MODEL DERET WAKTU HIDDEN MARKOV

Transkripsi

1 9 ; P j y π j { ; } P j y sama dengan sau jika engamaan berada ada sae j dan sama dengan nol jika engamaan berada ada sae selainnya Maka enduga raaraa unuk sae j ada ersamaan 8 akan sama dengan nilai raaraa dari y unuk engamaan yang dikeahui berasal dari sae j Pada kasus yang lebih umum dimana P { j y ; } berada dianara 0 dan unuk beberaa engamaan, enduga π j adalah bobo raaraa dari semua engamaan, dimana bobo unuk seia engamaan Y seadan dengan eluang bahwa engamaan ada waku elah dibangkikan oleh sae j Kemungkinan lainnya engamaan berasal dari sae j, bobo yang lebih besar memerlihakan bahwa engamaan berada ada enduga µ j Dengan cara yang sama, σ j adalah bobo raaraa kuadra sandar deviasi unuk Y dari µ j Karena ersamaan 8, 9, dan aklinear, maka idak mungkin menyelesaikan secara analiik bagi sebagai fungsi dari { } Y, Y,, Y ehingga unuk mencari enduga kemungkinan maksimum akan lebih mudah jika menggunakan algorime ieraif yang meruakan kasus khusus dari rinsi EM MODEL DERE WAKU HIDDEN MARKOV Model Dere Waku Hidden Markov Pada asal ini akan dibahas model Hidden Markov yang meruakan dere waku dengan benuk sebagai beriku: Y µ φ Y µ + φ Y µ + ε s s s di mana: ε! 0, σ N bebas sokasik idenik { Y } roses yang diamai dan bernilai skalar { } ranai Markov dengan ruang sae {,} µ, µ, φ, dan φ adalah konsana real µ, µ, φ, φ, σ P eluang ransisi meruakan mariks Dalam kasus ini Y idak hanya berganung ada berganung ada dan, eai juga ehingga agar ea memenuhi sifa Markov, erlu didefinisikan eubah baru di mana:, jika,, dan, jika 3, jika 4, jika 5, jika 6, jika 7, jika 8, jika Lema :,,,,,,,, dan, dan, dan, dan, dan, dan, dan 3 { } meruakan ranai Markov dengan ruang sae {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8} dan mariks ransisi: P Buki liha Lamiran

2 0 elanjunya, karena ε! 0, σ N bebas sokasik idenik maka daa dieroleh fungsi sebaran bagi ε : ε ε F y P y y 0 ex πσ ε 0 σ ε d ε y ex dε 0 πσ σ 4 Berdasarkan ersamaan 4 dieroleh fungsi sebaran bagi Y : F y PY y Y P φ Y µ + φ Y s µ µ ε y s + + s P ε y µ φ Y µ φ Y µ Misalkan s s s µ φ s µ φ s µ s v y Y Y maka ε v FY y ex ε d 0 πσ σ 5 dan fy y FY y y v v ex σ π σ y yµ φ Yµ φ Yµ ex s s s v σ π σ y yµ φ Yµ φ Yµ s s s σ π σ ex yµ φ Y Y s µ φ µ s s ex σ π σ 6 Misalkan ϒ adalah medan σ yang lengka dan dibangun oleh ϒ, ϒ,, ϒ Kumulan fungsi keraaan ersebu dalam vekor 8x dilambangkan dengan η, sehingga dieroleh: é, ϒ q ù, ϒ q 3, ϒ q 4, ϒ q h 5, ϒ q 6, ϒ q 7, ϒ q ê 8, ϒ q ú ë û y µ φ Yµ φ Yµ ex σ π σ y µ φ Yµ φ Yµ ex σ π σ y µ φ Yµ φ Yµ σ π σ y µ φ Yµ φ Yµ σ π σ y µ φ Y µ φ Y µ σ π σ y µ φ Yµ φ Yµ σ π σ y µ φ Yµ φ Yµ ex σ π σ y µ φ Yµ φ Yµ σ π σ 7 Misalkan ξ melambangkan vekor ; 8 di mana elemen kej ada vekor mereresenasikan P{ j ϒ } dan melambangkan erkalian elemen er elemen, maka

