ALJABAR LINEAR (Vektor diruang 2 dan 3) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "ALJABAR LINEAR (Vektor diruang 2 dan 3) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M."

Transkripsi

1 ALJABAR LINEAR (Vektor dirang 2 dan 3) Dissn Untk Memenhi Tgas Mata Kliah Aljabar Linear Dosen Pembimbing: Abdl Aziz Saefdin, M.Pd Dissn Oleh : Kelompok 3/3A4 1. Nrl Istiqomah Ambar Retno Mtia PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA 2015

2 VEKTOR-VEKTOR DI RUANG-2 DAN RUANG-3 A. Vektor (Geometrik) Vektor adalah besaran yang mempnyai nilai dan arah yang belm ditentkan. Vektor tergantng sistem koordinat. Sedangkan skalar adalah besaran yang mempnyai nilai tetapi tidak mempnyai arah. Skalar tidak tergantng sistem koordinat. Vektor-ektor dalam dinyatakan secara geometris sebagai segmensegmen garis yang terarah ata panah-panah didalam rang-2 ata rang- 3. Arah panah menentkan arah ektor dan panjang ektor menentkan besarnya. Ekor panah dinamakan titik pemlaan (initial point) dari ektor dan jng panah dinamakan titik terminal (terminal point). Bila membicarakan ektor maka kita akan menyatakan bilangan sebagai skalar, sema skalar merpakan bilangan real dan dinyatakan oleh hrf kecil miring biasa seperti a, k,, w, dan x. Vektor AB ata ektor B A adalah titik awal (initial point) B adalah titik terminal (terminal point) A Gambar 1 Maka dapat dilambangkan dengan = 1. Vektor Ekialen Vektor ekialen adalah ektor-ektor dengan kran dan arah yang sama dapat dilambangkan dengan = B ekialen D Apabila arah dan panjangnya sama. A C Gambar 2 Jadi = 2

3 Jika adalah sebah ektor dan k adalah sebah skalar, maka hasil perkalian k didefinisikan sebagai panjang ektor [k] kali panjang ektor, dimana arahnya sama seperti arah jika k > 0 dan berlawanan arah dengan jika k < 0. Vektor-ektor di dalam bidang dapat digambarkan oleh pasangan bilangan real maka ektor di dalam r3 dapat digambarkan oleh tripel bilangan real dengan sebah sistem koordinat sik-sik. Dalam sistem koordinat sik-sik terdapat titik asal ata titik 0 dan tiga garis yang saling tegak lrs smb koordinat yang biasa disebt dengan x, y, z. Sistem koordinat sik-sik di dalam rang-3 dapat digolongkan ke dalam da kategori yakni sistem tangan kiri dan sistem tangan kanan. a) Sistem tangan kanan b) Sistem tangan kiri Gambar 3 Jika sebah ektor di dalam rang-3 diletakkan sehingga titik permlaannya berada di titik asal sebah sistem koordinat sik-sik, maka koordinat-koordinat titik terminal dinamakan komponenkomponen dari. Jika = (1, 2, 3) dan = (1, 2, 3) adalah da ektor di dalam rang-3, maka ntk ektor-ektor yang di dalam sebah bidang dapat disimplkan bahwa: 1. dan ekialen jika dan hanya jika = 2. + = (1 + 1, 2 + 2, ) 3. = ( 1, 2, 3) 3

4 2. Vektor Nol Vektor nol adalah ektor yang panjangnya nol, dinyatakan sebagai ntk setiap ektor. Karena ektor nol secara alami tidak memiliki arah, maka sepakat bahwa ektor nol dapat memiliki arah sebarang, sehingga penyelesaian masalah yang ditinja menjadi lebih mdah. 3. Vektor Negatif Vektor negatif adalah ektor yang besarnya sama dengan tetapi arahnya berlawanan. + (-) = 0 - Gambar 4 4. Pengrangan Vektor Pengrangan ektor didefinisikan oleh = + (-) - - Gambar 5 5. Komponen Vektor di Rang-2 = (1, 2) Gambar 6 4

5 = (1, 2) 5

6 6. Komponen Vektor di Rang-3 = (1, 2, 3) Gambar 7 = (1, 2, 3) 7. Penjmlahan Jika dan adalah sembarang da ektor, maka jmlah + adalah ektor yang ditentkan sebagai berikt. Tempatkan sehingga titik awalnya berimpit dengan titik akhir. Vektor + dinyatakan oleh panah dari titik awal terhadap titik akhir. Rang-2 Gambar 8 + = (1, 2) + (1, 2) = (1 + 1, 2 + 2) Rang-3 + = (1 + 1, 2 + 2, 3 + 3) Contoh 1: Jika = dan = maka + =? Jawab: 6

7 + 8. Pengrangan Rang 2 = (1, 1) (2, 2) = (1 1, 2 2) Rang-3 = (1 1, 2 2, 3 3) Contoh 2: Jika dan, maka? Jawab: B. Norma Vektor Teorema 1. Jika dan w adalah ektor-ektor di rang-2 ata rang-3 dan serta l adalah skalar, maka hbngan berikt akan berlak: 1. + = + sifat komtatif penjmlahan pada ektor 2. ( + ) + w = + ( + w) sifat asosiatif penjmlahan pada ektor = 0 + = identitas (ada elemen identitas terhadap penjmlahan = 0) 4. + (-) = 0 (setiap ektor pnya iners) 5. (asosiatif perkalian skalar dengan ektor) 6. (sifat distribtif antara skalar dengan ektor) 7

8 7. (sifat distribtif antara skalar dengan ektor) 8. 1 sifat identitas perkalian (ada elemen satan) Bkti: Bkti bagian 2 (secara analitik). Bkti ntk ektor di dalam rang-3, bkti ntk rang-2, sama dengan bkti di dalam rang-3. Jika ntk = (1, 2, 3), = (1, 2, 3), dan w = ( w1, w2, w3) maka: ( + ) + w = [( 1, 2, 3) + (1, 2, 3) ]+ ( w1, w2, w3) = [( 1 + 1,2 + 2, 3 + 3)]+ (w1, w2, w3) = (( 1 + 1) + w1, (2 + 2) + w2, (3 + 3) + w3) = ( 1 + (1 + w1 ), 2 + (2 + w2), 3 + (3 +w3)) = 1 + (1 + w1 ), 2 + (2 + w2), 3 + (3 +w3) = (1, 2, 3 ) + (1 + w1, 2 + w2, 3 + w3) = (1, 2, 3 ) + ((1, 2, 3) + ( w1, w2, w3)) = + ( + w) Bkti bagian 2 (secara geometrik). Misalkan, dan w dinyatakan oleh dan, maka sesai Gambar 9 di bawah ini : Keterangan: PQ = QR = RS = w PR = + QS = + w R Q + w +w P +(+w) S Gambar 9 8

