KAJIAN PEMODELAN DERET WAKTU NONLINIER THRESHOLD AUTOREGRESSIVE (TAR) Puji Noviandari Universitas Jenderal Soedirman

Transkripsi

1 JMP : Volume 4 Nomor 1, Juni 01, hal KAJIAN PEMODELAN DERET WAKTU NONLINIER THRESHOLD AUTOREGRESSIVE (TAR) Pui Noviandari Universias Jenderal Soedirman veeyan_love18@yahoo.com Renny Universias Jenderal Soedirman renny_shaako@yahoo.com ABSTRACT. Nonlinear ime series are ime series ha are no sable due o a sudden um. Nonlinear ime series ofen found in financial daa. Threshold Auoregressive (TAR) modeling is a ime series modeling wih a segmened auoregressive (AR) s model such ha among differen regimes may have differen AR model. This research sudied how o obain he Ordinary Leas Square (OLS) esimaor for TAR model and examine significaion he OLS s esimaor by using es. This research also sudied he oher sages of TAR modeling, which are nonlineariy es using Tsay es, TAR model idenificaion by using arranged AR aroach and Akaike s Informaion Crierion (AIC), and diagnosic es by examining he whie noise roeries and normaliy es on he residuals. As an illusraion, he TAR modeling was alied on weekly daa of ruiah exchange rae agains US dollar for eriod Ocober 4 h 004 o November 7 h 011. The resul show ha he bes TAR model for he daa is TAR (;, ;1) wih hreshold value r =9857. Keywords: Nonlinear ime series, Threshold Auoregressive, Ordinary Leas Square esimaor, whie noise. ABSTRAK. Dere waku nonlinier meruakan dere waku yang idak sabil akiba eradinya lonakan secara iba-iba. Dere waku nonlinier sering diumai ada daa finansial. Pemodelan dere waku nonlinier Threshold Auoregressive (TAR) meruakan emodelan dere waku dengan model auoregressive (AR) ersegmen sehingga dianara regime (segmen) yang berbeda dimungkinkan unuk memunyai model AR yang berbeda. Pada eneliian ini dielaari cara memeroleh esimaor Ordinary Leas Square (OLS) ada model TAR dan cara mengui kesignifikanan dari esimaor OLS menggunakan ui. Kemudian dielaari aha-aha lain dalam emodelan TAR yaiu ui nonlinierias melalui ui Tsay, idenifikasi model TAR melalui endekaan AR ersusun dan Akaike s Informaion Crierion (AIC), dan ui diagnosik melalui ui sifa whie noise dan ui kenormalan ada residual. Sebagai conoh, emodelan TAR dierakan ada daa mingguan kurs ruiah erhada dollar Amerika Serika eriode 4 Okober 004 samai dengan 7 Noember 011. Hasilnya menunukkan bahwa model TAR erbaik unuk daa ersebu adalah TAR (;, ;1) dengan nilai hreshold r =9857. Kaa Kunci: Dere waku nonlinier, Threshold Auoregressive, esimaor Ordinary Leas Square, whie noise.

2 14 Pui Noviandari dan Renny 1. PENDAHULUAN Dere waku meruakan serangkaian daa engamaan yang eradi berdasarkan indeks waku secara beruruan dengan inerval waku engamaan ea (Aswi dan Sukarna, 006:5). Misalnya daa bulanan curah huan, daa ahunan umlah enduduk, daa harian kurs, dan sebagainya. Menuru Makridakis dan McGee (1993) (dalam Nuryana, 009:1), model-model dere waku seeri Moving Average, Exonenial Smoohing, Regresi Dummy, Hol dan Winer sera ARIMA Box-Jenkins adalah model-model yang sering digunakan unuk daa yang mengandung hubungan linier. Dalam rakek di laangan, model-model linier ersebu seringkali idak daa menelaskan daa yang idak sabil akiba eradinya lonakan secara iba-iba (kenaikan nilai secara aam ada daa). Daa seeri ini sering diumai ada daa finansial, seeri daa saham, daa inflasi, dan daa kurs (Cryer dan Chan, 008:384). Unuk mengaasi ermasalahan ersebu, emodelan dere waku nonlinier dierkenalkan, salah saunya adalah emodelan Threshold Auoregressive (TAR) yang dikenalkan oleh Howell Tong ada ahun Model TAR meruakan model auoregressive (AR) ersegmen sehingga dianara regime (segmen) yang berbeda dimungkinkan unuk memunyai model AR yang berbeda. Oleh sebab iu, ada eneliian ini enulis erarik unuk mengkai emodelan dere waku nonlinier TAR. Berdasarkan laar belakang ersebu, ermasalahan yang muncul adalah bagaimana kaian dari emodelan dere waku nonlinier TAR dan bagaimana menggunakan emodelan TAR ada daa nyaa. Pada eneliian ini, emodelan TAR yang dikai dibaasi hanya unuk kasus dua regime dan diekankan ada kaian esimasi arameer model TAR. Peneliian ini memunyai beberaa uuan yaiu mengkai emodelan dere waku nonlinier menggunakan model TAR dua regime dan mengilusrasikan emodelan TAR ada daa mingguan kurs ruiah erhada dollar Amerika Serika eriode 4 Okober 004 samai dengan 7 Noember 011. Manfaa yang dieroleh dari eneliian ini adalah hasil kaian emodelan TAR dua regime diharakan daa digunakan sebagai acuan dasar unuk memelaari emodelan TAR dengan orde regime yang lebih inggi dan

