Bab III Komentar terhadap distribusi vec(r)

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Bab III Komentar terhadap distribusi vec(r)"

Utami Budiono
6 tahun lalu
Tontonan:

1 Bab III Komenar erhada disribusi vec(r Bab ini mengeengahkan enang komenar erhada disribusi asimoik dari mariks korelasi R, dalam benuk vec(r, yang akan menjadi salah sau dasar dalam eneliian diserasi ini. Disribusi ersebu, yang diuliskan kembali dalam Teorema III., daa dijumai dalam Browne dan Sahiro (986, Neudecker dan Wesselman (990, Neudecker (996 sera Scho (007. Yang akan dikomenari adalah bahwa arameer mean dan variansinya ernyaa didasarkan keada nilai endekaan bagi R. Hal ini akan diunjukkan ada bab ini. Selanjunya akan dilakukan kajian simulasi unuk meliha sejauh mana hasil endekaan iu berbeda dengan R. III. Disribusi vec(r Misalkan Z,Z,,ZN samel acak berukuran N dari Z dengan mariks kovariansi P. Jika R adalah mariks korelasi samel, maka vec(r adalah reresenasi dari R dalam benuk vekor. Vekor ini dieroleh dari R dengan menyusun kolom-kolomnya, yang sau di aas yang lain. Browne dan Sahiro (986, Neudecker dan Wesselman (990, Neudecker (996 sera Scho (007 melaorkan bahwa disribusi asimoik dari vec(r dirumuskan dalam Teorema III.. Teorema III. Misalkan X,X,,Xnadalah samel acak berukuran n yang berasal dari variabel acak yang berdisribusi N ( µ, Σ. Maka, { ( R ( P } n vec vec N... (III. d ( 0,Γ di mana a. Γ = M Φ M dengan b. M = ( I K + ; K adalah mariks komuasi yang berukuran ; 3

2 c. Φ = { I ( I P }( P P I ( I P d. Λ = ( eiei eiei. { } Λ Λ ;, e i adalah kolom ke-i dari mariks idenias I yang berukuran Pada bagian-bagian selanjunya akan diurunkan bahwa arameer mean dan variansi ada disribusi ersebu di dasarkan keada hasil endekaan bagi mariks korelasi R, dan bukan keada R iu sendiri. Unuk menyelidiki endekaan bagi R, digunakan meode Dere MacLaurin. III. Pendekaan bagi Mariks Korelasi Misalkan X,X,,Xn adalah samel acak berukuran n dari disribusi N ( µ, Σ, dan S dan R beruru-uru menyaakan mariks kovariansi dan korelasi samel. Dalam embahasan selanjunya akan sering digunakan mariks yang diberi lambang a D Q yakni mariks diagonal di mana elemen-elemennya adalah elemen-elemen diagonal dari mariks Q seelah diangkakan a. Jadi, D a Q = diag ( q a a a,q,,q bila Q berukuran. Dengan demikian, mariks korelasi samel dan mariks korelasi oulasi beruru-uru daa diuliskan dalam benuk D X i, maka Z,Z,,Zn Σ = dan R D SD S S = Σ Σ P D Σ D saling bebas dan berdisribusi N ( D,P. kibanya, jika Z i = Σ µ. Menarik unuk dicaa bahwa mariks korelasi samel dari Z,Z,,Z n adalah sama dengan mariks korelasi samel dari X,X,,Xn. Unuk menunjukkannya, kia misalkan S* adalah mariks kovariansi samel dari Z,Z,,Zn. Maka, S* = ( var z i = var ( DΣ x i D var x D = ( Σ i Σ 4

3 = DΣ S DΣ, karena var ( x = S i. Dengan demikian, erdaa hubungan samel Z,Z,,Zn adalah S 0 D = DS* S*D S* = DS DΣ ( DΣ SDΣ DΣ DS = S ( Σ Σ ( Σ Σ D S D D D S D D D S DΣ = Σ S D D. kibanya, mariks korelasi = D S S SD = R. Jadi mariks korelasi samel Z,Z,,Zn sama dengan mariks korelasi samel X,X,,X. n Selanjunya, akan diurunkan nilai endekaan bagi mariks korelasi samel R melalui Dere MacLaurin yang diuliskan dalam benuk lemma beriku. Lemma III. Misalkan Y adalah mariks simeri berukuran dan ε adalah suau skalar osiif sehingga nilai dari ( I + ε Y ada. Misalkan ( I Y + ε adalah suau mariks simeri yang meruakan akar dari ( I + ε Y, yang berari ( I + Y = ( I + Y ( I + Y ε ε ε. Maka di mana, ( i ε ε I + Y I + B i B = Y, B = Y, B3 Y = dan B4 = Y. 8 Pembukian Lemma III. elah daa dilakukan enulis berdasarkan Meode Perurbasi yang disarankan oleh Scho (997, hal. 36 aauun melalui Dere MacLaurin. 5