3 ξ η { } { } { } { } { } { 6 ϒ } { 7 ϒ } { 8 ϒ ; } y 6, ϒ 7, ϒ 8, ϒ ; P ϒ, ϒ P ϒ, ϒ P 3 ϒ 3, ϒ P 4 ϒ 4, ϒ P 5 ϒ 5, ϒ P f P P 8 Berdasarkan ersamaan 8 maka daa diuliskan: P j ϒ ; j, ϒ ; P j, ϒ P y, j, ϒ P ϒ P j, ϒ P y, j, ϒ P y, j ϒ P ϒ ; ehingga dieroleh: ϒ ; ξ η 8 j ϒ ;, ϒ ; P j j ϒ, ϒ P ϒ f y, ϒ P 3 ϒ f y 3, ϒ P 4 ϒ f y 4, ϒ P 5 ϒ f y 5, ϒ P 6 ϒ f y 6, ϒ P 7 ϒ f y 7, ϒ P 8 ϒ ; f y 8, ϒ ; P y µ φ Y µ φ Y µ P ϒ σ π σ yµ φ Yµ φ Yµ + P ϒ ; σ π σ yµ φ Yµ φ Yµ + P 3 ϒ ; σ π σ ϒ σ + P 4 ; yµ φ Yµ φ Yµ + P 5 ϒ ; σ π σ yµ φ Yµ φ Yµ + P 6 ϒ σ π σ + P 7 ϒ σ π yµ φ Yµ φ Yµ y µ φ Y µ φ Y µ π σ yµ φ Yµ φ Yµ σ + P 8 ϒ ex σ π σ 30 Jika ersamaan 9 dibagi dengan ersamaan 30 maka dieroleh, ϒ f y ϒ P y, j, ϒ f y, ϒ P j y, ϒ P j ϒ ; P y j P y, j ϒ P ϒ f ϒ ;, ϒ ; ehingga dieroleh ; P j ϒ P y, j ϒ ; ϒ ξ η ξ ξ η 3 3 Fungsi loglikelihood L unuk daa yang diamai Y daa dihiung dengan cara

4 log f y ϒ ; f y ϒ ; Lf y ϒ ; L 3 ϒ log ; 33 alah sau endekaan yang digunakan unuk memilih nilai awal bagi ξ adalah dengan membua ξ 0 sama dengan vekor eluang ak bersyara π [ π ] ' π π3 π4 π5 π6 π7 π8 yang memenuhi sifa ergodic, yaiu π P π π + π + π3 + π4 + π5 + π6 + π7 + π8 seeri yang erdaa ada Lamiran Pendugaan Paremeer Model Penduga kemungkinan maksimum bagi dieroleh dengan memaksimumkan: L log f y ϒ Dengan membua urunan erama dari loglikelihood erhada arameer sama dengan nol, maka dieroleh: µ µ φ φ σ [ Az + B rz + rφµ C sz sµ D φ z φ qµ + E qz + qφ µ + F z + sµ G φ z + φ rµ [ A + Br + Cs + Dφ + Eq + F + Gφ [ B φ z φ rµ + C z + sµ + D qz + qφµ E φ zφ qµ F sz sµ + G rz + φ rµ + H z] Bφ + C + Dq + Eφ + Fs + Gr + H [ Aac φce + Bad φde + Cbc φ ce + Dbd φ de + Eac φ cf + Fad φ df + Gbc φ cf + H bdφdf ] [ Ac + Bd + Cc + Dd + Ec + Fd + Gc + Hd [ Aae φce + Bae φde + Cbe φce + Dbe φde + Eaf φcf + F af φdf + Gbf φcf + H bf φdf ] [ Ae + Be + Ce + De + Ef + Ff + Gf + Hf 34 φ φ + φ φ + Cb φcφe + Db φd φe + Ea φc φ f + Fa φd φ f + Gb φcφ f + H φ φ Aa c e Ba d e b d f A+ B+ C+ D+ E+ F+ G+ H dengan µ, µ, µ, µ, µ, µ a y b y c y d y e y f y φ φ, φ, φ, φ φ, φ φ r q s + z y y y A P, ϒ ϒ, ϒ ϒ B P f y ϒ ϒ ;, ϒ C P 3 ϒ ; 3, ϒ, D P 4 4, ; ϒ ϒ ϒ ϒ E P 5 ϒ ; 5, ϒ, F P 6 6, ; ϒ ϒ ϒ ϒ G P 7 ϒ ; 7, ϒ, H P 8 ϒ ; 8, ϒ ϒ ; Buki liha Lamiran

