PENAKSIRAN PARAMETER KOINTEGRASI (STUDI KASUS: NILAI EKSPOR DAN INVESTASI INDONESIA PADA TAHUN ) RIZKI NUGROHO ARYANTO

Transkripsi

1 PENAKSIRAN PARAMETER KOINTEGRASI (STUDI KASUS: NILAI EKSPOR DAN INVESTASI INDONESIA PADA TAHUN ) RIZKI NUGROHO ARYANTO UNIVERSITAS INDONESIA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM DEPARTEMEN MATEMATIKA DEPOK 009 Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

2 PENAKSIRAN PARAMETER KOINTEGRASI (STUDI KASUS: NILAI EKSPOR DAN INVESTASI INDONESIA PADA TAHUN ) Skripsi diajukan sebagai salah sau syara unuk memperoleh gelar Sarjana Sains Oleh: RIZKI NUGROHO ARYANTO DEPOK 009 Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

3 SKRIPSI : PENAKSIRAN PARAMETER KOINTEGRASI (STUDI KASUS: NILAI EKSPOR DAN INVESTASI INDONESIA PADA TAHUN ) NAMA : RIZKI NUGROHO ARYANTO NPM : SKRIPSI INI TELAH DIPERIKSA DAN DISETUJUI DEPOK, 19 JUNI 009 DRA. IDA FITHRIANI, M. SI PEMBIMBING I SARINI ABDULLAH, M. STATS PEMBIMBING II Tanggal Lulus Ujian Sidang Sarjana: Penguji I : Penguji II : Penguji III : Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

4 To Mom and Dad,, I can hank you enough forr f you boh.. Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

5 KATA PENGANTAR Alhamdulillahi rabbil aalamiin. Puji syukur hanya kepada ALLAH SWT, Yang Maha Pengasih dan Penyayang, aas segala rahma dan hidayah-nya sehingga penulis dapa menyelesaikan ugas akhir ini. Dalam penulisan ugas akhir ini enu saja idak erlepas dari banuan dari berbagai pihak. Unuk iu, penulis menghaurkan banyak erima kasih kepada Ibu Ida Fihriani dan Ibu Sarini Abdullah selaku dosen pembimbing yang elah bersedia mengorbankan waku dan enaganya unuk memberikan pengarahan, bimbingan, dan doa sehingga penulis dapa menyelesaikan ugas akhir ini dengan baik. Terima kasih unuk hari-hari bimbingan yang menyenangkan. Penulis juga bererima kasih kepada Mba Mila Novia yang elah penulis anggap sebagai pembimbing III yang bersedia diganggu unuk dianyai perihal ugas akhir penulis dan selalu membanu apabila penulis mengalami kesulian dalam proses pengerjaan ugas akhir ini. Khususnya, erima kasih kepada kedua orangua penulis yang selalu mendidik dan mendoakan seulus hai anpa heni; sera adik penulis yang selalu mendoakan unuk keberhasilan penulis. Terima kasih unuk cina, kasih sayang, dan perhaian yang begiu luar biasa. Semoga ALLAH SWT selalu memberikan kesehaan sera keselamaan dunia dan akhira. Ucapan erima kasih penulis sampaikan kepada Keluarga Kediri, yaiu Mbah Jono, Mbah Ti, Tane Nien, Om Nuri, Tane Pin, Om Bandi, Pakde Mul, Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009. i

6 dan Tane Aliq. Terima kasih aas segala-galanya. Unuk sahaba-sahaba ercina: Auismsars, Imay, Yoga, Aya, dan Yuri yang elah memberikan ari sebuah persahabaan sepanjang masa; dan ak lupa unuk Vicky dan Eja aas doa dan banuannya selama ini. Terima kasih juga kepada Mas Bayu dan Mba Nia aas lapopnya; Iif, Edi dan Rizqiyaul aas banuannya; Briany aas jawaban permasalahan yang berkaian dengan ilmu ekonomi; Iman dan Ias unuk buku-buku yang sanga pening bagi ugas akhir penulis; sera Akmal, Farid, dan Yanuar aas perolongannya unuk memperbaiki kompuer penulis. Berikunya unuk eman berbagi selama di bangku kuliah, The Abelian: Rifkos, Uun, Hairu, Maul, Bocil, Ridwan, Trian, Udin, Asep, Aris, dan Dimas. Unuk yang erisimewa eman-eman angkaan 005; eman pelipur lara, Ranger: Lee, Yuri, Syafirah, dan Ria; sera eman-eman angkaan 003, 004, 006, 007, dan 008. Unuk Bu Rusina selaku PA, seluruh dosen, dan karyawan Deparemen Maemaika UI. Terima kasih unuk semuanya. Penulis menyadari bahwa penyusunan ugas akhir ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena iu, kriik dan saran senaniasa penulis harapkan. Akhir kaa, semoga ugas akhir ini dapa berguna bagi siapa saja yang mengkajinya sera dapa dikembangkan dan disempurnakan agar lebih bermanfaa unuk kepeningan orang banyak. Penulis 009 Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009. ii

7 ABSTRAK Sebagian besar eori ekonomeri didasari aas asumsi kesasioneran. Pada kenyaaannya, hal ini hampir idak mungkin erpenuhi pada peubahpeubah ekonomi. Granger dan Newbold (1974) elah menunjukkan bahwa regresi linier yang dibenuk dari peubah-peubah nonsasioner yang idak berkorelasi akan mencipakan nonsense aau spurious regression (regresi palsu). Hasil regresi ini ampak baik eapi idak mempunyai ari dalam ilmu ekonomi. Hingga pada ahun 1987, Engle dan Granger merumuskan suau ide unuk membua kombinasi linier yang sasioner dari peubah-peubah nonsasioner yang disebu koinegrasi. Ide ini muncul unuk menghindari spurious regression. Dalam ekonomerika, peubah yang saling erkoinegrasi dikaakan dalam kondisi keseimbangan jangka panjang (long-run equilibrium). Unuk menguji hubungan koinegrasi anara dua peubah nonsasioner yang memiliki orde inegrasi yang sama digunakan uji Engle- Granger dan unuk menaksir parameer koinegrasi digunakan Engle-Granger Two-Sep Procedure. Dalam ugas akhir ini, hubungan koinegrasi dierapkan pada nilai ekspor dan invesasi Indonesia pada ahun Kaa kunci: peubah nonsasioner; koinegrasi; uji Engle-Granger; Engle- Granger Two-Sep Procedure. x + 15 hlm.; gbr.; lamp.; ab. Bibliografi: ( ) Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009. iii

8 DAFTAR ISI Halaman KATA PENGANTAR... ABSTRAK... DAFTAR ISI... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR TABEL... DAFTAR LAMPIRAN... i iii iv viii ix x BAB I. PENDAHULUAN Laar Belakang Perumusan Masalah Tujuan Penulisan Pembaasan Masalah Sisemaika Penulisan... 6 BAB II. LANDASAN TEORI Konsep Runun Waku Definisi Runun Waku Kesasioneran Whie Noise Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009. iv

9 .1.4 Random Walk Model Moving Average Orde Sau, MA(1) Model Moving Average Orde q, MA(q) Model Auoregressive Orde Sau, AR(1) Model Auoregressive Orde p, AR(p) Model Auoregressive-Moving Average, ARMA(p, q).1.10 Transformasi Runun Waku Nonsasioner Operaor Backshif Model Regresi Linier Regresi Linier Sederhana Taksiran Parameer Model Regresi Linier Sederhana Pengujian Hipoesis Model Regresi Linier Sederhana Koefisien Deerminasi (R ) Uji Durbin-Wason Uni Roo Tes Dickey-Fuller Tes Augmened Dickey-Fuller Tes Uji Kausalias Granger Spurious Regression Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009. v

