PENGGUNAAN KONSEP FUNGSI CONVEX UNTUK MENENTUKAN SENSITIVITAS HARGA OBLIGASI

Transkripsi

1 PENGGUNAAN ONSEP FUNGSI CONVEX UNU MENENUAN SENSIIVIAS HARGA OBLIGASI 1 Zelmi Widyanuara, 2 Ei urniai, Dra., M.Si., 3 Icih Sukarsih, S.Si., M.Si. Maemaika, Universias Islam Bandung, Jl. amansari No.1 Bandung zwidyanuara@yahoo.com, 2 ei_kurniai0101@yahoo.com, 3 sukarsh@yahoo.co.id Absrak. ingka bunga dengan harga obligasi bergerak berlawanan arah. Arinya, sifa obligasi adalah bahwa harga obligasi berbanding erbalik dengan ingka bunga. Semakin inggi ingka bunga, semakin kecil harga obligasi dan sebaliknya. Grafik hubungan ersebu dapa digambarkan sebagai fungsi convex. ingka bunga mempengaruhi erhadap harga obligasi. ingka bunga yang berlaku dipasar idak dapa dienukan dengan pasi karena ingka bunga dipasar berflukuasi dengan keadaan di pasar. Permasalahan yang dihadapi adalah seberapa sensiive harga obligasi berubah yang diakibakan perubahan ingka bunga. ujuan dari penulisan arikel ini adalah unuk menenukan sensiivias harga obligasi karena perubahan ingka bunga menggunakan dere aylor sampai orde kedua. Hasil yang diperoleh ernyaa unuk perubahan ingka bunga berapapun dengan menggunakan convexiy memberikan hasil yang lebih baik. eapi, unuk perubahan ingka bunga yang kecil dapa menggunakan durasi saja. aa unci: Fungsi convex, harga obligasi, durasi, convexiy. A. Pendahuluan ingka bunga dengan harga obligasi bergerak berlawanan arah. Arinya, sifa obligasi adalah bahwa harga obligasi berbanding erbalik dengan ingka bunga. Semakin inggi ingka bunga, semakin kecil harga obligasi dan sebaliknya. Grafik hubungan ersebu dapa digambarkan sebagai kurva yang convex. ingka bunga mempengaruhi erhadap harga obligasi. ingka bunga yang berlaku dipasar idak dapa dienukan dengan pasi karena ingka bunga dipasar berflukuasi dengan keadaan di pasar. Dalam perubahan ingka bunga erdapa beberapa kondisi yaiu, harga obligasi bergerak berlawanan arah dengan ingka bunga, eapi perubahan harga ersebu idak sama unuk semua obligasi erganung dengan besar kecilnya perubahan ingka bunga. Jika perubahan ingka bunga kecil maka persenase perubahan harga obligasi erenu hampir sama karena adanya pengaruh negaif dari durasi. Jika perubahan ingka bunga yang besar maka persenase perubahan harga idak sama, baik unuk ingka bunga yang meningka maupun yang menurun karena adanya pengaruh posiif dari convexiy sehingga membenuk kurva convex. Unuk perubahan ingka bunga sebesar basis poin erenu, persenase kenaikan harga lebih besar daripada persenase penurunan harga. Permasalahan yang dihadapi adalah seberapa sensiif perubahan harga obligasi yang diakibakan oleh perubahan ingka bunga. ujuan dari penulisan arikel ini adalah unuk menenukan sensiivias harga obligasi karena perubahan ingka bunga menggunakan dere aylor sampai orde kedua. Dimana orde peramanya adalah urunan perama dari persamaan harga obligasi yang disebu durasi. Sedangkan orde kedua ersebu merupakan urunan kedua dari persamaan harga obligasi yang disebu convexiy. Durasi dan convexiy merupakan ukuran dari sensiivias harga obligasi karena perubahan ingka bunga. Hasil yang diperoleh ernyaa unuk perubahan ingka bunga berapapun dengan menggunakan convexiy memberikan hasil yang lebih baik. eapi, unuk perubahan ingka bunga yang kecil dapa menggunakan durasi saja.