9 PS = + ( + w) Panjang sebah ektor sering dinamakan norma dan dinyatakan dengan. Misalkan = (1, 2) adalah ektor rang-2. Dengan menggnakan gambar 10 dan penerapan Teorema Pythagoras, maka akan didapatkan R (1, 2) 2 O 1 P Gambar 10 Contoh 3: Jika = (4, 3), maka: = = 5 Misalkan = (1, 2, 3) adalah ektor rang-3. Dengan menggnakan gambar dan da penerapan pythagoras, maka didapatkan Z P(V 1, V 2, V 3) 0 S y x Q Gambar 11 R 9

10 Jika P x, y z dan P x, y z 1 1 1, , 2 adalah da titik di rang-3, maka jarak di antara keda titik tersebt adalah norma ektor P1P2, karena P 1 P2 x2 x1 y2 y1, Maka jelas bahwa d Contoh 4:, z z 2 2 x x y y z z1 Jika maka: Contoh 5: = 1 Jika diketahi jarak antara P1( 3,-2,1) dan P2( 3,5,1) tentkanlah P P : ( P = = 7 1P2 1 C. Hasil Kali Titik Pada bagian ini akan diperkenalkan semacam perkalian ektor di rang-2 dan rang-3. Sifat-sifat ilm hitng perkalian ini akan ditentkan dan beberapa penerapannya akan diberikan. Misalnya dan adalah da ektor taknol di rang-2 dan rang-3, dan anggaplah ektor-ektor ini telah dilokasikan sehingga titik awalnya berhimpit. Yang diartikan dengan sdt di antara dan, dengan sdt θ yang ditentkan oleh dan yang memenhi 0 θ π. θ θ θ Gambar 12 Gambar 13 Gambar 14 Definisi : Jika dan adalah ektor-ektor di rang-2 ata rang-3 dan θ adalah sdt di antara dan, maka hasil kali titik (dot prodct) ata hasil kali dalam Eclidis (Eclidean inner prodct) didefinisikan oleh 10

11 Misalkan = (1, 2, 3) dan = (1, 2, 3) adalah da ektor taknol. Jika, seperti pada gambar dibawah, θ adalah sdt di antara dan, maka hkm cosins menghasilkan : z P (1, 2, 3) θ Q (1, 2, 3) y x x Gambar 15 Karena =, maka dapat ditliskan kembali sebagai ata Dengan mensbstitsikan dan Maka setelah menyederhanakannya akan didapatkan Jika = (1, 2) dan = (1, 2) adalah da ektor di rang-2, maka rms yang bersesaian adalah Jika dan adalah ektor taknol, maka rms di atas dapat ditliskan sebagai 11

12 Contoh 6: Sdt di antara ektor = (0, 0, 2) dan ektor = (0, 3, 4) adalah Tentkan.!. =. cos ) ) = = (2)(5) = 5 Teorema berikt ini memperlihatkan bagaimana perkalian titik dapat dignakan ntk mendapatkan informasi mengenai sdt diantara da ektor, teorema ini jga menghasilkan hbngan penting di antara norma dan perkalian titik. Teorema 2. Misalkan dan adalah ektor di rang-2 ata rang = ; yakni, = 2. Jika dan adalah ektor-ektor taknol dan θ adalah sdt di antara keda ektor tersebt, maka θ lancip jika dan hanya jika > 0 θ tmpl jika dan hanya jika < 0 θ = jika dan hanya jika = 0 Bkti: 1. Karena sdt diantara dan adalah 0 maka diperoleh: 2. Karena dan dan, maka. mempnyai tanda yang sama seperti cos. Karena memenhi 0, maka sdt lancip jika dan hanya jika cos < 0, dan = jika dan hanya jika cos = 0. 12

13 Jika, dan w adalah ektor-ektor di dalam rang-2 dan rang-3 dan k adalah skalar, maka : 1.. =. (Sifat komtatif Perkalian) 2. ( + w). +. w (sifat Asosiatif Perkalian) 3. ( ) (sifat asosiatif perkalian dengan skalar) 4. (sifat identitas perkalian) 13

14 D. Latihan Soal 1. Jika dan Tentkanlah: a. b. c. d. 2. Komponen-komponen dari ektor = dengan titik permlaan dan titik terminal tentkan? 3. Sdt diantara ektor dan adalah 60, tentkan? 4. Tentkan apakah dan membentk sdt lancip, sdt tmpl ata saling tegak lrs: a. b. c. 5. Misalkan = (3, -4, 0), = (-2, 2, -4). Carilah: a. + b. 3 c Hitnglah jarak di antara titik P1 (5, 2, -3) dan titik P2 (1, -2, 2)! 14

15 Pembahasan : 1. Diketahi: = (2, 5, 4) w= (8, 2, 4) Jawab: a. b. c. d. 2. Diketahi : 3. Diketahi : Jawab : 4. Penyelesaian Nomor 4 : = 10 15

16 a. 0,45 b. (tmpl) c. 16

17 (lancip) 5. Dikethi: a. + = (3, -4, 0) + (-2, 2, -4) = (1, -2, -4) Maka + b. 4 = 4(3, -4, 0) (-2, 2, -4) = (12, -16, 0) (-2, 2, -4) = (14, -18, 4) Maka 4 c. = =5 = = = Maka + =

18 6. Jarak di antara titik P1 (5, 2, -3) dan titik P2 (1, -2, 2): Jawab: ( P = = 7,54 1P2 2 18

19 DAFTAR PUSTAKA Abdl Aziz Saefdin Bahan Ajar Aljabar Linear. Yogyakarta: UPY. Anton, Howard.Aljabar Linear Edisi Kedelapan. Jakarta: Erlangga. 19

HASIL KALI TITIK DAN PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR (Aljabar Linear) Oleh: H. Karso FPMIPA UPI

