MES (Journal of Mathematics Education and Science) ISSN: PERSAMAAN DIFFERENSIAL EKSAK DENGAN FAKTOR INTEGRASI

Transkripsi

1 ES Jornal of athmatis Edation and Sin ISS: PERSAAA DIFFERESIAL EKSAK DEGA FAKTOR ITEGRASI Rosliana Sirgar Dosn Kooprtis Wil I Dpk FKIP-UISU Rosliana2012@ahoo.om Abstrak. Pnlitian ini brtjan ntk mngtahi hbngan prsamaan diffrnsial tak ksak dngan faktor intgrasi. kajian pnntan faktor intgrasi pada prsamaan difrnsial ksak dngan mnggnakan langkah-langkah pnlsaian dari prsamaan diffrnsial. Prsamaan difrnsial ksak mmiliki kass prsamaan difrnsial tak ksak di mana prsamaan difrnsial tak ksak ini dapat di bah mnjadi prsamaan difrnsial ksak. Dalam hal ini diprlkan konsp faktor intgrasi ntk mnlsaikanna shingga dari prsamaan difrnsial tak ksak dapat di bah mnjadi prsaman difrnsial ksak. Hasil pmbahasan dari pnlitian ini mmbktikan adana hbngan antara prsamaan difrnsial ksak dngan faktor intgrasi. Kata Kni: Prsamaan Diffrnsial Eksak Tak Eksak Faktor Intgrasi PEDAHULUA Prsamaan difrnsial adalah abang matmatika ang banak dignakan ntk mnjlaskan masalah-masalah fisis. asalah-masalah fisis trsbt dapat dimodlkan dalam prsamaan difrnsial. Pada prkmbangan ilm prsamaan difrnsial sbagai modl banak dijmpai dalam bidang-bidang sains tknologi tknik biologi konomi ilm sosial dmografi dan sbagaina. Prsamaan difrnsial dignakan sbagai alat ntk mngtahi klakan mapn sifat-sifat masalah ang ditinja. Karna it pnting skali mmplajari prsamaan difrnsial. Prll E.J mnatakan prsamaan diffrnsial adalah Smbarang prsamaan dngan ang tidak diktahi brpa sat fngsi dan daa ang mnakp trnan ata difrnsial dan fngsi tidak diktahi. Kmdian ia mmbri dfinisi formal dari prsamaan difrnsial ait: Andaikan = f trdfinisi di dan andaikan d didifrnsialkan dari prbahan bbas mnatakan prtambahan smbarang dari. Difrnsial ang brssaian dngan d dari prbahan bbas didifrnsialkan olh: d = f d. Pngrtian-pngrtian diffrnsial dapat didfnisikan sbagai brikt: Dfinisi 1.1: Prsamaan Difrnsial adalah sat prsamaan ang mlipti trnan fngsi dari sat ata lbih variabl trikat trhadap sat ata lbih variabl bbas. Bila ada sat fngsi F maka sat prsamaan difrnsial: d + d = 0 disbt ksak shingga df = d + d. Jika diktahi rms difrnsial df = F F F F d + d maka = ; = shinggan brlak ktntan = pada prsamaan difrnsial ksak. Ada bntk prsamaan difrnsial ang tak ksak ttapi bila dikalikan dngan sat fngsi trtnt maka akan diprolh sat prsamaan ang ksak. Pross trsbt dinamakan dngan faktor intgrasi. Faktor Intgrasi dilakkan dngan tjan sbagai brikt: a. Untk mngtahi bahwa adana hbngan antara prsamaan difrnsial ksak dan prsamaan difrnsial tak ksak dngan faktor intgral. b. Untk mngtahi sarat-sarat kksakan sat prsamaan difrnsial ksak. 68