2 B. Landasan eori i. Dere aylor (Chapra, 2003) eorema aylor: Jika fungsi f dan n+1 urunannya koninu pada selang yang memua a dan x maka nilai fungsi pada x diberikan oleh f(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) (Persamaan 1) Dengan sisa Rn didefinisikan sebagai x a R n = (x )n f (n+1) ()d (persamaan 2) n! 2! (x a) 2 + f(3) (a) 3! (x a) f(n) (a) (x a) n + R n! n Dengan adalah peubah boneka (dummy variable). Persamaan 1 disebu dere aylor aau rumus aylor. Jika sisanya dihilangkan, ruas kanan persamaan 1 adalah aproksimasi polinom erhadap f(x), pada hakikanya eorema iu menyaakan bahwa fungsi-fungsi yang mulus dapa diaproksimasi (dihampiri) oleh polinom. Persamaan 2 yang disebu benuk inegral hanyalah salah sau cara bagaimana sisa dapa dinyaakan. ii. Hubungan Harga Obligasi dan ingka Bunga Ciri dasar obligasi adalah bahwa harga obligasi erjadi dengan arah yang berlawanan dari ingka bunga (Zubir, 2012). Harga Obligasi ingka Bunga Gambar 1. Hubungan anara Harga Obligasi dan ingka Bunga Jika ingka bunga makin besar, maka harga obligasi makin kecil dan sebaliknya. Grafik ersebu idak berupa garis lurus, eapi cembung aau convex (Zubir, 2012). Sifa obligasi yang berkaian dengan harga obligasi dan ingka bunga adalah sebagai beriku: Sifa 1. Harga obligasi bergerak berlawanan arah dengan ingka bunga, eapi perubahan harga ersebu idak sama unuk semua obligasi. Sifa 2. Sifa 3. Unuk perubahan ingka bunga yang kecil, persenase perubahan harga obligasi erenu hampir sama, baik jika ingka bunga naik maupun urun. Unuk perubahan ingka bunga yang besar, persenase perubahan harga idak sama, baik unuk ingka bunga yang meningka maupun yang menurun.

3 Sifa 4. Unuk perubahan ingka bunga sebesar basis poin erenu, persenase kenaikan harga lebih besar daripada persenase penurunan harga. iii. Harga Obligasi Obligasi adalah sura uang yang dierbikan oleh pemerinah aau perusahaan unuk mendapakan dana (Zubir, 2012). Pihak penerbi obligasi ersebu akan membayarkan sejumlah bunga aau sering juga disebu sebagai coupon. Harga obligasi sebuah coupon bond dinyaakan sebagai beriku: P = [ M ] + (1 + r) Dimana P adalah harga obligasi, adalah kupon obligasi, M adalah nilai pari (principal), r adalah ingka bunga pasar, adalah periode arus kas, adalah jangka waku jauh empo (ime o mauriy). iv. Durasi dan Convexiy Durasi adalah ukuran sensiivias harga suau obligasi karena perubahan ingka bunga yang digunakan unuk mendiskonokan obligasi ersebu (Zubir, 2012). Durasi merupakan urunan perama dari persamaan harga obligasi erhadap ingka bunga. Durasi cenderung diinerpreasikan sebagai ukuran raa-raa waku penerimaan aliran kas. Inerpreasi durasi ini idak bermanfaa karena seelah dikeahui bahwa ernyaa durasi merupakan ukuran sensiivias harga obligasi dan hingga saa ini durasi selalu merujuk pada ukuran sensiivias harga obligasi. Penggunaan konsep durasi hanya dapa menjelaskan secara baik unuk perubahan ingka bunga yang kecil eapi konsep durasi idak dapa menjelaskan secara baik unuk perubahan ingka bunga yang besar. Maka dari iu, penggunaan durasi harus diperluas karena perubahan harga obligasi karena perubahan ingka bunga idak berupa kurva yang linear melainkan kurva yang cembung (convex). Sehingga unuk membanu konsep durasi unuk perubahan ingka bunga yang besar digunakanlah convexiy yang dapa membanu dalam memprediksi perubahan harga yang lebih akura erhadap perubahan ingka bunga. Convexiy adalah urunan kedua harga obligasi erhadap ingka bunga. urunan perama dari harga obligasi adalah durasi (Zubir, 2012). C. Hasil Peneliian i. Menenukan Sensiivias Harga Obligasi Dengan Menggunakan Durasi Unuk mendapakan persamaan durasi dan mencari persamaan sensiivias harga obligasi dapa dipandang dari persamaan harga obligasi zero coupon yaiu sebagai beriku. P = urunan perama dari harga obligasi (P) ersebu erhadap (1 + r) δ(1 + r) δp =. ( ). (1 + r) Dari persamaan diaas, erliha bahwa urunan perama dari persamaan harga obligasi memberikan hasil yang negaif. Berdasarkan eorema kemonoonan, harga obligasi