HASIL KALI TITIK DAN PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR (Aljabar Linear) Oleh: H. Karso FPMIPA UPI HASIL KALI TITIK DAN PROYEKSI ORTOGONAL SUATU VEKTOR (Aljabar Linear) Oleh: H. Karso FPMIPA UPI A. Hasil Kali Titik (Hasil Kali Skalar) Da Vektor. Hasil Kali Skalar Da Vektor di R Perkalian diantara da

Lebih terperinci

3. RUANG VEKTOR. dan jika k adalah sembarang skalar, maka perkalian skalar ku didefinisikan oleh

3. RUANG VEKTOR. dan jika k adalah sembarang skalar, maka perkalian skalar ku didefinisikan oleh . RUANG VEKTOR. VEKTOR (GEOMETRIK) PENGANTAR Jika n adalah sebah bilangan blat positif maka tpel-terorde (ordered-n-tple) adalah sebah rtan n bilangan riil (a a... a n ). Himpnan sema tpel-terorde dinamakan

Lebih terperinci

VEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT

VEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT VEKTOR Oleh : Msayyanah, S.ST, MT . ESRN SKLR DN VEKTOR Sifat besaran fisis : esaran Skalar Skalar Vektor esaran yang ckp dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satan). Contoh

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gnawan Semester II, 2016/2017 3 Maret 2017 Kliah yang Lal 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kra di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem

Lebih terperinci

CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE

CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE Inner Prodcts Angle and Orthogonality in Inner Prodct Spaces Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR-Decomposition Best Approximation; Least Sqares Orthogonal Matrices;

Lebih terperinci

PENYELESAIAN LUAS BANGUN DATAR DAN VOLUME BANGUN RUANG DENGAN KONSEP DETERMINAN

PENYELESAIAN LUAS BANGUN DATAR DAN VOLUME BANGUN RUANG DENGAN KONSEP DETERMINAN Bletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volme xx, No. x (tahn), hal xx xx. PENYELESAIAN LUAS BANGUN DATAR DAN VOLUME BANGUN RUANG DENGAN KONSEP DETERMINAN Doni Saptra, Helmi, Shantika Martha

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 5 Maret 2014

Hendra Gunawan. 5 Maret 2014 MA101 MATEMATIKA A Hendra Gnawan Semester II, 013/014 5 Maret 014 Kliah yang Lal 10.1 Parabola, aboa, Elips, danhiperbola a 10.4 Persamaan Parametrik Kra di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem

Lebih terperinci

Bab 5 RUANG HASIL KALI DALAM

Bab 5 RUANG HASIL KALI DALAM Bab 5 RUANG HASIL KALI DALAM 5 Hasil Kali Dalam Untk memotiasi konsep hasil kali dalam diambil ektor di R dan R sebagai anak panah dengan titik awal di titik asal O = ( ) Panjang sat ektor x di R dan R

Lebih terperinci

Mata Kuliah: Aljabar Linier Dosen Pengampu: Darmadi, S. Si, M. Pd

Mata Kuliah: Aljabar Linier Dosen Pengampu: Darmadi, S. Si, M. Pd . RUANG BERDIMENSI n EUCLIDIS Mata Kliah: Aljabar Linier Dosen Pengamp: Darmadi S. Si M. Pd Dissn oleh: Kelompok Pendidikan Matematika VA. Abdl Fajar Sidiq (8.). Lilies Prwanti (8.76). Ristinawati (8.)

Lebih terperinci

Pengembangan Hasil Kali Titik Pada Vektor

Pengembangan Hasil Kali Titik Pada Vektor Pengembangan Hasil Kali Titik Pada Vektor Swandi *, Sri Gemawati 2, Samsdhha 2 Mahasiswa Program Stdi Magister Matematika, Dosen Pendidikan Matematika Uniersitas Pasir Pengaraian 2 Dosen Jrsan Matematika

Lebih terperinci

PANJANG DAN JARAK VEKTOR PADA RUANG HASIL KALI DALAM. V, yang selanjutnya dinotasikan dengan v, didefinisikan:

PANJANG DAN JARAK VEKTOR PADA RUANG HASIL KALI DALAM. V, yang selanjutnya dinotasikan dengan v, didefinisikan: PANJANG DAN JARAK VEKTOR PADA RUANG HASIL KALI DALAM Perl diingat kembali definisi panjang dan jarak sat ektor pada rang hasil kali dalam Eclid, yait rnag ektor yang hasil kali dlamnya didefinisikan sebagai

Lebih terperinci

Bab 5 RUANG HASIL KALI DALAM

Bab 5 RUANG HASIL KALI DALAM Bab 5 RUANG HASIL KALI DALAM 5 Hasil Kali Dalam Untk memotiasi konsep hasil kali dalam diambil ektor di R dan R sebagai anak panah dengan titik awal di titik asal O ( ) Panjang sat ektor x di R dan R dinamakan

Lebih terperinci

BAB III LIMIT DAN FUNGSI KONTINU

BAB III LIMIT DAN FUNGSI KONTINU BAB III LIMIT DAN FUNGSI KONTINU Konsep it mempnyai peranan yang sangat penting di dalam kalkls dan berbagai bidang matematika. Oleh karena it, konsep ini sangat perl ntk dipahami. Meskipn pada awalnya

Lebih terperinci

Trihastuti Agustinah. TE Teknik Numerik Sistem Linear

Trihastuti Agustinah. TE Teknik Numerik Sistem Linear E 09467 eknik Nmerik Sistem Linear rihastti Agstinah Bidang Stdi eknik Sistem Pengatran Jrsan eknik Elektro - FI Institt eknologi Seplh Nopember O U L I N E OBJEKIF EORI 3 CONOH 4 SIMPULAN 5 LAIHAN OBJEKIF

Lebih terperinci

Trihastuti Agustinah

Trihastuti Agustinah TE 9467 Teknik Nmerik Sistem Linear Trihastti Agstinah Bidang Stdi Teknik Sistem Pengatran Jrsan Teknik Elektro - FTI Institt Teknologi Seplh Nopember O U T L I N E. Objektif. Teori. Contoh 4. Simplan

Lebih terperinci

Hasil Kali Titik. Dua Operasi Vektor. Sifat-sifat Hasil Kali Titik. oki neswan (fmipa-itb)

Hasil Kali Titik. Dua Operasi Vektor. Sifat-sifat Hasil Kali Titik. oki neswan (fmipa-itb) oki neswan (fmipa-itb) Da Operasi Vektor Hasil Kali Titik Misalkan OAB adalah sebah segitiga, O (0; 0) ; A (a 1 ; a ) ; dan B (b 1 ; b ) : Maka panjang sisi OA; OB; dan AB maing-masing adalah q joaj =

