IV DAERAH KESTABILAN SISTEM

Transkripsi

1 5 IV DERH KESTBILN SISTEM 4 Fngi lih Site Kontin Diberian ite peraaan linear aan dan elaran ebagai berit: x t x t B t 4 t Cx t D t 4 eraaan peraaan 4 dan 4 dapat ditli dala ibol B C D nxn dengan R nx B R rxn C R dan rx D R dapn n x R adalah r tate dari ite R adalah aan inpt dan R adalah elaran otpt Selanjtna aan ditnjan hbngan antara ite B C D dengan ngi alih hail tranorai dengan enggnaan tranorai Laplace Dengan enggnaan iat dan iat 3 dari tranorai Laplace aa peraaan 4 dapat ditranorai enjadi x B Diaian bahwa arat awal ngi aan ait x aa B Kedian ita elopoan ehingga diperoleh B gar pebah ople dengan atri dapat dioperaian aa har dialian terlebih dahl dengan atri identita edian hailna dapat dirangan dengan atri ehingga I B Selanjtna nt eperoleh aa inver dari I dialian dari iri dengan B ehingga diperoleh I B 43 dapn peraaan 4 dengan enggnaan iat dari tranorai Laplace dapat ditranorai enjadi C D 44 Dengan enbtiti peraaan 43 e dala peraaan 44 aa

2 6 C I B D Kedian dielopoan aa [ C I B D] ehingga diperoleh C I B D Mialan H dengan enataan ngi aan inpt dan enataan ngi elaran otpt Maa ite B C D dapat dinataan dala bent ngi alih berit H C I B D 45 Sebagai iltrai nt eperoleh ngi alih dari at ite rang ontin ialan at ite tranlai eani eenhi peraaan dierenial berit: t t t x t 46 dengan aa benda oeiien geean vio ontanta pega ndaian gaa xt ebagai aan dan perpindahan t dari aa ebagai elaran erta ditentan bahwa arat awal aa dengan nol edeiian rpa ehingga aa dengan enggnaan iat dan iat 3 dari tranorai Laplace peraaan dierenial 46 dapat dibah enjadi peraaan aljabar berit [ ] [ ] Kedian dengan enbtitian arat awal ait aa ehingga diperoleh ngi alih berit 47

3 7 Selanjtna aan ditnjan bahwa peraaan 46 dapat dibah enjadi peraaan 47 dengan enggnaan ite D B C ertaa ita ialan dan aa dan x Kedian dibah e dala bent atri aa x eraaan ini dapat ditli Bx dengan dan B Selanjtna ita ialan bahwa ngi elaranna adalah: jia aa x ehingga C Dx dengan C dan D Jia B C dan D dibtiti e peraaan 45 aa ngi alih dari ngi aan dan ngi elaran adalah

4 8 Karena diialan aa ehingga diperoleh ngi alih jia aa x ehingga C Dx dengan C dan D Jia B C dan D dibtiti e peraaan 45 aa ngi alih dari ngi aan dan ngi elaran adalah

5 9 Karena diialan aa aa ehingga diperoleh ngi alih 3 jia x aa x Sehingga C Dx dengan C dan D Jia B C dan D dibtiti e peraaan 45 aa ngi alih dari ngi aan dan ngi elaran adalah

6 Karena diialan aa aa ehingga diperoleh ngi alih Dari hail di ata aa dapat ditnjan bahwa dengan enggnaan ite D B C peraaan dierenial t x t t t dapat dibah enjadi ngi alih Dari iltrai di ata dapat dilihat bahwa nt eperoleh ngi alih ang erpaan bent h dari peraaan aljabar dapat enggnaan ite D C B ata dapat jga dengan enggnaan tranorai Laplace 4 Ketabilan Site Kontin Daerah etabilan ite rang ontin aan lebih dah dicari dengan enentan leta pole ngi alih ang diperoleh dari hail tranorai Laplace dibandingan enean aar-aar ciri dari at peraaan dierenial