5 3 Karena ersamaan µ, µ, φ, φ, dan σ yang dieroleh adalah aklinear, maka unuk mencari enduga kemungkinan maksimum bagi digunakan algorime ieraiang meruakan kasus khusus dari rinsi EM Langkahlangkah yang harus dilakukan adalah: Langkah : enukan banyaknya daa yang akan diamai sera enukan juga nilai y0, y, y,, y dan mariks ransisi P Beri nilai awal bagi yang dilambangkan m dengan µ, µ, φ, φ, σ Langkah : Cari fungsi keraaan bersyara bagi y unuk seia,,, dengan cara é, ϒ q ù, ϒ q 3, ϒ q 4, ϒ q h 5, ϒ q 6, ϒ q 7, ϒ q ê 8, ϒ q ú ë û y µ φ yµ φ yµ ex σ π σ y µ φ y µ φ y µ ex σ π σ y µ φ yµ φ yµ σ π σ y µ φ yµ φ yµ σ π σ y µ φ yµ φ yµ σ π σ y µ φ yµ φ yµ σ π σ y µ φ yµ φ yµ ex σ π σ y µ φ yµ φ yµ σ π σ Langkah 3: Penarikan kesimulan oimal dan eramalan unuk seia waku ada conoh daa dieroleh melalui ierasi: 3 enukan nilai awal bagi ξ yang dilambangkan dengan ξ 0 3 Beri nilai awal i 33 Unuk i, cari nilai dari ϒ ; ξ η ϒ, ϒ P ϒ f y, ϒ P 3 ϒ f y 3, ϒ P 4 ϒ f y 4, ϒ P 5 ϒ f y 5, ϒ P 6 ϒ f y 6, ϒ P 7 ϒ f y 7, ϒ P 8 ϒ ; f y 8, ϒ ; P

6 4 ξ ϒ ϒ 3 ϒ 4 ; ϒ ξ η 5 ϒ ξ η 6 ϒ 7 ϒ 8 ϒ P + ϒ P + ϒ P + 3 ϒ P + 4 ϒ P ξ P + 5 ϒ P + 6 ϒ P + 7 ϒ P + 8 ϒ P P P P P P P P ξ + i i+ 34 Ulangi mulai dari langkah 33 o jika Lanjukan ke langkah 4 Langkah 4: Misalkan a y µ b y µ µ µ µ µ c y d y e y f y φ φ, r φ φ, s φ + φ φ φ q z y y y A P ϒ ϒ ϒ ;, ϒ B P ϒ ϒ ;, ϒ C P ϒ 3 ϒ ; 3, ϒ D P ϒ 4 ϒ ; 4, ϒ E P ϒ 5 ϒ ; 5, ϒ F P ϒ 6 ϒ ; 6, ϒ G P 7 ϒ ; 7, ϒ H P ϒ 8 ϒ ; 8, ϒ Cari nilai dari µ, µ, φ, φ dan σ Langkah 5: Beri nama arameer yang dihasilkan ada langkah 4 dengan m+ µ, µ, φ, φ, σ Langkah 6: Cari P yang baru, yaiu: ξ ξ! P' ξ ξ j j j j { + + } ij, ϒ; P j i P i ϒ;, ϒ P j ϒ P i ϒ P j ϒ P i ϒ P j ϒ P j, i ϒ P j ϒ P j ϒ P i ϒ P j i P j ϒ P j i j i ξ ξ j ξ ij j i ξ ξ ij j ξ N ξ ξ j j ξ ij j i ij Langkah 7: Ulangi mulai dari langkah Gunakan arameer yang sudah dihasilkan unuk mencari nilai haraan bagi nilai ukar ruiah yang akan daang E Y j, ϒ y y E φ Y µ φ Y µ ε µ j, ϒ ; s s s φ µ + φ µ µ + s s s j Y E Y ϒ y ϒ dy N y f y j, ϒ ; P j ϒ ; dy N P j y j dy j ϒ, ϒ N ξ E Y j ϒ j, ;

