PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP $US MENGGUNAKAN DERET WAKTU HIDDEN MARKOV HAMILTON*

Transkripsi

1 PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP $US MENGGUNAKAN DERET WAKTU HIDDEN MARKOV HAMILTON* BERLIAN SETIAWATY DAN HIRASAWA Deparemen Maemaika Fakulas Maemaika dan Ilmu Pengeahuan Alam Insiu Peranian Bogor Jl Merani, Kampus IPB Darmaga, Bogor Indonesia ABSTRAK Perilaku nilai ukar Rupiah erhadap $US dari ahun 1998 sampai dengan 007 dicoba dimodelkan dengan menggunakan dere waku Hidden Markov Pendugaan parameer model dilakukan mengunakan Meode Maximum Likelihood dan pendugaan ulang menggunakan meode Expecaion Maximizaion Hasil yang diperoleh cukup baik karena sudah menggambarkan secara umum perilaku nilai ukar Rupiah eapi gala anara nilai harapan dengan nilai sebenarnya masih cukup besar Kaa kunci: Ranai Markov, Hidden Markov, Dere waku Hidden Markov, Meode Expecaion Maximizaion 1 PENDAHULUAN Sejarah Indonesia menunjukkan bahwa nilai ukar Rupiah erhadap $US idak saja dipengaruhi oleh fakor-fakor ekonomi, eapi juga oleh hal-hal lain seperi, siuasi poliik dalam negeri, perganian pemerinah, perubahan kebijakan pemerinah dan siuasi keamanan Perubahan nilai ukar Rupiah erhadap $US dari waku ke waku sanga idak berauran dengan flukuasi yang beragam Gambar 11 menunjukkan flukuasi nilai ukar Rupiah dari ahun 1998 sampai dengan 007 Unuk memodelkan perilaku nilai ukar Rupiah ersebu, Seiaway dan Sari (005) menggunakan model Hidden Markov Ellio e al (1995) unuk menjelaskan perilaku nilai ukar Rupiah erhadap $US Diasumsikan bahwa nilai ukar rupiah dibangkikan oleh proses pengamaan yang hanya dipengaruhi oleh proses penyebab yang merupakan ranai Markov yang idak diamai *Tulisan ini merupakan bagian dari hasil peneliian yang didanai oleh Hibah Peneliian PHK A Deparemen 3 Maemaika IPB ahun 006

2 4 BERLIAN SETIAWATY DAN HIRASAWA Nilai Rupiah per 1 US Dollar Waku per Bulan (Feb Feb 007) Gambar 11 Raa-raa nilai Tukar Rupiah erhadap $US Tahun 1998 s/d 007 Sumber Daa: wwwbankofcanadaca (1 April 007) Hasil yang diperoleh idak cukup baik, hal ini diunjukkan oleh gala nilai sesungguhnya dan nilai harapan yang cukup besar dan berflukuasi seperi diunjukkan oleh gambar rupiah ellio Gambar 1 Perbandingan nilai ukar Rupiah erhadap US Dollar dan nilai harapannya menggunakan model Ellio Pada ulisan ini dikembangkan model baru, yaiu model dere waku Hidden Markov Hamilon (1994), dengan ujuan memperbaiki model Seiaway dan Sari (005) Pada model ini diasumsikan bahwa nilai ukar Rupiah dibangkikan oleh proses pengamaan yang idak hanya dipengaruhi oleh proses penyebab yang merupakan ranai Markov yang idak diamai, eapi juga dipengaruhi oleh nilai ukar sebelumnya, sehingga membenuk suau dere waku (ime series) Tulisan ini dimulai dengan pemodelan nilai ukar Rupiah menggunakan dere waku Hidden Markov Pada bagian 3 dibahas pendugaan parameer model dan erakhir pada bagian 4 dibahas inerpreasi dari model Sebagai penuup diberikan kesimpulan