Lebih terperinci

URUNAN PARSIAL. Definisi Jika f fungsi dua variable (x dan y) maka: atau f x (x,y), didefinisikan sebagai

URUNAN PARSIAL. Definisi Jika f fungsi dua variable (x dan y) maka: atau f x (x,y), didefinisikan sebagai 6 URUNAN PARSIAL Deinisi Jika ngsi da ariable maka: i Trnan parsial terhadap dinotasikan dengan ata dideinisikan sebagai ii Trnan parsial terhadap dinotasikan dengan ata dideinisikan sebagai Tentkan trnan

Lebih terperinci

Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer Aljabar Linear Elementer MA SKS Silabs : Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks Bab III Sistem Persamaan Linear Bab IV Vektor di Bidang dan di Rang Bab V Rang Vektor Bab VI Rang Hasil Kali

Lebih terperinci

BUKU AJAR METODE ELEMEN HINGGA

BUKU AJAR METODE ELEMEN HINGGA BUKU AJA ETODE EEEN HINGGA Diringkas oleh : JUUSAN TEKNIK ESIN FAKUTAS TEKNIK STUKTU TUSS.. Deinisi Umm Trss adalah strktr yang terdiri atas batang-batang lrs yang disambng pada titik perpotongan dengan

Lebih terperinci

vektor ( MAT ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono Nip

vektor ( MAT ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono Nip MODUL MATEMATIKA SMA ektr ( MAT..4 ) Dissn Oleh : Drs. Pndjl Prijn Nip. 95807.980..00 PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN SMA NEGERI 6 Jalan Mayjen Sngkn N. 58 Telp. (04) 7506 Malang Mdl..4 VEKTOR

Lebih terperinci

Solusi Sistem Persamaan Linear Fuzzy

Solusi Sistem Persamaan Linear Fuzzy Jrnal Matematika Vol. 16, No. 2, November 2017 ISSN: 1412-5056 / 2598-8980 http://ejornal.nisba.ac.id Diterima: 14/08/2017 Disetji: 20/10/2017 Pblikasi Online: 28/11/2017 Solsi Sistem Persamaan Linear

Lebih terperinci

Geometri pada Bidang, Vektor

Geometri pada Bidang, Vektor Prodi Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Melalui pendekatan aljabar, vektor u dinyatakan oleh pasangan berurutan u 1, u 2. Disini digunakan notasi u 1, u 2 bukan (u 1, u 2 ) karena notasi (u 1,

Lebih terperinci

BAB RELATIVITAS Semua Gerak adalah Relatif

BAB RELATIVITAS Semua Gerak adalah Relatif BAB RELATIVITAS. Sema Gerak adalah Relatif Sat benda dikatakan bergerak bila keddkan benda it berbah terhadap sat titik aan ata kerangka aan. Seorang penmpang kereta api yang sedang ddk di dalam kereta

Lebih terperinci

RUANG HASIL KALI DALAM (RHKD) Makalah Ini Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pengampu: Abdul Aziz Saefudin, M.

RUANG HASIL KALI DALAM (RHKD) Makalah Ini Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pengampu: Abdul Aziz Saefudin, M. RUANG HASIL KALI DALAM (RHKD) Makalah Ini Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pengampu: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd Disusun oleh: Kelompok 5 1. Nurita Cahyaningtyas (14144100112)

Lebih terperinci

III PEMODELAN SISTEM PENDULUM

III PEMODELAN SISTEM PENDULUM 14 III PEMODELAN SISTEM PENDULUM Penelitian ini membahas keterkontrolan sistem pendlm, dengan menentkan model matematika dari beberapa sistem pendlm, dan dilakkan analisis dan menyederhanakan permasalahan

Lebih terperinci

Trihastuti Agustinah

Trihastuti Agustinah TE 9467 Teknik Nmerik Sistem Linear Trihastti Agstinah Bidang Stdi Teknik Sistem Pengatran Jrsan Teknik Elektro - FTI Institt Teknologi Seplh Nopember O U T L I N E OBJEKTIF TEORI CONTOH 4 SIMPULAN 5 LATIHAN

Lebih terperinci

(a) (b) Gambar 1. garis singgung

(a) (b) Gambar 1. garis singgung BAB. TURUNAN Sebelm membahas trnan, terlebih dahl ditinja tentang garis singgng pada sat krva. A. Garis singgng Garis singgng adalah garis yang menyinggng sat titik tertent pada sat krva. Pengertian garis

Lebih terperinci

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 1 Vektor dan Garis 2 Koordinat 3 Norma Vektor 4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi 5 Hasil Kali Silang Definisi Vektor Definisi Jika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya

Lebih terperinci

Untuk pondasi tiang tipe floating, kekuatan ujung tiang diabaikan. Pp = kekuatan ujung tiang yang bekerja secara bersamaan dengan P

Untuk pondasi tiang tipe floating, kekuatan ujung tiang diabaikan. Pp = kekuatan ujung tiang yang bekerja secara bersamaan dengan P BAB 3 LANDASAN TEORI 3.1 Mekanisme Pondasi Tiang Konvensional Pondasi tiang merpakan strktr yang berfngsi ntk mentransfer beban di atas permkaan tanah ke lapisan bawah di dalam massa tanah. Bentk transfer

Lebih terperinci

VEKTOR. 45 O x PENDAHULUAN PETA KONSEP. Vektor di R 2. Vektor di R 3. Perkalian Skalar Dua Vektor. Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain

VEKTOR. 45 O x PENDAHULUAN PETA KONSEP. Vektor di R 2. Vektor di R 3. Perkalian Skalar Dua Vektor. Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain VEKTOR y PENDAHULUAN PETA KONSEP a Vektor di R 2 Vektor di R 3 Perkalian Skalar Dua Vektor o 45 O x Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain Soal-Soal PENDAHULUAN Dalam ilmu pengetahuan kita sering

Lebih terperinci

BAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain

BAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional

Lebih terperinci

Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3

Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3 Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3 Maulana Malik 1 (maulana.malik@sci.ui.ac.id) 1 Departemen Matematika FMIPA UI Kampus Depok UI, Depok 16424 2014/2015 1/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor

Lebih terperinci

Aljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9

Aljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9 Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor

Lebih terperinci

Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3

Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015

Lebih terperinci

VEKTOR DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA

VEKTOR DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA VEKTOR DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS INDONESIA Pengertin Dsr Vektor merpkn kombinsi dri st besrn dn st rh Vektor dpt dintkn dlm pnh-pnh, pnjng pnh mentkn besrn ektor dn rh pnh mennjkkn rh ektor

Lebih terperinci

Vektor-Vektor. Ruang Berdimensi-2. Ruang Berdimensi-3

Vektor-Vektor. Ruang Berdimensi-2. Ruang Berdimensi-3 Vektor-Vektor dalam Ruang Berdimensi-2 dan Ruang Berdimensi-3 Disusun oleh: Achmad Fachrurozi Albert Martin Sulistio Iffatul Mardhiyah Rifki Kosasih Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Lebih terperinci

Vektor Ruang 2D dan 3D

Vektor Ruang 2D dan 3D Vektor Ruang 2D dan D Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak

Lebih terperinci

Penerapan Masalah Transportasi

Penerapan Masalah Transportasi KA4 RESEARCH OPERATIONAL Penerapan Masalah Transportasi DISUSUN OLEH : HERAWATI 008959 JAKA HUSEN 08055 HAPPY GEMELI QUANUARI 00890 INDRA MOCHAMMAD YUSUF 0800 BAB I PENDAHULUAN.. Pengertian Riset Operasi

Lebih terperinci

lim 0 h Jadi f (x) = k maka f (x)= 0 lim lim lim TURUNAN/DIFERENSIAL Definisi : Laju perubahan nilai f terhadap variabelnya adalah :

lim 0 h Jadi f (x) = k maka f (x)= 0 lim lim lim TURUNAN/DIFERENSIAL Definisi : Laju perubahan nilai f terhadap variabelnya adalah : TURUNAN/DIFERENSIAL Deinisi : Laj perbaan nilai teradap ariabelnya adala : y dy d lim = lim = 0 0 d d merpakan ngsi bar disebt trnan ngsi ata perbandingan dierensial, proses mencarinya disebt menrnkan

Lebih terperinci

Vektor di Bidang dan di Ruang

Vektor di Bidang dan di Ruang Vektor di Bidang dan di Ruang 4.1. Pengertian, notasi,dan operasi pada ektor Vektor merupakan istilah untuk menyatakan besaran yang mempunyai arah. Secara geometris, ektor dinyakan dengan segmen-segmen

Lebih terperinci

Aljabar Linear Elementer Part IV. Oleh : Yeni Susanti

Aljabar Linear Elementer Part IV. Oleh : Yeni Susanti Aljabar Linear Elementer Part IV Vektor di Ruang R 2, R 3 dan R n Oleh : Yeni Susanti Vektor di Ruang R 2, R 3 dan R n Vektor: besaran yang mempunyai besar dan arah. Vektor secara geometris bisa digambarkan

Lebih terperinci

BAB III 3. METODOLOGI PENELITIAN

BAB III 3. METODOLOGI PENELITIAN BAB III 3. METODOLOGI PENELITIAN 3.1. PROSEDUR ANALISA Penelitian ini merpakan sebah penelitian simlasi yang menggnakan bantan program MATLAB. Adapn tahapan yang hars dilakkan pada saat menjalankan penlisan

Lebih terperinci

Matematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah

Matematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah Matematika II : Vektor Dadang Amir Hamzah sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg 2016 Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 24 Outline 1 Pendahuluan Dadang

Lebih terperinci

GESERAN atau TRANSLASI

GESERAN atau TRANSLASI GESERAN atau TRANSLASI Makalah ini disusun untuk memenuhi Tugas Geometri Transformasi Dosen Pembimbing : Havid Risyanto, S.Si., M.Sc. D I S U S U N O L E H 1. AMILIA 1111050031 2. HAIRUDIN 1111050153 3.

Lebih terperinci

EKONOMETRIKA PERSAMAAN SIMULTAN

EKONOMETRIKA PERSAMAAN SIMULTAN EKONOMETRIKA PERSAMAAN SIMULTAN OLEH KELOMPOK 5 DEKI D. TAPATAB JUMASNI K. TANEO MERSY C. PELT DELFIANA N. ERO GERARDUS V. META ARMY A. MBATU SILVESTER LANGKAMANG FAKULTAS PERTANIAN UNIVERSITAS NUSA CENDANA

Lebih terperinci

VEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.

VEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. VEKTOR 1 A. Definisi vektor Beberapa besaran Fisika dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan dan sebuah satuan untuk menyatakan nilai besaran tersebut. Misal, massa, waktu, suhu, dan lain lain. Namun, ada

Lebih terperinci

NAMA : KELAS : theresiaveni.wordpress.com

NAMA : KELAS : theresiaveni.wordpress.com 1 NAMA : KELAS : teresiaeni.wordpress.com TURUNAN/DIFERENSIAL Deinisi : Laj perbaan nilai teradap ariabelnya adala : y dy d ' = = d d merpakan ngsi bar disebt trnan ngsi ata perbandingan dierensial, proses

Lebih terperinci

V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma : 1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan

V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma : 1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan RUANG VEKTOR Rang Vetor Umm Misalan dan, l Riil V dinamaan rang vetor jia terpenhi asioma :. V terttp terhadap operasi penjmlahan.., Unt setiap v v v, w V, v V v w v w maa v V. Terdapat V sehingga nt setiap

Lebih terperinci

Pengenalan Pola. Ekstraksi dan Seleksi Fitur

Pengenalan Pola. Ekstraksi dan Seleksi Fitur Pengenalan Pola Ekstraksi dan Seleksi Fitr PTIIK - 4 Corse Contents Collet Data Objet to Dataset 3 Ekstraksi Fitr 4 Seleksi Fitr Design Cyle Collet data Choose featres Choose model Train system Evalate

Lebih terperinci

Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer Aljabar Linear Elementer MA SKS Silabs : Bab I Matris dan Operasinya Bab II Determinan Matris Bab III Sistem Persamaan Linear Bab IV Vetor di Bidang dan di Rang Bab V Rang Vetor Bab VI Rang Hasil Kali

Lebih terperinci

Definisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga;

Definisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga; BAB I VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR 1). Pada mulanya vektor adalah objek telaah dalam ilmu fisika. Dalam ilmu fisika vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang mempunyai besar dan arah seperti gaya,