10 BAB III. KOINTEGRASI Konsep Inegrasi, Koinegrasi, dan Error Correcion Model (ECM) Inegrasi Koinegrasi Error Correcion Model (ECM) Pengujian Koinegrasi Kasus Bivaria Penaksiran Parameer Koinegrasi Kasus Bivaria BAB IV. PENERAPAN KOINTEGRASI TERHADAP NILAI EKSPOR DAN INVESTASI INDONESIA PADA TAHUN Konsep dan Definisi Peubah Peneliian Ekspor Invesasi Daa Peneliian Analisis Deskripif Tujuan Peneliian Analisis Daa Uni Roo Tes Uji Engle-Granger Uji Kausalias Granger Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009. vi

11 4.5.4 Error Correcion Model (ECM) Kesimpulan dan Saran Peneliian Kesimpulan Saran BAB V PENUTUP DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN vii Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

12 DAFTAR GAMBAR Gambar Halaman 1. Ilusrasi hubungan koinegrasi Scaerplo dari peubah-peubah yang erkoinegrasi Perkembangan nilai ekspor Indonesia (jua US$) ahun Perkembangan nilai invesasi di Indonesia (jua US$) ahun Scaerplo anara nilai ekspor dan invesasi Scaerplo dari residual ECM viii Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

13 DAFTAR TABEL Tabel Halaman 1. Peubah peneliian, sumber, jenis, dan periode daa Hasil Uni Roo Tes Taksiran parameer model regresi sais dengan meode OLS Hasil Uni Roo Tes residual Hasil uji Kausalias Engle-Granger Residuals Saisics Hasil uji Shapiro-Wilk Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009. ix

14 DAFTAR LAMPIRAN Lampiran Halaman 1. Tabel Disribusi Dickey-Fuller Tabel nilai kriis Engle-Granger Coinegraion Tes Taksiran parameer, ˆ dan ˆ, model regresi linier sais (3.6) 0 1 dengan meode OLS Daa nilai ekspor dan invesasi Indonesia Uji orde inegrasi dengan Augmened Dickey-Fuller Tes Uji Engle-Granger Uji Kausalias Granger Error Correcion Model (ECM) Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009. x

15 BAB I PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG Bagian erpening dari eori ekonomi biasanya beralian dengan hubungan-hubungan pada keseimbangan jangka panjang (long-run equilibrium) yang disebabkan oleh kekuaan pasar (marke forces) dan pola perilaku manusia (behavioral rules). Sejalan dengan hal iu, banyak sudi ekonomeri yang memerlukan daa runun waku (ime series) yang dapa diarikan sebagai usaha unuk mengevaluasi hubungan-hubungan ersebu. Meode konvensional elah meneapkan suau prosedur sandar, yaiu dibuuhkannya peubah yang sasioner arinya, mempunyai nilai raa-raa dan variansi yang idak mengalami perubahan secara sisemaik sepanjang waku aau konsan dalam sisem. Hal ini disebabkan karena sebagian besar eori ekonomeri didasari aas asumsi kesasioneran. Akibanya, para pelaku ekonomeri berahun-ahun menganggap seolah-olah kesasioneran, yang hampir idak mungkin erpenuhi pada peubah-peubah dalam dunia ekonomi, dapa dicapai hanya dengan membuang komponen deerminisik (drifs dan rends) dari daa (Dolado, Gonzalo, dan Marmol, 1999). Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI,

16 Masalah kenonsasioneran pada peubah-peubah ekonomi agaknya diabaikan oleh para pelaku ekonomeri dalam berbagai penerapan kasus. Selama berahun-ahun para pelaku ekonomeri melakukan inferensi saisik yang melibakan peubah-peubah nonsasioner dengan membenuk regresi linier secara langsung. Granger dan Newbold (1974) elah menunjukkan bahwa regresi linier yang dibenuk dari peubah-peubah nonsasioner yang idak berkorelasi akan mencipakan nonsense aau spurious regression (regresi palsu). Meode Ordinary Leas Squares (OLS) idak dibenarkan unuk digunakan pada peubah-peubah nonsasioner karena akan menyebabkan erbenuknya spurious regression. Conoh dari spurious regression adalah regresi anara produksi susu di suau daerah dengan jumlah penumpang suau maskapai penerbangan di daerah ersebu dimana peubah-peubah ersebu adalah peubah nonsasioner yang idak berkorelasi secara subsansi. Spurious regression menghasilkan koefisien deerminasi (R ) yang cukup inggi dan uji yang signifikan eapi hasil regresi yang diperoleh idak mempunyai ari dalam ilmu ekonomi. Hasil regresi yang ampak baik ini disebabkan karena aksiran leas squares idak konsisen dan uji saisik yang biasanya berlaku unuk regresi linier idak dapa dierapkan pada spurious regression (Enders, 004). Jika spurious regression diinerpreasikan maka dikhawairkan hasil analisisnya akan salah aau idak sesuai dengan kondisi yang sebenarnya. Analisis yang salah enunya akan Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

17 3 berdampak pada kepuusan yang diambil dan pada gilirannya akan membua kebijakan yang merugikan banyak pihak. Unuk perama kalinya, Engle dan Granger (1987) merumuskan suau ide unuk mengoinegrasikan peubah-peubah nonsasioner ersebu menjadi suau peubah yang sasioner. Ide ini muncul akiba kekhawairan akan hasil yang diimbulkan oleh spurious regression pada daa runun waku. Jika dua aau lebih peubah nonsasioner, eapi kombinasi linier dari peubah-peubah ersebu sasioner, maka peubah ersebu dikaakan erkoinegrasi. Misalkan, erdapa dua buah random walk proses sokasik nonsasioner X dan Y. Maka, Z = Y X merupakan runun waku yang sasioner. Pada kondisi ersebu peubah X dan Y dikaakan erkoinegrasi dengan adalah parameer koinegrasi dan regresi yang diperoleh ersebu adalah regresi koinegrasi. Konsep koinegrasi dapa dierapkan dalam berbagai model ekonomi, seperi hubungan anara modal dan hasil, upah dan produkivias buruh, harga saham dan deviden, konsumsi dan disposable income, ingka bunga jangka panjang dan jangka pendek, sera ingka produksi dan penjualan. Dalam ekonomerika, peubah yang saling erkoinegrasi dikaakan dalam kondisi keseimbangan jangka panjang (long-run equilibrium). Sedangkan unuk jangka pendek perlu diperhiungkan adanya flukuasi aau lonjakan peubah pada jangka pendek. Realianya, keseimbangan jangka panjang pada peubah yang erkoinegrasi dapa berubah. Hal ini mungkin Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

18 4 erjadi karena berbagai alasan, seperi krisis ekonomi, kemajuan eknologi, dan perubahan kebijakan suau negara. Jika penyimpangan dari kondisi keseimbangan mempengaruhi perubahan sehimpunan peubah maka diperlukan suau misspecificaion error. Sargan (1964) memperkenalkan perama kali (selanjunya dipopulerkan oleh Engle dan Granger) suau meode yang digunakan unuk mengoreksi keidakseimbangan (disequilibrium) jangka pendek menuju pada keseimbangan jangka panjang yang disebu Error Correcion Model (ECM). Ada beberapa pengujian unuk memeriksa adanya hubungan koinegrasi, anara lain uji Engle-Granger, Phillips-Ouliaris Mehod, uji Coinegraing Regression Durbin Wason (CRDW), dan Johansen Procedure. Sedangkan unuk menaksir parameer koinegrasi dapa digunakan meode beriku: Engle-Granger Two-Sep Procedure dan Fully Modified Ordinary Leas Squares (FM-OLS). Pada ugas akhir ini, meode yang digunakan unuk menguji adanya hubungan koinegrasi adalah uji Engle-Granger. Sedangkan meode yang digunakan unuk menaksir parameer koinegrasi adalah Engle-Granger Two-Sep Procedure. Peubah peneliian yang digunakan pada ugas akhir ini adalah nilai ekspor dan invesasi Indonesia berjangka waku sau ahun dengan periode pengamaan dari ahun 1970 sampai dengan ahun 007. Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

