Distribusi Normal Multivariat

Transkripsi

1 Vol.4, No., 43-48, Januari 08 Disribusi Normal Mulivaria Husy Serviana Husain Absrak Pada engendalian roses univaria berdasarkan variabel, biasanya digunakan model disribusi normal unuk mengamai kualias roses dari waku ke waku. Fungsi keadaan eluangnya (fk) adalah x f ( x) ex, x dimana adalah meannya dan adalah variansinya. Dalam kenyaaannya, seringkali kualias roses dienukan oleh lebih dari sau karakerisik yang saling berkorelasi. Dalam hal ini kia bisa saja melakukan engendalian erhada masing-masing karakerisik sau-ersau. Akan eai hal ini akan menimbulkan banyak sekali kesalahan seeri dikemukakan Mongomery [4]. Oleh karena iu engendalian roses harus melibakan semua karakerisik sekaligus. Unuk iu digunakan disribusi normal muliivaria. Disribusi ini dan beberaa sifanya meruakan oik bahasan dalam ulisan ini. Kaa Kunci: Disribusi Normal Bivaria, Saisical Proces Conrol.,. Pendahuluan Pengendalian roses secara saisik (Saisical Proces Conrol aau disingka SPC), dibagi ke dalam dua jenis yaiu SPC univaria dan SPC muliivaria. Dalam SPC univaria hanya sau variabel karakerisik muu yang dikaji. Kenyaaannya, banyak sekali roses yang dienukan oleh sejumlah karaerisik muu yang eradu, yang sau sama lainnya berkorelasi. Dalam hal ini, digunakan SPC mulivaria. Dengan asumsi bahwa roses memiliki diribusi normal mulivaria. Sehingga ulisan ini akan fokus ada eori disribusi normal mulivaria, sebagai disribusi yang digunakan dalam SPC mulivaria.. Disribusi Normal Mulivaria.. Definisi Disribusi Normal Mulivaria Vekor random yang erdiri aas komonen (,,..., ) dikaakan berdisribusi normal mulivaria dengan vekor mean dan mariks variansi-kovariansi yang defini osiif, jika fungsi keadaan eluang bersama,,..., adalah: f x x x ( ) ( ) ex ( ) ( ) () Universias Pendidikan Indonesia, chery_husy@yahoo.com

2 Husy Serviana Husain 44 dengan x x, x,..., x di R. Unuk selanjunya vekor random yang berdisribusi normal -varia ersebu diberi lambang ~ N (, ). Beriku ini dikemukakan fungsi embangki momen dari yang akan digunakan dalam engkajian disribusi normal mulivaria selanjunya... Teorema Disribusi Normal Mulivaria N, maka fungsi embangki momen dari, diulis,,..., adalah M ex Jika ~ (, ) dengan Buki. M ex. Karena ~ N (, ), maka. M... ex... x x dx dx dx M,... k.ex x x x x x ; dx dx... dx dimana k... k.ex x x x x x x dx dx... dx k x x dxdx dx....ex... k x x dxdx dx....ex... k x x dxdx dx....ex ex... ex... ex x x dx dx... dx

3 Husy Serviana Husain 45 Inegral di ruas kanan bernilai, sebab inegrannya meruakan fungsi keadaan eluang dari vekor random yang berdisribusi N momen dari adalah M ex x..3. Teorema Disribusi Normal Mulivaria Dikeahui ~ N (, ) dengan defini osiif. Jika Cx dan a suau vekor skalar di R, maka Buki. Karena ~ N (, ), maka PDF dari adalah Karena,. Oleh karena iu fungsi embangki Y C a ~ N C a, C C. f x ex x x, x R Cx non singular, maka mod g y f x y J C Y a, dengan ransformasi J. Jadi, suau mariks non singular. Dengan demikian, PDF dari Y adalah mod J adalah nilai mulak dari deerrminan Jacobian J x x x.. y y y C C.. C x x x.. C C.. C y y y..... C C C.. C x x x.. y y y C Akibanya, g y f C y a mod C ex C y a C y a mod C

4 Husy Serviana Husain 46 ex C y a C y a mod C ex C y C a C y C a mod C ex y C a C C y C a mod C ex y C a C C y C a CC ex y C a C C y C a ' CC ex y C a C C y C a, y R CC Ini adalah PDF dari vekor acak berdisribusi Y C a ~ N C a, C C..4. Teorema 3 Disribusi Normal Mulivaria N C a, C C. Dengan demikian Misalkan ~ N (, ) dengan non singulir dan meruakan suer osisi dimana beruru-uru berdimensi q dan q. Maka vekor random indeenden jika dan hanya jika mariks kovariansi anara (mariks nol). 0 adalah Buki. Kia uliskan.. q dan.. q q.

5 Husy Serviana Husain 47 (i) Misalkan indeenden. Jadi unuk seia k =,,...,q dan seia m =,,...,(-q), variabel-variabel random k dan q m adalah k k qm qm E k k E qm qm E k q m = 0 Karena ini berlaku unuk seia k dan m, maka.. q q q q q q q q q Jadi adalah mariks nol (ii) Misalkan 0. Maka mariks variansi-kovariansi dari vekor random, yakni, daa diuliskan sebagai beriku. 0 0 dimana 0 0 Karena 0 ula diulis sebagai beriku. 0 x x Q 0 x x., maka benuk kuadra Q 0 x x x 0 x x x x x Q Q dimana Q dan Q daa beruru-uru menyaakan suku erama dan kedua. Selanjunya karena, maka f.k. dari daa diulis sebagai beriku.

6 Husy Serviana Husain 48 f x ex Q ex ex Q Q q Sedangkan fungsi yang di dalam anda kurawal erama dan kedua beruru-uru meruakan f.k. dari dari f x f x f x dengan f dan f adalah f.k. marginal dari dari. Jadi,. Ini berari indeenden. 3. Kesimulan Tulisan ini hanya membahas beberaa eori mengenai disribusi normal mulivaria dan embukiannya, yang akan banyak digunakan sebagai disribusi dalam engendalian kualias roses saisik secara mulivaria (SPC mulivaria). Dafar Pusaka [] Anderson T.W., 958. An Inroducion o Mulivariae Saisical Analysis. John Wiley & Son, New York, NY. [] Djauhari M.A., 987. Penganar Saiska Maemaika II. Dearemen Pendidikan dan Kebudayaan, Universias Terbuka. [3] Hoong R.V., and Craig T.A., 995. Inroducion o Mahemaical Saisics, 5 h ediion. Prenice Hall, Inc., New Jersey. [4] Mongomery D.C., 00. Inroducion o Saical Qualiy Conrol, 4 h ediion. John Wiley & Son, New York, NY.