APLIKASI TEORI KONTROL DALAM LINIERISASI MODEL PERSAMAAN GERAK SATELIT

Transkripsi

1 APLIKASI TEORI KONTROL DALAM LINIERISASI MODEL PERSAMAAN GERAK SATELIT Swesi Yunia Puwani, Asep K. Supiana, Nusani Anggiani Absak Maemaika sanga bepean dalam pengembangan ilmu konol. Aplikasi sisem konol sebagai penolong dalam pengembangan bebeapa bidang maemaika. Salah saunya adalah aplikasi eoi konol pada pemasalahan saeli. Pada skipsi ini akan diunjukkan aplikasi eoi konol dalam linieisasi model pesamaan geak saeli. Sisem konol yang digunakan adalah sisem konol linie dan geakan uni massa saeli pada invese squae law foce field dipengauhi oleh suau pasangan pesamaan difeensial ode dua pada jai-jai dan sudu θ. Selain iu akan dibahas pengeian conollabiliy (keekonolan) dan obsevabiliy (keeobsevasian), sehingga apakah model pesamaan geak saeli dapa dikaakan conollable (ekonol) dan obsevable (eobsevasi).. Pendahuluan Geakan uni massa saeli pada invese squae law foce field, yaiu bahwa seiap paikel dai bahan di alam semesa menaik seiap paikel lain dengan gaya yang bebanding luus dengan hasil kali massa-massa paikel dan bebanding ebalik dengan kuada jaak di anaa paikel-paikel esebu dipengauhi oleh suau pasangan pesamaan difeensial ode dua pada jai-jai dan sudu θ. Pesamaan difeensial esebu adalah pesamaan difeensial non linie, oleh kaena iu diaplikasikan melalui eoi konol sedemikian sehingga model pesamaan geak saeli dapa dilinieisasi. Dai hasil linieisasi model dapa dihasilkan suau maiks konsana yang bepadanan dengan suau sisem konol linie yang dibeikan sehingga model pesamaan geak saeli dapa dikaakan conollable dan obsevable.. Model Pesamaan Geak Saeli Pehaikan pesamaan geak masalah dua benda pada gamba di bawah ini. z M z x y m y x Gamba. Masalah dua benda

2 Pada (Yusi, 996), pesamaan geak saeli dapa diinjau dengan masalah dua benda yang memenuhi pesamaan beiku: μ = ˆ Di mana: ˆ = meupakan veko sauan sepanjang gais M m μ = G( M + m) GM kaena m < M v = = ˆ + θθ ˆ meupakan veko kecepaan a = = θ ˆ + θ + θ ˆ θ meupakan veko pecepaan ( ) ( ) Pesamaan geak saeli anpa pengauh gaya gangguan adalah sebagai beiku: μ θ = θ + θ = Pehaikan gamba di bawah ini. θ m Gamba. Masalah pengonolan iik massa pada invese squae law foce field Geakan uni massa dipengauhi oleh suau pasangan pesamaan ode dua pada jai-jai dan sudu θ. Jika μ = k, maka bedasakan pesamaan dan dipeoleh: μ θ = k = θ Dan θ + θ = θ ( ) = ( ) θ( ) Jika diasumsikan bahwa uni massa (disebu dengan saeli) mempunyai kemampuan sebagai masukan pada aah adial dengan inpu dan masukan pada aah angensial dengan inpu u, maka dipeoleh: u

3 Jika u u ( ) solusi khusus: k = θ + u θ θ = + u (4) = = dan θ k = σ ω, maka pesamaan dan (4) mempunyai = σ (σ konsan) (5) = ω (ω konsan) (6) Hal ini dapa dipelihakan sebagai beiku: = σ θ = ω = θ = ω θ = = Subiusi: = σ θ = ω = θ = ω ke pesamaan dan (4), dengan u ( ) u ( ) Maka dipeoleh: k = θ + u σω σ = σω σω = = θ θ = + θ = = σω + ( ω)( ) u = + = σ = = dan Akibanya, saeli mengobi dalam benuk lingkaan. k = σ ω. Linieisasi Model Misalkan: x = σ (7) x x 4 = ( ω) = σ θ ( ) x = σ θ ω σ =

4 Maka dipeoleh: x = x = = = ω ( σ σ) + ωσ ( ω ω) + u ( ) = ω ( σ) + ωσ ( θ ω) + u ( ) = ( ) x σ θ ω x 4 = σθ (8) Subsiusi pesamaan (4) ke pesamaan (8), dipeoleh: θ u x4 σ = + σθ + σu σω+ σu = = = ω + u σ Sehingga dapa diulis: x x ( ) ( ) u ω σ + ωσ θ ω + = x σ ( θ ω ) x 4 ω + u x σ x ω ω u = + x ( ) σ θ ω x 4 ω σ ( θ ω) u x x( ) x ω ω u x = + x x x 4 ω x4 u Maka dapa dipelihakan bahwa pesamaan dan (4) yang dilinieisasi di sekia solusi pada pesamaan (5) dan (6) adalah: x x( ) x ω ω x u = + x x u x 4 ω x4 Pandang suau sisem konol linie beiku: x = A x + B u ( ) Sehingga dapa disimpulkan bahwa: 4

