BEBERAPA SIFAT ALJABAR GENERALIZED INVERSE PADA MATRIKS

Transkripsi

1 BEBERAPA SFAT ALJABAR GEERALZED ERSE PADA MATRKS Ema Ria * S Gemawai A Siai Mahaiwa Pogam Sudi S Maemaika Doen Juuan Maemaika Fakula Maemaika dan lmu Pengeahuan Alam niveia Riau Kampu Binawidya Pekanbau 893 ndoneia * Emaia8@yahoocom ABSTRACT Thi aicle dicue ome of he algebaic popeie of he genealized invee maix on he addiion opeaion which i deived uing he popeie of he um of he ank of maice Genealized invee of he um of wo maice can be obained if he ange pace of he um of wo maice i dijoin A he end of he dicuion an example of how o ge a genealized invee maix i given Keywod: genealized invee addiion popeie on ank ank facoizaion he um of wo maice ABSTRAK Aikel ini membaha bebeapa ifa aljaba genealized invee maik pada opeai penjumlahan ang diuunkan dengan menggunakan ifa-ifa penjumlahan pada ank maik Genealized invee dai penjumlahan dua maik dapa dipeoleh jika uang hail ange pace Dai penjumlahan dua maik aling lepa Diakhi pembahaan dibeikan conoh bagaimana mendapakan genealized invee uau maik Kaa Kunci: genealized invee ifa penjumlahan pada ank fakoiai ank penjumlahan dua maik PEDAHLA Maik adalah himpunan bilangan-bilangan yang diuun ecaa empa peegi panjang menuu bai dan kolom Secaa umum juga dikeahui bahwa maik yang mempunyai inve adalah maik bujuangka dan noningula amun maih ada maik yang bukan bujuangka yang mempunyai inve dikenal dengan genealized invee yang dipeoleh dengan menggunakan meode genealized invee Selanjunya yang dibaha dalam aikel ini adalah bebeapa ifa aljaba genealized invee pada maik Salah au dianaanya adalah opeai penjumlahan nuk menenukan bebeapa ifa aljaba genealized invee pada opeai penjumlahan dua maik digunakan ifa-ifa penjumlahan pada ank Secaa euli akan dipeoleh genealized invee dai penjumlahan dua maik jika uang hail dai penjumlahan dua maik eebu aling lepa

2 Pada aikel ini dimialkan A uau maik yang bukan bujuangka dan anpoe nya dinoaikan dengan A Selanjunya dinoaikan R A ebagai ange pace dan A ebagai null pace dai maik A Sedangkan inve kii dai maik A dinoaikan dengan AL dan inve kanannya dinoaikan dengan AR Pada ahun 8 Hanifa Zekaoui dan Said Guedjiba mempekenalkan konep genealized invee pada penjumlahan dan pekalian dua maik dalam aikelnya yang bejudul On Algebaic Popeie of Genealized nvee of Maice Selanjunya banyak penuli epei [] [3] [4] dan [5] iku mengembangkan konep genealized invee GEERALZED ERSE Sebelum membaha enang bebeapa ifa aljaba genealized invee pada maik elebih dahulu dibeikan definii enang ank maik genealized invee dan eflekif genealized invee ebagai beiku Definii [:h69] Dimeni uang bai dan uang kolom maik A dinamakan dengan ank A dan dinyaakan dengan ank A Definii [5] Mialkan A adalah himpunan emua maik m n dengan enieninya beada pada field K Jika edapa maik A yang meupakan himpunan emua maik n m edemikian hingga AA A A Maka A diebu genealized invee aau inve-g dai A Definii 3 [5] Mialkan A adalah himpunan emua maik m n dan jika edapa maik A yang meupakan himpunan emua maik n m edemikian hingga AA A A dan A AA A Maka A diebu dengan eflekif genealized invee dai maik A 3 BEBERAPA SFAT ALJABAR GEERALZED ERSE PADA MATRKS nuk menunjukkan bebeapa ifa aljaba genealized invee pada maik digunakan ifa-ifa pada ank maik yang dinyaakan dalam benuk Lemma beiku Lemma 4 [5] Mialkan A dan B adalah dua maik beukuan m n maka penyaaan beiku ekivalen i ank A A ii A {} A B {}

