PENYELESAIAN LUAS BANGUN DATAR DAN VOLUME BANGUN RUANG DENGAN KONSEP DETERMINAN

Transkripsi

1 Bletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volme xx, No. x (tahn), hal xx xx. PENYELESAIAN LUAS BANGUN DATAR DAN VOLUME BANGUN RUANG DENGAN KONSEP DETERMINAN Doni Saptra, Helmi, Shantika Martha INTISARI Las bangn datar dan volme bangn rang adalah bagian dari geometri. Ketika mencari las bangn datar seperti segitiga, persegi, persegi panjang, jajar genjang, belah ketpat, layang-layang, trapesim dan volme bangn rang seperti limas, balok, kbs dan prisma memiliki rms masing-masing. Rms-rms yang ada memanfaatkan nsr-nsr seperti, sisi ata diagonal sisi ntk mencari las bangn datar dan volme bangn rang. Akan tetapi menjadi masalah apabila nilai dari nsr-nsr tersebt tidak diketahi sehingga diperlkan pendekatan lain seperti memanfaatkan sdt ntk mencari nilai dari sisi yang belm diketahi. Penelitian ini bertjan ntk menyelesaikan las bangn datar dan volme bangn rang dengan konsep determinan. Las dari bangn datar dan volme dari bangn rang dapat dicari melali hbngan aljabar dengan geometri dalam sistem koordinat kartesis. Selanjtnya menggnakan hbngan dari titik-titik pada koordinat kartesis dapat dibat rms ntk mencari las bangn datar dan volme bangn rang dengan konsep determinan. Langkah awal ntk membentk rms las bangn datar diawali dengan mencari rms las segitiga yang kemdian dignakan ntk mencari las dari bangn datar segi-. Dari ketiga titik koordinat segitiga dapat ditarik garis yang tegak lrs smb. Hasil proyeksi titik dari ketiga titik koordinat segitiga pada smb menghasilkan tiga titik bar. Ketiga titik yang dihasilkan dapat dignakan ntk membentk tiga trapesim. Ketiga trapesim ini yang dignakan ntk membentk rms las segitiga dengan konsep determinan. Sedangkan pada volme dignakan hasil kali titik, hasil kali silang dan panjang proyeksi ntk membentk rms volme bangn rang dengan konsep determinan. Kata Knci: Geometri Analitik, Aplikasi Determinan, Vektor PENDAHULUAN Geometri merpakan cabang ilm matematika yang berasal dari bahasa Ynani yait geo yang artinya bmi dan metro yang artinya mengkr. Geometri pertama kali diperkenalkan oleh ilman asal Ynani yait Thales pada tahn SM [1]. Geometri membahas persoalan mengenai kran, bentk, keddkan dan sifat rang. Bangn pada geometri yang dapat mendefinisikan kran, bentk dan keddkan berpa bangn datar. Selain bangn datar, terdapat jga bangn pada geometri yang mendefinisikan kran, bentk, keddkan dan sifat rang yait bangn rang. Setiap bangn datar dan bangn rang memiliki las dan keliling. Namn hanya bangn rang yang memiliki volme. Dalam mencari las bangn datar dan volme bangn rang dapat diselesaikan menggnakan rms yang sesai ntk mencari las bangn datar dan volme bangn rang. Rms yang dignakan ntk mencari las bangn datar dan volme bangn rang menggnakan nsr-nsr seperti sisi ata diagonal sisi yang telah diketahi. Akan tetapi menjadi masalah apabila nilai dari nsr-nsr tersebt tidak diketahi, diperlkan pendekatan lain seperti memanfaatkan sdt ntk mencari nilai dari sisi yang belm diketahi. Penelitian ini bertjan menyelesaikan las bangn datar dan volme bangn rang dengan konsep determinan. Adapn batasan masalah dalam penelitian ini adalah rms las bangn datar yang dicari berpa poligon dan rms volme bangn rang yang dicari adalah limas segitiga beratran, limas segiempat beratran, limas segienam beratran, prisma segitiga beratran, prisma segiempat beratran/kbs/balok, dan prisma segienam beratran. Las dari bangn datar dan volme dari 1

2 2 D. Saptra, Helmi, S. Martha bangn rang dapat dicari melali hbngan aljabar dengan geometri dalam sistem koordinat kartesis.