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI 8 BAB LANDASAN TEORI. Pasar.. Pengertian Pasar Pasar adalah sebah tempat mm yang melayani transaksi jal - beli. Di dalam Peratran Daerah Khss Ibkota Jakarta Nomor 6 Tahn 99 tentang pengrsan pasar di Daerah

Lebih terperinci

(x, f(x)) P. x = h. Gambar 4.1. Gradien garis singgung didifinisikan sebagai limit y/ x ketika x mendekati 0, yakni

(x, f(x)) P. x = h. Gambar 4.1. Gradien garis singgung didifinisikan sebagai limit y/ x ketika x mendekati 0, yakni Diktat Klia TK Matematika BAB TURUNAN Graien Garis Singgng Tinja seba krva = f() seperti iperliatkan paa Gambar Garis ang melali titik P(, f( )) an Q( +, f( + )) isebt tali bsr Graien tali bsr tersebt

Lebih terperinci

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR VEKTOR DAN SKALAR Materi pokok pertemuan ke I: 1. Vektor dan skalar 2. Komponen vektor 3. Operasi dasar aljabar vektor URAIAN MATERI Masih ingatkah Anda tentang vektor? Apa beda vektor dengan skalar? Ya,

Lebih terperinci

BEBERAPA IDENTITAS PADA GENERALISASI BARISAN FIBONACCI ABSTRACT

BEBERAPA IDENTITAS PADA GENERALISASI BARISAN FIBONACCI ABSTRACT BEBERP IDENTITS PD GENERLISSI BRISN FIBONCCI Sri Melati 1, Mashadi, Msraini M 1 Mahasiswa Program Stdi S1 Matematika Dosen Jrsan Matematika Fakltas Matematika dan Ilm Pengetahan lam Universitas Ria Kamps

Lebih terperinci

VEKTOR II. Tujuan Pembelajaran

VEKTOR II. Tujuan Pembelajaran Kurikulum 03 Kelas X matematika PEMINATAN VEKTOR II Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami tentang pembagian vektor.. Memahami tentang

Lebih terperinci

VEKTOR 2 SMA SANTA ANGELA. A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan :

VEKTOR 2 SMA SANTA ANGELA. A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan : 1 SMA SANTA ANGELA VEKTOR A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan : A B Keterangan : Titik A disebut titik Pangkal Titik B disebut titik Ujung Dinotasikan

Lebih terperinci

Diferensial Vektor. (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Diferensial Vektor. (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Definisi Secara Grafis : Dari gambar di samping, ada sebuah anak panah yang berawal

Lebih terperinci

BEBERAPA SIFAT JARAK ROTASI PADA POHON BINER TERURUT DAN TERORIENTASI

BEBERAPA SIFAT JARAK ROTASI PADA POHON BINER TERURUT DAN TERORIENTASI JRISE, Vol.1, No.1, Febrari 2014, pp. 28~40 ISSN: 2355-3677 BEBERAPA SIFA JARAK ROASI PADA POHON BINER ERURU DAN ERORIENASI Oleh: Hasniati SMIK KHARISMA Makassar hasniati@kharisma.ac.id Abstrak Andaikan

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Logika Fzzy Pada awalnya sistem logika fzzy diperkenalkan oleh Profesor Lotfi A. Zadeh pada tahn 1965. Konsep fzzy bermla dari himpnan klasik (crisp) yang bersifat tegas ata

Lebih terperinci

Geometri pada Bidang, Vektor

Geometri pada Bidang, Vektor Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Secara geometrik, vektor pada bidang dapat digambarkan sebagai ruas garis berarah (anak panah). Panjang dari anak panah merepresentasikan besaran (magnitude)

Lebih terperinci

KONSTRUKSI PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI ANALISIS VEKTORIS DALAM RUANG BERDIMENSI DUA

KONSTRUKSI PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI ANALISIS VEKTORIS DALAM RUANG BERDIMENSI DUA Prosiding Seminar Nasional Volume 02, Nomor 1 ISSN 2443-1109 KONSTRUKSI PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI ANALISIS VEKTORIS DALAM RUANG BERDIMENSI DUA Rio Fabrika Pasandaran 1, Patmaniar 2 Universitas Cokroaminoto

Lebih terperinci

Fisika Ebtanas

Fisika Ebtanas isika Ebtanas 1996 1 1. Di bawah ini yang merpakan kelompok besaran trnan adalah A. momentm, wakt, kat ars B. kecepatan, saha, massa C. energi, saha, wakt ptar D. wakt ptar, panjang, massa E. momen gaya,

Lebih terperinci

BESARAN SKALAR DAN VEKTOR. Besaran Skalar. Besaran Vektor. Sifat besaran fisis : Skalar Vektor

BESARAN SKALAR DAN VEKTOR. Besaran Skalar. Besaran Vektor. Sifat besaran fisis : Skalar Vektor PERTEMUAN II VEKTOR BESARAN SKALAR DAN VEKTOR Sifat besaran fisis : Skalar Vektor Besaran Skalar Besaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh : waktu,

Lebih terperinci

R maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit

R maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit BAB I RUANG EKTOR UMUM Dalam bab ini akan dipelajari tentang konsep ruang vektor umum, sub ruang vektor dan sifat-sifatnya. Pada pembicaraan ini, para mahasiswa dianggap sudah mengenal konsep dan sifat

Lebih terperinci

PRAKTIKUM OPERASI TEKNIK KIMIA II MODUL 5 BILANGAN REYNOLD

PRAKTIKUM OPERASI TEKNIK KIMIA II MODUL 5 BILANGAN REYNOLD PRAKTIKUM OPERASI TEKNIK KIMIA II MODUL 5 BILANGAN REYNOLD LABORATORIUM RISET DAN OPERASI TEKNIK KIMIA PROGRAM STUDI TEKNIK KIMA FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI UPN VETERAN JAWA TIMUR SURABAYA BILANGAN REYNOLD

Lebih terperinci

Jika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili

Jika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili 4.5. RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR DAN KOORDINAT A. Pengertian Vektor Posisi dari Suatu Titik Misalnya titik A, B, C Dan D. adalah titik sebarang di bidang atau di ruang. Jika titik O bertindak sebagai titik

Lebih terperinci

Integrasi 2. Metode Integral Kuadratur Gauss 2 Titik Metode Integral Kuadratur Gauss 3 Titik Contoh Kasus Permasalahan Integrasi.