19 5 1. PERMASALAHAN Bagaimana cara menaksir parameer dari hubungan koinegrasi anara peubah-peubah nonsasioner? 1.3 TUJUAN PENULISAN Tugas akhir ini berujuan unuk menguji adanya hubungan koinegrasi anara peubah-peubah nonsasioner dan menaksir parameer koinegrasi ersebu. 1.4 PEMBATASAN MASALAH Permasalahan pada ugas akhir ini dibaasi pada hal-hal beriku: 1. Hubungan koinegrasi hanya pada kasus bivaria (dua peubah).. Pengujian koinegrasi hanya dilakukan pada peubah yang memiliki orde inegrasi sau, I(1). 3. Pengujian koinegrasi menggunakan uji Engle-Granger. 4. Taksiran parameer koinegrasi diperoleh dengan Engle-Granger Two- Sep Procedure. Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

20 6 1.5 SISTEMATIKA PENULISAN Penulisan pada ugas akhir ini dibagi menjadi lima bab, yaiu: Bab I. Pendahuluan Berisi laar belakang, permasalahan, ujuan penulisan, pembaasan masalah, dan sisemaika penulisan. Bab II. Landasan Teori Berisi pembahasan mengenai konsep runun waku, model regresi linier sederhana, uji Durbin-Wason, Uni Roo Tes, uji Kausalias Granger, dan Spurious Regression. Bab III. Koinegrasi Berisi pembahasan mengenai konsep inegrasi, koinegrasi, Error Correcion Model (ECM), pengujian koinegrasi, dan penaksiran parameer koinegrasi kasus bivaria. Bab IV. Penerapan Koinegrasi erhadap Nilai Ekspor dan Invesasi Indonesia Pada Tahun Berisi pembahasan mengenai konsep dan definisi peubah peneliian, daa peneliian, analisis deskripif, ujuan peneliian, analisis daa, sera kesimpulan dan saran peneliian. Bab V. Penuup Berisi kesimpulan. Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

21 BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa eori yang diperlukan unuk pembahasan bab-bab selanjunya, anara lain konsep runun waku, model regresi linier sederhana, uji Durbin-Wason, Uni Roo Tes, uji Kausalias Granger, dan Spurious Regression..1 KONSEP RUNTUN WAKTU.1.1 Definisi Runun Waku Runun waku adalah himpunan barisan pengamaan yang eruru dalam waku, dengan jarak inerval waku yang sama (Box-Jenkins, 1976). Jika barisan pengamaan ersebu dicaa dalam waku yang koninu maka disebu runun waku koninu; dan jika dicaa dalam waku diskri maka disebu runun waku diskri. Pada ugas akhir ini, akan dibahas runun waku diskri dengan waku i, i = 1,,..., n; dengan n adalah jumlah pengamaan. Barisan pengamaan ersebu dinyaakan dengan Y, Y,..., Y. Jadi, 1 n Y i menyaakan pengamaan pada waku i dengan Y adalah peubah acak (random variable). Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI,

22 8 Himpunan berindeks dari peubah acak Y dengan indeks anggoa himpunan T disebu proses sokasik. Runun waku yang akan dianalisis dapa dianggap sebagai salah sau perwujudan dari proses sokasik. Conoh daa runun waku (ime series) dalam dunia ekonomi, anara lain adalah daa harian Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG), daa riwulan Gross Nainoal Produc (GNP) Indonesia, dan daa ahunan nilai ekspor migas (minyak bumi dan gas alam) Indonesia..1. Kesasioneran Agar dapa melakukan inferensi saisik mengenai srukur proses sokasik pada pengamaan yang berhingga dari suau proses, erlebih dahulu harus dibua penyederhanaan enang srukur ersebu, yang dinyaakan dalam suau asumsi. Asumsi erpening yang harus dipenuhi adalah kesasioneran. Kesasioneran erdiri dari dua jenis, yaiu sasioner kua (sricly saionary) dan sasioner lemah (weakly saionary). Misal barisan { Y, Y,..., Y } aau {Y } adalah proses sokasik. Proses 1 n sokasik {Y } disebu sasioner kua (sricly saionary) jika disribusi bersama dari Y, Y,..., 1 Y sama dengan disribusi bersama dari Y n, Y 1,..., Y n k k k unuk semua pilihan waku,,..., dan jeda waku (lag) k. 1 n Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

23 9 Kasus n = 1 P(Y ) = P(Y k ) = P(Y) Pada kasus ini, mean: = E(Y ) = E(Y k ) sehingga mean akan konsan sepanjang waku; dan variansi, Var(Y ) = Var(Y k ) =, akan Y konsan sepanjang waku juga. Kasus n = Karena p.d.f (probabiliy densiy funcion) bersama dari P(Y, Y s ) = P(Y k, Y s k ), maka kesasioneran juga mengakibakan kovariansi dan korelasi anara Y dan Y s sera anara Y k dan Y s k akan selalu sama dan konsan sepanjang waku unuk seiap bilangan bula k. Jadi, kovariansi dan korelasi idak berganung pada waku dan s, eapi berganung pada selisih waku s aau pada jeda waku k. Kovariansi dan korelasi ersebu dinoasikan sebagai beriku: k = Cov(Y, Y k ), k = Corr(Y, Y k ). Ookorelasi pada lag k didefinisikan sebagai rasio ookovariansi pada lag k dengan ookovariansi lag nol, yaiu / k k 0. Menuru Cryer (1986), suau proses sokasik disebu sasioner lemah (weakly saionary) jika 1. Fungsi mean konsan sepanjang waku.., k 0, k waku ke-, = 1,,..., n dan lag ke-k, k = 0, 1,,.... Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

24 Whie Noise Suau proses whie noise didefinisikan sebagai barisan peubah acak {a } yang saling bebas dan berdisribusi sama; dengan mean nol, E(a ) = 0, dan variansi konsan, Var(a ) = a. Jika proses whie noise diasumsikan berdisribusi normal, a N.I.I.D. (0, a ), maka proses ersebu dinamakan proses normal aau Gausian whie noise. Beriku adalah nilai ookovariansi dan ookorelasi dari proses whie noise: Unuk lag k = 0: Ookovariansi: E[( a E( a ))( a E( a ))] 0 Ookorelasi: 0 1. Unuk lag k = 1: 0 E[( a E( a )) ] Var ( a ). 0 Ookovariansi: E[( a E( a ))( a E( a ))] 1 Ookorelasi: E[( a 0)( a 0)] E( a a ) 1 1 a 1 E( a ) E( a ) 0. 0 Secara umum dapa dinyaakan sebagai beriku: k a, k 0 1, k 0 dan k. 0, k 0 0, k 0 Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

25 11 Whie noise merupakan proses sasioner kua (sricly saionary) karena disribusi bersama dari a, a,..., 1 a sama dengan disribusi bersama n dari a 1k, a k,..., a n k unuk semua pilihan waku 1,,..., n dan lag k. Buki: P( 1 a, a,..., a ) = Pr( a n x1, a x,..., a xn ) 1 n = Pr( a x )Pr( a x )... Pr( a x ) 1 1 n n (karena saling bebas) = a k x a k x a n k x 1 1 n Pr( )Pr( )... Pr( ) (karena berdisribusi sama) = a k x a k x a n k x 1 1 n Pr(,,..., ) = P( a k, a k,..., a k ). 1 n.1.4 Random Walk Misalkan a 1, a,..., a n adalah peubah acak yang saling bebas dan berdisribusi sama, masing-masing dengan mean nol dan variansi. a Runun waku {Y } yang diamai dapa juga dinyaakan sebagai benuk beriku: Y 1 = a 1 Y = a 1 + a Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