4 mempunyai fungsi yang urun dari kiri ke kanan. Hal ini menunjukan bahwa jika ingka bunga naik maka harga obligasi urun dimana kenaikan dan penurunannya hampir sama. Coupon bond dapa dipandang sebagai suau kombinasi dari obligasi zero coupon. Sehingga, unuk mendapakan persamaan ersebu adalah sebagai beriku. P 0 = P 1 + P 2 + P P Jika kedua ruas dibagi dengan P 0 maka diperoleh, 2 (1 + r) δp 0 P 0 = 1 (1 + r) δ(1 + r) ( 1). P 0 (1 + r) + P 0 δ(1 + r) ( 2). (1 + r) + + P 0 δ(1 + r) ( ). (1 + r) Dari persamaan diaas, Durasi dinoasikan sebagai D = [ (1+r) ] dan r = δ(1+r 1 ) P 0 (1+r 1 ) urunan perama dalam persamaan durasi bernilai negaif yang berari sensiivias harga obligasi berubah secara linear dari kiri urun ke kanan. Sehingga sensiivias harga obligasi unuk perubahan ingka bunga yang kecil, persenase perubahan harga obligasi erenu hampir sama, baik jika ingka bunga naik maupun urun. Sehingga menenukan sensiivias harga obligasi dengan menggunakan durasi dapa diulis sebagai beriku. P = D r ii. Menenukan Sensiivias Harga Obligasi Dengan Menggunakan Durasi dan Convexiy onsep durasi dapa menjelaskan dengan baik enang perubahan harga obligasi akiba perubahan ingka bunga yang sediki, akan eapi konsep durasi idak dapa menjelaskan dengan baik jika perubahan harga obligasi erhadap ingka bunga yang besar. Dengan memasukkan efek convexiy, perkiraan perubahan harganya semakin mendekai perubahan harga yang sebenarnya sehingga benuk kurvanya convex. elah dikeahui persamaan harga obligasi adalah sebagai beriku. P = urunan perama dari persamaan diaas erhadap (1+r) adalah sebagai beriku. δp = 1 (1 + r) Selanjunya akan dicari cari urunan kedua dari harga obligasi adalah sebagai beriku. δ 2 2 P = [ (1 + r) (1 + r) ( + 1) + + (1 + r) 5 (1 + r) +2] Selanjunya kalikan persamaan diaas dengan (1+r)2 diperoleh sebagai beriku. (1+r) 2 δ 2 2 P = [ (1 + r) ( + 1) + + (1 + r) 3 (1 + r) ] 1 Maka diperolehlah urunan kedua dari persamaan harga obligasi adalah sebagai beriku. δ 2 P = ( + 1) 1 Dari persamaan diaas erliha bahwa urunan kedua dari persamaan harga obligasi bernilai posiif karena merupakan periode waku dari aliran kas dan r adalah ingka bunga yang berlaku di pasar. Sehingga, persamaan 3.8 dengan mengikui eorema ecekungan yang perama bahwa kurva akan cekung erbuka keaas.