2 Vol. 2 o. 1 Oktobr Untk mngtahi ara mnntkan faktor intgrasi pada prsamaan difrnsial ksak. d. Untk mngtahi pada saat kapan faktor intgrasi it dignakan. Pada prinsipna prsamaan difrnsial tak ksak dapat dibah mnjadi prsamaan difrnsial ksak. Dalam masalah ini diprlkan konsp faktor intgrasi ntk mnlsaikanna shingga prsamaan difrnsial tak ksak bisa mnjadi prsamaan difrnsial ksak. Dari masalah trsbt bagaimana mnlsaikan masalah pnntan faktor intgrasi pada prsamaan difrnsial ksak. PEBAHASA Prsamaan Difrnsial Eksak Dfinisi 1: Jika F sat fngsi dari da variabl ral dan F kontin pada trnan prtama pada domain D maka jmlah difrnsial df didfinisikan sbagai df = F d + F d ntk sma D. Dfinisi 2: Prsamaan d + d = 0 disbt difrnsial ksak pada domain D jika ada fngsi F dari da variabl maka sdmikian hingga ktntan trsbt sama dngan jmlah df ntk D. Ssaikan dfinisi 2 dngan prsamaan d + d = 0 diprolh = F = F Dfinisi 3: Apabila fngsi f = maka prsamaan difrnsial ord sat brbntk d + d = 0 1 disbt ksak shingga df = d + d 2 dari dfinisi prsamaan difrnsial ksak dan hbngan 1 dapat dilihat bahwa df = jadi dngan mngintgralkan ini diprolh bahwa solsi mm prsamaan difrnsial 1 adalah f =. Slanjtna dari dfinisi difrnsial total dan hbngan 2 dapat dilihat bahwa f f = dan = 3 Bila dan mmpnai trnan- trnan parsial ang kontin di bidang-bidang maka dari 3 diprolh = 2 f dan = 2 f Slanjtna bila f mmpnai trnan-trnan parsial k da ang kontin maka dari 4 diprolh = Sarat 5 mrpakan sarat prl agar prsamaan difrnsial 1 ksak. Dapat diprlihatkan bahwa sarat ini jga sarat kp shingga hbngan 3 dapat diprgnakan ntk mnntkan fngsi f = ang mrpakan solsi mm prsamaan difrnsial

3 Rosliana Sirgar Torma 1: Prsamaan d + d = 0 dngan kontin pada trnan prtamana C 1 D akan mmnhi kondisi brikt: 1. Bila d + d = 0 PD ksak di D maka ntk D 2. Sbalikna bila = d + d = 0 mrpakan PD ksak. = ntk D maka dikatakan Jika d + d mrpakan trnan total dari bbrapa fngsi F ; dan maka sat prsamaan difrnsial dngan bntk mm d + d = 0 adalah mrpakan sbah prsamaan difrnsial ksak dikatakan dmikian karna trnan parsial dari F adalah masing-masing trnan parsial trhadap dan. Trnan parsial ampran ord k da dari F ada dan kontin shingga F = F. Jadi jika sbah prsamaan difrnsial brbntk d + d = 0 adalah ksak maka =. Dapatlah ditnjkkan bahwa ini jga mrpakan sarat kp ntk kksakan ait = d + d = 0 adalah ksak. tod Pnlsaian Prsamaan Difrnsial Eksak Jika sbah prsamaan difrnsial adalah ksak maka pnlsaianna dapat diprolh dngan mtod brikt ini: 1. Intgralkanlah k mnggantikan ttapan pngintgralan biasa dngan sbah fngsi f dari. F = d = G + 2. Difrnsialkanlah F = G + f ang diprolh dari langkah prtama k dan bandingkanlah dngan dari prsamaan difrnsial ang akan dislsaikan ntk mndapatkan nilai f G + f = f = G 3. Intgralkanlah f k ntk mndapatkan f. fd = f Tidaklah prl ntk mnakp ttapan pngintgralan biasa karna ttapan it dinatakan pada langkah akhir dari pnlsaian. 4. Pnlsaian dari langkah-langkah prtama dan k tiga adalah: F = G + f + C = 0. Jlaslah pnlsaian it dapat jga diprolh dngan mngintgralkan trlbih dahl k. Prsamaan Difrnsial Tak Eksak Dalam bbrapa kass sat prsamaan difrnsial ang tak ksak dapat dijadikan ksak dngan mngalikanna dngan sat faktor faktor sprti it disbt faktor pngintgralan karna faktor it mmngkinkan prsamaan trsbt diintgralkan. Pada mmna mnntkan faktor pngintgralan ang ook ntk 70