4 Berdasarkan Lemma III., nilai endekaan bagi mariks korelasi samel R daa dirumuskan dalam roosisi beriku. Proosisi III.3 Jika = S* P, maka R daa didekai oleh nilai endekaan orde erama beriku R P+ ( PD + D P Buki Karena S* = P +, maka erdaa hubungan DS* = DP + D. Selanjunya, karena seia elemen diagonal dari P bernilai, maka DP = I. Jadi, DS* = I + D. Jika D = ε Y, maka DS* = I +ε Y. kibanya, R = D S* S*DS* = ( I + εy ( P+ ( I + ε Y =( I + εy P( I + εy + ( I + εy ( I + ε Y Berdasarkan Lemma III., ( I +εy I ε Y. Dengan demikian, R daa diuliskan sebagai beriku. R I εypi εy+ I εyi εy I P εypi εy+ I εyi εy I P I Y YP I Y ε ε ε + I I Y YI Y ε ε ε I PI I P εy εypi εyp ε Y + 6

5 I I I εy εyi εy ε Y P P Y YP YP Y ε ε ε ε + Y Y Y Y ε ε ε ε, P PεY YP YP Y Y Y Y Y ε ε ε + ε ε ε ε, P P Y YP YP Y ε ε ε ε + Y Y Y Y 4 ε ε ε ε 4 P P Y YP + YP Y + Y Y + Y Y ε ε 4 ε ε ε ε 4 ε ε P PεY εyp + εypεy + εy εy + εyε Y 4 4 Karena ε kecil, maka suku-suku orde dua (angka dua dari ε akan jauh lebih kecil harganya. Dengan demikian, εypεy εy εy + εyε Y 0 dan endekaan 4 4 orde erama dari R adalah R P + ( PD + D P, karena D P + P Y YP ε ε aau R P + ( PεY + ε YP aau R = ε Y. Jadi, erbukilah roosisi di aas Pada Tabel III. diamilkan hasil simulasi unuk membandingkan R dan nilai endekaannya. Unuk iu, dibangkikan daa acak sebanyak n = 00 yang diambil dari N 0,I dengan unuk dari hingga 0. Tabel ersebu menunjukkan disribusi ( bahwa R dan nilai endekaannya idak jauh berbeda. Oleh karena iu, hasil ini akan digunakan ada langkah-langkah eneliian selanjunya. III.3 Mean dan Variansi vec(r Dengan menggunakan Proosisi III.3 di aas, dieroleh endekaan bagi vec(r sebagai beriku, vec(r vec P + ( PD + D P 7

6 vec( P + vec( vec ( PD + D P vec( P + vec( vec( PD + D P vec( P + vec( { vec( PD + vec ( D P } vec( P + vec( { vec( PDI + vec( DPI } vec( P + vec( {( I P vec( D + ( P I vec( D } vec( P + vec( {( I P + ( P I } vec( D 8

7 Tabel III.. Perbandingan R dengan endekaannya ( ˆR No R Pendekaan R ( ˆR R ˆR Tr ( R Tr ( Rˆ

8 Tabel III. (Sambungan No R Pendekaan R ( ˆR R ˆR Tr ( R Tr ( Rˆ

9 Sekarang kia erhaikan erlebih dahulu vec ( D. Karena D ea i iiei = di mana e i adalah vekor kolom ke-i dari mariks sauan berukuran x, maka D = ei( ei ei e i,aii = ei ei = ( ee i i ( ee i i = Dengan demikian, EE ii ii dengan E = ee. ii i i vec ( D = vec( E E Oleh karena iu, ii = ( Eii Eii vec( = Λ vec (, sebab * var{ vec( } = var vec( S P ii, sebab E ii simeris Λ = ( Eii Eii * { } = var{ vec ( S vec ( P } * = var{ vec ( S }, karena P meruakan mariks konsana = var{ vec( DΣ SDΣ } = v ar{ ( DΣ DΣ vec( S } = E (( D D vec( S (( D D vec ( S Σ Σ Σ Σ E (( D D vec ( S E (( D D vec( S Σ Σ Σ Σ = E ( D D vec( S ( vec ( S ( D D Σ Σ Σ Σ ( ( ( ( ( ( D D E vec S E vec S D D Σ Σ Σ Σ = ( ( ( ( ( ( D D E vec S vec S D D Σ Σ Σ Σ

