BAB II PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDO SATU

Transkripsi

1 BAB II PERSAAA DIERESIAL ORDO SATU Tjan Pmblajaran Bab. ini, mrpakan lanjtan dari pmbahasan PD bab, ait jnis-jnis prsamaan diffrnsial ordo sat dan ara-ara pnlsaianna. Diantarana adalah Prsamaan Trpisah, PD Homogn Ordo Sat, PD Ea dan ator Intgrasi, srta ontoh-ontoh soal. Pada tiap sb pokok bahasan dibrikan soal-soal ang diharapkan dapat dikrjakan olh mahasiswa, ssai dngan ontoh-ontoh ang dibrikan pada tiap jnisna masing-masing. A. Prsamaan Diffrnsial Variabl Trpisah d Prsamaan diffrnsial, adalah brordo sat dan drajat d sat. Prsamaan ini dapat dinatakan dalam bntk, d, d. Dngan, dan, dapat dinatakan sbagai fngsi, ata fngsi ata kana, dan ata, dan, hana mrpakan konstanta. Prsamaan, d, d, disbt sbagai prsamaan trpisah apabila dapat dinatakan olh prsamaan : f.g d p. q d dimana f() dan p() mrpakan fngsi dan g() dan q() sbagai fngsi. ngsi dan fngsi dapat dipisahkan dan brada pada klompokna masing-masing. ontoh: d 6 d adalah prsamaan trpisah, sbab dapat dinatakan dalam bntk d 6 d, shingga dapat dilakkan pnglompokan ariabl dalam bntk: 6 d d

2 ontoh: - d - d, bkan prsamaan trpisah, sbab tidak dapat dibat dalam bntk f.g d p. q d. Ata tidak dapat diklompokkan pada ariablna masing-masing. B. Solsi Prsamaan Trpisah Prsamaan trpisah f.g d p. q d dapat dislsaikan dngan prosr sbagai brikt:. Bagi prsamaan dngan g(), p(), shingga didapat: f() p() d g() d q() ; p() ; q(). Lakkan intgrasi prsamaan, shingga didapat () G(),sbagaisolsimmPD. Bila nilai-nilai sarat batas diktahi, maka sbsitsikan nilai trsbt k dalam hasil intgral shingga nilai konstanta didapat. Prsamaan ang didapat adalah solsi khss dari PD. Slanjtna dapat diksprsikan dalam bntk gambar ata grafik. ontoh d d Slsaikan ; bila () Jawab :.d.d Sarat batas (solsimm) (solsikhss) rpakan lingkaran brpsat di p(,) dngan jari-jari r =, dapat di ksprsikan dalam bntk gambar sbagai brikt:

3 - - Gbr.. Lingkaran 6 ontoh Tntkan jawaban khss dari PD brikt : d d, bila () Jawab : ( )d ( )d ( d ) d Intgral langsng, misalna: U ( ) dan V ( ). U jadi ( ln U (.. V Saratbatas : )( )( d ln V ) 5 ) ln (solsimm) 5 (solsikhss)

4 . Soal Tntkan jawaban mm dari PD brikt:. d d. d d. d d. ( ) d d 5. sd d 6. d tan d d. d 9. d ( ) d. d d '. ( ) bila (). ' os bila () '. sin bila ( ) '. 8 bila () ' 5. ( ) tan bila () 8. s d s d D. Prsamaan Diffrnsial Homogn Ordo Sat Prsamaan diffrnsial homogn ordo sat f(,, ) =. Sara mm d ditlis dalam bntk, f (, ) ata (, ) d (, ) d. Prsamaan d ini dinatakan homogn jika f (, ) g( ). ontoh Prsamaan Karna d d d d d d ( ( d d ) ) ( ( ) ) adalah homogn

5 Jadi : d d g ; mrpakan sarat PD homogn Prsamaan homogn dalam bntk prsamaan dan didapat di transformasi (dibah) mnjadi bntk prsamaan dan, shingga mnjadi bntk ariabl trpisah dngan ara mnsbsitsikan, dan d d d Bkti: Bila (,) d + (,) d = maka dapat ditlis sbagai d d g dngan sbsitsi = d an d = d + d shingga:. d Hasil intgralna adalah : ln ln. d d d g( ) d d d d g d d () g g g( ) dimana dapat ditlis d g ( ) ( ) ontoh Tntkan jawaban mm dari ( ) d d Jawab : Sbsitsikan =. dan d = d + d didapat:

6 d d d d d d ln ln Dalam bntk lain d ln - ln d d d ln d : ln ln ln ln d. d ata ln : E. Soal-soal. ( ) d d. d d. d d. ( ) d d 5. ( ) d d 6. ( 6 ) d ( ) d. ( ) d d 8. sin os d os d 9. d ( ) d. ( ) d ( ) d. Prsamaan Diffrnsial Eat dan ator Intgrasi ngsi f(,)=, mrpakan klarga sat kra, mmiliki diffrnsial f f total df(,) adalah df(,) =, d, d ata df,, d, d

7 prsamaan ini mrpakan psamaan diffrnsial at apabila : Bkti: ntk f,, f,,, f,, f, Jadi : mrpakan sarat PD at. Dari d d, d, d Intgral karah adalah, d Bila ditrnkan karah, nilaina hars sama dngan,, jadi,, d ' ',, d, d, d d Jadi : f,, d, d, d d rpakan jawaban dari PD at. ontoh : priksa apakah d d mrpakan PD at dan tntkan jawabanna. Jawab : jadi Eat.

8 Dari : d d d. d f,, Trnanna k arah, hars sama dngan Jadi : ' ' Didapat Ata : adalah solsi mmna. ara lain. Dngan rms : d d d d d. d adalah solsi mm. G. Soal-soal Latihan Priksa PD brikt apakah Eat dan tntkan jawaban mmna. d d 6. d os d. d d. d d. ln d d.. d d 8. d d 5. d d

9 9. d d. os sin d osd H. aktor Intgrasi Bila (, ) d (, ) d, tidak at maka dapat dibat mnjadi PD at dngan ara mngalikan prsamaan dngan sat faktor intgral (, ). Dngan mngalikan (, ) k dalam prsamaan akan didapat:. d. d prsamaan ini mnjadi at dngan sarat: ( ) ( ). ata Dapat dilihat ada bbrapa kass ang mngkin trjadi:. Bila hana sbagai fngsi, maka dan d d shingga: d d. d ln p. d d d mrpakan faktor intgrasi agar PD mnjadi at.. Bila hana sbagai fngsi, maka dan d d, shingga:

10 . d p. d natakan faktor intgral agar PD mnjadi at. Dari ka faktor intgrasi di atas trlihat bahwa(,) sangat ditntkan olh: ata : d. d dimana Z mrpakan sat fngsi dari saja ata dari saja ata dari dan. Bila Z mrpakan fngsi saja, maka α dan β Bila Z mrpakan fngsi saja, maka β dan α Bila Z mrpakan fngsi dan, maka α dan β ontoh : Slsaikan ( ) d + ( ) d = Jawab : ( ( aktor intgrasi: ) ) (Tidak Eat) p d p d

11 p p. ln ( ) d ( ) adalah faktorintgrasi kalikan k dalam prsamaan, didapat: ( ( ( ) d ) ) d ( ( ( ( ( ( ) ) ) d ) ) d ) (,) ( ( ( ( (Eat) ) d ) ) ) () () Trnan k arah, hars sama dngan (,), ait: ( ) '() () jadi (,) ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) ) '() ( ) ( ) adalah jawaban mm dari PD

12 I. Soal-soal Tntkan jawaban dari:. ( + ) d d =. ( + ) d + ( ) d =. (5 + +) d + ( ) d =. ( + ) d + ( ) d = 5. ( + 6) d + (5 + 8) d = 6. ( + + ) d + d =. d + ( +) d = 8. ( + +) d ( +) d = 9. ( + + ) d ( ) d =. ( + ) d + d = J. Prsamaan Diffrnsial Linir Ordo Ksat Prsamaan diffrnsial ang brordo ksat ang linir antara ariabl trikat dan trnan prtamanna dinatakan sbagai PDL ordo ksat. Prsamaan ini dapat ditlis dalam bntk: d d p() Q() Bntk prsamaan mnjadi homogn jika Q() =, pnlsaian slanjtna adalah: ln p() d p() d d ln. p() d trnan dari bntk ini adalah: d. p()d. p()d.p() d p()d d d. p()d p()d p(). d d Bntk ini mmprlihatkan bahwa dngan mngalikan faktor dalam prsamaan, maka bntkna mnjadi Eat. p()d k Artina, p()d Eat, shingga prsamaan mnjadi: adalah faktor intgrasi, ntk mmbat PDL mnjadi