Integrasi 2. Metode Integral Kuadratur Gauss 2 Titik Metode Integral Kuadratur Gauss 3 Titik Contoh Kasus Permasalahan Integrasi. Interasi Metode Interal Kadratr Gass Titik Metode Interal Kadratr Gass Titik Contoh Kass Permasalahan Interasi Interasi Metode Interasi Gass Metode interasi Gass merpakan metode yan tidak mennakan pembaian

Lebih terperinci

1. Pada ganbar di bawah, komponen vektor gaya F menurut sumbu x adalah A. ½ 3 F B. ½ 2 F C. ½ F D. ½ F E. ½ 3 F

1. Pada ganbar di bawah, komponen vektor gaya F menurut sumbu x adalah A. ½ 3 F B. ½ 2 F C. ½ F D. ½ F E. ½ 3 F 1 1. Pada ganbar di bawah, komponen vektor gaya F menrt smb x adalah A. ½ 3 F B. ½ F C. ½ F D. ½ F E. ½ 3 F. Benda jath bebas adalah benda yang memiliki: (1) Kecepatan awal nol () Percepatan = percepatan

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Small Area Estimation Small Area Estimation (SAE) adalah sat teknik statistika ntk mendga parameter-parameter sb poplasi yang kran sampelnya kecil. Sedangkan, area kecil didefinisikan

Lebih terperinci

Diferensial Vektor. (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Diferensial Vektor. (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor A dan B pada bidang dinyatakan

Lebih terperinci

SUBRUANG VEKTOR. Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd

SUBRUANG VEKTOR. Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd SUBRUANG VEKTOR Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd Disusun Oleh : Kelompok 6/ III A4 1. Nina Octaviani Nugraheni 14144100115 2. Emi Suryani 14144100126

Lebih terperinci

a11 a12 x1 b1 Definisi Vektor di R 2 dan R 3

a11 a12 x1 b1 Definisi Vektor di R 2 dan R 3 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Definisi Vektor di R 2 dan R 3 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Pendahuluan Notasi dan Pengertian Dasar Skalar, suatu konstanta yang dituliskan dalam huruf kecil Vektor,

Lebih terperinci

Pengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)

Pengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah) Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak

Lebih terperinci

MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER

MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 082334051324 Daftar Referensi : 1. Kreyzig Erwin, Advance Engineering Mathematic, Edisi ke-7, John wiley,1993 2. Spiegel, Murray R, Advanced

Lebih terperinci

TUGAS TERSTRUKTUR KALKULUS PEUBAH BANYAK. Dari Buku Kalkulus Edisi Keempat Jilid II James Stewart, Penerbit Erlangga.

TUGAS TERSTRUKTUR KALKULUS PEUBAH BANYAK. Dari Buku Kalkulus Edisi Keempat Jilid II James Stewart, Penerbit Erlangga. TUGAS TERSTRUKTUR KALKULUS PEUBAH BANYAK Dari Bk Kalkls Edisi Keempat Jilid II James Steart Penerbit Erlangga Dissn ole : K i r b a n i M5 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

Lebih terperinci

BAB 3 METODE PENELITIAN

BAB 3 METODE PENELITIAN BAB 3 METODE PENELITIAN 3.1 Stdi Pendahlan Langkah aal dalam enelitian ini adalah mencari dan mengmlkan smbersmber seerti: bk, jrnal ata enelitian sebelmna ang mendkng enelitian ini. 3. Tahaan Analisis

Lebih terperinci

Hand-Out Geometri Transformasi. Bab I. Pendahuluan

Hand-Out Geometri Transformasi. Bab I. Pendahuluan Hand-Out Geometri Transformasi Bab I. Pendahuluan 1.1 Vektor dalam R 2 Misalkan u = (x 1,y 1 ), v = (x 2,y 2 ) dan w = (x 3,y 3 ) serta k skalar (bilangan real) Definisi 1. : Penjumlahan vektor u + v =

Lebih terperinci

RANGKUMAN MATERI VEKTOR Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Sekolah Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd.

RANGKUMAN MATERI VEKTOR Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Sekolah Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd. RANGKUMAN MATERI VEKTOR Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Sekolah Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd. Universitas Negeri Surabaya Oleh Abdul Hayyih (147785010) Kelas D PROGRAM

Lebih terperinci

1. Momentum mempunyai dimensi yang sama dengan dimensi besaran A. impuls D. tekanan B. energi E. percepatan C. gaya

1. Momentum mempunyai dimensi yang sama dengan dimensi besaran A. impuls D. tekanan B. energi E. percepatan C. gaya 1 1. Momentm mempnyai dimensi yang sama dengan dimensi besaran A. impls D. tekanan B. energi E. percepatan C. gaya 2. Gerak sebah mobil menghasilkan grafik kecepatan (V) terhadap wakt (t) yang diperlihatkan

Lebih terperinci

4. VEKTOR-VEKTOR DI RUANG-2 DAN RUANG-3

4. VEKTOR-VEKTOR DI RUANG-2 DAN RUANG-3 Diktt Aljbr Liner Vektor di Rng dn Rng 4. VEKTOR-VEKTOR DI RUANG- DAN RUANG- 4.. PENGANTAR DEFINISI 4.: VEKTOR Vektor dlh st besrn yng memiliki besr dn rh. Vektor yng memiliki pnjng dn rh yng sm diktkn

Lebih terperinci

G a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.

G a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan. 2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,

Lebih terperinci

GEOMETRI ANALITIK PERTEMUAN2: GARIS LURUS PADA BIDANG KOORDINAT. sofyan mahfudy-iain Mataram 1

GEOMETRI ANALITIK PERTEMUAN2: GARIS LURUS PADA BIDANG KOORDINAT. sofyan mahfudy-iain Mataram 1 GEOMETRI ANALITIK PERTEMUAN2: GARIS LURUS PADA BIDANG KOORDINAT sofyan mahfudy-iain Mataram 1 Sasaran kuliah hari ini 1. Mahasiwa dapat menjelaskan konsep kemiringan garis/gradien 2. Mahasiswa dapat menentukan

Lebih terperinci

Analisis Vektor. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY

Analisis Vektor. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Analisis Vektor Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Analisis Vektor Analisis vektor meliputi bidang matematika dan fisika sekaligus dalam pembahasannya Skalar dan Vektor Skalar Skalar ialah

Lebih terperinci

Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor

Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai saja. Contoh :

Lebih terperinci

Integra. asi 2. Metode Integral Kuadr. ratur Gauss 2 Titik

Integra. asi 2. Metode Integral Kuadr. ratur Gauss 2 Titik Intera asi Metode Interal Kadr ratr Gass Titik Metode Interal Kadratr Gass Titik Contoh Kass Permasalahan Interasi Metode Interasi Gass Metode interasi i Gass merpaka an metode yan tidak mennakan pembaian

Lebih terperinci

KEPUTUSAN INVESTASI (CAPITAL BUDGETING) MANAJEMEN KEUANGAN 2 ANDRI HELMI M, S.E., M.M.

