PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN METODE TRANSFORMASI ARTION-FUNDO. Naufal Helmi, Mariatul Kiftiah, Bayu Prihandono

Transkripsi

1 Bulein Ilmiah Ma. Sa. dan Terapannya (Bimaser) Volume 5, No. 3 (216), hal PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN METODE TRANSFORMASI ARTION-FUNDO Naufal Helmi, Mariaul Kifiah, Bayu Prihandono INTISARI Persamaan diferensial parsial linear (PDPL) dapa diselesaikan secara analiik dan numerik. Salah sau penyelesaian PDPL secara analiik yaiu dengan menggunakan meode ransformasi Arion-Fundo. Tujuan dari peneliian ini adalah unuk menenukan penyelesaian PDPL menggunakan meode ransformasi Arion-Fundo. Penyelesaian persamaan diferensial parsial linear dengan meode ransformasi Arion- Fundo dilakukan dengan cara menransformasikan PDPL sehingga diperoleh persamaan diferensial biasa linear (PDBL). Selanjunya PDBL yang diperoleh diselesaikan, dan kemudian penyelesaian dari PDBL diransformasikan dengan menggunakan iners ransformasi Arion-Fundo. Hasil inersi penyelesaian PDBL merupakan penyelesaian dari PDPL. Peneliian ini menunjukkan bahwa ransformasi Arion-Fundo dapa menyelesaikan PDPL orde sau dan orde dua dengan koefisien konsan. Kaa kunci : Transformasi Arion-Fundo, Persamaan Diferensial Parsial Linear PENDAHULUAN Secara umum persamaan diferensial erbagi dalam dua jenis persamaan, yaiu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Dalam eknik penyelesaiannya, persamaan diferensial dapa diselesaikan dengan menggunakan meode analiik dan numerik. Umumnya, persamaan diferensial diselesaikan dengan menggunakan meode analiik, eapi erdapa beberapa kasus persamaan diferensial parsial yang idak dapa diselesaikan dengan meode analiik sehingga alernaif pemecahan solusinya dilakukan dengan menggunakan meode numerik. Namun seiring dengan berkembangnya meode, persamaan diferensial ersebu ernyaa bisa diselesaikan dengan meode analiik. Salah sau meode analiik yang dapa digunakan unuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial adalah ransformasi Arion-Fundo. Transformasi Arion-Fundo merupakan salah sau benuk ransformasi inegral yang diperkenalkan oleh Arion Kashuri dan Akli Fundo pada ahun 213. Transformasi Arion-Fundo merupakan suau meode yang dapa menyederhanakan persamaan diferensial biasa menjadi benuk persamaan aljabar dan elah diunjukkan pula bahwa ransformasi Arion-Fundo dapa digunakan unuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa linear orde sau dan orde dua [1]. Transformasi Arion-Fundo juga dapa dierapkan pada persamaan diferensial parsial linear. Penyelesaian persamaan diferensial parsial linear diperoleh dengan melakukan inersi erhadap penyelesaian persamaan hasil ransformasi dengan menggunakan iners ransformasi Arion-Fundo. Kelebihan uama dari meode ransformasi Arion- Fundo adalah dapa menyelesaikan persamaan diferensial linear homogen maupun ak homogen. Selain iu, meode ransformasi Arion-Fundo juga dapa menghasilkan penyelesaian khusus sesuai dengan syara awal dan syara baas yang diberikan. Namun, apabila persamaan diferensial yang dikeahui idak melibakan syara awal dan syara baas, maka persamaan diferensial ersebu idak dapa diselesaikan dengan menggunakan meode ransformasi Arion-Fundo. Adapun ujuan dari peneliian ini adalah mengkaji sifa-sifa dari ransformasi Arion-Fundo dan menyelesaikan persamaan diferensial parsial linear (PDPL) menggunakan sifa-sifa dari ransformasi Arion-Fundo. Peneliian ini membahas enang penyelesaian PDPL orde sau dan orde dua dengan koefisien konsan yang melibakan syara awal dan syara baas dengan dua ariabel bebas. 195

