OSN 2014 Matematika SMA/MA

Transkripsi

1 Soal 5. Suatu barisan bilangan asli a 1, a 2, a 3,... memenuhi a + a l = a m + a n untu setiap bilangan asli, l, m, n dengan l = mn. Jia m membagi n, butian bahwa a m a n. Solusi. Andaian terdapat bilangan asli p, q dengan p q namun a p > a q. Tulis q = pr diperoleh a q + a 1 = a p + a r. Karena a p > a q maa a 1 a r > 0. Tinjau a r, a r 2, a r 3,... a r 2 = a r + a r a 1 = a r (a 1 a r a r 3 = a r 2 + a r a 1 = a r 2(a 1 a r. a r s+1 = a r s + a r a 1 = a r s(a 1 a r. Padahal alau diambil s cuup besar sehingga s > a r, maa a r s+1 = a r s(a 1 a r a r s < 0 suatu ontradisi arena suu di barisan adalah bilangan asli. Solusi Alternatif. Pertama aan ditunjuan bahwa a 1 a s untu setiap bilangan asli s. Andaian a 1 > a s untu suatu bilangan asli s. Maa untu setiap bilangan asli berlau a 1 + a s > a s + a s = a s +1 + a 1. Sehingga a s > a s +1 untu setiap dan ita punya barisan tahingga yang monoton turun tegas (mustahil!. Searang misalan m n dan tulis mt = n. Aibatnya a m + a t = a n + a 1 a m a n = a 1 a t 0. Jadi a m a n. 1. Menunjuan bahwa a 1 a s untu setiap bilangan asli s (4 poin 2. Melengapi solusi (3 poin 1

2 Soal 6. Diberian segitiga ABC dengan AD sebagai garis bagi dalam BAC. Misalan titi M dan N berturut-turut pada AB dan AC sehingga MDA = ABC dan NDA = ACB. Jia P merupaan titi potong dari garis AD dan garis MN, butian bahwa AD 3 = AB AC AP. Solusi. A P N M B D C Karena ADM = ABC maa AD menyinggung lingaran luar segitiga BM D dan arena ADN = ACB, maa AD menyinggung lingaran luar segitiga CN D. Dari sini diperoleh AD 2 = AM AB dan AD 2 = AN AC. Karena MDN = ADM + ABC = 180 BAC, maa AM DN silis dan ita mendapatan AM P = ADN = ACB. Karena AD garis bagi segitiga ABC, maa MAP = DAN. Jadi, AMP ADN dan diperoleh AM/AP = AD/AN, yani AM AN = AP AD. Jadi, AD 3 = AM AB AN AC AD = AP AD AB AC AD = AB AC AP. (1 Membutian AD 2 = AM AB dan AD 2 = AN AC (2 poin (2 Membutian AM AN = AP AD (3 poin (3 Solusi penuh (2 poin 2

3 Soal 7. Misalan, m, n merupaan bilangan asli dengan n. Butian bahwa m ( ( m n r (r + ( = 1. r+ r=0 Solusi. Pandang suatu permainan mendapatan buah artu merah dari seumpulan artu yang terdiri dari n artu merah dan m artu uning dengan cara mengambilnya satu persatu tanpa pengembalian. Karena n, maa pasti artu merah aan terambil dengan peluang 1. Di sisi lain, ita aan menghitung peluang terambilnya artu merah untu pertama alinya dengan terlebih dahulu mendapatan r artu uning diantara r + artu yang terambil. Banyanya cara mengambil artu merah dari n artu merah yang tersedia dan r artu uning dari m artu uning yang tersedia adalah ( ( n m r. Sedangan banyanya cara untu mengambil + r artu dari n + m artu yang tersedia adalah ( r+. Jadi peluang terambilnya artu merah dan r artu ( uning dari n + m artu yang mengandung n artu merah dan m artu uning m r ( n ( n+m +r adalah. Searang agar artu yang terahir terambil adalah artu merah, peluangnya ( m ( n menjadi r + ( r. Dengan menjumlahan semua peluang ini untu 0 r m ita r+ peroleh identitas yang diinginan. ( n ( m r 1. Mengenali ( n+m sebagai peluang terpilihnya obje dari grup I yang mengandung n +r obje dan terpilihnya r obje dari grup e II yang mengandung m obje.... ( 2 poin 2. Mengenali sebagai peluang terpilihnya artu merah sebagai artu terahir diantara r + r + artu yang ada yang diantaranya merupaan artu merah (1 poin 3. Melengapi solusi (4 poin 3

4 Soal 8. Suatu bilangan asli disebut canti jia dapat dinyataan dalam bentu x 2 + y 2 untu suatu bilangan asli x dan y yang berbeda. (a Tunjuan bahwa 2014 dapat ditulisan sebagai peralian bilangan canti dan bilangan tida canti. (b Butian bahwa hasil peralian dua bilangan tida canti tetap tida canti. Solusi. Kita notasian f(x, y = x2 + y 2 untu sebarang bilangan asli x, y (tida harus berbeda. Kita mulai dengan beberapa observasi. Untu n, x, y N, perhatian f(nx, ny = (nx2 + (ny 2 nx + ny = n x2 + y 2 = nf(x, y. Jadi, untu setiap a, b N f(a(a + b, b(a + b = (a + bf(a, b = a 2 + b 2. Searang ataan suatu bilangan canti bila ia berbentu f(x, y dengan x, y N berbeda. Kita ingin menentuan semua bilangan canti. Pertama, misalan p 1 mod 4 prima. Ingat bahwa p dapat ditulis sebagai p = a 2 + b 2 dengan a, b N. Jelas bahwa a, b berbeda. Dengan demiian, p = f(a(a + b, b(a + b canti. Beriutnya bila suatu bilangan asli habis dibagi oleh p, tulis = mp, maa = m(a 2 + b 2 = mf(a(a + b, b(a + b = f(ma(a + b, mb(a + b canti. Jadi, setiap bilangan asli yang memilii suatu fator prima ganjil yang ongruen 1 mod 4 senantiasa canti. Kita laim bahwa tida ada bilangan canti yang lain. Kita butuh dua lema sederhana beriut. Lema 1. Misalan m bilangan asli. Jia 2m canti, maa m juga canti. Buti. Misalan 2m = f(a, b dengan a, b berbeda. Dari definisi f, diperoleh 2m(a + b = a 2 + b 2. Seandainya a, b eduanya ganjil, maa a 2 + b 2 2 mod 4 padahal 2(a + b 0 mod 4, suatu ontradisi. Jadi, a, b eduanya genap sehingga 2m = f(a, b = f(2a, 2b = 2f(a, b dan m = f(a, b canti. Lema 2. Misalan m, q bilangan asli dengan q 3 mod 4 prima. Jia qm canti, maa m juga canti. 4

5 Buti. Misalan qm = f(a, b dengan a, b berbeda. Dari definisi f, diperoleh qm(a + b = a 2 + b 2. Karena q 3 mod 4, maa q membagi a dan b. Jadi, qm = f(a, b = f(qa, qb = qf(a, b dan m = f(a, b canti. Kembali e soal, andaian ada bilangan canti selain disebut di atas, maa ia berbentu 2 q 1 q 2 q l dengan q i 3 mod 4 untu setiap i. Dengan lema berali-ali diperoleh bahwa 1 adalah bilangan canti. Tulis 1 = f(a, b dengan a, b berbeda, maa a + b = a 2 + b 2 sehingga a(a 1 + b(b 1 = 0. Ini beraibat a = b = 1, suatu ontradisi. 1. Karena 2014 = dengan 53 bilangan prima berbentu Maa 53 merupaan bilangan canti dan aibatnya 2014 juga canti. Di lain piha 1 tida canti. Jadi 2014 = merupaan suatu peralian bilangan canti dan ta canti. 2. Bilangan ta canti adalah bilangan berbentu n = 2 α m dengan semua fator prima dari m berbentu Mengalian dua bilangan seperti itu aan menghasilan bilangan yang sama bentunya. 1. Menunjuan suatu fator dari 2014 yang tida canti (1 poin 2. Menunjuan suatu fator dari 2014 yang canti (1 poin Kedua nilai diatas bersifat aditif jia hasil ali edua fator diatas adalah 2014, jia tida masimum 1 poin 3. Menunjuan bahwa jia suatu bilangan mempunyai fator prima berbentu p = maa ia bilangan canti (2 poin 4. Menunjuan bahwa jia suatu bilangan tida mempunyai fator prima berbentu p = maa ia bilangan tida canti (2 poin 5. Menyimpulan bahwa peralian dua bilangan tida canti tetap tida canti. ( 1 poin 5