7 5 PEMODELAN NILAI UKAR RUPIAH ERHADAP U DOLLAR Pada bab ini akan dibahas emodelan nilai ukar Ruiah erhada U Dollar eai sebelumnya, akan dibahas mengenai daa inu yang digunakan sebagai daa observasi ada model Kemudian dilanjukan dengan emodelan masalah sera alikasi unuk kasus banyaknya enyebab kejadian N Daa Inu Nilai ukar Ruiah Dalam karya ilmiah ini, daa inu yang digunakan meruakan daa raaraa nilai ukar Ruiah erhada U Dollar er bulan yang diambil dari sius wwwbankofcanadaca yang diakses ada anggal 4 Januari 008 Daa berkisar anara bulan Februari 998 hingga Januari 008 yang berari erdaa 0 daa observasi y Gambar Grafik daa disajikan ada Pada Gambar, erliha bahwa ada bulan Juni 998, nilai ukar Ruiah er U Dollar meningka cuku inggi hingga mencaai R 4000, Kemudian ada bulanbulan berikunya Ruiah menurun secara erlahan dan sema berada level erendah R 6700, ada bulan Juni 999, sebelum daa berflukuasi ada kisaran R 8000, hingga R 000, er U Dollar ada bulanbulan berikunya Meningkanya nilai ukar Ruiah erhada U Dollar ada erengahan ahun 998, disebabkan karena insabilias oliik, sosial, dan ekonomi Indonesia ada saa iu Grafik Nilai ukar Ruiah erhada U Dollar Ruiah er U Dollar Waku er Bulan Februari 98 Januari 08 Gambar Grafik erubahan Nilai ukar Ruiah erhada U Dollar er bulan umber: wwwbankofcanadaca akses 4 Januari 008 Pemodelan Nilai ukar Ruiah erhada U Dollar Nilai ukar Ruiah meruakan suau kejadian yang daa berubah seia waku Banyak hal yang daa menyebabkan erubahan ersebu, seeri erubahan kebijakan emerinah, kondisi keamanan yang idak kondusif, erganian sisem emerinah, dan lainlainnya Penyebabenyebab ersebu daa membenuk ola erenu Misalnya, ada saa erjadi kerusuhan akiba dari erganian sisem emerinahan yang merugikan masyaraka, biasanya akan diikui munculnya mosi idak ercaya dari invesor asing unuk menginvesasikan Dollar di Indonesia sehingga erjadi kenaikan nilai ukar Ruiah erhada Dollar Kejadian seeri ini daa berulang di masa yang akan daang, namun idak daa dienukan kurun wakunya Besar kemungkinan di waku yang akan daang akan erjadi kejadian yang sama, jika erjadi erubahan sisem emerinahan yang memiliki nilai eluang idak jauh berbeda dengan nilai eluangnya saa iu Hal