4 Vol. 2 o. 1 Oktobr 2016 sbah prsamaan difrnsial trtnt bkanlah soal ang mdah namn dmikian dapatlah ditnjkkan bahwa ntk stiap prsamaan difrnsial linar ord prtama mmiliki faktor pngintgralan Pd. Faktor Intgrasi Intgrasi mrpakan pross kbalikan dari difrnsiasi. Apabila didifrnsiasikan maka dimlai dngan sat prnataan dan mlanjtkanna ntk mnari trnanna. Apabila diintgralkan maka dimlai dngan trnanna dan kmdian mnari prnataan asal intgral ini. Faktor intgrasi ini dignakan ntk mnlsaikan PD ord sat tak ksak. Langkah ang dimaksd adalah mrbah PD tak ksak mnjadi ksak. Bila maka dapat ditntkan μ sdmikian hingga μ d + μ d = 0 mrpakan PD ksak. Skarang bagaimana mnntkan dapatlah dignakan torma PD ksak. Bila prsamaan μ d + μ d = 0 ksak maka μ = μ μ + μ [ = μ μ ] = + μ μ μ = μ μ adalah mrpakan formla faktor intgrasi sara mm. mprtimbangkan prsamaan difrnsial biasa dalam bntk + P = Q di mana = adalah fngsi ang tidak diktahi dari P dan Q adalah fngsi ang dibrikan. tod faktor ang mngintgrasikan bkrja dngan mmtar sisi kiri k dalam bntk trnan dari sat prodk. Prtimbangkan fngsi kalikan k da sisi + P = Q olh : + P = Q diinginkan sisi kiri brada dalam bntk trnan dari sat prodk shingga + P = Q dapat ditlis sbagai = Q. Sisi kiri dalam = Q kini dapat trintgrasi dngan lbih mdah dngan mnggnakan torma dasar kalkls = Qd + C di mana C adalah konstan lihat konstanta smbarang intgrasi. Skarang dapat dipahkan ntk Qd + C = Tapi ntk mmahkan sara ksplisit ntk prl ditmkan ksprsi ntk. = Q mnggnakan prodk. = + = Q Idntifikasi istilah dalam + P = Q dan jlas bahwa F mmathi prsamaan difrnsial: = P ntk mndapatkan bagi k da blah pihak olh : 71

5 Rosliana Sirgar P = 0 Prsamaan P = 0 adalah dalam bntk drivativ logaritmik mmbrikan = Pd. Dapat dilihat bahwa mngalikan olh dan proprti = f sangat pnting dalam mmahkan prsamaan difrnsial ini. F disbt faktor intgrasi. Dalam matmatika sat faktor intgrasi adalah sat fngsi ang dipilih ntk mmfasilitasi pnlsaian trtnt ang mlibatkan prsamaan difrnsial. Hal ini biasana dignakan ntk mnlsaikan prsamaan difrnsial biasa ttapi jga dignakan dalam kalkls mltivariabl dalam hal ini sring mngalikan mlali olh faktor mngintgrasikan ang mmngkinkan sbah difrnsial tak ksak ntk dibat mnjadi sbah difrnsial ksak. Pnlsaian Prsamaan Difrnsial Eksak Sat prsamaan difrnsial ord sat brbntk d + d = 0. Jika ras kirina adalah difrnsial total ata difrnsial ksak ait d d d maka disbt prsamaan difrnsial ksak. Dari sat fngsi prsamaan difrnsial d + d =0 dapat ditlis dngan d = 0. Dngan pngintgralan akan diprolh pnlsaian mm dari g = f ang brbntk = Dngan mmbandingkan d + d = 0 dan d d d dapat diktahi bahwa d + d = 0 adalah prsamaan difrnsial ksak dari sat fngsi sdmikian hingga; a b isal dan trdfinisikan dan mmpnai trnan parsial prtama ang kontin dalam sat darah di bidang ang batas-batasna brpa krva ttp ang tidak mmpnai irisan mandiri slf-intrstions. Dari diprolh a 2 2 b dngan asmsi kontinitas dapat disimplkan bahwasana da trnan k da di atas adalah sama. Jadi 72