3 Kaian Pemodelan Dere Waku Nonlinier Threshold Auoregressive (TAR) 15 ilusrasi emodelan TAR ada daa nyaa diharakan daa memberikan gambaran bagaimana aha-aha dalam emodelan TAR dilakukan.. HASIL DAN PEMBAHASAN Model TAR yang aling sederhana adalah model TAR dengan dua regime, diulis TAR (; 1, ; d ). Dere waku Z dikaakan mengikui model (; 1, ; d) aabila (Cryer dan Chan, 008:396). Z 1 (1) (1) (1) 0 q Zq a q1 () () () 0 q Zq a q1,, ika ika Z Z d d r r TAR Persamaan (1) menyaakan model TAR dengan dua regime dan sau hreshold (nilai ambang baas) yaiu r. Regime erama mengikui model AR ( 1 ), regime kedua mengikui model AR ( ), dan arameer delay d meruakan arameer yang mengindikasikan adanya kemungkinan bahwa lamanya adusmen rocess unuk eradinya erubahan regime memerlukan lebih dari sau eriode waku (Permaa, 008:8). Misal maks,, maka d. 1 (1).1 Esimasi Parameer Model TAR Menggunakan Meode Ordinary Leas Square Model TAR (; 1, ; d ) ada ersamaan (1) meruakan model nonlinier, eai model ini daa didekai oleh model linier dengan cara membua dua model erisah unuk masing-masing regime yaiu dengan: ( ) (1) (1) (1) (1) (1) Z 0 1 Z 1... Z a, ika Zd r () 1 1 () () () () () Z 0 1 Z 1... Z a, ika Zd r, (3) Z = engamaan saa ada regime ke-, 1,

4 16 Pui Noviandari dan Renny = orde AR ada regime ke-, 1, ( ),,, = arameer model TAR ada regime ke-, 1, ( disebu ( ) ( ) ( ) 0 1 ( ) uga arameer inerse) a = error saa ada regime ke- yang berdisribusi anar yang berbeda bersifa saling bebas. 0 N dan (0, a ) Dari ersamaan () dan (3), model TAR dengan dua regime, secara umum daa diulis dengan ( ) ( ) ( ) Z 0 1 Z 1 Z a, unuk =1, (4) Jika disusun dalam benuk mariks, ersamaan (4) menadi dengan: Z X φ a, (5) Z φ = vekor variabel ak bebas = vekor arameer model TAR berukuran n x 1 ( Z, Z,..., Z ) 1 n 0 1 berukuran (,,..., ) 1 x 1 a = vekor error berukuran n x 1 ( a, a,..., a ) 1 n X = mariks variabel bebas berukuran n x 1. Menuru rinsi meode Leas Square, esimaor OLS unuk arameer φ adalah φ φ ˆ yang daa meminimumkan umlah kuadra error Karena maka Lφ a a Z X φ Z X φ. L φ meruakan fungsi yang koninu dan diferensiabel erhada φ φ ˆ daa dicari dengan menyelesaikan ersamaan Karena umlah kuadra error L φ Z Z X Z φ φ X X φ, maka urunan eramanya erhada masing-masing elemen di L φ φ φ adalah φ, 0.