7 Teorea Diberian ite H ang eilii pole p p p n aa pernataan-pernataan berit berla: ite H tabil jia dan hana jia Rep i nt ea i n; ite H tabil aitoti jia dan hana jia Rep i < nt ea i n; 3 ite H tatabil jia dan hana jia Rep i > nt ea i n Berit ini adalah daerah etabilan ite pada rang ontin ada Gabar 7 dapat dilihat bahwa daerah ang diarir erpaan daerah etabilan ite rang ontin Daerah terebt terleta di ebelah iri b haal pada bidang jω Bidang σ Gabar 7 Daerah etabilan ite ontin 43 Fngi lih Site Diret Diberian at peraaan beda n B n n L 48 dan adalah bilangan-bilangan blat ta negati; dan B B adalah bilangan-bilangan real ata ople Barian bilangan { } dan { } bertrt-trt diebt ngi aan inpt dan ngi elaran otpt ite Dengan enggnaan iat dan iat dari tranorai Z aa peraaan 48 dapat dibah enjadi Z n B Z n n L

8 ehingga diperoleh B Diaian bahwa arat awal inpt dan aa B B Mialan B d H aa bent epliit tranorai Z dari peraaan 48 adalah H d ehingga H d 49 Sebagai iltrai nt eperoleh ngi alih dari at ite rang diret diajian da contoh berit: Jia diberian peraaan beda linear n n n n L 4 dengan n ngi aan inpt dan n ngi elaran otpt aa tranorai Z peraaan di ata adalah Karena aa diperoleh ehingga diperoleh ngi alih ite rang diret ebagai berit: 4 Dari peraaan 4 dapat ita lihat bahwa ite hana eilii at pole ait p dan tida eilii ero

9 3 Diberian peraaan beda berit: x 3x x ; x x 4 aa dengan etode tranorai Z peraaan terebt dapat dibah enjadi: x x 3 x Karena x dan x aa diperoleh 3 ehingga diperoleh ngi alih ebagai berit: 43 Dari peraaan 43 dapat dilihat bahwa ite ite eilii at ero ait dan da pole ait p dan p 44 Ketabilan Site Diret nt enentan daerah etabilan pada ite rang diret aan dignaan pole ngi alih ang diperoleh dari hail tranorai Z Teorea Sat peraaan beda linear pada peraaan 48 dengan ngi alih ite H d ang diberian pada peraaan 49 adalah tabil jia dan hana jia ea pole-na terleta di dala cara terba { : < } Fiher 99 Berit ini adalah daerah etabilan ite pada rang diret ada Gabar 8 dapat dilihat bahwa daerah ang diarir erpaan daerah etabilan ite rang diret terleta di dala lingaran atan terba dengan pat titi aal pada bidang I Bidang Re Gabar 8 Daerah etabilan ite diret

10 4 45 Tranorai Daerah Ketabilan Site Sdah ditnjan bahwa daerah etabilan pada ite rang ontin terleta pada daerah di ebelah iri b haal bidang Deiian pla daerah etabilan ite rang diret dah ditnjan terleta di dala lingaran atan pada bidang Selanjtna aan ditnjan bahwa tranorai Ttin dapat ebawa daerah etabilan pada ite rang ontin epada daerah etabilan ite rang diret nt ennjan bahwa tranorai Ttin dapat ebawa daerah etabilan pada ite rang ontin epada daerah etabilan ite rang diret lihat Gabar 9 jω Bidang σ Gabar 9 Daerah pada bidang dengan Re < ndaian adalah ebarang titi di daerah Re < aa σ < ehingga σ < σ Dengan enabahan σ ω pada eda ii aa diperoleh σ ω < σ ω 44 eraaan 44 erpaan repreentai jara dari σ j ω < σ jω 45 ata σ j ω < σ jω 46 Dengan enbtiti σ jω e dala peraaan 46 aa < ehingga diperoleh < 47

11 5 Dengan deiian dapat ditnjan bahwa tranorai Ttin dapat ebawa daerah etabilan pada ite rang ontin epada daerah etabilan ite rang diret eperti ang terlihat pada gabar jω Bidang I Bidang σ Re Gabar Tranorai daerah etabilan dari ontin e diret