6 Vol. 2 o. 1 Oktobr 2016 sarat ini bkan hana prl ttapi jga kp ntk d + d mnjadi difrnsial total. Jika d + d = 0 ksak maka fngsi dapat ditmkan dngan prkiraan ata dngan ara sistmatis sprti brikt. Dari dngan pngintgralan trhadap diprolh: = d k Dalam pngintgralan ini dipandang sbagai sat konstan dan k brpran sbagai konstan intgrasi. Untk mnntkan k ditrnkan / dari dk = d k gnakan ntk mndapatkan kmdian d diintgralkan. Rms = d k diprolh dari dignakan rms dngan = d k ait = d l. Untk mnntkan l trnkan. Sara sama bisa ntk mndapatkan rms = d l ang mirip ntk mndapatkan dl/d kmdian diintgralkan. / dari = d l gnakan Hbngan Faktor Intgrasi Pada Prsamaan Difrnsial Eksak dan Prsamaan Difrnsial Tak Eksak. Tlah dibahas sblmna bahwa prsamaan difrnsial tak ksak dapat dibah mnjadi prsamaan difrnsial ksak ait dngan mngalikan k da ras prsamaan dngan sat fngsi ang disbt dngan faktor intgrasi. Akan ditntkan ara mnari faktor intgral ntk kjadian ang sangat khss ait ang mrpakan fngsi saja ata saja. isalkan prsamaan d + d = 0 mrpakan prsamaan difrnsial tak ksak dngan faktor intgral mrpakan fngsi saja misalkan v = v. Dngan dmikian vd + v = 0 mrpakan prsamaanprsamaan difrnsial ksak brarti; v v. ata dapat ditlis dv v v. d Dari prsamaan trsbt diprolh: 73

7 Rosliana Sirgar 74 v d dv Karna diktahi bahwa v mrpakan fngsi saja maka hars mrpakan fngsi saja shingga: d v ln. Slanjtna dngan jalan ang sama jika v mrpakan fngsi saja maka diprolh: d v ln Faktor intgrasi dignakan pada saat prsamaan difrnsial trsbt tak ksak ait shingga dignakanlah faktor intgrasi ntk mngbahna mnjadi prsamaan difrnsial ksak. Pada pnlsaian soal-soal mngnai faktor intgrasi ada 2 da hal ang hars diprhatikan ait: a. Pada soal-soal mngnai faktor intgrasi tlah diantmkan ata ditntkan jnis dari faktor-faktor intgrasina. isalna: mmpnai faktor intgrasi hana fngsi dari. mmpnai faktor intgrasi trgantng dari dan lain-lain. b. Pada soal-soal mngnai faktor intgrasi tidak diantmkan ata ditntkan faktor-faktor intgrasina jadi hars diari lagi jnis faktor ang ssai dngan soal trsbt. Dalam hal a dapat dimaskkan langsng jnis dari faktor intgrasina k dalam prsamaan: shingga harga faktor intgrasi dapat diprolh. Dalam hal b blm mmpnai rms ang tpat ntk langsng mmprolh jnis dan harga dari faktor intgrasi ang ssai. Ada ktntanktntan ntk mnari jnis dan harga dari faktor intgrasi. Ktntan-ktntan trsbt adalah sbagai brikt: 1. Bila faktor intgrasina hana trgantng dari maka: d d dan 0 shingga rms faktor intgrasi mnjadi:

