maka kesalahan diasumsikan menjadi acakan aau idak perlu diperhaikan dan model ersebu dianggap cukup epa. Hal ini