3 Penyelesaian Las Bangn Datar dan Volme Bangn Rang dengan Konsep Determinan 3 Selanjtnya menggnakan hbngan dari titik-titik pada koordinat kartesis dapat dibat rms ntk mencari las bangn datar dan volme bangn rang dengan konsep determinan. Langkah awal ntk membentk rms las bangn datar diawali dengan mencari rms las segitiga yang kemdian dignakan ntk mencari las dari bangn datar segi-. Ketika mencari rms las segitiga, dari ketiga titik koordinat segitiga dapat ditarik garis yang tegak lrs smb. Hasil proyeksi titik dari ketiga titik koordinat segitiga pada smb menghasilkan tiga titik bar. Ketiga titik yang dihasilkan dapat dignakan ntk membentk tiga trapesim. Ketiga trapesim ini yang dignakan ntk membentk rms las segitiga dengan konsep determinan. Kemdian rms segitiga yang telah terbentk dignakan ntk mencari bangn datar segi-. Sedangkan pada volme dignakan hasil kali titik, hasil kali silang dan panjang proyeksi ntk membentk rms volme bangn rang dengan konsep determinan. Oleh sebab it, penelitian ini membahas penyelesaian las bangn datar dan volme bangn rang menggnakan pendekatan dengan konsep determinan. DETERMINAN Misalkan adalah sat matriks bjrsangkar. Fngsi determinan (determinant fnction) dinotasikan dengan det dan det( ) didefinisikan sebagai jmlah dari sema hasil kali elementer bertanda dari. Angka det( ) disebt determinan dari [2]. Misalkan * +, maka determinan dari matriks sebagai berikt: ( ) * + (1) Misalkan [ ], maka determinan dari matriks sebagai berikt: ( ) (2) Dengan mengatr kembali sk-sk dan memfaktorkan Persamaan (2) dapat ditlis kembali sebagai berikt ( ) ( ) ( ) ( ) (3) Pernyataan dalam krng pada Persamaan (3) masing-masing merpakan determinan: * + * + * + Definisi 1 [2] Jika adalah sat matriks bjrsangkar, maka minor dari entri dinyatakan sebagai dan didefinisikan sebagai determinan dari sbmatriks yang tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari. Bilangan ( ) dinyatakan sebagai dan disebt sebagai kofaktor dari entri. Berdasarkan Definisi 1 maka Persamaan (2) dapat ditlis dalam bentk minor dan kofaktor sebagai : ( ) ( ) (4) Persamaan (4) mennjkkan bahwa determinan dapat dihitng dengan mengalikan entri-entri pada baris pertama dari dengan kofaktor-kofaktornya yang bersesaian dan menjmlahkan hasil kali yang diperoleh. Metode perhitngan ( ) ini disebt ekspansi kofaktor (cofactor expansion) sepanjang baris pertama dari. VEKTOR Vektor adalah besaran yang mempnyai nilai dan arah [3]. Vektor dapat dinyatakan secara geometrik sebagai ras garis terarah ata anak panah pada rang berdimensi da ata rang berdimensi tiga. Arah anak panah mennjkkan arah vektor, sementara panjang anak panah menggambarkan besarannya. Sebah vektor dimlai dari titik awal (initial point) dan diakhiri oleh titik akhir (terminal point).

4 4 D. Saptra, Helmi, S. Martha Secara analitis, sebah vektor pada bidang dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan terrt, misalnya ( ), yang digambarkan koordinat da smb yang saling tegak lrs seperti yang ditnjkkan pada Gambar 1a sedangkan vektor dalam rang ( ) dapat digambarkan dengan menggnakan koordinat tiga smb yang saling tegak lrs, yang mengikti atran tangan kanan dan secara analitis dinyatakan sebagai tiga bilangan terrt, ( ) seperti yang ditnjkkan pada Gambar 1b vektor yang titik awalnya di titik asal ( ) ntk vektor pada bidang dan ( ) ntk vektor dalam rang disebt vektor posisi. x z ( ) ( ) (0,0) y ( ) y (a) x (b) Gambar 1. Vektor pada Bidang dan Rang Teorema 1 [2] Jika dan adalah vektor-vektor pada rang berdimensi 2 ata rang berdimensi 3 jika, maka ( ) ( ) Definisi 2 [2] Jika ( ) dan ( ) adalah vektor-vektor pada rang berdimensi 3, maka hasil kali silang (cross prodct) adalah vektor yang didefinisikan sebagai ( ) ata dalam notasi determinan ( * + * + * +) Bentk determinan dari hasil kali silang dapat diwakili dengan notasi dalam bentk determinan. [ ] * + * + * + Teorema 2 [2] Jika dan v adalah vektor-vektor pada rang berdimensi 3, maka dengan las dari paralelogram yang dibatasi oleh dan v. sama v v v sin θ θ Jajar genjang yang dibatasi oleh vektor dan v di tnjkkan pada Gambar 2 sebagai berikt