8 6 ini menunjukkan bahwa enyebab kejadian nilai ukar Ruiah bersifa homogen Jadi karena enyebab kejadian nilai ukar Ruiah membenuk suau ranai Markov dan diasumsikan idak diamai secara langsung, maka masalah nilai ukar Ruiah erhada U Dollar daa dimodelkan menggunakan model hidden Markov Proses Y, N yang digunakan adalah observasi { } nilai ukar Ruiah erhada U Dollar er bulan dan bernilai skalar Banyaknya daa adalah 0, sedangkan enyebab kejadian yang idak diamai secara langsung, N ada model adalah enyebab { } erjadinya erubahan nilai ukar ersebu Dere Waku Hidden Markov Model Hamilon Dere waku hidden Markov Hamilon, yaiu: Y c + φ Y + ε Unuk kasus banyaknya enyebab kejadian N, erdaa nilai c yang menyaakan sae Dalam karya ilmiah Hirasawa 007, 0000 digunakan nilai c awal yaiu c yang menyaakan bahwa nilai c saa e adalah 0000 dan nilai c saa e adalah 8000 Nilai /3 φ awal yang digunakan yaiu φ 0 3/4 yang menyaakan nilai φ saa e adalah /3 dan nilai φ saa e adalah 3/4, sedangkan nilai raaan awal yang digunakan adalah σ 000 Didaakan nilai akhir dari arameer yang memakisimumkan eluang adalah 9476,549 0,3733 c, φ, dan σ 60,7 44,35 0,8435 Nilai raaan yang dieroleh adalah sebesar 84,744 3,0698% Nilai gala maksimum adalah 38,49,66 % dan nilai gala minimum adalah,64 0,063 % Hasil endugaan model daa diliha ada Gambar Dere Waku Hidden Markov au Waku ebelumnya Model hidden Markov yang digunakan adalah: Y Y µ φ µ + ε Dalam karya ilmiah anoso 008, digunakan nilai awal 0000 µ 8000 yang menyaakan bahwa nilai µ ada saa enyebab kejadian sae e adalah 0000 dan nilai µ saa sae e adalah 8000 Nilai φ awal yang digunakan adalah /0, sedangkan raaan awal yang digunakan adalah σ 000 Dengan menggunakan algorime EM, didaakan nilai akhir dari arameer yang memaksimumkan eluang 98,96 adalah µ 96,66, φ 0,840756, dan σ Nilai raaan yang dieroleh sebesar 4,507,97% Nilai gala maksimum adalah 807,6963 5,6773 % dan nilai gala minimum adalah 0,934 0,003 % Nilai dugaan model ini mendekai nilai yang sebenarnya Hasil endugaan model daa diliha ada Gambar Dari Gambar ersebu, erliha bahwa model dere waku hidden Markov sau waku sebelumnya menduga nilai Ruiah erhada U Dollar lebih baik dariada model hidden Markov Hamilon Dere Waku Hidden Markov Dua Waku ebelumnya Model hidden Markov yang digunakan ada karya ilmiah ini adalah: Y µ φ Y µ + φ Y µ + ε s s s Dalam karya ilmiah ini, digunakan nilai awal 0000 µ 8000 yang menyaakan bahwa nilai µ ada saa enyebab kejadian sae e adalah 0000 dan nilai µ saa sae e adalah 8000 Nilai φ awal yang digunakan 0,4333 adalahφ 0,5, sedangkan raaan awal yang digunakan adalah σ 000 Dengan menggunakan algorime EM, didaakan nilai akhir dari arameer yang memaksimumkan 570,76 eluang adalah µ 6034,, 0,4877 φ 0,54, danσ Nilai raaan yang dieroleh adalah 55,6 0,59% Nilai gala maksimum adalah 0,0,3% dan nilai gala minimum adalah 0, 0,003% Nilai dugaan model ini mendekai nilai yang sebenarnya Hasil endugaan model daa diliha ada Gambar Dari Gambar ersebu, erliha bahwa model dere waku hidden Markov dua waku sebelumnya menduga nilai Ruiah erhada U Dollar lebih baik dariada model hidden Markov Hamilon mauun model hidden Markov sau waku sebelumnya

9 7 abel Perbandingan Nilai ukar Ruiah erhada U Dollar menggunakan Dere Waku Hidden Markov Hamilon, Dere Waku Hidden Markov au Waku ebelumnya, dan Dere Waku Hidden Markov Dua Waku ebelumnya Perbandingan Hidden Markov Model Hamilon Hidden Markov au Waku ebelumnya Hidden Markov Dua Waku ebelumnya Raaan Gala 84,74 3,07% 4,50,4% 55,6 0,59% Gala Max 38,49,3% 807,69 5,68% 0,0,3% Gala Min,64 0,06% 0,9 0,003% 0, 0,003% 5, , ,00000 Ruiah er U Dollar,00000, , , , , , Waku er Bulan Feb 998 Jan 008 Nilai Ruiah Model Dua Waku ebelumnya Model au Waku ebelumnya Model Hamilon Gambar Grafik nilai ukar Ruiah erhada U Dollar IMPULAN Model dere waku hidden Markov dua waku sebelumnya daa memodelkan erilaku erubahan nilai ukar Ruiah erhada U Dollar Penduga arameer yang dieroleh dengan menggunakan meode Maximum Likelihood dan erhiungannya menggunakan algorima ieraif Execaion Maximizaion daa memrediksi nilai ukar Ruiah erhada U Dollar yang akan daang Model dere waku hidden Markov dua waku sebelumnya daa memodelkan dengan lebih baik erubahan nilai ukar Ruiah erhada U Dollar jika dibandingkan dengan model dere waku hidden Markov Hamilon dan model dere waku hidden Markov sau waku sebelumnya Hal ini erliha dari nilai dugaan yang lebih mendekai nilai sebenarnya