13 p()d p().d d p()d.q() ata d (. dan jawaban slanjtna p()d ) adalah : p()d.q(). p() p()d. Q()d ontoh : Slsaikan : d sin d + d = Jawab : Prsamaan dapat (bagi prsamaan dngan d). d sin. d d sin d d sin d os sin d os (JawabanUmm) d ln K. Soal-soal d. d. ( + ) d ( ) d =. ( - d ) + = a d 6. a = f() d. + = d 8. + ( ). + tan = s d = d d 9. + otg = s d. + f() = f()

14 L. Prsamaan Brnolli Bntk mm dari prsamaan brnolli adalah Prosr pnlsaianna dngan ara sbagai brikt:. Bagi prsamaan dngan n, didapat n d d p(). Q()...( *). isalkan U = -n shingga didapat d n (-n) n d d d d p() n Q()... Kalikan (*) dngan (-n) shingga didapat ( n) -n d + ( n) p() -n = ( n) Q() d ata + p () U = Q () adalah PDL d ang dapat dislsaikan dngan prkalian faktor intgrasi. ontoh : Slsaikan d d Jawab : Bagi prsamaan dngan, didapat : misalkan U d d d d d kali prsamaan dngan ngatif (-) d d

15 ata : d d U U U U d d d d ln ; jawaban mm.. Soal d. d. d d d. ( ) d. ' tan tan d. d. d d 5. ' tan s d 6. d. ' 5 5 d 8. sin d 9. d ( )d d dalam bntk d. d d ( )

16 . Sbsitsi dan Transformasi Prsamaan dngan kofisin linir dalam bntk (a + b+ ) d + (p + q + r) d = ang slit ntk dinatakan ata dislsaikan sprti PD ang tlah dibiarakan didpan, dapat ditransformasikan mnjadi salah sat diantara PD ang dapat dislsaikan. Transformasi dilakkan dngan ara mmbat lang prsamaan dalam bntk ariabl bar ang mngkin dapat mnlsaikan PD. Prosrna adalah sbagai brikt:. Jika = r =, prsamaan brbntk (a + b) d + (p + q) d = prsamaan ini homogn. isalkan =. a b. Slanjtna bila k, maka dapat ditransformasikan Z = a + b dan d p q = a d + b d, ntk mrbah prsamaan awal k bantk ariabl lain.. bila a p b q, maka dapat ditransformasikan; U = a + b + dan = a d + b d = p + q +r shingga: dan d = p d + q d d d d a p a p a p q d d b q b q b sbsitsikan harga d dan d dalam prsamaan shingga diprolh prsamaan homogn, ang dapat dislsaikan. q a q a d a q b d b p p b p

17 ara lain adalah dngan mngambil bntk-bntk a + b + = sbagai prsamaan garis ang brpotongan dngan p + q + r =. dngan mmisalkan prpotonganna dititik (h, k) maka sbstitsikan: h k k dalam prsamaan awal shingga didapat prsamaan homogn ang dapat dislsaikan. ontoh Slsaikan ( + ) d (6 + ) d = Jawab : a b Karna, maka ambil transformasi Z = dan d = d d; p q d = d d d d d Shingga diprolh prsamaan bar: d d d d d d d d d d d d, prsamaantrpisah. d ln 6 d d isal : d d

18 ln Sbstitsikan nilai ln 8 6 ln 8 ln 8 adalah solsi angdiari. ontoh Slsaikan ( ) d + (5 ) d = Jawab : Karna 5 a p b q maka dignakan transformasi: d 5d d d d d d 5 d d 8 d 5 5 d d 5 8 Sbsitsikan k dalam prsamaan awal, dan misalkan = / ata =. ; dngan trnan = d + d dan pnjabaran slanjtna didapat; d 5 d d d d

19 hasil intgral: ln - d - d ln ln ln ( ) ln ( ) ln ln ln ln ln ( ln ( ) ).( )( ) ( ) 9 ( ) 6 ( ) ( ) ( ) adalah solsidari prsamaanawal ara ka : - - d d Titik potong (h, k) = (,-) isal: = + d = = d = d ( ) d + ( ) d =

20 ( -) d (5 - ) d = Prsamaan mnjadi ( ) + (5 ) d = isal : =. d = d + Prsamaan mnjadi : ( ) d + (5 - ) (d + ) = ( + - ) + (5-) d = 5 - d 5 ln ln ln( ) ln ln ln ln - ln ln - ln (jawaban mm), sama sprti ontoh di atas. O. Soal. ( +) d + (6 + ) d =. ( 5 + ) d ( + 6) d =. ( ) d + ( +) d =. ( +) d + ( + 6) d = 5. d d 8

21