26 1 Y 3 = a 1 + a + a 3 Y = a 1 + a a = Aau dapa juga diulis sebagai Y = Y 1 + a. i 1 a i. Proses {Y } dengan model Y = Y 1 + a disebu sebagai random walk. Mean dari runun waku {Y } ersebu adalah = E(Y ) = E(a 1 + a a ) = E(a 1 ) + E(a ) E(a ) = 0. Sedangkan variansinya adalah Var(Y ) = Var(a 1 + a a ) = Var(a 1 ) + Var(a ) Var(a ) = a. Karena variansi dari proses random walk berganung pada waku, maka random walk merupakan runun waku yang nonsasioner. Model random walk dapa diperluas dengan menambahkan konsana a 0, sehingga modelnya menjadi Y = a 0 + Y 1 + a. Model ini disebu model random walk wih drif..1.5 Model Moving Average Orde Sau, MA(1) Salah sau model runun waku univaria (sau peubah) adalah model Moving Average (MA). Runun waku Y dikaakan mempunyai model Moving Average orde sau, dinoasikan dengan MA(1), jika nilai saa ini dari runun Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

27 13 waku Y dapa dinyaakan sebagai fungsi linier dari raa-raa erboboi dari deviasi (disurbance) pada sau periode sebelumnya. dengan: Model MA(1) dapa dinyaakan sebagai beriku: Y a a 1 (.1) Y : pengamaan runun waku pada saa : parameer model MA(1) a j : runun whie noise saa j, j = 0, 1; a N.I.I.D. (0, a ) Mean dan variansi dari model MA(1) dengan penggunaan model pada persamaan (.1) adalah Mean : E( Y ) E( a a ) 1 E( a ) E( a ) 0. 1 Variansi: Var ( Y ) Var( a a ) 1 Var ( a ) Var( a ) a a (1 ). a 1 Sedangkan nilai ookovariansi dan ookorelasinya adalah sebagai beriku: Unuk lag k = 0: 0 Cov( Y, Y ) Var ( Y ) (1 ) a Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

28 14 Unuk lag k = 1: Cov( Y, Y ) Cov( a a, a a ) Cov( a, a ) Cov( a, a ) Cov( a, a ) Cov( a, a ) 1 a 1. (1 ) 1 Unuk lag k = : Cov( a 1, a 1) 0 a. a Cov( Y, Y ) Cov( a a, a a ) 1 3 Cov( a, a ) Cov( a, a ) Cov( a, a ) 3 1 Cov( a, a ) (1 ) Secara umum dapa dinyaakan sebagai beriku: k a, k 1 0, k dan k 1, k 0, k 1 1 0, k..1.6 Model Moving Average Orde q, MA(q) Secara umum, model Moving Average orde q aau MA(q) dinyaakan sebagai beriku: Y = + a 1 a 1 a... q a q (.) Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

29 15 dengan: Y i : pengamaan runun waku pada saa : parameer model Moving Average ke-i, i = 1,,..., q a j : runun whie noise saa j, j = 0, 1,,..., q; a N.I.I.D. (0, a ) : konsana Mean dan variansi dari model MA(q) dengan penggunaan model pada persamaan (.) adalah Mean : E( Y ) E( a a a... a ) 1 1 q q E( ) E( a ) E( a ) E( a )... E( a ). 1 1 q q Variansi: Var ( Y ) Var ( a a a... a ) 1 1 q q Var( ) Var ( a ) Var ( a ) Var ( a )... Var( a ) 1 1 q q 0... a 1 a a (1... ). 1 q a q a Perhaikan bahwa variansi Y berganung pada nilai q i 1 i yang cenderung besar jika idak dibaasi. Oleh sebab iu, jika Y merupakan suau realisasi dari proses random yang sasioner maka nilai q i 1 i. Unuk model MA(q) dengan q berhingga, nilai q i 1 i akan berhingga pula; sehingga model MA(q) sasioner. Sedangkan unuk model MA(q) dengan orde yang sanga besar (q ), kesasioneran dapa erpenuhi apabila i 1 i konvergen ke suau nilai. Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

30 Model Auoregressive Orde Sau, AR(1) Model runun waku univaria lainnya adalah model Auoregressive (AR). Asumsikan Y adalah runun waku sasioner. Runun waku Y dikaakan mempunyai model Auoregressive orde sau, dinoasikan dengan AR(1), jika nilai saa ini dari runun waku Y dapa dinyaakan sebagai fungsi linier dari nilai sau periode waku sebelumnya, Y 1, dan whie noise, a. Model AR(1) dapa dinyaakan sebagai beriku: Y = Y 1 + a (.3) dengan: Y : pengamaan runun waku sasioner pada saa Y 1 : pengamaan runun waku sasioner pada saa 1 : parameer model AR(1) a : runun whie noise, a N.I.I.D. (0, a ) Runun whie noise a diasumsikan saling bebas dengan runun Y k unuk k = 1,,..., sehingga E(a Y k ) = E(a )E(Y k ) = 0. Mean dari model AR(1) dengan penggunaan model pada persamaan (.3) adalah E(Y ) = E(Y 1 + a ) = E(Y 1 ) + E(a ). Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

31 17 Oleh karena asumsi runun waku sasioner adalah E(Y ) = E(Y 1 ) dan mean runun whie noise adalah E(a ) = 0, maka mean dari model AR(1) dapa dinyaakan sebagai beriku: E(Y ) = E(Y 1 ) + 0 (1 )E(Y ) = 0 E(Y ) = 0, 1. Variansi dari model AR(1) unuk model pada persamaan (.3) adalah Var( Y ) E[( Y E( Y )) ] (1 ) Var ( Y ) E[ Y ] a E[( Y a ) ] 1 E[( Y ) Y a ( a ) ] 1 1 E[( Y ) ] E(Y a ) E( a ) 1 1 E( Y ) E( Y a ) E( a ) 1 1 Var( Y ) 0 a a Var( Y ). (1 ) Karena variansi nonnegaif, maka 1 > 0, < 1 aau < 1. Peridaksamaan < 1 merupakan syara agar runun waku AR(1) sasioner. Variansi Y didefinisikan sebagai ookovariansi Y pada lag nol, dinoasikan dengan 0. Ookovariansi dari Y pada lag k, dinoasikan dengan k, adalah kovariansi anara Y dan Y k yang didefinisikan sebagai beriku: Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

32 18 Cov( Y, Y ) k k E[( Y E( Y ))( Y E( Y ))] E( YY ) E(( Y a ) Y ) E( Y Y ay ) E( Y Y ) E( ay ) k1 k k k 1 k 1 k k 1 k k. Unuk k = 1, diperoleh 1 0 a /(1 ). Unuk k =, diperoleh 1 a /(1 ). Jadi, secara umum nilai ookovariansi pada lag k adalah k a k k 0, k 1. (1 ) Ookorelasi pada lag k, dinoasikan dengan k, didefinisikan sebagai beriku: k k k 0 k, k Model Auoregressive Orde p, AR(p) Secara umum, model Auoregressive orde p aau AR(p) dinyaakan sebagai beriku: (Y ) = 1 (Y 1 ) + (Y ) p (Y p ) + a Y = ( p ) + 1 Y 1 + Y p Y p + a Y = + 1 Y 1 + Y p Y p + a Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