5 Kaian Pemodelan Dere Waku Nonlinier Threshold Auoregressive (TAR) 17 L φ φ X Z X X φ. ersamaan beriku: Jika Persamaan L φ φ 0 ekuivalen dengan X X φ X Z. (6) X X nonsingular, maka solusi ersamaan (6) adalah 1 φˆ X X X Z. Jadi, esimaor OLS unuk arameer 1 φˆ X X X Z, unuk 1,. φ adalah Unuk mengui kesignifikanan dari esimaor OLS daa digunakan ui dengan saisik ui yang digunakan hiung φˆ SE φˆ Esimaor OLS dikaakan signifikan berbeda dengan nol ika. hiung, n n nilai- <, dengan 0,05, n meruakan banyaknya engamaan, dan n meruakan banyaknya arameer. aau. Ui Nonlinierias Menggunakan Ui Tsay Ui nonlinierias adalah enguian hioesis unuk memeriksa aakah daa dere waku yang dielii bersifa nonlinier aau idak. Salah sau ui yang digunakan adalah ui Tsay (Chan, dkk, 005:39). Ui Tsay meruakan ui deeksi nonlinierias ada dere waku yang menggunakan konse orde AR ersusun dan redicive residuals. Saisik ui yang digunakan dalam ui Tsay adalah saisik F yang didefinisikan sebagai nd h1 nd h1 eˆ ˆ i i 1 rmin 1 rmin 1 Fˆ, d, nd h1 eˆ n d h r rmin 1 i min (7)

6 18 Pui Noviandari dan Renny dengan h maks 1, 1 d dan, 1, Fˆ, d F n d h r aau nilai- <. min rmin n 10. Asumsi linierias diolak ika.3 Idenifikasi Model TAR Prosedur engidenifikasian model TAR berdasarkan endekaan AR ersusun dan Akaike s Informaion Crierion (AIC). a. Mengidenifikasi arameer delay Misal D 1,,..., adalah himunan yang anggoanya beroensi unuk menadi arameer delay d dan adalah orde maksimum AR, maka unuk memilih nilai d dari himunan D ersebu daa dilakukan melalui saisik ersamaan (7). Nilai d yang diilih adalah ˆ Fˆ dˆ Fˆ, d maks,. dd Fhiung ada b. Mengidenifikasi himunan yang anggoanya beroensi menadi nilai hreshold Misal R r r r,,..., s 1 adalah himunan yang anggoanya beroensi unuk menadi nilai hreshold r, maka R daa daa dienukan melalui scaerlo anara -raio (saisik ) ada koefisien AR ersusun lag d dengan Z d. Berdasarkan scaerlo ersebu, daa dienukan R yang membagi lo menadi regime sehingga ia regime-nya meruakan dere waku linier. c. Mengidenifikasi orde model AR ia regime Berdasarkan nilai delay d dan himunan R yang elah dikeahui dan misal adalah order AR maksimum dari dua regime, maka daa dienukan orde model AR ia regime melalui AIC. Orde model AR ia regime disimbolkan dengan, unuk 1, diilih berdasarkan AIC yaiu dengan: ˆ( ) a AIC( ˆ ) min n ln ( 1) 0 n

7 Kaian Pemodelan Dere Waku Nonlinier Threshold Auoregressive (TAR) 19 n = umlah engamaan yang mengikui model AR ke- ada regime a ˆ( ) = vekor residual dari model AR( ), dengan nilai a ˆ( ) adalah anang vekor-vekor a ˆ( ). d. Mengidenifikasi nilai hreshold Seelah dikeahui nilai dengan menggunakan AIC yaiu dengan AIC( d, r) AIC( ˆ ˆ 1) AIC( ). AIC( ˆ ), maka nilai hreshold r daa dienukan AIC( d, rˆ ) min AIC( d, r) rr.4 Ui Diagnosik Ui diagnosik meruakan ui yang digunakan unuk memeriksa kesesuaian asumsi-asumsi yang digunakan ada model TAR yaiu error dari model bersifa whie noise (berdisribusi normal dengan mean nol, variansi konsan, dan anar engamaan bersifa saling bebas). Karena error a idak ernah eramai, maka enguian asumsi-asumsi unuk error yaiu a daa dilakukan ada residual model a ˆ ˆ Z Z, dengan Z ˆ meruakan rediksi dari engamaan ke-. a) Ui Sifa Whie Noise ada Residual Penguian asumsi residual aˆ memunyai mean nol, variansi konsan, dan anar engamaan idak berkorelasi, daa diliha melalui diagram lo anara residual a ˆ dengan. Jika flukuasi residual sandar eradi di sekiar 0 dan bergerak di suau kisaran nilai erenu, maka daa dikaakan bahwa asumsi mean nol dan variansi konsan ada model sudah erenuhi. Penguian asumsi anar engamaan idak berkorelasi daa dilakukan melalui lo ACF samel residual, ACF samel residual didefinisikan sebagai