8 Vol. 2 o. 1 Oktobr 2016 P d d 0 ata d. d Sbalikna bila sat soal dari trdapat fngsi adalah fngsi dari saja maka faktor intgrasi hana fngsi dari. 2. Bila faktor intgrasina hana trgantng dari maka 0 dan d d. Shingga rms faktor intgrasi mnjadi 0 ata d d d d. Sbalikna bila sat soal harga dari trdapat fngsi adalah sat fngsi dari saja maka faktor intgrasi hana fngsi dari. Pnlsaian Faktor Intgrasi Jika d 0 tak ksak maka dngan mmprbanak prsamaan d 0 dngan sat fngsi bisa dijadikan prsamaan difrnsial ksak shingga d d 0 adalah prsamaan difrnsial ksak shingga brlaklah: ata Dari prsamaan ini harga dapat diari. Stlah harga dimaskkan dalam prsamaan d d 0 trjadilah prsamaan difrnsial ksak. nari Faktor Intgrasi 1 Sat prsamaan difrnsial d 2d 0 adalah tidak ksak ttapi bila dikalikan dngan F = / maka akan diprolh prsamaan difrnsial ksak: 1 d 2d 0. Slanjtna bila dislsaikan maka akan diprolh ln 2. Hal ini mngilstrasikan bahwa kadang-kadang sat prsamaan difrnsial brbntk Pd + Qd = 0 adalah tidak ksak ttapi bisa dibat ksak dngan mngalikan dngan fngsi ang ook ang brbntk F 0. Fngsi ini disbt faktor intgrasi dari d + d = 0. Brdasarakan pngalaman faktor intgrasi bisa diprolh dngan mlakkan pmriksaan. Untk ini prl diingat bbrapa difrnsial sprti dalam ontoh 75

9 Rosliana Sirgar brikt. Dalam kass-kass khss ang pnting faktor intgrasi dapat ditntkan dngan ara ang sistmatis sprti ontoh brikt. Contoh 1: Slsaikan prsamaan difrnsial brikt : d-d = 0 Pnlsaian: Psamaan difrnsial d-d = 0 adalah bkan prsamaan difrnsial ksak. Sat faktor intgrasi ang ook adalah F = 1 2 shingga diprolh: d F d d d 0; 2 = Contoh 2: Tntkan faktor-faktor intgrasi ang lain dari prsamaan difrnsial pada ontoh 1. Pnlsaian: d dln d d 2 d d d d dartan 2 2 shingga fngsi-fngsi dan adalah faktor-faktor intgrasi dari prsamaan difrnsial d-d = 0. Pnlsaian ang brssaian dngan faktor-faktor intgral it brtrt-trt adalah: ln artan. K tiga pnlsaian trsbt sara snsial adalah sama karna masing-masing mnatakan klarga garis lrs ang mlali titik asal. Contoh 2 mngilstrasikan bahwa jika trdapat sat faktor intgral F dari prsamaan difrnsial = maka slal dapat diprolh faktor-faktor intgral ang lainna karna FPd + FQd adalah difrnsial d ntk sat fngsi dan ntk sbarang H. Difrnsial ang lain adalah HFPd + FQd = Hd. Ini mnnjkkan bahwa HF adalah faktor intgral ang lain dari =. Jika F faktor intgrasi ang lain dari = maka FPd + FQd = 0 adalah sat prsamaan difrnsial ksak. Jadi sarat kksakan mnjadi FP FQ. Hal ini lbih komplk daripada prsamaan d + d = 0 ang dislsaikan. Akan diamati sat faktor intgral ang hana brgantng pada sat 76