5 Jadi, urunan kedua dalam persamaan diaas bernilai posiif yang berari sensiivias harga obligasi berubah secara cekung erbuka ke aas sehingga dapa dikaakan bahwa unuk perubahan ingka bunga yang besar, persenase perubahan harga idak sama baik unuk ingka bunga meningka maupun yang menurun karena pola sensiivias harga obligasi berubah secara cekung erbuka ke aas. Dari persamaan diaas akan digunakan unuk mendapakan persamaan dari sensiivias harga obligasi dengan menggunakan durasi diambah dengan convexiy. Jika P(r) adalah harga obligasi dan r adalah ingka bunga maka diulis sebagai beriku. P = P(r + h) P(r) P(r) Dimana P(r + h) dengan menggunakan ekspansi dere aylor orde kedua adalah sebagai beriku. P(r + h) = P(r) + P (r)h + P"(r)h2 2! Sehingga P = P(r+h) P(r) adalah sebagai beriku, P(r) 1 1 (1 + r) P = ( + 1) 1 (1 + r) + Persamaan diaas merupakan persamaan sensiivias harga obligasi dengan durasi diambah convexiy. Dimana pada persamaan diaas mengandung persamaan durasi yaiu, D = (1+r) (1+r) dan mengandung persamaan convexiy yaiu, C = Persamaan diaas dapa disimpulkan sebagai beriku. P = D r + C( r) (+1) (1+r) (1+r). iii. Sudi asus Penggunaan durasi dan convexiy dengan ujuan sebagai ala ukur sensiivias harga obligasi karena perubahan ingka bunga pada daa yang digunakan adalah Obligasi Negara RI Seri FR0026 yang erdafar di Indonesia Bond Pricing Agency. Obligasi ersebu dierbikan pada anggal 26 Agusus 2004 dan akan jauh empo pada anggal 15 okober abel 1. Daa Obligasi Bond Coupon (%) Jauh empo (ahun) anggal Jauh empo FR ,00 0,28 15 Okober 2014 Sumber: Obligasi FR0026 adalah obligasi yang memiliki waku jauh empo selama 10 ahun dengan coupon rae 11% (aau nominalnya ) dan pembayaran kupon semi-annual (pembayaran seiap 6 bulan), dan nilai nominal (nilai par) sebesar (iga riliun). ingka bunga yang berlaku saa obligasi dierbikan adalah sebesar 11% (sumber dari Sedangkan ingka bunga yang berlaku saa jauh empo adalah sebesar 7,50%. Seelah melalui ahap perhiungan sehingga diperoleh durasinya yaiu 7,32539 dan nilai convexiynya yaiu 44, Pada saa obligasi dierbikan ingka bunga yang berlaku adalah 11% dan harga obligasinya adalah Rp ,17 dan pada saa jauh empo yaiu 10 ahun dengan

6 ipe pembayaran semi-annual (pembayaran seiap 6 bulan) ingka bunga yang berlaku adalah 7,5% dan harga obligasinya adalah Rp ,06. Perubahan harga obligasi dari 11% menjadi 7,5% dengan menggunakan persamaan sensiivias harga obligasi dengan durasi yaiu sebesar Rp ,19. Jika menggunakan persamaan sensiivias harga obligasi dengan durasi diambah convexiy adalah Rp ,04. Arinya, dengan menggunakan persamaan sensiivias harga obligasi dengan durasi diambah convexiy memberikan esimasi harga yang lebih mendekai dengan harga sesungguhnya. D. esimpulan Hasil yang diperoleh ernyaa unuk perubahan ingka bunga berapapun dengan menggunakan convexiy memberikan hasil yang lebih baik. eapi, unuk perubahan ingka bunga yang kecil dapa menggunakan durasi saja. Berdasarkan sudi kasus diperoleh hasil bahwa pada saa obligasi dierbikan ingka bunga yang berlaku dipasar adalah 11% diperoleh durasinya adalah 7,32539 dan convexiy adalah 44, Apabila ingka bunga urun 2% dari ingka bunga awal 11% menjadi 9%, maka harga obligasi naik sebesar Rp ,45 (Rp ,62 Rp ,17). Apabila ingka bunga naik 2%, dari ingka bunga 11% menjadi 13%, maka harga obligasi urun sebesar Rp ,46. Unuk obligasi dengan waku jauh empo 10 ahun ersebu, perubahan ingka bunga yang sama (2%) yaiu ingka bunga menjadi 9% harga obligasi naik lebih cepa sebesar Rp ,45. dibanding jika ingka bunga naik menjadi 13% maka harga obligasi urun sebesar Rp ,46. Mengesimasi harga obligasi dengan menggunakan durasi diambah convexiy memberikan hasil yang lebih mendekai harga sesungguhnya yaiu selisih 0,83% dibanding hanya memperhiungkan durasi saja yang memberikan selisih 5,25%. E. Dafar Pusaka Chapra, Seven C., & Canale, Raymond P. (2003). Numerical Mehods Engineers : Wih Sofwere and Programming Applicaion. America : McGraw-Hill. Zubir, Zalmi. (2012). Porofolio Obligasi. Depok: Salemba Empa. hp:// hp:// guage/en-us/defaul.aspx