10 ( ( ( ( ( ( D D E vec S E vec S D D Σ Σ Σ Σ = ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( D D E vec S vec S E vec S E vec S D D Σ Σ Σ Σ = ( D { ( }( D var vec S D D Σ Σ Σ Σ kan eai, seeri dikemukakan dalam Mardia dkk. (979, Scho (997, 00 n dan Djauhari (007, var{ vec( S } = ( I + K ( var{ vec( } = ( ( ( ( D D I K D Σ Σ + Σ Σ D Σ Σ n Σ Σ. Oleh karena iu, = (( DΣ DΣ I + ( DΣ DΣ K ( Σ Σ ( DΣ DΣ n = (( DΣ DΣ + ( DΣ DΣ K ( Σ Σ ( DΣ DΣ n = ( I ( DΣ DΣ + K ( DΣ DΣ ( Σ Σ ( DΣ DΣ n = ( ( ( ( I K D D D + D Σ Σ Σ Σ Σ Σ n Karena ( ( ( ( D D D D D Σ Σ = Σ Σ = Σ D Σ, maka var{ vec( } = ( ( ( I + K DΣ Σ DΣ Σ DΣ DΣ n = ( ( I + K DΣ ΣDΣ DΣ Σ DΣ n n = ( I + K ( P P D Σ adalah mariks simeri, = M ( P P M = I + K. n kan eai, berdasarkan sifa mariks komuasi seeri dikemukakan dalam dengan ( M P P M n Scho (997, hal 403, ruas kanan sama dengan ( demikian, dieroleh M P P M. n var{ vec ( } = (. Dengan

11 Berdasarkan kesamaan ini, dengan menggunakan nilai endekaan bagi R yang dikemukakan dalam Proosisi III.3, beriku ini akan diurunkan nilai endekaan bagi mean dan variansi dari vec(r. III.3.. Mean vec(r Dengan menggunakan nilai endekaan bagi R P+ ( PD + D P ada Proosisi III.3, mean dari vec(r adalah E ( vec( R ( + ( + ( { } Λ ( E vec P I I P P I vec ( { } Λ ( E ( vec P + E I ( I ( P + P I vec vec( P + I {( I ( } ( ( P + P I Λ E vec ( {( ( } Λ ( vec P + I I P + P I E vec S P, = S P ( ( ( * * ( * { } Λ ( ( ( ( { } Λ ( ( Σ Σ ( { } Λ (( Σ Σ ( ( vec P + I I P + P I E vec S E vec P vec P + I I P + P I E vec D SD vec P ( ( ( vec P + I I P P I E D D vec S vec P + ( ( ( { } ( Λ Σ Σ ( vec P + I I ( ( P P I D D E vec S vec P + ( ( ( ( ( ( { } ( Λ Σ Σ ( Σ ( vec P + I I P P I D D vec vec P + ( ( ( { } ( Λ Σ Σ Σ ( vec P + I I P P I vec D D vec P + vec ( P + I {( I ( } ( ( P + P I Λ vec P vec P Suku kedua ada ruas kanan berharga 0. Dengan demikian, dieroleh ( ( vec ( P E vec R 3

12 III.3.. Variansi vec(r Sekali lagi dengan menggunakan nilai endekaan bagi R, dieroleh vec( R ( + {( ( } ( + Λ vec P I I P P I vec. Oleh karena iu, { } Λ ( var vec P I I P P I vec var ( vec( R ( + ( + ( { } Λ ( var I I P P I vec ( + ( I {( I ( } ( ( P + P I var vec {( ( } I I P + P I Λ. Λ {( + ( } ( I I P P I Λ M P P M. n {( ( } I I P + P I Λ I {( I ( } ( P + P I M P P n Λ. M I I P + P I {( ( } Λ { } Karena I {( I P + ( P I } M = M I ( I P Λ Λ dan M simeris seeri dikemukakan dalam Scho (997, hal. 45 dan hal. 8, maka var ( vec( R { { ( Λ }}( {( + ( } K I I P P P I I P P I M N n { M { I ( I P }}( P P M I ( I P n { { }} Λ Λ { ( }( ( { } M I I P Λ P P I I P Λ M n { ( }( ( { } M I I P Λ P P I Λ I P M. n kan eai, berdasarkan Teorema III. { I ( I P Λ}( P P I Λ ( I P = Φ. { } 4

13 Jadi, var ( vec( R M Φ M. n Mean dan variansi inilah yang akan digunakan selanjunya dalam diserasi ini. 5

dokumen-dokumen yang mirip

Distribusi Normal Multivariat

Distribusi Normal Multivariat Vol.4, No., 43-48, Januari 08 Disribusi Normal Mulivaria Husy Serviana Husain Absrak Pada engendalian roses univaria berdasarkan variabel, biasanya digunakan model disribusi normal unuk mengamai kualias