5 Penyelesaian Las Bangn Datar dan Volme Bangn Rang dengan Konsep Determinan 5 Gambar 2. Jajar Genjang yang Dibatasi Vektor dan v

6 6 D. Saptra, Helmi, S. Martha BANGUN DATAR Bangn datar seperti segitiga, jajar genjang, layang-layang, persegi, persegi panjang, belah ketpat dan trapesim memiliki rms masing-masing ntk mencari las dari bangn datar tersebt. Ternyata determinan dari sat matriks dapat diaplikasikan ntk mencari las dari bangn datar dengan menggnakan titik-titik koordinat yang ada. Selanjtnya mencari las dari segitiga menggnakan konsep determinan. Diberikan dengan titik-titik ( ), ( ), dan ( ) dengan syarat dan Seperti pada Gambar 3 berikt ini. y C(x y ) A(x y ) B(x y ) A (x ) C (x ) B (x ) x Gambar 3. Segitiga dengan Syarat dan Untk mencari las seperti pada Gambar 3 dapat dilakkan langkah-langkah sebagai berikt: i. Dari ketiga titik yang diketahi yait titik ( ), ( ), dan ( ) dapat ditarik garis yang tegak lrs smb yait,, dan. Sehingga hasil proyeksi titik ( ), ( ), dan ( ) pada smb yait: ( ), ( ), dan ( ). ii. Selanjtnya las dapat dicari dengan memanfaatkan bangn-bangn trapesim yang terbentk dari titik-titik ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), dan ( ). Dari titik-titik tersebt dapat dibentk 3 trapesim yait: Trapesim 1 dengan titik-titik ( ), ( ), ( ), ( ). Trapesim 2 dengan titik-titik ( ), ( ), ( ), ( ). Trapesim 3 dengan titik-titik ( ), ( ), ( ), ( ). iii. Dengan memanfaatkan rms las trapesim yait: (sisi 1 + sisi 2)(tinggi), dimana sisi n sisi adalah sisi-sisi yang sejajar sehingga didapat : las trapesim 1 ( )( ) las trapesim 2 ( )( ) las trapesim 3 ( )( ) Las dapat dicari dengan cara sebagai berikt: Las = las trapesim 1 + las trapesim 2 - las trapesim 3 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( * + * + * +)

7 Penyelesaian Las Bangn Datar dan Volme Bangn Rang dengan Konsep Determinan 7 [ ] [ ] (5) Berdasarkan Gambar 3 dapat dilihat bahwa rms las segitiga menggnakan determinan akan bernilai positif apabila titik ( ) berada di atas garis dan rms las segitiga menggnakan determinan akan bernilai negatif apabila ( ) berada di bawah garis. Karena las tidak mngkin bernilai negatif maka rms mm las segitiga adalah : ( ) (6) dimana [ ], dengan ( ), ( ), dan ( ) adalah titik-titik koordinat dari segitiga. Jadi dengan memanfaatkan konsep determinan las dari bangn datar segi-, baik yang beratran mapn tidak dapat dicari dengan menggnakan rms berikt n 2 i 1 Las segi- = det 1 2 A (7) dimana [ ], dengan x i, y ), x, y ), x, y ) adalah titik-titik koordinat dari segitiga ke- ( 1 1i ( 2i 2i i ( 3i 3i BANGUN RUANG Ternyata determinan dari sat matriks dapat dignakan ntk mencari volme dari limas, kbs, balok, prisma dengan menggnakan titik-titik koordinat yang ada. Pertama-tama akan ditnjkkan volme dari limas segitiga menggnakan konsep determinan. Diberikan limas dengan titik-titik ( ), ( ), ( ), dan ( ). Gambar limas seperti pada Gambar 4 Gambar 4. Limas Segitiga Untk mencari volme limas seperti pada Gambar 4 dignakan langkah-langkah sebagai berikt: i. Dari keempat titik koordinat yang diketahi yait ( ), ( ), ( ), dan ( ) dapat dibat menjadi tiga vektor yang tidak terletak pada bidang yang sama sebagai berikt ( ) ( ) ( )

8 8 D. Saptra, Helmi, S. Martha ii. Pada Gambar 4 dapat dilihat bidang alas berpa segitiga dan terbentk dari da bah vektor dan. Dengan memanfaatkan Teorema 2 didapatlah las segitiga sebagai berikt ( ) dengan,,,,, dan iii. Selanjtnya mencari tinggi dari limas yang tegak lrs dengan bidang alas, tinggi limas dapat dicari dengan menggnakan rms panjang proyeksi sebagai berikt ( ) iv. Kemdian mencari volme limas dengan rms volme limas ( s s)( in i) sehingga ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] Karena volme tidak mngkin bernilai negatif maka volme limas adalah ( ) (8) dimana [ ], dengan ( ), ( ), ( ), dan ( ) adalah titik-titik yang membentk vektor dan. Langkah yang sama dapat dignakan ntk mencari volme dari limas segiempat beratran, dan segienam beratran, yang membedakan hanyalah bentk dari las alas limas. Sedangkan pada prisma jga dapat menggnakan langkah yang sama dimana pada langkah keempat rms volme yang dignakan bkanlah (las alas)(tinggi) melainkan (las alas)(tinggi). CONTOH SOAL Berikt diberikan beberapa contoh soal penyelesaian las bangn datar dan volme bangn rang menggnakan konsep determinan: Contoh 1 Carilah las segitiga dengan titik-titik sebagai berikt: a. ( ), ( ) dan ( ) b. ( ), ( ) dan ( ) Penyelesaian : a. Diketahi,, dan,, Sehingga diperoleh [ ], menggnakan rms pada Persamaan (6) didapatlah: ( ) * + * + * + ( ) ( ) Sehingga didapat las segitiga dengan titik ( ), ( ), dan ( ) adalah satan. b. Diketahi,, dan Sehingga diperoleh [ ], menggnakan rms pada Persamaan (6) didapatlah:

9 Penyelesaian Las Bangn Datar dan Volme Bangn Rang dengan Konsep Determinan 9 ( ) * + * + * + ( ) ( ) Sehingga didapat las segitiga dengan titik ( ) ( ), dan ( ) adalah satan. Contoh 2 Tentkan las persegi dengan titik-titik sebagai berikt : a. ( ), ( ), ( ) dan ( ) b. ( ), ( ), ( ) dan ( ) Penyelesaian: a. Menentkan ( ), ( ), ( ). Misalkan,, dan,, Sehingga diperoleh [ ] dengan menggnakan rms pada Persamaan (7) didapatlah: ( ) * + * + * + ( ) Sehingga diperoleh las persegi dengan titik-titik ( ), ( ), ( ), dan ( ) adalah 16 satan. b. Menentkan ( ) ( ) ( ). Misalkan dan Sehingga diperoleh [ ], menggnakan rms pada Persamaan (7) didapatlah ( ) * + * + * + ( ) Sehingga diperoleh las persegi dengan titik-titik ( ), ( ), ( ) dan ( ) adalah satan. Contoh 3 Tentkan las trapesim dengan titik-titik ( ), ( ), ( ) dan ( ) Penyelesaian : Las dapat dicari dengan menggnakan gambar trapesim yang terbentk dari titik-titik ( ), ( ), ( ), dan ( ) sehingga didapatlah gambar trapesim seperti pada Gambar 5 y B( ) C( ) Segitiga 2 A( ) Segitiga 1 D( ) x Gambar 5. Segitiga Sat dan Da dari Trapesim dengan Titik-titik ( ) ( ) ( ) dan ( )

10 10 D. Saptra, Helmi, S. Martha Sehingga didapatlah [ ] dan [ ] dengan menggnakan rms pada Persamaan (7) didapatlah: ( ) * + * + * + ( ) * + * + * + ( ) ( ) ( ) ( ) Sehingga las trapesim dengan titik-titik ( ), ( ), ( ), dan ( ) adalah 20 satan. Contoh 4 Carilah volme dari limas segiempat dengan titik-titik sebagai berikt A(3.51, 1.04, 0), B(1.26, -0.21, 0), C(0.01, 2.04, 2.57), D(2.26, 3.29, 2.57), dan E(3.27, -1.18, 4.4). Penyelesaian: Langkah pertama adalah membentk tiga vektor yang tidak terletak pada bidang yang sama, yait,, dan. Seperti yang disajikan pada Gambar 6 Gambar 6. Limas Segiempat yang Terbentk dari Titik-titik dan Sehingga didapatlah titik-titik yang membentk vektor,, dan dengan menggnakan rms pada Persamaan (8) didapat: [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] Volme limas ( )

11 Penyelesaian Las Bangn Datar dan Volme Bangn Rang dengan Konsep Determinan 11 Contoh 5 Carilah volme dari kbs dengan titik-titik sebagai berikt A(2.41, 1.35, 0), B(1, 3, 1.2), C(0.23, 1.22, 2.74), D(1.63, -0.43, 1.54), E(4.29, 1.85, 1.53), F(2.89, 3.5, 2.73), G(2.12, 1.71, 4.27), H(3.52, 0.07, 3.06), dan I(2.41, 1.35, 0) Penyelesaian: Langkah pertama adalah membentk tiga vektor yang tidak terletak pada bidang yang sama, yait,, dan. Seperti yang disajikan pada Gambar 7 Gambar 7 Kbs yang Terbentk dari Titik-titik dan Sehingga didapatlah titik-titik yang membentk vektor, dan dengan menggnakan rms pada Persamaan (8) didapat: [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] Volme prisma ( ) PENUTUP Dalam penyelesaian las bangn datar dan volme bangn rang dengan konsep determinan dapat menggnakan rms-rms sebagai berikt: 1 Las segitiga pada dapat dicari menggnakan konsep determinan dengan memanfaatkan titiktitik koordinat yang ada, sehingga diperoleh rms las segitiga yait ( ) dimana [ ], dengan ( ), ( ), dan ( ) adalah titik-titik koordinat dari segitiga.

12 12 D. Saptra, Helmi, S. Martha 2 Las bangn datar segi- dapat dicari dengan membagi bangn datar segi- menjadi -2 segitiga sehingga didapat rms las bangn datar segi- adalah ( ) dimana [ ], dengan ( ), ( ), dan ( ) adalah titik-titik koordinat dari segitiga ke- 3 Las alas pada bangn rang dapat dicari dengan menggnakan hasil kali silang antara vektor n. Sedangkan tinggi bangn rang dapat dicari dengan memanfaatkan rms panjang proyeksi sehingga didapatlah rms volme ntk bangn rang limas segitiga beratran, limas segiempat beratran, limas segienam beratran, prisma segitiga beratran, prisma segiempat beratran/kbs/balok, dan prisma segienam beratran sebagai berikt : a. Limas segitiga = ( ) b. Limas segiempat = ( ) c. Limas segienam = ( ) d. Prisma segitiga = ( ) e. Prisma segiempat = ( ) f. Prisma segienam = ( ) dimana [ ], dengan ( ), ( ), ( ), dan ( ) adalah titik-titik yang membentk vektor dan. DAFTAR PUSTAKA [1]. Rich B, Thomas C. Scham s Otlines Geometry Forth Edition. New York:The McGraw-Hill Companies, Inc; 2009 [2]. Anton H, Rorres C. Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi Edisi Kedelapan. Jakarta: Erlangga; [3]. Imrona M. Aljabar Linear Dasar. Jakarta: Erlangga; 2009 DONI SAPUTRA HELMI SHANTIKA MARTHA : Jrsan Matematika FMIPA UNTAN, Pontianak donisaptra.ds5@gmail.com : Jrsan Matematika FMIPA UNTAN, Pontianak helmi132205@yahoo.co.id : Jrsan Matematika FMIPA UNTAN,Pontianak shantika.martha@gmail.com