10 Vol. 2 o. 1 Oktobr 2016 P variabl katakan. Jadi FP FQ mnjadi F Dngan mmbagi dngan FQ dan pngrtan kmbali diprolh: 1 df 1 P Q. F d Q df Q Q F. d Kass Prsamaan Difrnsial Tak Eksak Prhatikan prsamaan difrnsial d-d=0. Trlihat bahwa = dan =- shingga / 1 ttapi / 1 Jadi prsamaan difrnsialna tak ksak. Dari = d k shingga d k = +k ' / k ini hars sama dngan =-. Hal ini tidak mngkin karna k hana fngsi dari saja. Jika dignakan = d l maka akan mnghasilkan hal ang sama. Untk mnlsaikan prsamaan difrnsial tak ksak ang dmikian ini diprlkan mtod lain. Jika sat prsamaan difrnsial it ksak maka dapat dibah mnjadi tak ksak dngan mmbagi dngan sat fngsi trtnt. Prsamaan Difrnsial ang Dibat Eksak prsamaan difrnsial mnggnakan faktor intgrasi d + d = 0 Prsamaan: tak ksak F = F F df = 0 d d 0 Prsamaan: tak ksak dan prsamaan F F df = 0 d d 0 adalah ksak dan k dana adalah idntik ang mmpnai solsi ang sama. Hal ini brarti kofisin dari d dan d dngan mmpnai prbandingan ang sama. F F mrpakan faktor intgrasi 77

11 Rosliana Sirgar F F.. Jadi prsamaan difrnsial ang tak ksak jika dikalikan dngan faktor intgrasina maka akan mnjadi ksak dan apabila tidak diktahi fngsi dari maka masalah ang timbl ait akan mngalami kslitan dalam mnntkan. Contoh 3: Tntkan solsi prsamaan difrnsial ksakna dngan fngsi dari diktahi: d + d = 0. Diktahi: faktor intgrasi fngsi dari Pnlsaian: Faktor intgrasi = = + 1 = 1 0 d + = 0 d d 0 d d = 0 mrpakan prsamaan difrnsial ksak Untk mnntkan : isal: P Q Karna Prsamaan Difrnsial Eksak jadi: P Q. 0 prsamaan difrnsial dngan variabl dapat dipisahkan d d- = 0 = ln di sini adalah smbarang konstanta ambil = 1 kmbali k prsamaan: d d 0. Dipriksa apakah trbkti bnar ksak: 78

12 Vol. 2 o. 1 Oktobr trbkti d F d F ' F ' ' d d ' d d D d F = D mrpakan solsi mm prsamaan difrnsial PEUTUP Brdasarkan hasil pmbahasan trsbt dapat diambil ksimplan sbagai brikt: 1. Hasil pmbahasan dapat mmbktikan adana hbngan antara prsamaan difrnsial ksak dngan faktor intgrasi. Kaitanna ait dalam prsamaan difrnsial tak ksak ang dalam hal ini faktor intgrasi dignakan ntk mngbah prsamaan difrnsial tak ksak mnjadi prsamaan difrnsial ksak. 2. Dikatakan prsamaan difrnsial ksak apabila mmnhi sarat brikt: 0 d d d. 3. Ada 2 da ara mnlsaikan PD ksak ait dngan mnggnakan prosdr dalam torma dan dngan tknik pnglompokan. 4. Faktor intgrasi dignakan pada saat prsamaan difrnsial trsbt tak ksak ait shingga dignakanlah faktor intgrasi ntk mngbahna mnjadi prsamaan difrnsial ksak. DAFTAR PUSTAKA Edwin J Prll. Dal Varbrg Kalkls dan Gomtri Analitis. Jilid II. Jakarta: Erlangga Gazali Wikaria Kalkls Lanjtan Edisi 2. Yogakarta: Graha Ilm. ababan S Bk atri Pokok Pndahlan Prsamaan Difrnsial Biasa. Jakarta: Karnika Prll E. J Kalkls dan Gomtri Analitis Jilid 1. Erlangga: Jakarta

13 Rosliana Sirgar Stwart Jams Kalkls. Jakarta: Erlangga Spranto J atmatika Untk Ekonomi dan Bisnis Bk 1 dan 2. Fakltas Ekonomi Univrsitas Indonsia: Jakarta Wah S. B Prsamaan Difrnsial Edisi 1. Yogakarta: Graha Ilm Wbr Jan E Analisis atmatika Pnrapan Bisnis dan Ekonomi Edisi k mpat-jilid 2. Jakarta: Erlangga 80