33 19 dengan: Y i : pengamaan runun waku sasioner pada saa i, i = 0, 1,,..., p j : parameer model Auoregressive ke-j, j = 1,,..., p a : runun whie noise, a N.I.I.D. (0, a ) : mean dari Y Model AR(p) merupakan proses sasioner jika dan hanya jika akarakar persamaan karakerisik p 1 z z... z 0 1 mempunyai modulus lebih besar dari sau. Modulus pada bilangan kompleks z = z 1 + iz dinyaakan dengan z z z. Dengan meliha kondisi 1 kesasioneran dari hal ersebu, pandang model AR(1) sebagai kasus sederhana. Persamaan karakerisik unuk model AR(1) adalah 1z 0. Solusi dari persamaan karakerisik ersebu adalah z 1 /. Agar kondisi kesasioneran model AR(p) dapa erpenuhi, maka akar persamaan karakerisik 1z 0 harus mempunyai modulus lebih besar dari sau; sehingga z Selanjunya, akan dibukikan bahwa model AR(1) sasioner jika dan hanya jika 1. p Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

34 0 Buki: () Pandang model AR(1) beriku: Y = Y 1 + a. Karena Y sasioner, berari E(Y ) konsan, Var(Y ) konsan, dan Cov(Y, Y k ) hanya berganung pada lag k. Dari subbab sebelumnya elah diunjukkan a bahwa Var ( Y ) (1 ). Karena a 0, maka Var ( Y ) 0 ; sehingga 1 > 0 < 1 < 1. erbuki bahwa jika model AR(1) sasioner maka < 1. () Perama-ama akan diperiksa apakah E(Y ) konsan. Dari subbab sebelumnya, elah diunjukkan bahwa mean dari model AR(1) adalah E(Y ) = E(Y 1 + a ) = 0 jika < 1. Kemudian, akan diperiksa apakah variansi dari model AR(1) konsan. Var ( Y ) Var ( Y a ) 1 (lakukan ierasi ke belakang) 3 Var( a a a... a ) Var( a a a a...) 1 3 Var( a ) Var( a ) Var( a ) Var( 3 a ) a a a a 4 6 (1...) a (karena 1, maka dere geomerik di aas akan konvergen) 1 a Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

35 1 Terakhir, akan diperiksa apakah Cov(Y, Y k ) hanya berganung pada lag k. Unuk iu, pandang model AR(1) beriku: Y = Y 1 + a. Unuk lag k = 1, kalikan kedua ruas persamaan di aas dengan Y 1 ; sehingga YY Y Y ay E( YY ) E( Y Y ay ) E( YY ) E( Y Y ) E( ay ) E( YY 1) E( Y ) E( Y 1) E( Y 1 ) E( Y ) E( Y 1) E( ay 1) Cov( YY 1) Var ( Y 1) E( a ) E( Y 1) a Cov( YY 1) (1 ) Cov( YY ). 1 0 Lakukan hal yang serupa unuk lag ke-k, sehingga diperoleh YY Y Y a Y k 1 k k E( YY ) E( Y Y ) E( a Y ) k 1 k k E( YY k ) E ( Y ) E( Y k ) E( Y 1Y k ) E ( Y ) E( Y k ) E( ay k ) Cov( YY ) E( a Y ) k k1 k k Cov( YY ) E( a Y ) k 0 k k a Cov( YY k ) E ( a ) E( Y k ) (1 ) k a Cov( YY k ). (1 ) Perhaikan bahwa ookovariansi pada lag ke-k hanya berganung pada lag k jika < 1. erbuki bahwa jika < 1 maka model AR(1) sasioner Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

36 .1.9 Model Auoregressive-Moving Average, ARMA(p, q) Adakalanya proses random yang sasioner idak dapa dimodelkan melalui AR(p) aau MA(q) karena proses ersebu mempunyai karakerisik kedua-duanya. Oleh karena iu, proses semacam ini perlu didekai dengan gabungan anara model Auoregressive dan Moving Average yang disebu dengan model ARMA(p, q). Adapun benuk modelnya secara umum sebagai beriku: Y = 1 Y 1 + Y p Y p + + a 1 a 1 a... q a q dengan: Y i : pengamaan runun waku sasioner pada saa i, i = 0, 1,,..., p j k : parameer model Auoregressive ke-j, j = 1,,..., p : parameer model Moving Average ke-k, k = 1,,..., q a l : runun whie noise saa l, l = 0, 1,,..., q; a N.I.I.D. (0, ) a : mean dari Y ; dan ( p ).1.10 Transformasi Runun Waku Nonsasioner Salah sau eknik ransformasi unuk mengubah runun nonsasioner menjadi runun sasioner adalah proses pembedaan sasioner aau yang disebu dengan Difference Saionary Process (DSP). Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

37 3 Perhaikan model beriku: Y Y a Jika 1 = 0, = 0, dan 3 =1 maka modelnya menjadi Y Y a 1. Model ersebu ialah random walk, yang merupakan proses sokasik nonsasioner. Bila model ersebu dinyaakan dengan Y Y 1 a aau Y a maka model ersebu menjadi sasioner, karena E( Y ) 0 dan Var ( Y ) a. Proses inilah yang disebu dengan proses pembedaan sasioner (Difference Saionary Process) perama, dengan d adalah operaor difference ke-d. Jika 1 0, = 0, dan 3 = 1 maka modelnya menjadi Y Y a 1 1. Model ersebu adalah random walk wih drif, yang juga merupakan proses sokasik nonsasioner. Bila model ersebu dinyaakan dengan Y Y = + a aau Y = + a maka model ersebu menjadi sasioner, karena E( Y ) 1 dan Var ( Y ) a. Runun Y akan menunjukkan ren meningka bila 1 > 0 dan menunjukkan ren menurun bila 1 < 0. Tren yang demikian disebu ren sokasik (sochasic rend). Jika 1 0, 0, dan 3 = 0 maka modelnya menjadi Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

38 4 Y a. 1 Model ini disebu deerminisic rend, dengan E( Y ) dan 1 Var ( Y ) a. Jika Y dikurangi dengan mean-nya maka akan menghasilkan runun whie noise (runun sasioner), Y E( Y ) a a. 1 1 Proses ini disebu dengan Trend Saionary Process (TSP) Operaor Backshif Operaor backshif, dinoasikan dengan B, digunakan unuk menyaakan dan memanipulasi benuk model MA(q), AR(p), dan ARMA (p, q) agar menjadi lebih sederhana. Operaor backshif diuliskan sebagai beriku: B(Y ) = Y 1. Jika dikeahui konsana a, b, dan c sera runun Y dan Z, operaor backshif bersifa linier. B(aY + bz + c) = a[b(y )] + b[b(z )] + c. Model MA(q) dapa dinyaakan dalam operaor backshif, sebagai beriku: a 1 = B(a ) a = B (a ) a q = B q (a ) Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

39 5 maka, Y = + a 1 a 1 a... q a q = + a 1 B(a ) B (a )... q B q (a ) = + (1 1 B B... q B q )(a ) aau Y = + (B)a dengan (B) adalah polinomial karaerisik MA yang dievaluasi pada B. Unuk model AR(p), operaor backshif dinyaakan sebagai beriku: Y 1 = B(Y ) Y = B (Y ) Y p = B p (Y ) maka, Y = + 1 Y 1 + Y p Y p + a = + 1 B(Y ) + B (Y ) p B p (Y ) + a aau (1 1 B B... p B p )Y = + a (B)Y = + a dengan (B) adalah polinomial karaerisik AR yang dievaluasi pada B. Unuk model ARMA(p, q), operaor backshif dinyaakan sebagai beriku: Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