8 130 Pui Noviandari dan Renny r k nk 1 aˆ ˆ ˆ ˆ a a k a n 1 aˆ aˆ, unuk k=0,1,, Jika semua nilai ACF samel dari residual ada lo residual berada ada baas kriisnya yaiu lebih dari 95 % nilai r k berada ada ambang baas 1,96, n daa disimulkan bahwa residual aˆ k idak berkorelasi. b) Ui Kenormalan ada Residual E aˆˆ a 0 arinya residual a ˆ dan Penguian asumsi residual a ˆ berdisribusi normal daa dilakukan melalui hisogram residual yang didukung oleh lo robabiliy normal (Q-Q lo). Kenormalan residual a ˆ daa dicirikan oleh hisogram residual yang mendekai simeris aau lo robabiliy normal yang menyebar di sekiar garis linier. k.5 Pemodelan TAR ada Daa Mingguan Kurs Ruiah erhada Dollar Amerika Serika Ilusrasi emodelan TAR dilakukan ada daa mingguan kurs ruiah erhada dollar Amerika Serika eriode 4 Okober 004 samai dengan 7 Noember 011, sebanyak 370 engamaan (h:// a) Membua Plo Daa Mingguan Kurs Berdasarkan Gambar 1., erliha bahwa ada daa mingguan kurs eradi lonakan secara iba-iba. Hal ini mengindikasikan bahwa daa bersifa nonlinier Plo Daa Mingguan Kurs Ruiah Terhada Dollar Amerika Serika 1000 Daa Kurs (Z) Ok Juni-05 7-Feb No Jul-07 1-Ar-08 5-Jan-09 Waku () 1-Se-09 7-Jun-10 1-Feb-11 7-No-11 Gambar 1. Plo Daa Mingguan Kurs

9 Kaian Pemodelan Dere Waku Nonlinier Threshold Auoregressive (TAR) 131 b) Ui Nonlinier Menggunakan Ui Tsay Berdasarkan ui Tsay, dieroleh F ˆ (, d) 6,666 dan 19 nilai- 3,168 x 10 sehingga asumsi linierias diolak sebab F ˆ(, d ) 6,666 F 1,968 0,05;311 dan 19 nilai- 3,168 x 10 0,05. Jadi, model bersifa nonlinier. c) Idenifikasi Model TAR, Esimasi Parameer Model TAR Menggunakan Meode OLS, dan Ui Signifikansi Parameer Berdasarkan Tabel 1., dikeahui bahwa nilai AIC minimum sebesar 496. Dari nilai AIC minimum dieroleh nilai d 1, 1,, dan r 9857 sehingga daa mingguan kurs mengikui model TAR(;,;1) dengan nilai hreshold r Esimasi arameer model TAR ada regime 1 dan regime daa diliha ada Tabel. dan Tabel 3. Berdasarkan Tabel. Dan Tabel 3., erliha bahwa arameer model TAR unuk masing-masing regime, elah signifikan berbeda dengan nol sebab nilai-. Delay (d) Nilai AIC Tabel 1. Nilai AIC Unuk Parameer Delay d dengan 1d 7 Nilai Threshold (r) Orde AR Regime 1 1 Orde AR Regime , , , , , , ,0 4 Tabel. Esimasi Parameer Model TAR(;,;1) ada Regime Perama Esimasi Sandard Error hiung nilai- ˆ1 308, ,067,319 0,001 ˆ 0 1 1,1944 0,0559 1,3774 0, ˆ 1-0,80 0,0553-4,13 0,0000