5 ω ω A = dan ω B = 4. Conollabiliy (keekonolan) dan obsevabiliy (keeobsevasian) Definisi Sisem konol linie bedimensi-n yang bebenuk: x = A x + B( ) u( ) y = C x n dikaakan conollable aau ekonol jika maiks BAB,,, A B mempunyai ank n(roge W. Bocke, 97:8). Definisi Sisem konol linie bedimensi-n yang bebenuk: x = A x + B( ) u( ) y = C x dikaakan obsevable aau eobsevasi jika maiks ank n(roge W. Bocke, 97:9). n CCA ; ;...; CA mempunyai 4. Keekonolan Pada Model Pesamaan Geak Saeli Pandang suau sisem konol linie beiku: x = A x + B u ( ) ( ) Pada pemasalahan saeli, dikeahui bahwa: ω ω A = ; ω Maka dipeoleh: ω AB = ; ω B = ω ω = ω 6ω ω A ; AB ω ω = ; ω 4ω ω ω ω = 6ω ω 4 A ; 5

6 ω ω AB = 4ω ω Maka: ω ω ω ω ω BABABAB,,, = ω ω ω Maiks BABABAB,,, mempunyai ank 4 sehingga sisem pesamaan geak saeli dikaakan conollable (ekonol). Akan dibukikan bahwa sisem pesamaan geak saeli dikaakan ekonol, jika salah sau inpu idak opeaif ( u = aau u = ). Buki: Jika u = ( u idak opeaif), mengakibakan B menjadi =,,, T, maka: ω ω B, AB, A B, A B = mempunyai ank. ω ω ω Jika u = ( u idak opeaif), mengakibakan B menjadi B = [,,,] T, maka: ω ω ω,,, = B AB A B A B mempunyai ank 4. 4ω 4ω Kaena u adial, u angensial, dan jika suau inpu adial idak opeaif maka sisem dikaakan ekonol. Sebaliknya, jika suau inpu angensial idak opeaif maka sisem dikaakan idak ekonol. B [ ] 4. Keeobsevasian pada model pesamaan geak saeli Andaikan bahwa jaak anaa pusa foce field dan sudu dapa diuku, sehingga x = σ dan x = σ ( θ ω) dapa diuku. Dengan y sebagai pengukuan jaak dan y sebagai pengukuan sudu. Maka dipeoleh: x y x y = x x4 Pandang suau sisem konol linie beiku: x = A x + B u ( ) 6

7 = + ( ) y C x D u Dikeahui bahwa: ω ω A = ; C = ω Maka dipeoleh: ω ω ω CA = ; A = ; ω 6ω ω ω CA = ; ω ω 4 ω ω ω A = ; CA = 6ω 6ω ω Dengan y sebagai pengukuan adial dan y sebagai pengukuan sudu, maka maiks: CCACA ; ; ; CA = ω ω ω ω 6ω mempunyai ank 4, maka sisem dikaakan obsevable (eobsevasi). Unuk meminimumkan pengukuan maka y idak diuku, sehingga C = [,,,], maka dipeoleh: ; ; ; = C C A C A C A ω ω ω maiks C ; C A ; C A ; C A mempunyai ank. Jika y idak diuku maka C = (,,, ), maka dipeoleh: 7

8 ; ; ; = C C A C A C A ω 6ω maiks C ; C A ; C A ; C A mempunyai ank 4. Dapa disimpulkan bahwa apabila pengukuan sudu idak diuku maka sisem pesamaan geak saeli idak obsevable, sebaliknya apabila pengukuan adial idak diuku maka sisem pesamaan geak saeli dikaakan obsevable. 5. Kesimpulan. Model pesamaan geak saeli dipengauhi oleh suau pasangan pesamaan difeensial ode dua: k = θ + u θ θ = + u pesamaan difeensial esebu adalah pesamaan difeensial non linie, melalui eoi konol model pesamaan geak saeli dapa dilinieisasi. Dai hasil linieisasi model dapa dihasilkan suau maiks konsana yang bepadanan dengan suau sisem konol linie yang dibeikan. Maiks-maiks esebu digunakan unuk conollabiliy (keekonolan) dan obsevabiliy (keeobsevasian) pada model pesamaan geak saeli. Sehingga model pesamaan geak saeli dikaakan conollable (ekonol) dan obsevable (eobsevasi).. Model pesamaan geak saeli dikaakan ekonol kaena maiks BABABAB,,, mempunyai ank 4. Unuk maiks A dan B yang dibeikan.. Model pesamaan geak saeli dikaakan eobsevasi kaena maiks CCACA ; ; ; CA mempunyai ank 4. Unuk maiks A dan C yang dibeikan. 6. Dafa Pusaka Anon, H. & Roes, C. 4. Aljaba Linea Elemene. Jakaa: Elangga. Aifin, Z. 98. Meoda Tansfomasi Laplace. Kappa Majalah Ilmiah Popule (hlm.-6).suabaya : FMIPA ITS SURABAYA. Bocke, R.W. 97. Finie Dimensional Linea Sysems. New Yok:John Wiley and Sons, Inc. Masen, M.K. & Cobun, B. (Eds.) Moden Conol Sysems. New Yok: The Insiue of Elecical and Eleconics Enginees, Inc. Ogaa. K Moden Conol Engineeing. (d ed.). New Yok: Penice Hall. Yusi, E.E Analisis Peubahan Seengah Sumbu Panjang dan Eksenisias Obi Saeli Rendah Akiba Gaya Hambaan Amosfe Bumi. Skipsi idak diebikan. Bandung: Pogam Sajana ITB BANDUNG. 8