KEPUTUSAN INVESTASI (CAPITAL BUDGETING) MANAJEMEN KEUANGAN 2 ANDRI HELMI M, S.E., M.M. KEPUTUSAN INVESTASI (CAPITAL BUDGETING) MANAJEMEN KEUANGAN 2 ANDRI HELMI M, S.E., M.M. Penganggaran Modal (Capital Bdgeting) Modal (Capital) mennjkkan aktiva tetap yang dignakan ntk prodksi Anggaran (bdget)

Lebih terperinci

Diferensial fungsi sederhana

Diferensial fungsi sederhana Diferensial fngsi sederhana Kaidah-kaidah diferensiasi 1. Diferensiasi konstanta Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka / = 0 contoh : y = 5 / = 0. Diferensiasi fngsi pangkat Jika y = n, dimana n

Lebih terperinci

19. VEKTOR. 2. Sudut antara dua vektor adalah θ. = a 1 i + a 2 j + a 3 k; a. a =

19. VEKTOR. 2. Sudut antara dua vektor adalah θ. = a 1 i + a 2 j + a 3 k; a. a = 19. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri 1. Ruas garis berarah AB = b a. Sudut antara dua vektor adalah θ 3. Bila AP : PB = m : n, maka: B. Vektor Secara Aljabar a1 1. Komponen dan panjang vektor: a = a =

Lebih terperinci

MODUL PERKULIAHAN. Kalkulus. Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh

MODUL PERKULIAHAN. Kalkulus. Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh MODUL PERKULIAHAN Modl Standar ntk dignakan dalam Perkliahan di Universitas Merc Bana Fakltas Program Stdi Tatap Mka Kode MK Dissn Oleh Ilm Kompter Teknik Informatika 9 Abstract Matakliah Menjadi Dasar

Lebih terperinci

untuk setiap x sehingga f g

untuk setiap x sehingga f g Jadi ( f ( f ) bernilai nol untuk setiap x, sehingga ( f ( f ) fungsi nol atau ( f ( f ) Aksioma 5 Ambil f, g F, R, ( f g )( f g ( g( g( ( f g)( Karena ( f g )( ( f g)( untuk setiap x sehingga f g Aksioma

Lebih terperinci

1. Perhatikan gambar percobaan vektor gaya resultan dengan menggunakan 3 neraca pegas berikut ini

1. Perhatikan gambar percobaan vektor gaya resultan dengan menggunakan 3 neraca pegas berikut ini 1 1. Perhatikan gambar percobaan vektor gaya resltan dengan menggnakan 3 neraca pegas berikt ini Yang sesai dengan rms vektor gaya resltan secara analitis adalah gambar A. (1), (2) dan (3) D. (1), dan

Lebih terperinci

BAB III METODE ELEMEN HINGGA. Gambar 3. 1 Tegangan-tegangan elemen kubus dalam koordinat lokal (SAP Manual) (3.1)

BAB III METODE ELEMEN HINGGA. Gambar 3. 1 Tegangan-tegangan elemen kubus dalam koordinat lokal (SAP Manual) (3.1) 5 BAB III MTOD LMN HINGGA 3. Tegangan Tegangan adalah gaa per nit area pada sat material sebagai reaksi akibat gaa lar ang dibebankan pada strktr. Pada Gambar 3.. diperlihatkan elemen kbs dalam koordiant

Lebih terperinci

FAKULTAS DESAIN dan TEKNIK PERENCANAAN

FAKULTAS DESAIN dan TEKNIK PERENCANAAN Wiryanto Dewobroto ---------------------------------- Jrsan Teknik Sipil - Universitas elita Harapan, Karawaci FAKULTAS DESAIN dan TEKNIK ERENCANAAN UJIAN TENGAH SEMESTER ( U T S ) GENA TAHUN AKADEMIK

Lebih terperinci

Pertemuan IX, X, XI IV. Elemen-Elemen Struktur Kayu. Gambar 4.1 Batang tarik

Pertemuan IX, X, XI IV. Elemen-Elemen Struktur Kayu. Gambar 4.1 Batang tarik Perteman IX, X, XI IV. Elemen-Elemen Strktr Kay IV.1 Batang Tarik Gamar 4.1 Batang tarik Elemen strktr kay erpa atang tarik ditemi pada konstrksi kdakda. Batang tarik merpakan sat elemen strktr yang menerima

Lebih terperinci

81 Bab 6 Ruang Hasilkali Dalam

81 Bab 6 Ruang Hasilkali Dalam 8 Bab Rang Haslkal Dalam Bab RUANG HASIL KALI DALAM Rang hasl kal dalam merpakan rang ektor yang dlengkap dengan operas hasl kal dalam. Sepert halnya rang ektor rang haslkal dalam bermanfaat dalam beberapa

Lebih terperinci

a menunjukkan jumlah satuan skala relatif terhadap nol pada sumbu X Gambar 1

a menunjukkan jumlah satuan skala relatif terhadap nol pada sumbu X Gambar 1 1. Koordinat Cartesius Sistem koordinat Cartesius terdiri dari dua garis yang saling tegak lurus yang disebut sumbu Sumbu horizontal disebut sumbu X dan sumbu vertikal disebut sumbu Y Tiap sumbu mempunyai

Lebih terperinci

Pelabelan matriks menggunakan huruf kapital. kolom ke-n. kolom ke-3

Pelabelan matriks menggunakan huruf kapital. kolom ke-n. kolom ke-3 MATRIKS a. Konsep Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegipanjang dan diletakkan di dalam kurung biasa ( ) atau

Lebih terperinci

lensa objektif lensa okuler Sob = fob

lensa objektif lensa okuler Sob = fob 23 jekti ler S = ~ S = A B d 24 Diagram pembentkan bayangannya adalah sebagari berikt: jekti d ler S = ~ S S A B S Teropong Pantl (Teleskop Releksi) Teropong jenis ini menggnakan sat positi, sat cermin

Lebih terperinci