40 6 Y = 1 Y 1 + Y p Y p + + a 1 a 1 a... q a q (1 1 B B... p B p )Y = + a 1 B(a ) B (a )... q B q (a ) (B)Y = + (B)a. Kesasioneran melalui proses difference juga dapa dinyaakan dalam benuk operaor backshif, sebagai beriku: Y = Y Y 1 = Y B(Y ) = (1 B)Y. Unuk proses difference ke-d, operaor backshif dinyaakan sebagai beriku: d Y = (1 B) d Y.. MODEL REGRESI LINIER Analisis regresi merupakan salah sau meode unuk meliha hubungan anara peubah bebas (independen) dengan peubah erika (dependen) yang dinyaakan dalam model regresi...1 Regresi Linier Sederhana Regresi linier sederhana merupakan model regresi yang melibakan sau peubah bebas (independen) dengan sau peubah erika (dependen) yang dinyaakan dalam garis lurus. Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

41 7 beriku: Benuk model regresi linier sederhana unuk sampel diuliskan sebagai y i = β 0 + β 1 x i + i, i = 1,,..., n dengan: y i x i : nilai dari peubah erika unuk pengamaan ke-i : nilai dari peubah bebas unuk pengamaan ke-i β 0, β 1 : parameer-parameer model regresi i : komponen random error; i N(0, ) n : jumlah pengamaan.. Taksiran Parameer Model Regresi Linier Sederhana Salah sau meode yang dapa digunakan unuk menaksir paramaer model regresi linier sederhana adalah meode kuadra erkecil aau Ordinary Leas Squares (OLS). Prinsip dari meode OLS adalah dengan meminimumkan jumlah kuadra error. n n min ( y x ). i i 0 1 i 0, 1 i 1 i 1 Persamaan di aas dapa dinyaakan sebagai beriku: n 0 1 i 0 1 i i 1 S(, ) ( y x ). Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

42 8 Dengan menggunakan prinsip urunan, maka diperoleh aksiran parameer model regresi linier sederhana, dinoasikan dengan ˆ beriku: dan ˆ, sebagai 0 1 S ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ n yi xi 0, i 1 ( ) 0, S ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ n yi xi xi 0, i 1 ( ) 0. Dengan menyederhanakan kedua persamaan di aas, maka diperoleh aksiran ˆ dan ˆ 0 1 sebagai beriku: ˆ 1 ˆ n i 1 y ˆ x 0 1, ( xi x)( yi y ), n ( x x) i 1 i dengan 1 n x xi dan n i 1 y 1 n yi n i 1. Asumsi-asumsi yang melandasi aksiran parameer model regresi linier dengan meode OLS adalah sebagai beriku: 1. E( i ) = 0.. Var( i ) = unuk seiap i (homoskedasisias). 3. Cov( i, j ) = 0, i j (idak ada ookorelasi). 4. N. I. D. (0, ). i Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

43 9..3 Pengujian Hipoesis Model Regresi Linier Sederhana Seelah aksiran parameer model regresi linier diperoleh, selanjunya akan dilakukan pengujian hipoesis erhadap parameer-parameer ersebu dengan menggunakan uji. Uji digunakan unuk menguji apakah peubah bebas mempunyai pengaruh erhadap peubah erika aau dengan kaa lain apakah peubah bebas signifikan dalam memprediksi peubah erika. Hipoesis: H 0 : 0 j H 1 : 0 j Saisik uji: dengan: hiung ˆ j s ˆ j ˆ j : aksiran parameer regresi ke-j, j = 0, 1 s ˆ : sandard error aksiran parameer regresi ke-j j Auran kepuusan menyaakan bahwa H 0 diolak jika hiung /; n...4 Koefisien Deerminasi (R ) Koefisien deerminasi (R ) merupakan proporsi variasi dari peubah erika yang dapa dijelaskan oleh peubah bebas melalui model regresi linier. Nilai koefisien deerminasi berada di anara nol dan sau, 0 R 1. Angka Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

44 30 ersebu dapa mengukur seberapa deka garis regresi yang eresimasi dengan daa sesungguhnya. Semakin besar nilai R, maka semakin baik model regresi linier yang erbenuk. Koefisien deerminasi (R ) didefinisikan sebagai beriku: R SSE SST SSE SSR 1 SST SST SST dengan: SSE (Sum of Squares Error) = SST (Sum of Squares Toal) = n i 1 n i 1 ( y y ˆ ) i ( y y ) i i SSR (Sum of Squares Regression) = SST SSE = n i 1 ( yˆ y ) i Secara saisik, inerpreasi dari koefisien deerminasi (R ) adalah sekiar (R x 100%) variasi dari sampel pada peubah erika dapa dijelaskan oleh peubah-peubah bebas unuk memprediksi peubah erika dalam model regresi garis linier..3 UJI DURBIN-WATSON Uji Durbin-Wason digunakan unuk mendeeksi apakah erdapa korelasi anar-residual. Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

45 31 Hipoesis: H 0 : Tidak ada korelasi anar-residual H 1 : Terdapa korelasi anar-residual Saisik uji DW: d n ( ˆ ˆ ) n 1 ˆ 1 dengan n adalah jumlah pengamaan dan ( ˆ ˆ ) menyaakan 1 selisih anara residual yang beruruan. Dengan menjabarkan persamaan di aas, maka diperoleh n n n n ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ d. n n n n ˆ ˆ ˆ ˆ Jika anar-residual idak berkorelasi maka n ˆ ˆ 1 0, sehingga nilai saisik uji d. Jika anar-residual sanga berkorelasi posiif maka n ˆ ˆ ˆ 1 n, sehingga nilai saisik uji d 0. Jika anar-residual sanga berkorelasi negaif maka ˆ ˆ ˆ, sehingga nilai saisik uji d 4. n 1 n Tabel Durbin-Wason erdiri dari dua nilai, yaiu baas aas (d U ) dan baas bawah (d L ). Nilai-nilai ini dapa digunakan sebagai pembanding uji Durbin-Wason dengan auran sebagai beriku: Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

46 3 1. Jika d < d L,, berari erdapa korelasi posiif.. Jika d L, d d U,, berari idak dapa diambil kesimpulan apapun. 3. Jika d U, < d < 4 d U,, berari idak ada korelasi anar-residual. 4. Jika 4 d U, d 4 d L,, berari idak dapa diambil kesimpulan apapun. 5. Jika d > 4 d L,, berari erdapa korelasi negaif..4 UNIT ROOT TEST Selain menggunakan meode grafik (plo anara nilai pengamaan dengan waku) dan korelogram (plo anara nilai ookorelasi sampel dengan lag-nya), asumsi kesasioneran dapa juga diperiksa dengan menggunakan uji formal yang disebu uni roo es. Uji uni roo yang akan dibahas pada ugas akhir ini adalah Dickey-Fuller Tes dan Augmened Dickey-Fuller Tes..4.1 Dickey-Fuller Tes Dasar pemikiran dari Dickey-Fuller Tes adalah menguji apakah suau runun waku merupakan proses random walk aau bukan. Misalkan Y mengikui model AR(1) beriku: Y = + 1 Y 1 + (.4) Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

47 33 Jika 1 = 1 maka model di aas menjadi random walk. Seperi elah disebukan pada subbab sebelumnya, random walk merupakan proses sokasik yang nonsasioner; sehingga dapa dikaakan bahwa Y mempunyai uni roo mengandung ren sokasik. Jika pada persamaan (.4) kedua ruas dikurangi dengan Y 1 maka diperoleh Y Y ( 1) Y Y Y. 1 Dari persamaan ersebu dapa dibua hipoesis sebagai beriku: H : 0 0 H : 0 1 aau H : H : Dickey dan Fuller (1979) elah menunjukkan bahwa uni roo dibawah hipoesis nol, saisik uji unuk aksiran parameer Y 1, ˆ, idak mengikui disribusi sekalipun unuk sampel yang besar. Namun, Dickey dan Fuller elah membukikan (dari sejumlah simulasi) bahwa uji erhadap hipoesis di aas mengikui saisik uji (au) aau Dickey-Fuller (DF). Y dan Teknik pengujian uni roo adalah dengan membenuk regresi anara Y 1. Dickey dan Fuller meneapkan iga benuk model regresi beriku: Y Y -1 + (.5) Y + Y -1 + (.6) Y + + Y -1 + (.7) Pada model (.5) idak mengandung komponen deerminisik, model (.6) mengandung konsana, dan model (.7) mengandung konsana dan ime Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

48 34 rend. Pada semua benuk model di aas, jika parameer = 0 maka runun Y mengandung uni roo. Lalu, hal yang sanga pening unuk diperhaikan adalah nilai kriis saisik uji unuk menguji hipoesis bahwa = 0 berbeda pada iap benuk model dan ukuran sampel. Tabel nilai kriis yang dibua oleh Dickey-Fuller ini selanjunya dikembangkan oleh MacKinnon (1991). Penaksiran parameer pada sau aau lebih dari persamaan regresi di aas dilakukan dengan menggunakan meode OLS dan kemudian hiung nilai sandard error unuk kasus yang bersesuaian. Saisik uji diperoleh dengan ˆ 1 1 Dickey-Fuller. sd. error ( ˆ ) 1 Jika nilai saisik uji lebih kecil dari nilai kriis DF aau MacKinnon maka hipoesis nol diolak yang berari daa runun waku bersifa sasioner, sedangkan jika nilai saisik uji lebih besar dari nilai kriis DF aau MacKinnon maka hipoesis nol idak diolak yang berari daa runun waku bersifa nonsasioner..4. Augmened Dickey-Fuller Tes Kekurangan dari Dickey-Fuller Tes adalah dengan mengasumsikan bahwa komponen error,, idak berkorelasi pada model (.5), (.6), dan (.7). Unuk menganisipasi adanya korelasi ersebu, Dickey dan Fuller Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

49 35 (1981) mengembangkan pengujian Dickey-Fuller Tes menjadi Augmened Dickey-Fuller (ADF) Tes. Pengujian Dickey-Fuller dapa diperluas unuk model AR dengan order lebih dari sau. Perhaikan model AR() beriku: Y 1Y 1 Y (.8) Lakukan operasi penjumlahan dan pengurangan pada ruas kanan persamaan (.8) dengan Y 1, sehingga diperoleh Y Y Y ( Y Y ) Y ( ) Y ( Y Y ) Kemudian, kurangi kedua ruas dengan Y 1 ; sehingga Y Y ( ) Y Y Y Y ( + 1) Y Y Y Y Y 1 1 dengan 1 1 dan. Kemudian, perhaikan model AR(3) beriku: Y Y Y Y (.9) Lakukan operasi penjumlahan dan pengurangan pada ruas kanan persamaan (.9) dengan 3Y, sehingga diperoleh Y Y Y Y ( Y Y ) Y Y ( ) Y ( Y Y ) Kemudian, kurangi kedua ruas dengan ( ) Y ; sehingga 3 1 Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

50 36 Y Y ( ) Y Y {( ) Y ( ) Y } Y ( ) Y ( )( Y Y ) Y Y ( ) Y ( ) Y Y Terakhir, lakukan operasi pengurangan pada kedua ruas dengan sehingga diperoleh Y Y ( ) Y Y ( ) Y Y Y ( 1) Y ( ) Y Y Y Y Y Y Y 1 ; dengan 1 3 1, 1 ( 3 ), dan 3. Dengan meliha pola yang ada pada model AR() dan AR(3) di aas, pengujian Dickey-Fuller dapa diperluas unuk model AR(p). Perhaikan model AR(p) beriku: Y 1Y 1... p 1Y p1 py p (.10) Lakukan operasi penjumlahan dan pengurangan pada ruas kanan persamaan (.10) dengan py p 1, sehingga diperoleh Y Y... Y Y ( Y Y ) 1 1 p1 p+ 1 p p p p+ 1 p p+ 1 Y Y... ( ) Y ( Y Y ) 1 1 p1 p p+ 1 p p+ 1 p Y Y... ( ) Y Y. 1 1 p1 p p+ 1 p p+ 1 Selanjunya, lakukan operasi penjumlahan dan pengurangan kembali pada ruas kanan dengan ( p 1 p ) Y p+ ; sehingga diperoleh Y Y... ( ) Y Y {( ) Y ( ) Y } 1 1 p-1 p -p+ 1 p -p+ 1 p1 p p+ p1 p p Y Y... ( ) Y ( )( Y Y ) Y 1 1 p- p-1 p p p1 p p p1 p p1 Y Y... ( ) Y ( ) Y Y. 1 1 p- p-1 p p p-1 p p p p1 Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

51 37 Dengan melakukan hal yang serupa, maka akan diperoleh Y (... ) Y (... ) Y... ( ) Y Y. 1 p 1 p 1 p-1 p p p p1 Langkah erakhir adalah dengan melakukan operasi pengurangan kedua ruas dengan Y 1, sehingga diperoleh Y Y (... ) Y Y (... ) Y... ( ) Y Y 1 1 p 1 1 p 1 p-1 p p p p1 Y (... 1) Y (... ) Y... ( ) Y Y 1 p 1 p 1 p-1 p p p p1 dengan p i1 p 1 i i 1 i Y Y Y 1 dan. i i p j i j (.11) Jika model regresi (.11) diambahkan dengan komponen ime rend maka akan erbenuk model regresi beriku: * m 1 i i i 1 Y Y Y (.1) dengan p i1 p * i 1, i j, adalah komponen error, dan m = p 1 ji1 adalah panjang lag. Model regresi (.1) inilah yang akan diuji dengan Augmened Dickey-Fuller (ADF) Tes. Berdasarkan model regresi (.1), dapa dipilih iga benuk model regresi yang akan digunakan unuk melakukan uji Augmened Dickey-Fuller (ADF), yaiu: 1. Model dengan konsana () dan rend (), sebagaimana model (.1).. Model dengan konsana (), yaiu: * m 1 i i i 1 Y Y Y. Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

52 38 3. Model anpa konsana () dan rend (), yaiu: * m 1 i i i 1 Y Y Y. Terlalu banyak melibakan lag pada model (.1) akan mengurangi power probabilias menolak hipoesis nol yang salah dari pengujian, sehingga pengujian cenderung unuk idak menolak hipoesis nol. Hal ini disebabkan karena jumlah lag yang meningka mengharuskan parameer ambahan unuk diesimasi, sehingga deraja bebas (degree of freedom) akan berkurang. Salah sau meode unuk memilih panjang lag yang opimal adalah dengan menggunakan Akaike Informaion Crierion (AIC) dan Schwarz Informaion Crierion (SIC) yang didefinisikan sebagai beriku: SSR k AIC ln n n SSR k lnn SIC ln n n dengan SSR adalah jumlah kuadra residual, n adalah ukuran sampel, dan k jumlah parameer (ermasuk inercep). Panjang lag dienukan oleh nilai AIC aau SIC yang erkecil. Alernaif lain unuk memilih panjang lag adalah dengan menggunakan meode general-o-specific. Meode ini diawali dengan pemilihan panjang lag erbesar (m max ). Lalu peubah lagged, Y i, erakhir yang idak signifikan Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

53 39 dibuang. Kemudian, model diregresikan kembali dengan menggunakan panjang lag m 1. Lakukan prosedur ini berulang-ulang hingga diperoleh peubah lagged yang signifikan. Jika idak ada sau pun peubah lagged yang signifikan maka pilih m = 0, sehingga pengujiannya berubah menjadi Dickey- Fuller Tes. Seelah menenukan panjang lag yang opimal, lakukan prosedur pengujian dengan menggunakan jenis model yang ada. Dari model (.1) dapa dibua hipoesis sebagai beriku: H : 0 0 H : 0 1 aau p H : 1 0 i 1 i p H : 1 1 i 1 i Selanjunya, lakukan uji signifikansi berdasarkan hipoesis di aas. Uji Augmened Dickey-Fuller (ADF) mengikui disribusi yang sama dengan uji Dickey-Fuller (DF), sehingga nilai kriis saisik uji juga dapa dierapkan pada ADF Tes. Saisik uji diperoleh dengan p i 1 ˆ 1 sd. error i p i1 Dickey-Fuller ˆ i. Jika nilai saisik uji lebih kecil dari nilai kriis DF aau MacKinnon maka hipoesis nol diolak yang berari daa runun waku bersifa sasioner, sedangkan jika nilai saisik uji lebih besar dari nilai kriis DF aau MacKinnon maka hipoesis nol idak diolak yang berari daa runun waku bersifa nonsasioner. Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

54 40.5 UJI KAUSALITAS GRANGER Dalam analisis ekonomi, sering kali ingin dikeahui apakah perubahan sau peubah akan mempengaruhi peubah lain. Unuk mengeahui hal ersebu secara epa, dapa digunakan suau uji kausalias yang diperkenalkan oleh Granger (1969). Uji Kausalias Granger digunakan unuk mengindikasikan apakah suau peubah mempunyai hubungan dua arah (bilaeral causaliy) aau hanya sau arah. Uji ini meliha pengaruh pengamaan pada masa lalu erhadap kondisi sekarang, sehingga daa yang digunakan adalah daa runun waku. Uji Kausalias Granger melipui dua model regresi linier beriku: m Y Y X u i i j j i1 j 1 m (.13) dengan m adalah panjang lag. m X X Y v (.14) i i j j i 1 j 1 Hasil regresi kedua model regresi linier ersebu akan menghasilkan empa kemungkinan nilai parameer masing-masing regresi: 1. Jika secara saisik j 0 dan j 0 maka erdapa kausalias sau arah dari peubah X ke peubah Y.. Jika secara saisik j 0 dan j 0 maka erdapa kausalias sau arah dari peubah Y ke peubah X. m Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

55 41 3. Jika secara saisik j 0 dan j 0 maka peubah X dan Y saling bebas. 4. Jika secara saisik j 0 dan j 0 maka erdapa kausalias dua arah anara peubah X dan Y. Agar dapa memperkua indikasi adanya berbagai benuk kausalias seperi disebukan di aas, maka dilakukan uji F unuk masing-masing model regresi. Unuk mengeahui apakah peubah X menyebabkan Y aau idak pada model regresi (.13), dapa dilakukan dengan langkah-langkah beriku: 1. Hipoesis: H 0 : X idak menyebabkan Y (X Y) H 1 : X menyebabkan Y (X Y) Dalam model regresi linier, hal ini berari parameer-parameer regresi bernilai nol; sehingga hipoesis nol dapa juga diuliskan sebagai beriku: H 0 : 1 = =... = m = 0.. Benuk model regresi unresriced (penuh) m Y Y X u i i j j i1 j 1 dan hiung Sum of Squares Error-nya (SSE penuh ). 3. Benuk model regresi resriced (erbaas) m m i i i 1 Y Y u dan hiung Sum of Squares Error-nya (SSE erbaas ). Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

56 4 4. Lakukan uji F berdasarkan Sum of Squares Error (SSE) yang diperoleh pada ahap dan 3 dengan formula sebagai beriku: F hiung n k SSE erbaas SSEpenuh q SSEpenuh dengan: n : jumlah pengamaan k : jumlah parameer model regresi unresriced (penuh) q : jumlah parameer model regresi resriced (erbaas) 5. Jika Fhiung F ; q, n k maka H 0 diolak. Arinya, X mempengaruhi Y. Cara yang serupa juga dapa dilakukan unuk meliha apakah Y mempunyai pengaruh erhadap X. Sebelum uji Kausalias Granger ini dilakukan, ada beberapa hal yang perlu diperhaikan: 1. Peubah X dan Y diasumsikan sasioner.. Jumlah lag yang diikuserakan pada model regresi sanga pening unuk diperhaikan. Nilai AIC aau SIC dapa digunakan unuk pemilihan lag eapi harus juga diperhaikan bahwa arah kausalias mungkin berganung jumlah lag yang diikuserakan. 3. Komponen error, u dan v, diasumsikan idak berkorelasi. 4. Nilai aksiran parameer regresi idak menjadi perhaian uama pada pengujian ini, hanya nilai uji F yang diperhaikan. Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

57 43 Hal lain yang perlu diperhaikan dari formula di aas adalah apabila SSE model regresi penuh sama aau mendekai SSE model regresi erbaas maka dapa dikaakan bahwa penambahan peubah bebas X dalam model penuh idak mempunyai ari unuk memperkecil error aau dengan kaa lain peubah X idak mempunyai pengaruh erhadap Y aau peubah X idak mampu menjelaskan peubah Y secara signifikan. Pemilihan jumlah lag yang opimal dapa juga dilakukan dengan cara sebagai beriku: gunakan lag dimulai dari yang erkecil, yaiu m = 1. Hal ini dianjurkan karena pada umumnya pengaruh lag yang berdekaan lebih inggi dibanding lag yang lebih jauh. Bila uji F memberikan hasil yang signifikan (menolak H 0 ), dapa diuji kembali dengan menggunakan lag m =. Proses ersebu dapa erus dilanjukan hingga uji F menghasilkan nilai yang idak signifikan (idak menolak H 0 ) dan pasikan hasil yang diperoleh idak sensiif erhadap pemilihan lag m (Nachrowi dan Usman, 006)..6 SPURIOUS REGRESSION Perhaikan persamaan regresi linier beriku: Y 0 1 X (.15) Asumsi model regresi linier klasik mengharuskan bahwa runun {Y } dan {X } sasioner sera komponen error mempunyai mean sama dengan nol dan variansi. Jika model regresi linier ini dibenuk dari peubah-peubah Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.

58 44 nonsasioner yang idak berkorelasi maka akan erbenuk apa yang Granger dan Newbold (1974) sebu dengan nonsense aau spurious regression (regresi palsu). Conoh dari spurious regression adalah regresi anara produksi susu di suau daerah dengan jumlah penumpang suau maskapai penerbangan di daerah ersebu dimana peubah-peubah ersebu adalah peubah nonsasioner yang idak berkorelasi secara subsansi. Granger dan Newbold memperoleh kesimpulan enang spurious regression dari sejumlah simulasi yang dilakukan pada dua proses random walk yang saling bebas beriku: Y Y u u i. i. d.(0, ) 1 u X X v v i. i. d. (0, ) 1 v dimana u dan v diasumsikan idak berkorelasi. Granger dan Newbold membangkikan beberapa sampel unuk iap regresi eresimasi Y ˆ ˆ ˆ X 0 1 dan mengamai nilai saisik uji pada aksiran parameer regresi, ˆ 1, yang dihiung di bawah asumsi nilai sebenarnya dari parameer ersebu sama dengan nol, 1 = 0. Walaupun pada kenyaaannya runun Y } dan {X } saling bebas, Granger dan Newbold menemukan bahwa hipoesis nol, H 0 : 1 = 0, lebih sering diolak melebihi prediksi dari sandar eori. Pada waku yang bersaman diemukan juga bahwa residual yang dihasilkan dari persamaan regresi eresimasi menunjukkan ookorelasi posiif yang sanga kua. Hasil dari simulasi ini mengindikasikan bahwa beberapa hubungan yang nampaknya signifikan anara peubah-peubah nonsasioner dalam model Penaksiran parameer..., Rizki Nugroho Aryano, FMIPA UI, 009.