10 13 Pui Noviandari dan Renny Tabel 3. Esimasi Parameer Model TAR(;,;1) ada Regime Kedua Esimasi Sandard Error hiung nilai- ˆ 0 850,015 46,4364 1,8385 0,0710 ˆ 1 1,907 0,13 10,5550 0,0000 ˆ -0,3706 0,11-3,0578 0,0033 Gambar. Plo Residual Sandar Gambar 3. Plo ACF Samel Residual Gambar 4. Hisogram Residual dan Plo Normal Probabiliy (Q-Q lo) Unuk d) Ui Diagnosik Residual Model TAR(;,;1) Berdasarkan Gambar., erliha bahwa asumsi residual aˆ memunyai mean nol dan variansi konsan ada model sudah erenuhi. Berdasarkan Gambar 3., erliha bahwa 95% nilai ACF samel dari residual berada ada baas kriisnya, maka daa disimulkan bahwa residual a ˆ dan residual aˆ k idak berkorelasi. Berdasarkan Gambar 4., erliha bahwa hisogram residual hamir simeris dan

11 Kaian Pemodelan Dere Waku Nonlinier Threshold Auoregressive (TAR) 133 lo Normal Probabiliy yang menyebar mendekai garis linier. Hal ersebu menunukkan bahwa residual berdisribusi normal. e) Model Terbaik Model TAR erbaik unuk daa mingguan kurs ruiah erhada dollar Amerika Serika eriode 4 Okober 004 samai dengan 7 Noember 011 adalah TAR(;,;1) dengan nilai hreshold r =9857 sera model ada regime erama dan regime kedua sebagai beriku: Z 308,5168 1,1944 Z 1 0, 80 Z a, ika Z Z Z a Z 850, 015 1, ,3706, ika , dengan n unuk regime erama dan n 1 1,, regime kedua sehingga 3,, n 1 (8) 1,, unuk. Persamaan (8) menyaakan model TAR dua regime dengan nilai hreshold r =9857 dan arameer delay d 1. Regime erama dan regime kedua mengikui model AR(). 3. KESIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan hasil dan embahasan, dieroleh kesimulan sebagai beriku: 1. Pada eneliian ini elah dikai bagaimana memeroleh esimaor OLS unuk arameer model TAR, dieroleh 1 φˆ X X X Z, unuk 1,.. Ada ema aha dalam emodelan TAR dua regime yaiu mengui keberadaan sifa nonlinier ada dere waku menggunakan ui Tsay, mengidenifikasi model berdasarkan endekaan AR ersusun dan AIC, mengesimasi arameer model TAR menggunakan meode OLS dan mengui kesignifikanan dari esimaor OLS menggunakan ui, sera ui diagnosik yang erdiri dari ui sifa whie noise dan ui kenormalan ada residual. 3. Model TAR erbaik unuk daa mingguan kurs ruiah erhada dollar Amerika Serika eriode 4 Okober 004 samai dengan 7 Noember 011 adalah TAR

12 134 Pui Noviandari dan Renny (;, ;1) dengan nilai hreshold r =9857, sera model ada regime erama dan regime kedua sebagai beriku: Z 308,5168 1,1944 Z 1 0, 80 Z a, ika Z Z Z a Z 850, 015 1, ,3706, ika , dengan n 3,,. Permasalahan erbuka yang daa disarankan adalah: 1. Pengembangan eneliian unuk emodelan TAR dengan orde lebih dari dua regime.. Pembahasan secara deail mengenai kaian ui nonlinierias menggunakan ui Tsay, idenifikasi model TAR berdasarkan endekaan AR ersusun dan AIC, dan ui diagnosik. 1 UCAPAN TERIMAKASIH Penulis erama mengucakan erima kasih keada Dr. Nunung Nurhayai selaku Pembimbing Skrisi yang dengan enuh kesabaran elah memberikan waku, ilmu dan moivasi keada enulis. DAFTAR PUSTAKA Aswi dan Sukarna. (006). Analisis Dere Waku, Teori dan Alikasi. Andira Publisher, Makassar. Chan, W. S, Wong A. C. S. dan Tong, H. (005). Some Nonlinear Threshold Auoregressive Time Series Models For Acuarial Use. Norh American Acuarial Journal, Norh American. Cryer, J. D. dan Chan, K. C. (008). Time Series Analysis Wih Alicaions in R. nd Ed. Sringer, New York. Nuryana, F. (009). Pemodelan Dere Waku dengan Self Exciing Threshold Auoregressive (SETAR) dan Perubahan Srukur. Tesis. Insiu Teknologi Seuluh Noember, Surabaya. Observaion and Research of Taxaion. (011). Kurs Meneri Keuangan Berdasarkan Maa Uang. h:// Diakses anggal 7 Desember 011. Permaa, M. I. (008). Threshold Auoregressive Model of Exchange Rae Pass- Through Effec in Indonesia. Working Paer. Bank Indonesia, Jakara..