2 196 N. HELMI, M. KIFTIAH, B. PRIHANDONO Langkah-langkah penyelesaian PDPL orde sau dan orde dua dilakukan dengan menransformasi kedua ruas pada PDPL dengan menggunakan definisi dan sifa-sifa dari ransformasi Arion-Fundo sehingga diperoleh suau persamaan hasil ransformasi. Seelah iu, syara awal PDPL yang dikeahui disubsiusikan pada persamaan hasil ransformasi sehingga diperoleh suau persamaan diferensial biasa linear (PDBL). Kemudian PDBL yang diperoleh diselesaikan sehingga diperoleh penyelesaian umum dari PDBL. Selanjunya syara baas yang dikeahui diransformasi menggunakan ransformasi Arion- Fundo dan hasil ransformasi syara baas disubsiusikan pada penyelesaian umum sehingga diperoleh penyelesaian khusus PDBL. Kemudian penyelesaian khusus PDBL yang diperoleh diransformasi dengan menggunakan iners ransformasi Arion-Fundo sehingga diperoleh penyelesaian dari PDPL. TRANSFORMASI ARTION-FUNDO Transformasi Arion-Fundo merupakan salah sau ransformasi inegral baru yang diperkenalkan oleh Arion Kashuri dan Akli Fundo pada ahun 213. Transformasi Arion-Fundo didefinisikan unuk suau fungsi f dengan sau ariabel bebas. Definisi 1 [1] Diberikan fungsi f: R R yang erdefinisi unuk R +. Transformasi Arion-Fundo dari fungsi f didefinisikan sebagai K[f()] = 1 f() e 2 d = A() (1) dengan ( k 1, k 2 ) adalah ariabel dalam ransformasi Arion-Fundo unuk k 1 > dan k 2 > dengan k 1, k 2 R. Transformasi Arion-Fundo dari fungsi f dinyaakan dalam noasi K[f()] dengan K adalah operaor ransformasi Arion-Fundo. Transformasi Arion-Fundo dalam Persamaan (1) juga dapa dinyaakan dalam benuk persamaan K[f()] = f( 2 ) e d Transformasi Arion-Fundo unuk beberapa fungsi dasar disajikan dalam Tabel 1. Tabel 1. Transformasi Arion-Fundo Beberapa Fungsi Dasar No. f() A() = K[f()] 1 a a 2 n, n =,1,2, n! 2n+1 3 e a 4 sin a 5 cos a 6 sinh a 7 cosh a 1 a 2 a a a 2 4 a 3 1 a a 2 4

3 Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial Linear SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI ARTION-FUNDO Transformasi Arion-Fundo suau fungsi f dapa lebih mudah diperoleh dengan menggunakan sifasifa ransformasi Arion-Fundo. Sifa-sifa dari ransformasi Arion-Fundo dinyaakan dalam eoremaeorema beriku ini. Teorema 2 Jika K[f()] = A 1 () dan K[g()] = A 2 (), maka unuk sebarang konsana a, b, dan c berlaku a. K[af()] = aa() b. K[bf() ± cg()] = ba 1 () ± ca 2 () Buki: a. K[af()] = 1 af() e 2 d = b ( 1 f() e = ak[f()] 2 d = aa() b. K[bf() ± cg()] = 1 ) (bf() ± cg()) e 2 d = b ( 1 f() e 2 d = bk[f()] ± ck[g()] = ba 1 () ± ca 2 () ) ± c ( 1 g() e 2 d Teorema 3 Jika K[f()] = A(), maka unuk sebarang konsana a berlaku ) Buki: Misalkan w = (1 a 2 ), maka d = K[e a 1 f()] = 1 a A ( 2 1 a 2) K[e a f()] = 1 e (1 a2 ) f() 2 d dw sehingga Persamaan (2) menjadi 1 a2 (2) K[e a f()] = 1 f ( w 1 a w e 2) 2 1 = K [ 1 a 2 f ( w 1 a 2)] 1 = 1 a A ( 2 1 a 2) dw 1 a 2

4 198 N. HELMI, M. KIFTIAH, B. PRIHANDONO, < a Teorema 4 Jika K[f()] = A() dan g() = {, maka unuk sebarang konsana f( a), a a dan a > berlaku Buki: K[g()] = e a 2 A() K[g()] = 1 g() e 2 d = 1 f( a) e 2 d Misalkan a = k maka d = dk sehingga Persamaan (3) menjadi K[f( a)h( a)] = 1 a f(k) e k+a 2 dk = e a 2 K[f(k)] = e a 2 A() Teorema 5 Jika K[f()] = A(), maka unuk n = 1,2,3 berlaku n 1 K [ dn f() d n ] = A() 2n 1 d k f() 2(n k) 1 d k k= Buki: Pembukian Teorema 5 dilakukan menggunakan induksi maemaika. Misalkan P adalah pernyaaan n 1 K [ dn f() d n ] = A() 2n 1 d k f() 2(n k) 1 d k k= 1) Akan diunjukkan P bernilai benar unuk n = 1 aau K [ df() d Karena K [ df() d K [ df() d ] = A() 2 ] = 1 df() d e 2 d = lim (( 1 L f()e = 1 2 (1 f() e = A() 2 f() 2 ) 2 d ] = A() L 2 L + 1 f() e 3 ) 1 f() f(). 2 d f(), maka erbuki bahwa P bernilai benar unuk n = 1. ) (3)