3 Buki: i i ii Mialkan fakoiai ank A dan B adalah A X dan B Maka dipeoleh fakoiai A B X Selanjunya dimialkan X x x x ] dan u u u ] Maka x x x ] [ [ [ dan [ u u u ] adalah bai dai R A dan R Kaena x x x u u u adalah beba linea maka x x x u u u adalah bai dai A Mialkan x x x u u u v maka v A edapa kala edemikian hingg v x x x u u u Maka v Sehingga A {} Dengan menggunakan caa yang ama akan dipeoleh A B Sehingga ebuki bahwa A {} A B ii ii i adalah A X dan B Maka dipeoleh fakoiai A B X Maka A X ank A X Sehingga ank A ank X Maka R A X dan R ehingga dipeoleh X {} {} Kaena peamaa adalah fakoiai ank dai A B maka dipeoleh ank A B ank X ank X ank ank A ank B Lemma 5 [5] Mialkan A dan B adalah maik m n edemikian hingga ank A A maka i Tedapa dua maik yang dapa dibalik inveible P dan Q edemikian hingga PAQ PBQ ii Tiap inve-g dai A B adalah inve-g dai A dan B 3

4 Buki: i Tanpa menghilangkan keadaan umum diaumikan A mialkan ank B dan mialkan B meupakan fakoiai ank dai B maka X X BR X X X 3 Dai peamaan 3 dipeoleh X m m Dan dai peamaan 3 dan 4 dapa dipeoleh bahwa X A m Dengan caa yang ama dimialkan maka X m A B adalah fakoiai ank dai B B Selanjunya dimialkan dengan mengganikan M dan pada peamaan maka dipeoleh M M M B 5 nuk mempeoleh nilai P dan Q dapa diambil ebaang maik S dan T kemudian kalikan pada kedua ua B ehingga dipeoleh M S T 6 L B m n Selanjukan dilakukan inve pada peamaan 6 maka dipeoleh M P S dan Q T Sehingga ebuki bahwa PAQ A m Dan PBQ S BT n 4 4

5 ii Mialkan peamaan meupakan fakoiai ank dai A B maka A B dapa dipeoleh dengan mengalikan X pada kedua ua A B ehingga dipeoleh X A B X X 7 Dai peamaan 7 dipeoleh L X ebagai inve kii dan R ebagai inve kanan Dengan mengalikan inve kii dan inve kanan pada kedua ua peamaan 7 maka dipeoleh A B X A B A B X A B Jika maka Sehingga dipeoleh Maka ebuki bahwa inve-g dai A B X X A B X X X A A B A A A B A B A B X A B B A B B B A B adalah inve-g dai A dan B Teoema 6 [5] Mialkan A dan B adalah dua maik beukuan m n edemikian hingga ank A A maka edapa invee-g A dan B dai A dan B edemikian hingga A B A B adalah invee-g dai A B Buki: Dengan meneapkan Lemma 5 maka dipeoleh Q A P dan A Q P adalah inve-g dai A 8 B P Q dan B Q P Dengan caaan adalah inve-g dai adalah inve-g dai B 9 5