3 JMA, VOL 5, NO, DESEMBER, 006, MODEL DERET WAKTU HIDDEN MARKOV Pada bagian ini kia memodelkan perilaku nilai ukar Rupiah erhadap $US dalam kurun waku dari Februari 1998 sampai dengan Februari 007 menggunakan dere waku Hidden Markov Hamilon (1994) Fakor-fakor yang menyebabkan erjadinya perubahan nilai ukar Rupiah erhadap $US diasumsikan sebagai sae dari suau ranai Markov { X } yang idak diamai Misalkan banyaknya fakor ersebu adalah N (unuk menyederhanakan masalah kia akan mengambil N = ) Pada seiap sae, daa nilai ukar Rupiah dibangkikan oleh peubah acak Y yang menyebar dengan sebaran erenu pada ruang peluang (, F, P) Dalam hal ini proses { X } ersembunyi (hidden) di balik proses yang diamai, yaiu { Y } Sehingga pasangan proses sokasik { X, Y } merupakan model hidden Markov Model hidden Markov Hamilon (1994) merupakan dere waku dan memenuhi persamaan Y c( X ) ( X ) Y 1 (1) di mana: S 1, dan X adalah ranai Markov dengan ruang sae p11 p1 p1 p p P{ X j X i} P merupakan mariks peluang ransisinya dan ij 1 Y adalah proses yang diamai dan bernilai skalar { } adalah barisan peubah acak yang saling bebas dan berdisribusi normal N(0, ) c ( c1, c) dan ( 1, ), dengan c 1, c, 1, dan adalah konsana real c( X ) c dan ( X ) X X Jadi model dicirikan oleh parameer c 1, c, 1,,, P Dengan menggunakan meode EM dilakukan pendugaan erhadap parameer c, c,,,, P dari daa Y PENDUGAAN PARAMETER Penduga kemungkinan maksimum bagi diperoleh dengan memaksimumkan fungsi likelihood

4 6 BERLIAN SETIAWATY DAN HIRASAWA log f y1 ; f y ; f yt ; L Y Y Y T 1 log f y Y ;, T 1 di mana Y adalah medan- yang lengkap dan dibangun oleh Y 1, Y, Y3, Y dan 1 x c1 1 y 1 f y Y P X 1 Y exp 1 x c y 1 P X Y exp Menuru Seiaway, Adharini dan Hirasawa (006), algorima unuk memperoleh penduga parameer yang memaksimumkan fungsi likelihood adalah sebagai beriku Langkah 1: Tenukan banyaknya daa T yang akan diamai sera enukan juga nilai daa nilai ukar Rupiah y0, y1, y,, yt 1 dan mariks ransisi p p p 11 1 P p 1 Beri nilai awal bagi yang dilambangkan dengan ( m ) c 1, c, 1,, Langkah : Cari fungsi kerapaan bersyara bagi yt unuk seiap 1,,, T dengan cara 1 y c1 1 y 1 exp m f y X 1, Y m f y, X Y 1 y c y 1 exp Langkah 3: Penarikan kesimpulan opimal dan peramalan unuk seiap waku pada conoh dapa diperoleh melalui ierasi: 31 Tenukan nilai awal bagi 1 yang dilambangkan dengan Berikan nilai awal i 1 33 Unuk i, cari nilai dari

5 m 1 Y 1 JMA, VOL 5, NO, DESEMBER, 006, f y ; 1, dimana 1 1 dan melambangkan perkalian elemen vekor, m m, m m m m P X 1 Y-1 ; 1 P X Y-1 ; P X 1 Y; 1, P X ; Y 1 1 P X 1 1 Y; 1 P, P X 1 Y; ii 1 34 Ulangi mulai dari langkah (33) Sop jika T Lanjukan ke langkah 4 Langkah 4: Cari nilai dari: 1 j 1 f y X i, Y y f y Y j 1, T f y X i Y 1 f y Y T i 1 c, i 1, i 1 j 1 f y X i, Y f y Y T y y c y j f y X i, Y ; y i 1 i, i 1, T f y Y ; 1

6 8 BERLIAN SETIAWATY DAN HIRASAWA j f y X j, Y ; y c y T 1 1 X X 1 1 j1 1 T j1 f y Y ; j f y X j, Y ; f y Y Langkah 5: Beri nama parameer yang dihasilkan pada langkah 4 dengan k 1 c1, c, 1,,, k 0,1,,, T 1 Langkah 6: Cari P yang baru, yaiu: ( j) ( j) ( j) ( j) T P 1 T ( ) 1 di mana ( ) merupakan operasi perkalian elemen vekor, P X j, X i 1 Y Y -1 Y -1 P X j Y P X j P X i P X i X i j i T 1 1 ij j p 1 ;, 1 P X i Y P X j X i Y, j1, T T T 1 1 ij P X j, X i Y ; 1 T p ij T T j i 1 1 T P X 1 ; ij i T p Y j j1 j i j p Langkah 7: Selama k T, ulangi mulai dari langkah Gunakan parameer yang sudah dihasilkan unuk mencari nilai harapan bagi nilai y yang akan daang EY 1 X 1 j, Y ; c j j y

7 Parameer model di aas berbenuk JMA, VOL 5, NO, DESEMBER, 006, INTERPRETASI MODEL c c P 1,, 1, 1,, Menggunakan daa pengamaan nilai ukar Rupiah y pada kurun waku dari Februari 1998 sampai dengan Februari 007 dilakukan pendugaan parameer model Proses pendugaan parameer akan menggunakan meode yang sudah dijelaskan pada bagian 3 Daa nilai ukar Rupiah yang diperoleh dari Bank of Canada adalah raaan nilai ukar Rupiah harian Unuk diskreisasi waku dan unuk mengurangi banyaknya daa, diambil raaan perbulan dari daa harian ersebu Sehingga y menyaakan raaan nilai ukar Rupiah erhadap $US pada bulan ke,, dengan 0 adalah bulan Februari 1998 Banyak daa yang diperoleh adalah 108 Menggunakan algorima pada bagian 3 dibua program menggunakan sofware Mahemaica 5 Dengan nilai awal / c P / diperoleh penduga parameer c P Nilai harapan unuk ke-108 adalah , hampir mendekai nilai sebenarnya yaiu Gambar 41 menunjukkan perbandingan anara nilai harapan model ersebu dengan nilai ukar Rupiah yang sesungguhnya Dari gambar erliha bahwa model ini cukup baik menggambarkan perilaku nilai ukar Rupiah dan jauh lebih baik dari model Hidden Markov Ellio e al (1995)

8 30 BERLIAN SETIAWATY DAN HIRASAWA Grafik Nilai Tukar Rupiah Terhadap US Dollar Menggunakan Model Hamilon Nilai Rupiah per 1 US Dollar Waku per Bulan (Feb Feb 007) Nilai dugaan Nilai sebenarnya Gambar 41 Grafik Nilai Tukar Rupiah erhadap $US Menggunakan Model Hamilon Nilai gala maksimum adalah dan nilai gala minimum adalah dan raaan gala adalah Dari Gambar 41 erliha bahwa nilai harapan model dere waku Hamilon ini cukup baik unuk dijadikan nilai prediksi nilai ukar Rupiah erhadap $US 5 KESIMPULAN Model dere Waku Hidden Markov cukup baik menjelaskan perilaku nilai ukar Rupiah erhadap $US Hasil yang diperoleh secara signifikan jauh lebih baik dibandingkan model Hidden Markov Ellio (1995) Namun demikian karena gala erbesar masih cukup besar sekiar 000 dan raaan gala 8, maka masih erbuka kemungkinan unuk mengembangkan model dere waku yang lebih kompleks DAFTAR PUSTAKA [1] Ellio, R J, Aggoun, L dan Moore, J B 1995 Hidden Markov models, Springer Verlag, New York [] Hamilon, J D 1994 Time Series Analysis Princeon Universiy Press, New Jersey [3] Seiaway, B dan Sari, D N 005 Pemodelan nilai ukar Rupiah erhadap $US menggunakan Hidden Markov Jurnal Maemaika dan Aplikasinya, Vol 4, No [4] Seiaway B, Adharini, Y dan Hirasawa 006 Pendugaan parameer dere waku Hidden Markov Hamilon Jurnal Maemaika dan Aplikasinya, Vol 5, No 1