5 Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial Linear ) Diasumsikan P bernilai benar unuk n = q aau K [ dq f() d q ] = A() 2q 1 d k f() 2(q k) 1 d k. Selanjunya akan diunjukkan bahwa P bernilai benar unuk n = q + 1. Misalkan ψ() = dq f() d q dengan K[ψ()] = Ψ(), maka K [ dq+1 f() d q+1 ] = K [dψ()] d = Ψ() 2 ψ() q 1 q 1 k= = 1 2 (A() 2q 1 d k f() 2(q k) 1 d k ) 1 f() (dq d q ) k= q = A() 2(q+1) 1 dk f() 2((q+1) k) 1 d k q k= k= Karena K [ dq+1 f() A() ] = dq+1 2(q+1) 1 d k f() 2((q+1) k) 1 d k, maka erbuki bahwa P bernilai benar unuk n = q + 1. Dari pernyaaan 1) dan 2) dapa disimpulkan bahwa Teorema 5 erbuki. Teorema 6 Jika K[f()] = A(), maka unuk n = 1,2,3 berlaku K [ f(τ) dτ n ] = 2n A() Buki: Pembukian Teorema 6 dilakukan menggunakan induksi maemaika. Misalkan R adalah pernyaaan K [ f(τ) dτ n ] = 2n A() 1) Akan diunjukkan R bernilai benar unuk n = 1 aau K [ f(τ) dτ] = 2 A(). Misalkan h() = f(τ) dτ, maka dh() d Dengan menggunakan Teorema 4 unuk n = 1 diperoleh K [ dh() H() ] = K[f()] d 2 = f() dan h() =, dan misalkan K[h()] = H(). h() = A() H() 2 () = A() H() = 2 A()

6 2 N. HELMI, M. KIFTIAH, B. PRIHANDONO K [ dh() d ] = K[f()] K[h()] = 2 A() K [ f(τ) dτ] = 2 A() Karena K [ f(τ) dτ] = 2 A(), maka erbuki bahwa R benar unuk n = 1. 2) Diasumsikan R bernilai benar unuk n = r aau K [ f(τ) dτ r ] = 2r A(). Akan diunjukkan bahwa R bernilai benar unuk n = r + 1. Misalkan ω() = f(τ) dτ r dengan K[ω()] = Ω(), maka K [ f(τ) dτ r+1 ] = K [ ω() dτ] = 2 Ω() = 2 ( 2r A()) = 2(r+1) A() Karena K [ f(τ) dτ r+1 ] = 2(r+1) A(), maka erbuki bahwa R bernilai benar unuk n = r + 1. Dari pernyaaan 1) dan 2) dapa disimpulkan bahwa Teorema 6 erbuki. Teorema 7 Jika K[f()] = A 1 () dan K[g()] = A 2 () dan h f g d, maka Buki: K[h()] = A 1 ()A 2 () K[h()] = 1 h() e 2 d = 1 ( f(τ)g( τ) dτ) e Misalkan ω = τ, maka d = dω sehingga Persamaan (4) menjadi K[h()] = 1 τ f(τ) e 2 dτ = K[f()] K[g()] g(ω) e ω 2 dω = A 1 ()A 2 () 2 d (4)

7 Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial Linear INVERS TRANSFORMASI ARTION-FUNDO Definisi ransformasi Arion-Fundo menyaakan bahwa ranformasi fungsi f adalah suau fungsi yang dinyaakan dalam noasi A(). Apabila ransformasi dari suau fungsi dikeahui, maka hasil inersi fungsi ransformasi ersebu akan menghasilkan fungsi asal. Definisi 8 [1] Jika A() = K[f()] adalah ransformasi Arion-Fundo dari f(), maka f() adalah iners dari ransformasi Arion-Fundo A() yang dinoasikan dengan K 1 [A()] = f() dan K 1 adalah operaor iners ransformasi Arion-Fundo. PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL LINEAR Transformasi Arion-Fundo dapa digunakan unuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial linear (PDPL). PDPL yang diransformasi menggunakan ransformasi Arion-Fundo akan direduksi menjadi persamaan diferensial biasa linear (PDBL). Penyelesaian PDPL diperoleh dengan melakukan inersi erhadap penyelesaian PDBL dengan menggunakan iners ransformasi Arion-Fundo. Conoh 9 Persamaan diferensial parsial linear ak homogen orde sau Tenukan penyelesaian dari persamaan diferensial yang dinyaakan dalam persamaan dengan syara awal z(x, ) = x dan syara baas z(1, ) = 2 e. z x z = 1 e (5) Penyelesaian: Kedua ruas Persamaan (5) diransformasi dengan menggunakan ransformasi Arion-Fundo sehingga diperoleh z(x, ) z(x, ) K [ ] K [ ] = K[1] K[e ] x dz(x, ) Z(x, ) ( dx 2 z(x, ) ) = (6) Dengan mensubsiusikan syara awal z(x, ) = x pada Persamaan (4.6) diperoleh dz(x, ) dx 1 Z(x, ) = x Selanjunya Persamaan (7) diselesaikan dengan menggunakan meode Lagrange sehingga diperoleh Z(x, ) = 1 ( ( x ) x e 2 dx + C) e x = 1 e x ( 3 x e 2 1 x xe 2 ) dx + = 1 e x 2 ( 5 x C e x e 2 + (x + 3 )e x 2 ) + C e x 2 = x + x + Ce (8) Persamaan (8) adalah penyelesaian umum dari Persamaan (7). Selanjunya syara baas yang dikeahui, yaiu z(1, ) = 2 e diransformasi menggunakan ransformasi Arion-Fundo sehingga diperoleh K[z(1, )] = K[2 e ] Z(1, ) = 2 (7) (9) 1+ 2

8 22 N. HELMI, M. KIFTIAH, B. PRIHANDONO Dengan menggunakan Persamaan (9), maka dari Persamaan (8) diperoleh C =, sehingga diperoleh penyelesaian khusus Persamaan (7) yaiu Z(x, ) = + x (1) Kemudian Persamaan (1) diransformasi menggunakan iners ransformasi Arion-Fundo sehingga diperoleh K 1 [Z(x, )] = K 1 [] K 1 [ 1 + 2] + xk 1 [] z(x, ) = 1 e + x Jadi, penyelesaian Persamaan (5) dengan syara awal z(x, ) = x dan syara baas z(1, ) = 2 e adalah z(x, ) = 1 e + x. Conoh 1 Persamaan diferensial parsial linear homogen orde dua Tenukan penyelesaian dari persamaan diferensial yang dinyaakan dalam persamaan 4 2 z x 2 2 z 2 = (11) dengan syara awal z(x, ) = 4 sin πx + 3 sin 2πx 2 sin 3πx, dan z (x, ) = sera syara baas z(, ) = z(1, ) =. Penyelesaian: Kedua ruas Persamaan (11) diransformasi dengan menggunakan ransformasi Arion-Fundo sehingga diperoleh 4K [ 2 z(x, ) x 2 ] K [ z2 (x, ) 2 ] = K[] 4 d2 Z(x, ) Z(x, ) dx 2 ( 4 z(x, ) 3 1 dz(x, ) ) = (12) d Dengan mensubsiusikan syara awal z(x, ) = 4 sin πx + 3 sin 2πx 2 sin 3πx dan z (x, ) = pada Persamaan (12) diperoleh d 2 Z(x, ) dx sin πx + 3 sin 2πx 2 sin 3πx Z(x, ) = (13) Penyelesaian homogen unuk Persamaan (13) adalah Z h (x, ) = C 1 e x C 2 e x 2 2 (14) Selanjunya Persamaan (7) diselesaikan menggunakan meode ariasi parameer, sehingga penyelesaian umum Persamaan (13) adalah 4 sin πx+3 sin 2πx 2 sin 3πx Z(x, ) = e x ( ) e x ( ( 1 dx + C) 2) 4 sin πx+3 sin 2πx 2 sin 3πx +e x ( ) e x ( ( 1 dx + C 2 ) 2) = 2(2π2 cos(πx) + sin(πx)) 1 + 4π (4π2 cos(2πx) + sin(2πx)) 2(1 + 16π 2 4 ) (6π2 cos(3πx) + sin(3πx)) π (sin(πx) 2π2 cos(πx)) 1 + 4π 2 4

9 Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial Linear (sin(2πx) 4π2 cos(2πx)) 2(1 + 16π 2 4 (sin(3πx) 6π2 cos(3πx)) ) π 2 4 Ce x C 2 e x 2 2 Z(x, ) = C 1 e x C 2 e x sin(πx) 1 + 4π sin(2πx) π 2 2 sin(3πx) π 2 4 (15) Selanjunya syara baas yang dikeahui diransformasi menggunakan ransformasi Arion-Fundo. a) Unuk syara baas z(, ) = : sehingga dari Persamaan (15) diperoleh b) Unuk syara baas z(1, ) = : K[z(, )] = K[] Z(, ) = Z(, ) = C 1 + C 2 C 1 + C 2 = (16) K[z(1, )] = K[] Z(1, ) = sehingga dari Persamaan (15) diperoleh diperoleh Z(1, ) = C 1 e C 2 e C 1 e C 2 e = (17) Dari Persamaan (16) dan (17) diperoleh C 1 = dan C 2 =, sehingga diperoleh penyelesaian khusus Persamaan (13) yaiu 4 sin(πx) 3 sin(2πx) 2 sin(3πx) Z(x, ) = 1 + 4π π π 2 4 (18) Kemudian Persamaan (18) diransformasi menggunakan iners ransformasi Arion-Fundo sehingga diperoleh K 1 [Z(x, )] = 4K 1 sin(πx) [ 1 + 4π 2 4] + sin(2πx) 3K 1 [ π 2 4] sin(3πx) 2K 1 [ π 2 4] z(x, ) = 4 sin(πx) cos(2π) + 3 sin(2πx) cos(4π) 2 sin(3πx) cos(6π) Jadi, penyelesaian dari Persamaan (11) dengan syara awal z(x, ) = 4 sin πx + 3 sin 2πx 2 sin 3πx dan z (x, ) =, sera syara baas z(, ) = z(1, ) = adalah z(x, ) = 4 sin(πx) cos(2π) + 3 sin(2πx) cos(4π) 2 sin(3πx) cos(6π). PENUTUP Dari hasil peneliian ini dapa disimpulkan bahwa: 1. Sifa-sifa ransformasi Arion-Fundo yang digunakan unuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial linear orde sau dan dua adalah sebagai beriku: a. Transformasi Arion-Fundo dari 2 z(x, ) x 2 adalah b. Transformasi Arion-Fundo dari 2 z(x, ) x K [ 2 z(x, ) x 2 ] = d2 Z(x, ) dx 2 adalah K [ 2 z(x, ) ] = d ) (Z(x, x dx 2 z(x, ) )

10 24 N. HELMI, M. KIFTIAH, B. PRIHANDONO c. Transformasi Arion-Fundo dari 2 z(x, ) 2 adalah d. Transformasi Arion-Fundo dari e. Transformasi Arion-Fundo dari K [ 2 z(x, ) Z(x, ) 2 ] = 4 z(x, ) x adalah z(x, ) K [ ] = x z(x, ) adalah z(x, ) K [ ] = z(x, ) 3 1 dz(x, ) d dz(x, ) dx Z(x, ) z(x, ) 2 f. Transformasi Arion-Fundo dari z(x, ) dan s(x, ) adalah K[z(x, )] = Z(x, ) = 1 z(x, ) e 2 d dan K[s(x, )] = A(x, ) = 1 s(x, ) e 2 d 2. Transformasi Arion-Fundo dapa digunakan unuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial linear dengan koefisien konsan yang melibakan syara awal dan syara baas. Penerapan sifa-sifa dari ransformasi Arion-Fundo dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial linear dengan koefisien konsan akan mereduksi persamaan diferensial parsial menjadi persamaan diferensial biasa. Selanjunya dengan menerapkan iners ransformasi Arion-Fundo pada penyelesaian persamaan diferensial biasa diperoleh penyelesaian dari persamaan diferensial parsial. DAFTAR PUSTAKA [1]. Kashuri A, Fundo A, Kreku M. Mixure of A New Inegral Transform and Homoopy Perurbaion Mehod for Soling Nonlinear Parial Differenial Equaions. Adances in Pure Mahemaics. 213; 3(1): [2]. Kashuri A, Fundo A, Liko R. On Double New Inegral Transform and Double Laplace Transform. European Scienific. 213; 9(33): [3]. Prayudi. Maemaika Teknik. Yogyakara: Graha Ilmu; 26. [4]. Raji A W Md and Mohamad M N. Differenial Equaions for Engineering Sudens. Johor Bahru: Comech Markeing Sdn. Bhd; 28. [5]. Darmawijaya S. Penganar Analisis Real. Yogyakara: Jurusan Maemaika Fakulas Maemaika dan Ilmu Pengeahuan Alam UGM; 26. [6]. Wrede R C and Spiegel M R. Schaum's Oulines of Theory and Problems of Adanced Calculus. 2nd ed. New York: McGraw-Hill; 22. NAUFAL HELMI : FMIPA Unan, Ponianak, noal6794@gmail.com MARIATUL KIFTIAH : FMIPA Unan, Ponianak, kifiahmariaul@mah.unan.ac.id BAYU PRIHANDONO : FMIPA Unan, Ponianak, beiprihandono@gmail.com