6 Selanjunya dai peamaan 8 dan 9 dipeoleh A B P Q dan A B Q P Selanjunya kalikan peamaan pada kedua ii peamaan ehingga dipeoleh P Q P Q A B Sehingga ebuki bahwa A B A adalah inve-g dai A B Teoema 7 [5] Mialkan A dan B maik m n edemikian hingga ank A A maka edapa maik A dan B ebagai inve -g eflekif dai A dan B edemikian hingga A B A adalah inve-g eflekif dai A B Buki: A B A B dikaakan inve-g eflekif dai A B apabila memenuhi yaa-yaa yang ada pada definii 3 yaiu AA A A dan A AA A Dengan mengalikan peamaan 8 dan 9 maka yaa-yaa yang ada pada definii 3 dapa epenuhi Selanjunya kalikan peamaan pada kedua ua peamaan ehingga dipeoleh Q P Q P A B B A B Maka ebuki bahwa A meupakan inve-g eflekif dai A B nve-g dai penjumlahan dapa dipeoleh dengan menggunakan kau ank A dan ank A Mialkan C c c c adalah bai dai A yang beii kolom-kolom ke- c manjadi bai i { k Kemudian C dapa dipelua X C unuk R A dengan X x x Diamping iu C { x k { u u u k adalah bai unuk R dengan Sehingga dipeoleh X C {} X {} C {} Kaena X C meupakan bai unuk R A dan C meupakan bai unuk R B maka fakoiai ank A dan B adalah A C X B C 6

7 Kaena ank A maka dai peamaan dipeoleh fakoiai ank A B ebagai beiku A B C X C C X 3 Dai peamaan 3 dimialkan M C dan X Selanjunya dengan meneapkan Lemma 5 pada M dan maka edapa dua maik P dan Q yang dapa dibalik inveible ehingga M PMQ dengan M adalah maik k k dengan k M PQ dengan adalah maik m k n k Selanjunya dengan menggunakan Teoema 6 maka edapa M dan yang meupakan inve-g dai M dan ehingga A M M Dimialkan maik A dan 4 COTOH B akan diunjukkan bahwa edapa M dan yang meupakan inve-g dai M dan ehingga A M M Penyeleaian: Dai A dan B dibenuk C X C Sehingga dipeoleh fakoiai ank A dan fakoiai ank B Kaena ank A maka fakoiai ank dai A B dapa dipeoleh dengan menggunakan peamaan 3 Dai peamaan 3 dimialkan M C dan X 7

8 8 Sehingga dipeoleh 4 M dan Kemudian eduki M ke benuk k Sehingga dipeoleh M 4 4 Dengan meneapkan Lemma 5 pada M dan maka dipeoleh maik P dan Q yang dapa dibalik inveible ebagai beiku S Q R P Sehingga dipeoleh PQ dan Q M P PMQ Selanjunya dengan menggunakan Teoema 6 dapa di hiung P M Q M P PQ Q - - M Sebelum menenukan elebih dahulu dienukan nilai dai PQ ebagai beiku /3 / 3 /3 /3 3 / / 9 / 9 / 9 / 9 Kaena PQ

9 Maka Sehingga PQ M / 9 / 9 / 9 / 9 Maka ebuki bahwa dan M meupakan inve-g dai M dan ehingga A M M / 9 / 9 / 9 / 9 / 9 / 9 / 9 / 9 / 9 / 9 / 9 / 9 5 KESMPLA Bedaakan pembahaan yang elah diuaikan maka dapa diimpulkan bahwa genealized invee dai penjumlahan dua maik dapa dipeoleh dengan menggunakan kau ank A dan ank A Hanya edapa pebedaan pada fakoiai anknya Pada kau ank A fakoiai ank A unuk bai dan kolomnya maing-maing dikalikan dengan nol DAFTAR PSTAKA [] A Ben ael & T Geville 98 Genealized nvee heoy and applicaion Wiley ew ok nd [] Anon H 987 Aljaba Linea Elemene 5 Ed Tejemahan Elemenay Linea Algeba Fifh Ediion Oleh Silaban Panu & Suila Elangga Jakaa [3] Fill J A & E D Fihkindy 998 The Mooe Penoe Genealized nvee fo Sum of Maice PMA 8:-4 [4] Ren X M Wang & K P Shum 5 On Finding The Genealized nvee Maix fo The Poduc of Maice PMA 6 3:9-97 [5] Hanifa Z & S Guedjiba 8 On Algebaic Popeie of Genealized nvee of Maice nenaional Jounal of Algeba 3: